2021高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)周測(cè)四

2020-2021第一學(xué)期東莞一中高三數(shù)學(xué)周測(cè)試卷(四)

2020.9.13

一、選擇題(本大題共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)

【復(fù)數(shù)】

1、已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=一l-2^z則z的共轎復(fù)數(shù)-z的虛部為()

i

A.-iB.1C.iD.-1

B

【注】注意(1)z還是凡(2)虛部不含人是實(shí)數(shù)。

【對(duì)數(shù)不等式的解】【絕對(duì)值不等式的解】

2.已知集合A={x|log2]<2},集合3={%￡r||X-1|<2,則()

A.(0,3)B.(-1,3)C.(0,4)D.(-8,3)

A

3.已知某市居民在2019年用于手機(jī)支付的個(gè)人消費(fèi)額自(單位：元)服從正態(tài)分布

M2OOQ1O02),,則該市某居民手機(jī)支付的消費(fèi)額在(1900,2200)內(nèi)的概率為()

附：隨機(jī)變量自服從正態(tài)分布N(3cy2),,則p(p-。<[<葉。)=0.6826,P(R-2

。<^<g+2o)=0.9544,P(p-3oV&Vp+3。)=0.9974.

A.0.9759B.0.84C.0.8185D.0.4772

C

4.設(shè)。=2°2,/?=5m2,。=1082。2則々,〃,。的大小關(guān)系正確的是()

A.a>b>cB.b>a>cC.b>0aD.c>a>h

A

[y-9x>0

5.己知函數(shù)/(x)=('一(e=2.71828-??為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)>,若/(x)

[xe\x<0

的零點(diǎn)為a,極值點(diǎn)為0,則a+p=()

A.-1B.0C.1D.2

C

6.已知四棱錐P-MC。的所有棱長(zhǎng)均相等，點(diǎn)￡,/分別在線段PAPC上，且

￡尸〃底面A3C。，則異面直線石廠與P3所成角的大小為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

D

22

7.在同一直角坐標(biāo)系下，已知雙曲線c：5—j=i（a>o,〃>o）的離心率為J5,

ab

yr

雙曲線。的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為2,函數(shù)y=sin（2x+—）的圖象向右平移

6

jr

一個(gè)單位后得到曲線D,點(diǎn)A,B分別在雙曲線C的下支和曲線D上，則線段AB長(zhǎng)

3

度的最小值為（）

A.2B.V3C.V2D.1

D

8.某單位舉行詩(shī)詞大會(huì)比賽，給每位參賽者設(shè)計(jì)了“保留題型”、“升級(jí)題型”、“創(chuàng)新

題型”三類題型，每類題型均指定一道題讓參賽者回答.已知某位參賽者答對(duì)每道題的

4

概率均為一，且各次答對(duì)與否相互獨(dú)立，則該參賽者答完三道題后至少答對(duì)兩道題的

5

概率（）

11280113124

A.---B.---C.---D.---

125125125125

A

9.在A48C中,￡>為邊BC上一點(diǎn),8O=2CDNAOB=120°,AO=2.若△AOC的面積為3-8,

則N8AC=()

A.30°B.60°C.45°D.150

B

10.設(shè)函數(shù)/(x)=e'(2x—1)—ax+a,其中a<1,若存在唯一的整數(shù)與，使得

/(%)<0,則。的取值范圍是()

D

(多選題)11.已知函數(shù)/(x)=sin?x+2j^sinxcosx—cos?w凡則()

A.-2</(X)<2B./(x)在區(qū)間(0,兀)上只有1個(gè)零點(diǎn)

7T

c./(x)的最小正周期為兀D.x=］為/(X)圖象的一條對(duì)稱軸

ACD

(多選題)12.已知數(shù)列｛q｝的前n項(xiàng)和為S“，6=1,S?+1=S“+2an+1,數(shù)列

2"

｝的前〃項(xiàng)和為7；,〃€N*,則下列選項(xiàng)正確的為()

A,數(shù)列｛4+1｝是等差數(shù)列B.數(shù)列｛4+1｝是等比數(shù)列

C.數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為a“=2"-1D.7；,<1

BCD

二、填空題(本題共4個(gè)小題。每小題5分，共20分，將答案填在答題卡的

相應(yīng)位置)

13.已知“GR,方程a2X1+(a+2)y2+4x+8y+5a-0表示圓，則圓心坐標(biāo)是

(—2,—4)

14.如右圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中,F是橢圓

v~v°b

—+^T=Ka>b>Q)的右焦點(diǎn)，直線y=一與橢圓交于B,C兩

a'b~2

點(diǎn)，且/8FC=90°,則該橢圓的離心率是.

