3.3導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值最值課件高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第三節(jié)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值?1.借助函數(shù)的圖象，了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件.2.能利用導(dǎo)數(shù)求某些函數(shù)的極大值、極小值以及給定閉區(qū)間上不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的最大值、最小值.3.體會(huì)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、極值、最大（小）值的關(guān)系.CONTENTS010203/目錄

知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)考點(diǎn)·分類突破課時(shí)·過關(guān)檢測(cè)01?1.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)條件f'（x0）＝0x0附近的左側(cè)f'（x）

＞

?0，右側(cè)f'（x）

＜

?0x0附近的左側(cè)f'（x）

＜

?0，右側(cè)f'（x）

＞

?0＞

＜

＜

＞

圖象?形如山峰?形如山谷極值f（x0）為極

大

?值f（x0）為極

小

?值極值點(diǎn)x0為極

大

?值點(diǎn)x0為極

小

?值點(diǎn)大

小

大

小

提醒

f'（x0）＝0是x0為可導(dǎo)函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)的必要不充分條件.如：f（x）＝x3，f'（0）＝0，但x＝0不是極值點(diǎn).2.函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)（1）如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f（x）的圖象是一條

連續(xù)不斷

?的曲線，那么它必有最大值和最小值；（2）若函數(shù)f（x）在[a，b]上單調(diào)遞增，則f（a）為函數(shù)的

最小值

?，f（b）為函數(shù)的

最大值

?；若函數(shù)f（x）在[a，b]上單調(diào)遞減，則f（a）為函數(shù)的

最大值

?，f（b）為函數(shù)的

最小值

?.連續(xù)不斷

最小值

最大值

最大值

最小值

?1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）（1）函數(shù)的極大值不一定比極小值大.

（

）答案：（1）√

（2）閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有最值.

（

）（3）函數(shù)的極大值一定是函數(shù)的最大值.

（

）答案：（2）√

答案：（3）×

（4）開區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無最值.

（

）答案：（4）√

（5）設(shè)函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有極值，那么y＝f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)不單調(diào).

（

）答案：（5）√2.（多選）已知函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)函數(shù)f'（x）的圖象如圖所示，則下列判斷正確的是

（

）A.函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增B.當(dāng)x＝－2時(shí)，函數(shù)y＝f（x）取得極小值C.函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（－2，2）上單調(diào)遞增D.當(dāng)x＝3時(shí)，函數(shù)y＝f（x）有極小值

A.－1B.－C.D.1

4.函數(shù)

g（x）＝－x2的極值點(diǎn)是

?，函數(shù)f（x）＝（x－1）3的極值點(diǎn)

?（填“存在”或“不存在”）.

解析：結(jié)合函數(shù)圖象可知g（x）＝－x2的極值點(diǎn)是x＝0.因?yàn)閒'（x）＝3（x－1）2≥0，所以f'（x）＝0無變號(hào)零點(diǎn)，故函數(shù)f（x）＝（x－1）3不存在極值點(diǎn).答案：x＝0

不存在5.（2023·安陽(yáng)一模）函數(shù)f（x）＝x3－3x2＋1的極小值為

?.

解析：f'（x）＝3x2－6x，令f'（x）＝3x2－6x＝0，得x1＝0，x2＝2.易知當(dāng)x∈（－∞，0）時(shí)，f'（x）＞0；當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)x∈（2，＋∞）時(shí)，f'（x）＞0.故f（x）在x＝2處取得極小值f（2）＝8－12＋1＝－3.答案：－3?1.若函數(shù)f（x）在（a，b）上是單調(diào)函數(shù)，則f（x）在（a，b）上無極值.2.若函數(shù)f（x）在[a，b]上是單調(diào)函數(shù)，則f（x）一定在區(qū)間端點(diǎn)處取得最值.3.若函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則該極值點(diǎn)一定是函數(shù)相應(yīng)的最值點(diǎn).?

