備戰(zhàn)2025年中考數(shù)學(xué)沖刺專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練（全國(guó)）專(zhuān)題01 一次函數(shù)綜合題（原卷版）

專(zhuān)題01一次函數(shù)綜合題通用的解題思路：（1）一次函數(shù)與幾何圖形的面積問(wèn)題首先要根據(jù)題意畫(huà)出草圖，結(jié)合圖形分析其中的幾何圖形，再求出面積．（2）一次函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題通常一次函數(shù)的最值問(wèn)題首先由不等式找到x的取值范圍，進(jìn)而利用一次函數(shù)的增減性在前面范圍內(nèi)的前提下求出最值．（3）用函數(shù)圖象解決實(shí)際問(wèn)題從已知函數(shù)圖象中獲取信息，求出函數(shù)值、函數(shù)表達(dá)式，并解答相應(yīng)的問(wèn)題．1．（2024?鼓樓區(qū)一模）如圖，直線與相切，切點(diǎn)為，與軸軸分別交于、兩點(diǎn)．與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)．（1）求的半徑；（2）求圖中陰影部分的面積．2．（2023?宿豫區(qū)三模）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與直線相交于點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，連接，．設(shè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，的面積為．（1）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）關(guān)于的函數(shù)解析式為，其圖象如圖②所示，結(jié)合圖①、②的信息，求出與的值；（3）在直線上是否存在點(diǎn)，使得，若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．（2023?溧陽(yáng)市一模）如圖1，將矩形放在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是原點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)是軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接，是由沿翻折所得到的圖形．（1）當(dāng)點(diǎn)落在對(duì)角線上時(shí)，；（2）當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，求所在的直線函數(shù)表達(dá)式；（3）如圖2，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接、．①的最小值為；②當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．4．（2022?啟東市模擬）我們知道一次函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以我們定義：函數(shù)與互為“”函數(shù)．（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出函數(shù)的“”函數(shù)；（2）如果一對(duì)“”函數(shù)與的圖象交于點(diǎn)，且與軸交于，兩點(diǎn)，如圖所示，若，且的面積是8，求這對(duì)“”函數(shù)的解析式；（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)．5．（2024?新北區(qū)校級(jí)模擬）如圖①，動(dòng)點(diǎn)從矩形的頂點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿折線向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，，記的面積為，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，其函數(shù)圖象為折線和曲線（圖②，已知，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為．（1）點(diǎn)與點(diǎn)的速度之比的值為；的值為；（2）如果．①求線段所在直線的函數(shù)表達(dá)式；②求所在曲線的函數(shù)表達(dá)式；③是否存在某個(gè)時(shí)刻，使得？若存在，求出的取值范圍：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．6．（2024?梁溪區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸正半軸交于點(diǎn)，直線交于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且的面積為10．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交線段于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）已知點(diǎn)是軸上的點(diǎn)，若點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)恰好落在二次函數(shù)的圖象上，求的值．7．（2023?邗江區(qū)校級(jí)一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與軸、軸交于點(diǎn)點(diǎn)和點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，以為邊構(gòu)造等邊點(diǎn)在軸的正半軸上）．（1）求、點(diǎn)的坐標(biāo)，以及的長(zhǎng)；（2）將等邊，從圖1的位置沿軸的正方向以每秒1個(gè)單位的長(zhǎng)度平移，移動(dòng)的時(shí)間為，同時(shí)點(diǎn)從出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿著折線運(yùn)動(dòng)（如圖2所示），當(dāng)點(diǎn)到點(diǎn)停止，也隨之停止．①時(shí)，直線恰好經(jīng)過(guò)等邊其中一條邊的中點(diǎn)；②當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，若，求的值；③當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若的面積為，求出的值．8．（2023?武進(jìn)區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任意兩點(diǎn)，與，的“非常距離”，給出如下定義：若，則點(diǎn)與點(diǎn)的“非常距離”為；若，則點(diǎn)與點(diǎn)的“非常距離”為．