2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)課時(shí)分層作業(yè)13用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征含解析新人教B版必修

PAGE課時(shí)分層作業(yè)(十三)用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征(建議用時(shí)：60分鐘)[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．某學(xué)習(xí)小組在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，則該小組成績(jī)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)分別是()A．85,85,85 B．87,85,86C．87,85,85 D．87,85,90C[平均分為eq\f(1,10)(100＋95＋90×2＋85×4＋80＋75)＝87.由眾數(shù)的定義可知眾數(shù)為85，中位數(shù)為85.]2．如圖是某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員每場(chǎng)比賽得分的莖葉圖，甲、乙兩人這幾場(chǎng)比賽得分的平均數(shù)分別為eq\x\to(x)甲，eq\x\to(x)乙；標(biāo)準(zhǔn)差分別是s甲，s乙，則有()A.eq\x\to(x)甲＞eq\x\to(x)乙，s甲＞s乙B.eq\x\to(x)甲＞eq\x\to(x)乙，s甲＜s乙C.eq\x\to(x)甲＜eq\x\to(x)乙，s甲＞s乙 D．eq\x\to(x)甲＜eq\x\to(x)乙，s甲＜s乙C[觀察莖葉圖可大致比較出平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的大小關(guān)系，或者通過(guò)公式計(jì)算比較．]3．已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5的平均數(shù)是eq\x\to(x)＝2，方差是eq\f(1,3)，那么另一組數(shù)據(jù)3x1－2,3x2－2,3x3－2,3x4－2,3x5－2的平均數(shù)和方差分別為()A．2，eq\f(1,3) B．2,1C．4，eq\f(1,3) D．4,3D[平均數(shù)為eq\x\to(x′)＝3eq\x\to(x)－2＝3×2－2＝4，方差為s′2＝9s2＝9×eq\f(1,3)＝3.]4．有一筆統(tǒng)計(jì)資料，共有11個(gè)數(shù)據(jù)如下(不完全以大小排列)：2,4,4,5,5,6,7,8,9,11，x，已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6，則這組數(shù)據(jù)的方差為()A．6 B.eq\r(6)C．66 D．6.5A[∵eq\x\to(x)＝eq\f(1,11)(2＋4＋4＋5＋5＋6＋7＋8＋9＋11＋x)＝eq\f(1,11)(61＋x)＝6，∴x＝5.方差為：s2＝eq\f(42＋22＋22＋12＋12＋02＋12＋22＋32＋52＋12,11)＝eq\f(66,11)＝6.]5．設(shè)矩形的長(zhǎng)為a，寬為b，其比滿(mǎn)足b∶a＝eq\f(\r(5)－1,2)≈0.618，這種矩形給人以美感，稱(chēng)為黃金矩形．黃金矩形常應(yīng)用于工藝品設(shè)計(jì)中，下面是某工藝品廠(chǎng)隨機(jī)抽取兩個(gè)批次的初加工矩形寬度與長(zhǎng)度的比值樣本：甲批次：0.5980.6250.6280.5950.639乙批次：0.6180.6130.5920.6220.620根據(jù)上述兩個(gè)樣本來(lái)估計(jì)兩個(gè)批次的總體平均數(shù)，與標(biāo)準(zhǔn)值0.618比較，正確結(jié)論是()A．甲批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值更接近B．乙批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值更接近C．兩個(gè)批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值接近程度相同D．兩個(gè)批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值接近程度不能確定A[eq\x\to(x)甲＝eq\f(0.598＋0.625＋0.628＋0.595＋0.639,5)＝0.617，eq\x\to(x)乙＝eq\f(0.618＋0.613＋0.592＋0.622＋0.620,5)＝0.613，∴eq\x\to(x)甲與0.618更接近．]二、填空題6．一個(gè)樣本數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為：13,14,19，x,23,27,28,31，中位數(shù)為22，則x＝________.21[由題意知eq\f(x＋23,2)＝22，則x＝21.]7．甲、乙兩位同學(xué)某學(xué)科的連續(xù)五次考試成績(jī)用莖葉圖表示如圖所示，則平均分?jǐn)?shù)較高的是____________，成績(jī)較為穩(wěn)定的是________．