A.0B.1C.2D.無數(shù)

答案：e

02?函數(shù)的極值問題考向1

由圖象判斷函數(shù)的極值【例1】

設(shè)函數(shù)f（x）在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f'（x），且函數(shù)y＝（x－1）f'（x）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是

（

）A.函數(shù)f（x）有極大值f（－3）和f（3）B.函數(shù)f（x）有極小值f（－3）和f（3）C.函數(shù)f（x）有極小值f（3）和極大值f（－3）D.函數(shù)f（x）有極小值f（－3）和極大值f（3）解析

結(jié)合題目所給圖象進(jìn)行分段分析，當(dāng)x＜－3時(shí)，x－1＜0，得f'（x）＜0；當(dāng)－3＜x＜1時(shí)，x－1＜0，得f'（x）＞0；當(dāng)1＜x＜3時(shí)，x－1＞0，得f'（x）＞0；當(dāng)x＞3時(shí)，x－1＞0，得f'（x）＜0.根據(jù)極值點(diǎn)的定義可知，當(dāng)x＝－3時(shí)，f（x）取得極小值f（－3），當(dāng)x＝3時(shí)，f（x）取得極大值f（3），x＝1的左右兩邊導(dǎo)函數(shù)值都大于零，因此不是原函數(shù)的極值點(diǎn)，故選D.答案

D｜解題技法｜

由圖象判斷函數(shù)y＝f（x）的極值，要抓住兩點(diǎn)：（1）由y＝f'（x）的圖象與x軸的交點(diǎn)，可得函數(shù)y＝f（x）的可能極值點(diǎn)；（2）由導(dǎo)函數(shù)y＝f'（x）的圖象可以看出y＝f'（x）的值的正負(fù)，從而可得函數(shù)y＝f（x）的單調(diào)性.兩者結(jié)合可得極值點(diǎn).考向2

求函數(shù)的極值（極值點(diǎn)）【例2】

已知函數(shù)f（x）＝lnx－ax（a∈R）.

x（0，2）2（2，＋∞）f'（x）＋0－f（x）↗ln

2－1↘故f（x）在定義域上的極大值為f（2）＝ln

2－1，無極小值.（2）討論函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

｜解題技法｜利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值（極值點(diǎn)）的一般流程考向3

已知函數(shù)的極值求參數(shù)【例3】

（1）（2023·南寧模擬）函數(shù)f（x）＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處取得極值10，則a＋b＝

（

）A.－7B.0C.－7或0D.－15或6

答案

（1）A

（2）已知函數(shù)f（x）＝x2－4x＋alnx有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A.（－∞，2]B.（－∞，2）C.（0，2]D.（0，2）

答案

（2）D｜解題技法｜已知函數(shù)極值點(diǎn)或極值求參數(shù)的2個(gè)要領(lǐng)（1）列式：根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解；（2）驗(yàn)證：因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值等于零不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗(yàn)證根的合理性.提醒

若函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有極值，那么y＝f（x）在（a，b）內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù).?1.（2023·周口一模）函數(shù)f（x）＝2x－xlnx的極值是

（

）A.B.C.eD.e2解析：C

因?yàn)閒'（x）＝2－（ln

x＋1）＝1－ln

x，當(dāng)f'（x）＞0時(shí)，解得0＜x＜e；當(dāng)f'（x）＜0時(shí)，解得x＞e，所以x＝e時(shí)，f（x）取到極大值，f（x）極大值＝f（e）＝e.故選C.

答案：1

?函數(shù)的最值問題

x（－∞，－1）－1（－1，3）3（3，＋∞）f'（x）＋0－0＋f（x）增極大值減極小值增

則列表如下：｜解題技法｜利用導(dǎo)數(shù)求給定區(qū)間上的最值的步驟（1）求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f'（x）；（2）利用f'（x）＝0求f（x）在給定區(qū)間上所有可能極值點(diǎn)的函數(shù)值；（3）求f（x）在給定區(qū)間上的端點(diǎn)值；（4）將f（x）的各極值與f（x）的端點(diǎn)值進(jìn)行比較，確定f（x）的最大值與最小值.提醒

若最值在端點(diǎn)處取得，且所給區(qū)間為開區(qū)間，則f（x）的最值不存在.?1.已知某圓柱的表面積為6π，當(dāng)該圓柱的體積最大時(shí)，其底面半徑為

（

）A.1B.C.2D.3

2.已知函數(shù)f（x）＝ax＋lnx，其中a為常數(shù)，若f（x）在區(qū)間（0，e]上的最大值為－3，求a的值.