V6

3

22

15.已知點(diǎn)P(4,2)是直線/被橢圓京+與=1所截得的線段的中點(diǎn)，則直線/的方程是

x+2y-8=0

16.2020年是中國(guó)傳統(tǒng)的農(nóng)歷“鼠年”，有人用3個(gè)圓構(gòu)成“卡通鼠”的形象，如圖:

Q(0,-3)是圓Q的圓心，圓Q過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O；點(diǎn)L、S均在x軸上，圓L與圓S的

半徑都等于2,圓S、圓L均與圓Q外切.已知直線/過(guò)點(diǎn)0.

(1)若直線/與圓L、圓S均相切，則/截圓Q所得弦長(zhǎng)為

(2)若直線/截圓L、圓S、圓Q所得弦長(zhǎng)均等于d,則“=

3.工

，5

三、解答題（本題共6小題，總分70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或

演算步驟）

17.（10分）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，等比數(shù)列｛勿｝的前幾項(xiàng)和為的.已知

4

々/I=2,S2=6,S3=12,7^=—,n^N

(1)求｛2｝,｛2｝的通項(xiàng)公式;

13

(2)是否存在正整數(shù)女，使得&<6左且7；>§?若存在，求出憶的值；若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

17解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為d,在等差數(shù)列｛〃〃｝中,

*.**52=6,$3=12,?'?。3=§3-$2=6,

又■:S2=ai+az=ci3~2d+〃3-d=12-3d=6,，d=2.

從而。1=的-2d=2,則斯=2+2(n-1)=2〃；-----------2分

由ci\h\=2,得bi=7]=1.

?.?2=6-A=J-1=/,設(shè)數(shù)列｛兒｝的公比為g,

?“=&=/，則％="（扔一】=（扔T；一一一一4分

（2）由（1）知，Sk==k（k+D，..........5分

：.Sk=k（Hl）<6k,整理得好-5%<0,解得0<Z<5.----------6分

311311

???晨=2一2x3右1>于即^^〈3'解得”>3-.......㈤分

存在正整數(shù)&=4,使得&V6k且底>洋-----------10分

18.（10分）在AABC中，仇c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,

2b1=32+c2-a2）（1-tanA）

（1）求角C；

(2)若°=2航，D為BC中點(diǎn)，在下列兩個(gè)條件中任選一個(gè)，求AD的長(zhǎng)度.

條件①：AABC的面積S=4且B>A；

條件②：cosB=2后

5

注：如果選擇兩個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

18.解：(1)2Z?2=(Z?2+C2-a2)(1-tanA).

/.2b2=2bccosA?(1-tanA).

:.b=c(cosA-sinA),-----------------]分

由正弦定理可得：sin8=sinC(cosA-sin/l),

sin(A+C)=sinCcosA-sinCsiivl,

/.sini4cosC=-sinCsinA#=O,----------------3分

AG(0,71)sinAw0-----------------4分

.\tanC=-I,解得C=苧-----------5分

(2)選擇條件②，cosB=萼，.?.sinBu恪.........一6分

sin>4=sin(B+C)=sinBcosC+cos^sinC=122,由正弦定理可得：a=

=2&.----------------8分

sinC

在LABD中，由余弦定理可得：AD2=AB2+BD2-2AB'BDcosB,

解得A￡>=熠.-----------10分

19.(14分)在如圖所示的四棱錐E-ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，4BCE

為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，AB=AE,點(diǎn)F,O分別為AB,BE的中點(diǎn)，

OF±AB,OF±OC

(1)證明：平面ABEJ_平面BCE；

(2)記OCDE的重心為G,求直線AG與平面ABCD所成角的正弦值

19.解：(1)證明：'：0為BE的中點(diǎn)，等邊△BCE中，OCLBE,

----------------1分

又：OC_LOF,OFCBE=O,OF,8Eu平面ABE,

.?.oci?平面ABE.---------------3分

：OCu平面BCE,平面ABEJ■平面BCE;----------------4分

（2）解：?:F,。為中點(diǎn)，AOF//AE,

又；二ZkABE是等腰直角三角形.

連接AO,AB=AE=V2,04=1.----------------5分

?：OA±BE,OAu平面ABE,平面ABEJ■平面BCE；平面ABED平面BCE=BE.