甲甲[eq\x\to(x)甲＝70，eq\x\to(x)乙＝68，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)×(22＋12＋12＋22)＝2，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)×(52＋12＋12＋32)＝7.2.]8．某鞋店試銷(xiāo)一種新女鞋，銷(xiāo)售情況如下表：鞋號(hào)3435363738394041數(shù)量/雙259169532如果你是鞋店經(jīng)理，那么下列統(tǒng)計(jì)量中對(duì)你來(lái)說(shuō)最重要的是________．①平均數(shù)；②眾數(shù)；③中位數(shù)；④方差．②[鞋店經(jīng)理最關(guān)心的是哪種鞋號(hào)的鞋銷(xiāo)量最大，即數(shù)據(jù)的眾數(shù)．由表可知，鞋號(hào)為37的鞋銷(xiāo)量最大，共銷(xiāo)售了16雙，所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為37.]三、解答題9．從高三抽出50名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，由成績(jī)得到如圖的頻率分布直方圖．由于一些數(shù)據(jù)丟失，試?yán)妙l率分布直方圖求：(1)這50名學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)與中位數(shù)；(2)這50名學(xué)生的平均成績(jī)．[解](1)由眾數(shù)的概念可知，眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．在直方圖中高度最高的小長(zhǎng)方形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為所求，所以眾數(shù)應(yīng)為75.由于中位數(shù)是所有數(shù)據(jù)中的中間值，故在頻率分布直方圖中體現(xiàn)的是中位數(shù)的左右兩邊頻數(shù)應(yīng)相等，即頻率也相等，從而就是小矩形的面積和相等．因此在頻率分布直方圖中將所有小矩形的面積一分為二的垂直于橫軸的直線(xiàn)與橫軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)所對(duì)應(yīng)的成績(jī)即為所求．∵0.004×10＋0.006×10＋0.020×10＝0.04＋0.06＋0.20＝0.30，∴前三個(gè)小矩形面積的和為0.3.而第四個(gè)小矩形面積為0.030×10＝0.30,0.3＋0.3＞0.5，∴中位數(shù)應(yīng)位于第四個(gè)小矩形內(nèi)．設(shè)其底邊為x，高為0.03，∴令0.03x＝0.2得x≈6.7，故中位數(shù)應(yīng)約為70＋6.7＝76.7.(2)樣本平均值應(yīng)是頻率分布直方圖的“重心”，即所有數(shù)據(jù)的平均值，取每個(gè)小矩形底邊的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)乘以每個(gè)小矩形的面積求和即可．∴平均成績(jī)?yōu)?5×(0.004×10)＋55×(0.006×10)＋65×(0.020×10)＋75×(0.030×10)＋85×(0.021×10)＋95×(0.016×10)＝73.65.10．對(duì)甲、乙兩名自行車(chē)賽手在相同條件下進(jìn)行了6次測(cè)試，測(cè)得他們的最大速度(單位：m/s)的數(shù)據(jù)如下：甲273830373531乙332938342836(1)畫(huà)出莖葉圖，由莖葉圖你能獲得哪些信息？(2)分別求出甲、乙兩名自行車(chē)賽手最大速度(m/s)數(shù)據(jù)的平均數(shù)、極差、方差，并判斷選誰(shuí)參加比賽比較合適？[解](1)畫(huà)莖葉圖如下：中間數(shù)為數(shù)據(jù)的十位數(shù)．從莖葉圖上看，甲、乙的得分情況都是分布均勻的，只是乙更好一些．乙發(fā)揮比較穩(wěn)定，總體情況比甲好．(2)eq\x\to(x)甲＝eq\f(27＋38＋30＋37＋35＋31,6)＝33.eq\x\to(x)乙＝eq\f(33＋29＋38＋34＋28＋36,6)＝33.seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－33)2＋(31－33)2]≈15.67.seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,6)[(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28－33)2＋(36－33)2]≈12.67.甲的極差為11，乙的極差為10.綜合比較以上數(shù)據(jù)可知，選乙參加比賽較合適．[等級(jí)過(guò)關(guān)練]1．甲乙兩名學(xué)生六次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)(百分制)如圖所示．