例如：點(diǎn)，點(diǎn)，因?yàn)椋渣c(diǎn)與點(diǎn)的“非常距離”為，也就是圖1中線段與線段長(zhǎng)度的較大值（點(diǎn)為垂直于軸的直線與垂直于軸的直線交點(diǎn)）．（1）已知點(diǎn)，，為軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，①若點(diǎn)與點(diǎn)的“非常距離”為2，寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；②直接寫(xiě)出點(diǎn)與點(diǎn)的“非常距離”的最小值；（2）已知是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，①如圖2，點(diǎn)的坐標(biāo)是，求點(diǎn)與點(diǎn)的“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)；②如圖3，是以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)與點(diǎn)的“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)．9．（2023?海安市一模）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的圖形和點(diǎn)，給出如下定義：為圖形上任意一點(diǎn)，將，兩點(diǎn)間距離的最小值記為，最大值記為，稱(chēng)與的差為點(diǎn)到圖形的“差距離”，記作，即，已知點(diǎn)，（1）求；（2）點(diǎn)為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是；（3）點(diǎn)為函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出的取值范圍．10．（2022?姑蘇區(qū)校級(jí)模擬）平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任意的三個(gè)點(diǎn)、、，給出如下定義：若矩形的任何一條邊均與某條坐標(biāo)軸平行，且，，三點(diǎn)都在矩形的內(nèi)部或邊界上，則稱(chēng)該矩形為點(diǎn)，，的“三點(diǎn)矩形”．在點(diǎn)，，的所有“三點(diǎn)矩形”中，若存在面積最小的矩形，則稱(chēng)該矩形為點(diǎn)，，的“最佳三點(diǎn)矩形”．如圖1，矩形，矩形都是點(diǎn)，，的“三點(diǎn)矩形”，矩形是點(diǎn)，，的“最佳三點(diǎn)矩形”．如圖2，已知，，點(diǎn)．（1）①若，，則點(diǎn)，，的“最佳三點(diǎn)矩形”的周長(zhǎng)為，面積為；②若，點(diǎn)，，的“最佳三點(diǎn)矩形”的面積為24，求的值；（2）若點(diǎn)在直線上．①求點(diǎn)，，的“最佳三點(diǎn)矩形”面積的最小值及此時(shí)的取值范圍；②當(dāng)點(diǎn)，，的“最佳三點(diǎn)矩形”為正方形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)在拋物線上，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)，，的“最佳三點(diǎn)矩形”面積為12時(shí)，或，直接寫(xiě)出拋物線的解析式．11．（2022?太倉(cāng)市模擬）如圖①，動(dòng)點(diǎn)從矩形的頂點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿折線向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，，記的面積為，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，其函數(shù)圖象為折線和曲線（圖②，已知，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為．（1）點(diǎn)與點(diǎn)的速度之比的值為；的值為；（2）如果．①求線段所在直線的函數(shù)表達(dá)式；②是否存在某個(gè)時(shí)刻，使得？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．12．（2022?邗江區(qū)校級(jí)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)和線段，我們定義點(diǎn)關(guān)于線段的線段比．（1）已知點(diǎn)，．①點(diǎn)關(guān)于線段的線段比；②點(diǎn)關(guān)于線段的線段比，求的值．（2）已知點(diǎn)，點(diǎn)，直線與坐標(biāo)軸分別交于，兩點(diǎn)，若線段上存在點(diǎn)使得這一點(diǎn)關(guān)于線段的線段比，直接寫(xiě)出的取值范圍．13．（2022?泰州）定義：對(duì)于一次函數(shù)、，我們稱(chēng)函數(shù)為函數(shù)、的“組合函數(shù)”．（1）若，，試判斷函數(shù)是否為函數(shù)、的“組合函數(shù)”，并說(shuō)明理由；（2）設(shè)函數(shù)與的圖像相交于點(diǎn)．①若，點(diǎn)在函數(shù)、的“組合函數(shù)”圖像的上方，求的取值范圍；②若，函數(shù)、的“組合函數(shù)”圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)．是否存在大小確定的值，對(duì)于不等于1的任意實(shí)數(shù)，都有“組合函數(shù)”圖像與軸交點(diǎn)的位置不變？若存在，請(qǐng)求出的值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．14．（2024?鐘樓區(qū)校級(jí)模擬）在同一平面內(nèi)，具有一條公共邊且不完全重合的兩個(gè)全等三角形，我們稱(chēng)這兩個(gè)三角形叫做“共邊全等”．（1）下列圖形中兩個(gè)三角形不是“共邊全等”是；（2）如圖1，在邊長(zhǎng)為6的等邊三角形中，點(diǎn)在邊上，且，點(diǎn)、分別在、邊上，滿足和為“共邊全等”，求的長(zhǎng)；（3）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與直線、軸相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，、在的邊上，當(dāng)以、、為頂點(diǎn)的三角形與“共邊全等”時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．15．（2023?新北區(qū)校級(jí)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、．經(jīng)過(guò)、、三點(diǎn)的圓的圓心為，過(guò)點(diǎn)的直線與的公共點(diǎn)是、，與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接、、．已知．