高一數(shù)學(xué)充分條件與必要條件經(jīng)典例題

例1已知p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的兩根，q：x1＋x2＝－5，則p是q的[]A．充分但不必要條件 B．必要但不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件分析利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)換．解∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的兩根，∴x1，x2的值分別為1，－6，∴x1＋x2＝1－6＝－5．因此選A．說明：判斷命題為假命題可以通過舉反例．例2p是q的充要條件的是[]A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5B．p：a＞2，b＜2，q：a＞bC．p：四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直平分，q：四邊形是正方形D．p：a≠0，q：關(guān)于x的方程ax＝1有惟一解分析逐個(gè)驗(yàn)證命題是否等價(jià)．解對(duì)A．p：x＞1，q：x＜1，所以，p是q的既不充分也不必要條件；對(duì)B．pq但qp，p是q的充分非必要條件；對(duì)C．pq且qp，p是q的必要非充分條件；說明：當(dāng)a＝0時(shí)，ax＝0有無數(shù)個(gè)解．例3若A是B成立的充分條件，D是C成立的必要條件，C是B成立的充要條件，則D是A成立的[]A．充分條件 B．必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件分析通過B、C作為橋梁聯(lián)系A(chǔ)、D．解∵A是B的充分條件，∴AB①∵D是C成立的必要條件，∴CD②由①③得AC④由②④得AD．∴D是A成立的必要條件．選B．說明：要注意利用推出符號(hào)的傳遞性．例4設(shè)命題甲為：0＜x＜5，命題乙為|x－2|＜3，那么甲是乙的[]A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件分析先解不等式再判定．解解不等式|x－2|＜3得－1＜x＜5．∵0＜x＜5－1＜x＜5，但－1＜x＜50＜x＜5∴甲是乙的充分不必要條件，選A．說明：一般情況下，如果條件甲為x∈A，條件乙為x∈B．當(dāng)且僅當(dāng)A＝B時(shí)，甲為乙的充要條件．例5設(shè)A、B、C三個(gè)集合，為使A(B∪C)，條件AB是[]A．充分條件 B．必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件分析可以結(jié)合圖形分析．請(qǐng)同學(xué)們自己畫圖．∴A(B∪C)．但是，當(dāng)B＝N，C＝R，A＝Z時(shí)，顯然A(B∪C)，但AB不成立，綜上所述：“AB”“A(B∪C)”，而“A(B∪C)”“AB”．即“AB”是“A(B∪C)”的充分條件(不必要)．選A．說明：畫圖分析時(shí)要畫一般形式的圖，特殊形式的圖會(huì)掩蓋真實(shí)情況．例6給出下列各組條件：(1)p：ab＝0，q：a2＋b2＝0；(2)p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|；(3)p：m＞0，q：方程x2－x－m＝0有實(shí)根；(4)p：|x－1|＞2，q：x＜－1．其中p是q的充要條件的有[]A．1組 B．2組C．3組 D．4組分析使用方程理論和不等式性質(zhì)．解(1)p是q的必要條件(2)p是q充要條件(3)p是q的充分條件(4)p是q的必要條件．選A．說明：ab＝0指其中至少有一個(gè)為零，而a2＋b2＝0指兩個(gè)都為零．分析將前后兩個(gè)不等式組分別作等價(jià)變形，觀察兩者之間的關(guān)系．例8已知真命題“a≥bc＞d”和“a＜be≤f”，則“c≤d”是“e≤f”的________條件．分析∵a≥bc＞d(原命題)，∴c≤da＜b(逆否命題)．而a＜be≤f，∴c≤de≤f即c≤d是e≤f的充分條件．答填寫“充分”．說明：充分利用原命題與其逆否命題的等價(jià)性是常見的思想方法．例9ax2＋2x＋1＝0至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是[]A．0＜a≤1 B．a(chǎn)＜1C．a(chǎn)≤1 D．0＜a≤1或a＜0分析此題若采用普通方法推導(dǎo)較為復(fù)雜，可通過選項(xiàng)提供的信息，用排除法解之．當(dāng)a＝1時(shí)，方程有負(fù)根x＝－1，當(dāng)a＝0時(shí)，x＝當(dāng)a≠0時(shí)綜上所述a≤1．即ax2＋2x＋1＝0至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是a≤1．說明：特殊值法、排除法都是解選擇題的好方法．例10已知p、q都是r的必要條件，s是r的充分條件，q是s的充分條件，那么s，r，p分別是q的什么條件？分析畫出關(guān)系圖1－21，觀察求解．解s是q的充要條件；(srq，qs)r是q的充要條件；(rq，qsr)p是q的必要條件；(qsrp)說明：圖可以畫的隨意一些，關(guān)鍵要體現(xiàn)各個(gè)條件、命題之間的邏輯關(guān)系．例11關(guān)于x的不等式分析化簡A和B，結(jié)合數(shù)軸，構(gòu)造不等式(組)，求出a．解A＝{x|2a≤x≤a2＋1}，B＝{x|(x－2)[x－(3a＋1)]≤0}B＝{x|2≤x≤3a＋1}．B＝{x|3a＋1≤x≤2}說明：集合的包含關(guān)系、命題的真假往往與解不等式密切相關(guān)．在解題時(shí)要理清思路，表達(dá)準(zhǔn)確，推理無誤．要條件？分析將充要條件和不等式同解變形相聯(lián)系．說明：分類討論要做到不重不漏．例13設(shè)α，β是方程x2－ax＋b＝0的兩個(gè)實(shí)根，試分析a＞2且b＞1是兩根α，β均大于1的什么條件？分析把充要條件和方程中根與系數(shù)的關(guān)系問題相聯(lián)系，解題時(shí)需∴qp．上述討論可知：a＞2，b＞1是α＞1，β＞1的必要但不充分條件．說明：本題中的討論內(nèi)容在二次方程的根的分布理論中常被使用．例14(1991年全國高考題)設(shè)甲、乙、丙是三個(gè)命題，如果甲是乙的必要條件，丙是乙的充分條件，但不是乙的必要條件，那么[]A．丙是甲的充分條件，但不是甲的必要條件B．丙是甲的必要條件，但不是甲的充分條件C．丙是甲的充要條件D．丙不是甲的充分條件，也不是甲的必要條件分析1：由丙乙甲且乙丙，即丙