①甲同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)大于乙同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)；②甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)高；③甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)低；④甲同學(xué)成績(jī)的方差小于乙同學(xué)成績(jī)的方差．以上說(shuō)法正確的是()A．③④ B．①②④C．②④ D．①③A[甲的中位數(shù)為81，乙的中位數(shù)為87.5，故①錯(cuò)，排除B、D；甲的平均分eq\x\to(x)＝eq\f(1,6)(76＋72＋80＋82＋86＋90)＝81，乙的平均分eq\x\to(x)′＝eq\f(1,6)(69＋78＋87＋88＋92＋96)＝85，故②錯(cuò)，③對(duì)，排除C，故選A.]2．16位參加百米半決賽同學(xué)的成績(jī)各不相同，按成績(jī)?nèi)∏?位進(jìn)入決賽．如果小劉知道了自己的成績(jī)后，要判斷能否進(jìn)入決賽，則其他15位同學(xué)成績(jī)的下列數(shù)據(jù)中，能使他得出結(jié)論的是()A．平均數(shù) B．眾數(shù)C．中位數(shù) D．方差C[判斷是不是能進(jìn)入決賽，只要判斷是不是前8位，所以只要知道其他15位同學(xué)的成績(jī)中是不是有8位高于他，也就是把其他15位同學(xué)的成績(jī)排列后看第8位的成績(jī)即可，小劉的成績(jī)高于這個(gè)成績(jī)就能進(jìn)入決賽，低于這個(gè)成績(jī)就不能進(jìn)入決賽，第8位的成績(jī)就是這15位同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)．]3．將某選手的9個(gè)得分去掉1個(gè)最高分，去掉1個(gè)最低分，7個(gè)剩余分?jǐn)?shù)的平均分為91，現(xiàn)場(chǎng)作的9個(gè)分?jǐn)?shù)的莖葉圖后來(lái)有1個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無(wú)法辨認(rèn)，在圖中以x表示：eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(8,9))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(77,4010x91))則7個(gè)剩余分?jǐn)?shù)的方差為_(kāi)_______．eq\f(36,7)[根據(jù)莖葉圖，去掉1個(gè)最低分87,1個(gè)最高分99，則eq\f(1,7)×[87＋94＋90＋91＋90＋(90＋x)＋91]＝91，∴x＝4，∴s2＝eq\f(1,7)×[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝eq\f(36,7).]4．若40個(gè)數(shù)據(jù)的平方和是56，平均數(shù)是eq\f(\r(2),2)，則這組數(shù)據(jù)的方差是________，標(biāo)準(zhǔn)差是________．0.9eq\f(3\r(10),10)[設(shè)這40個(gè)數(shù)據(jù)為xi(i＝1,2，…，40)，平均數(shù)為eq\x\to(x).則s2＝eq\f(1,40)×[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(x40－eq\x\to(x))2]＝eq\f(1,40)[xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,40)＋40eq\x\to(x)2－2eq\x\to(x)(x1＋x2＋…＋x40)]＝eq\f(1,40)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(56＋40×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2－2×\f(\r(2),2)×40×\f(\r(2),2)))＝eq\f(1,40)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(56－40×\f(1,2)))＝0.9，∴s＝eq\r(0.9)＝eq\r(\f(9,10))＝eq\f(3\r(10),10).]5．某地區(qū)100位居民的人均月用水量(單位：t)的分組及各組的頻數(shù)如下：[0,0.5)，4；[0.5,1)，8；[1,1.5)，15；[1.5,2)，22；[2，2.5)，25；[2.5,3)，14；[3,3.5)，6；[3.5,4)，4；[4,4.5]，2.(1)列出樣本的頻率分布表；(2)畫(huà)出頻率分布直方圖，并根據(jù)直方圖估計(jì)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)；(3)當(dāng)?shù)卣贫巳司掠盟繛?t的標(biāo)準(zhǔn)，若超出標(biāo)準(zhǔn)加倍收費(fèi)，當(dāng)?shù)卣f(shuō)，85%以上的居民不超過(guò)這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，這個(gè)解釋對(duì)嗎？為什么？[解](1)頻率分布表分