（1）的直徑為，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）求直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（3）若是線段上的動(dòng)點(diǎn)，與的一個(gè)內(nèi)角相等，求的長(zhǎng)度．16．（2023?梁溪區(qū)模擬）如圖，以、為頂點(diǎn)作等邊，點(diǎn)在第二象限．（1）求直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．（2）過(guò)點(diǎn)作一條直線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且．①求點(diǎn)的坐標(biāo)與的度數(shù)；②在軸上是否存在這樣的點(diǎn)，使得點(diǎn)到的兩邊所在直線的距離相等？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所以符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．17．（2023?海州區(qū)校級(jí)二模）問(wèn)題提出：（1）在學(xué)習(xí)幾何時(shí)，我們可以通過(guò)構(gòu)造基本圖形，將幾何“模型“化．例如在三角形全等與三角形的相似的學(xué)習(xí)過(guò)程中，“”字形是非常重要的基本圖形．如圖1，已知：，、、三點(diǎn)共線，，由易證；如圖2，已知：，、、三點(diǎn)共線，若、、，則的長(zhǎng)為；問(wèn)題探究：（2）①如圖3，已知：，，、、三點(diǎn)共線，求證：；②如圖4，已知點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，若，則此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；問(wèn)題拓展：（3）如圖5，正方形中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，，，垂足分別為、．若，四邊形的面積等于10，求正方形的面積．（4）如圖6，正方形中，點(diǎn)、分別在、邊上，，連接、，則的最小值是．18．（2023?金壇區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)，記線段的中點(diǎn)為．若點(diǎn)，，，按逆時(shí)針?lè)较蚺帕袠?gòu)成菱形，其中，則把菱形稱(chēng)為點(diǎn)的“菱形”，把菱形邊上所有點(diǎn)都稱(chēng)為點(diǎn)的“菱點(diǎn)”．已知點(diǎn)．（1）在圖1中，用直尺和圓規(guī)作出點(diǎn)的“菱形”，并直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；（2）若點(diǎn)是點(diǎn)的“菱點(diǎn)”，求的值；（3）若一次函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)的“菱點(diǎn)”，直接寫(xiě)出的取值范圍．19．（2022?吳中區(qū)模擬）探究與應(yīng)用：在學(xué)習(xí)幾何時(shí)，我們可以通過(guò)分離和構(gòu)造基本圖形，將幾何“模塊”化．例如在相似三角形中，字形是非常重要的基本圖形，可以建立如下的“模塊”（如圖①（1）請(qǐng)就圖①證明上述“模塊”的合理性．已知：，求證：；（2）請(qǐng)直接利用上述“模塊”的結(jié)論解決下面兩個(gè)問(wèn)題：①如圖②，已知點(diǎn)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，若，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；②如圖③，過(guò)點(diǎn)作軸與軸的平行線，交直線于點(diǎn)、，求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)．20．（2022?雨花臺(tái)區(qū)校級(jí)模擬）閱讀并解答下列問(wèn)題；在學(xué)習(xí)完《中心對(duì)稱(chēng)圖形》一章后，老師給出了以下一個(gè)思考題：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，，連接，，，求最小值．【思考交流】小明：如圖2，先將點(diǎn)向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度到點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，將點(diǎn)向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，連接．．此時(shí)的最小值等于．小穎：如圖3，先將點(diǎn)向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度到點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接可以求解．小亮：對(duì)稱(chēng)和平移還可以有不同的組合．【嘗試解決】在圖2中，的最小值是．【靈活應(yīng)用】如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，，連接，，，則的最小值是，此時(shí)，并請(qǐng)?jiān)趫D5中用直尺和圓規(guī)作出最小時(shí)的位置（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）．【拓展提升】如圖6，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，是一次函數(shù)圖象上一點(diǎn)，與軸垂直且（點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)），連接，，，直接寫(xiě)出的最小值是，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)是．21．（2022?濱?？h校級(jí)三模）定義：若一個(gè)函數(shù)的圖象上存在橫、縱坐標(biāo)之和為零的點(diǎn)，則稱(chēng)該點(diǎn)為這個(gè)函數(shù)圖象的“好點(diǎn)”，例如，點(diǎn)是函數(shù)的圖象的“好點(diǎn)”．（1）在函數(shù)①，②，③的圖象上，存在“好點(diǎn)”的函數(shù)是（填序號(hào)）．（2）設(shè)函數(shù)與的圖象的“好點(diǎn)”分別為點(diǎn)、，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為．當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的值；（3）若將函數(shù)的圖象在直線下方的部分沿直線翻折，翻折后的部分與圖象的其余部分組成了一個(gè)新的圖象．當(dāng)該圖象上恰有3個(gè)“好點(diǎn)”時(shí)，求的值．22．（2022?宜興市校級(jí)一模）如圖（1），在平