；.OAJ■平面BCE.----------------6分

以。為原點(diǎn)，以O(shè)E,OC,04為無(wú)軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.A

(0,0,1),

B(-1,0,0),C(0,V3,0),E(1,0,0),----------------7分

:四邊形ABC。為平行四邊形，設(shè)。(a,b,c),

'-"BC=AD^(1，V3,0)=(a,h,c-1),：.D(1,?1).----------------8

分

設(shè)平面ABC。的一個(gè)法向量為￡=(x,y,z),

./BA=(1,1>-BC=(1，V3,0)

；.x+z=0,x+>/3y=0,取幾=(V3,-1,V3).----------------10分

由C,E,D的坐標(biāo)可得ACED的重心G也,,AG=(3—.一)，

333333

----------------12分

一C.AC\2G

設(shè)直線4G與平面ABC。所成角為6,5!!]sin0=|cos<4G，n>\-一^J=——千云=

|H||T1G|Qx竽

20.（12分）某景區(qū)有A,8兩個(gè)出入口，在景區(qū)游客中隨機(jī)選取了100人作為樣本進(jìn)行

調(diào)查，調(diào)查結(jié)果顯示從A出入口進(jìn)入景區(qū)的有55人，從B出入口進(jìn)入景區(qū)的有45人，

（1）從上述樣本中選取2人，求兩人恰好從不同出入口進(jìn)入景區(qū)的概率；

（2）為了給游客提供更舒適的旅游體驗(yàn)，景區(qū)計(jì)劃在今年國(guó)慶節(jié)當(dāng)日投入1到3列往

返兩個(gè)景區(qū)出入口的通勤小火車，根據(jù)過(guò)去5年的數(shù)據(jù)資料顯示，每年國(guó)慶節(jié)當(dāng)日客流

量X（單位：萬(wàn)人）的頻數(shù)表如下：______________

國(guó)慶節(jié)當(dāng)日客流量1<X<33<X<5X>5

X

頻數(shù)122

以這5年的數(shù)據(jù)資料記錄的3個(gè)區(qū)間客流量的頻率作為每年客流量在該區(qū)間發(fā)

生的概率，且每年國(guó)慶節(jié)當(dāng)日客流量相互獨(dú)立.已知國(guó)慶節(jié)當(dāng)日小火車的使用量（單

位：歹U）受當(dāng)日客流量X（單位：萬(wàn)人）的影響，其關(guān)系如下表：

國(guó)慶節(jié)當(dāng)日客流量

1<X<33<X<5X>5

X

小火車的使用量123

若某列小火車在國(guó)慶節(jié)當(dāng)日投入且被使用，則景區(qū)當(dāng)日可獲得利潤(rùn)3萬(wàn)元；若

某列小火車在國(guó)慶節(jié)當(dāng)日投入?yún)s未被使用，則景區(qū)當(dāng)日虧損0.5萬(wàn)元；記卜（單位：

萬(wàn)元）表示該景區(qū)在國(guó)慶節(jié)當(dāng)日獲得的總利潤(rùn)，則該景區(qū)在今年國(guó)慶節(jié)當(dāng)日應(yīng)投入

多少列小火車才能使獲得利潤(rùn)的期望最大？

20.解：（1）記“兩人恰好從不同出入口進(jìn)入景區(qū)”為事件A,

c1c'1

貝1JP(A)=*-?2分

Co2

所以兩人恰好從不同出入口進(jìn)入景區(qū)的概率為L(zhǎng)

2

--------------------3分

（2）①當(dāng)投入1列小火車時(shí)，￡（匕）=3（萬(wàn)元）.-...........-4分

②當(dāng)投入2列小火車時(shí)，

（5^1

若l〈Xv3,則匕=3—0.5=,此時(shí)P\Y2=—=<X<3）=—；

\5

--------------------5分

4

若XN3,則^=3x2=（,此時(shí)尸（,=6）=彳3WX。+pX澤9；

------------------6分

此時(shí)匕的分布列如下表:

Y22.56

j_4

p

5I

,、14

所以￡（^）=2.5x-+6x-=5.3（萬(wàn)元）

----------------7分

③當(dāng)投入3列小火車時(shí)，

若1WX<3,貝I」毛=3—1=,止匕時(shí)P（3修2）=（PI<N&g；

------------------8分

2

若3WX<5,則八=3x2—0.5=5,此時(shí)P（4=5.$=/（3<X<）5?；

------------------9分

2

若X>5,則匕=3x3,此時(shí)P（X=9）=P（XN5）=W；

------------------10分

此時(shí)匕的分布列如下表：

25.59

\_22

P

5I~5

12

所

以

元

+X+X-5萬(wàn)

5-§-5-

------------------11分

由于6.2>5.3>3,則景區(qū)在今年國(guó)慶節(jié)當(dāng)日應(yīng)投入3列小火車使獲得利潤(rùn)的期望最

大.-——12分

21.（14分）己知橢圓:■+為=l（a>b>0）的離心率e=1?，左、右焦點(diǎn)分別為

且尸2與拋物線J=4x的焦點(diǎn)重合.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若過(guò)F,的直線交橢圓于B,D兩點(diǎn)，過(guò)F2的直線交橢圓于A,C兩點(diǎn)，且4c_L8￡),求

|AC|+|8O|的最小值.

21.解⑴?.?拋物線J=4x的焦點(diǎn)為(l,O);.c=l-------------1分

???芍=；=梟。=后方=2...........一2分

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為J+[=1-------------3分

(2)(i)當(dāng)直線BD的斜率k存在且原0時(shí)，直線BD的方程為

y=《x+l),-------------4分

代入橢圓方程y+=1,并化簡(jiǎn)得

(32+2*+63+3必-6=0.-------------5分

設(shè)3(尤1,〉1),￡)(》2,"),則X]+X2=--^--,XIX2=-2--,-------------6分

SKI乙SKI乙

\BD\=Vl+k2*4-|為-對(duì)=J(1+肥>[(-1+%2)2?4%1-21=

_____________8分

3d+2

4V5弓+1)逐

易知AC的斜率為所以|AC|=一中——=4-------------10分

k3x4+22d+3

r

,2

所以\AC\+\BD\=4V3(F+l)(T—+T—)

20煩Y+l)>

3r+22/+3(3必+2)(2/+3)-

2

20vg(Y9+1)

22

(3d+2)+(2k'+3)

2

?2

_20V3(r+l)16V3

=2~~

25(/+l)

4

當(dāng)產(chǎn)=1,即k=±l時(shí)，上式取等號(hào)，故\AC\+\BD\的最小值為

16V3

~5~,12分

(ii)當(dāng)直線BD的斜率不存在或等于零時(shí)，易得HC|+|8D|=￥>

16V3

I-,13分

16V3

綜上,|AC|+|8O|的最小值為14分

51

22.(10分)已知函數(shù)/(x)=3—2/+lnx,其中。為常數(shù).

a

⑴若a=1,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若函數(shù)_/(x)在區(qū)間［1,2］上為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍.

22.解：⑴若。=1,則/(x)=3x—2/+lnx的定義域?yàn)?0,+8)-----------1分

—

/■/、1Ar—4x~+3x+1(4x+l)(x1),c、c八

/(x)=——4x+3=-------------=------------(x>0)----------2分

XXX

當(dāng)xw(0,l)時(shí),/'(x)>0;-----------3分

當(dāng)xe(1,+8)時(shí),f(x)<0.-----------4分

故函數(shù)/(幻的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+8)----------5分

01

(2)f(x)=--4x+-,----------------5分

若函數(shù)寅尤)在區(qū)間［1,2］上為單調(diào)函數(shù)，

即在［1,2］上/(x)=或/(x)=--4x+-<0,

axax

即|-4x+：，0或?-4x+g<0在［1,2］上恒成立，---------------6分

即之244工或。<4龍士--------------7分

axax

令力(?=4￥-：,因?yàn)楹瘮?shù)〃(x)在［1,2］上單調(diào)遞增，

所以注網(wǎng)2)或衿以1),即|瀉或衿3,

解得a<0或或a2L---------------9分

所以a的取值范圍是(@,0)U(O,|］U［1,+oo).--------------10分

2020-2021第一學(xué)期東莞一中高三數(shù)學(xué)周測(cè)試卷（四）參

考答案

一、選擇題：1-5BACAC6-10DDABD11.ACD12.BCD

二、填空題：13.（-2,-4）14.七15.x+2y-8=016.3,y

三、解答題：

17解：（1）設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為4,在等差數(shù)列｛&｝中，

：$2=6,$3=12,43=$3-$2=6,

又?.?S2=〃I+〃2=〃3-2〃+的-d=12-3d=6,：?d=2.

從而ai=ci3-2d=2,則為=2+2(n-1)=2〃；-----------2分

由。向=2,得Z?]=T]=1.

:壇=72—71=I—1=設(shè)數(shù)列｛4?｝的公比為4，

?"=&=全則垢=1x(扔T=(扔T;一一一一4分

k(ailafc)

(2)由(1)知，Sk=2-=k(k+1),......................-5分

：.Sk=k(Hl)<6k,整理得好-5%<0,解得0VZV5.-----------------6分

311311

六般=2一反尹＞百，即衿＜3,解得4＞3.......................J

，存在正整數(shù)&=4,使得&V6k且葭>洋-----------10分

18.解：(1)2Z?2=(Z?2+C2-a2)(1-tanA).

/.2/?2=2hccosA?(1-tanA).

:?b=c(cosA-sinA),-----------------1分

由正弦定理可得：sinB=sinC(cosA-sinA),

sin(A+C)=sinCcosA-sinCsinA,

AsinAcosC=-sinCsinA#=0,----------------3分

?.?Ae(0,7i)sinAw0-----------------4分

AtanC=-I,解得C=苧.------------5分

(2)選擇條件②，cosB=AsinB=2^.-----------6分

*.*sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2^^,由正弦定理可得：a=

^^=2V2.-----------8分

sine

在△A3。中，由余弦定理可得：AD2=AB2+BD2-2AB*BDcosB,

解得">=而.-----------10分

19.解:(1)證明："：0為BE的中點(diǎn),；.等邊ABCE中，OC±BE,----------1

分

又；OC_LO尸，OFDBE=O,OF,BEu平面ABE,

.?.OCJ■平面A8E.----------3分

,?OCu平面BCE,，平面ABEJ■平面BCE;-----------4分

(2)解：-：F,。為中點(diǎn)，AOF//AE,

又-/OF±AB：.AE±AB.：.XABE是等腰直角三角形.

連接AO,AB=AE=V2,OA=\.----------5分

?：OA±BE,OAu平面ABE,平面AB￡_L平面BCE；平面ABED平面BCE=BE.

；.OA1?平面8CE.----------6分

以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)E,OC,為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.A

(0,0,1),

B(-1,0,0),C(0,值0),E(1,0,0),-----------7分

?.?四邊形A8CD為平行四邊形，設(shè)。(a,b,c),

'-"BC=AD>(1，V3,0)=(a,b,c-1),：.D(1,6，1).----------8

分

設(shè)平面ABC。的一個(gè)法向量為￡=(x,%z),

..BA=(1，°>1)，BC=(1，V3,0)

：.x+z=0,x+V3y=0,取％=(V3,-1,V3).-----------10分

由C,E,。的坐標(biāo)可得△€1￡￡>的重心G也,,AG=.-I),

333333

12分

逗

設(shè)直線4G與平面A3C。所成角為仇則sin8=|cos〈4G，n>\=

\n\-\AG\"x等

2^.----14分

20.解：（1）記“兩人恰好從不同出入口進(jìn)入景區(qū)”為事件A,

4以=1

則P(A)?2分

/2

所以兩人恰好從不同出入口進(jìn)入景區(qū)的概率為L(zhǎng)

2

-------------3分

（2）①當(dāng)投入1列小火車時(shí)，E（X）=3（萬(wàn)元）.-------------4分

②當(dāng)投入2列小火車時(shí)，

若1MX<3,則乙=3—0.5=,此時(shí)P（%=g[=P（lWX<3）=；；

-------------5分

4

若XN3,則X=3x2=（,此時(shí)尸（￥=6）=43?X<X^

------------6分

此時(shí)天的分布列如下表：

2.56

14

P

5

14

所以E（｝；）=2.5x-+6x-=5.3（萬(wàn)元）

-----------7分

③當(dāng)投入3列小火車時(shí)，

若1VX<3,則匕=3-1=，此時(shí)P（戶2）=（門<勾3：；

8分

2

若3WXv5,則X=3x2—0.5=5,此時(shí)P（4=5.$=?3<X<）5?；

-------------9分

2

若X>5,則公=3x3,此時(shí)P（4=9）=P（X25）=y；

.............10分

此時(shí)匕的分布列如下表:

匕25.59

122

P———

555

所以E（X）=2x：+x§-+1-=5（萬(wàn)元）

-------------11分

由于6.2>5.3>3,則景區(qū)在今年國(guó)慶節(jié)當(dāng)日應(yīng)投入3列小火車使獲得利潤(rùn)的期望最

大「一-12分

21.解(I);拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為(l,0);.c=l.............1分

.?飛奇=合受。=8，/=2-------------2分

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為3+1=1-------------3分

（2）（i）當(dāng)直線BD的斜率k存在且胖。時(shí)，直線BD的方程為

y=k（x+l）,-------------4分

代入橢圓方程y+=1,并化簡(jiǎn)得

（3好+2）/+6&+3e6=0.-------------5分

z-?2?