03?1.函數(shù)f（x）＝lnx－x在區(qū)間（0，e]上的最大值為

（

）A.1－eB.－1C.－eD.0

A.－4B.C.0D.2

A.有最大值0，無最小值B.有最大值0，最小值－C.有最小值－，無最大值D.既無最大值也無最小值

A.－3eB.－2eC.eD.2e

5.（多選）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇－1，5]，部分對(duì)應(yīng)值如下表：x－1045f（x）1221f（x）的導(dǎo)函數(shù)f'（x）的圖象如圖所示，下列關(guān)于函數(shù)f（x）的結(jié)論正確的是（

）A.函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)有2個(gè)B.函數(shù)f（x）在[0，2]上是減函數(shù)C.當(dāng)x∈[－1，t]時(shí)，若f（x）的最大值是2，則t的最大值為4D.當(dāng)1＜a＜2時(shí)，函數(shù)y＝f（x）－a有4個(gè)零點(diǎn)解析：AB

由題中f'（x）的圖象可知，當(dāng)x＝0時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值；當(dāng)x＝4時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值，即函數(shù)f（x）有2個(gè)極大值點(diǎn)，故A中結(jié)論正確；易知函數(shù)f（x）在[0，2]上是減函數(shù)，故B中結(jié)論正確；當(dāng)x∈[－1，t]時(shí)，若f（x）的最大值是2，則t滿足0≤t≤5，即t的最大值是5，故C中結(jié)論錯(cuò)誤；令y＝f（x）－a＝0，得f（x）＝a，當(dāng)f（2）≤1，1＜a＜2時(shí)，易知f（x）＝a有四個(gè)根；當(dāng)1＜f（2）＜2，1＜a＜2時(shí)，易知f（x）＝a不一定有四個(gè)根，故函數(shù)y＝f（x）－a有4個(gè)零點(diǎn)不一定正確，故D中結(jié)論錯(cuò)誤，故選A、B.6.（多選）下列說法正確的是

（

）A.f（x）＝x＋（x∈R）的最小值為1B.f（x）＝（x＞0）的最小值為1C.f（x）＝x－lnx（x＞0）的最小值為1D.f（x）＝x（x＞0）的最小值1

答案：310.已知a，b是實(shí)數(shù)，1和－1是函數(shù)f（x）＝x3＋ax2＋bx的兩個(gè)極值點(diǎn).（1）求a，b的值；解：（1）由題設(shè)知f'（x）＝3x2＋2ax＋b，且f'（－1）＝3－2a＋b＝0，f'（1）＝3＋2a＋b＝0，解得a＝0，b＝－3.（2）設(shè)函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)g'（x）＝f（x）＋2，求g（x）的極值點(diǎn).解：（2）由（1）知f（x）＝x3－3x，則g'（x）＝f（x）＋2＝（x－1）2（x＋2），所以g'（x）＝0的根為x1＝x2＝1，x3＝－2.即函數(shù)g（x）的極值點(diǎn)只可能是1或－2，當(dāng)x＜－2時(shí)，g'（x）＜0，當(dāng)－2＜x＜1時(shí)，g'（x）＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，g'（x）＞0，所以－2是g（x）的極值點(diǎn)，1不是g（x）的極值點(diǎn).綜上所述，g（x）的極值點(diǎn)為－2.?11.某商場(chǎng)從生產(chǎn)廠家以每件20元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批商品，若該商品零售價(jià)定為p（p≥20）元時(shí)的銷售量為Q件，且Q＝8300－170p－p2，則這批商品的最大毛利潤(rùn)（毛利潤(rùn)＝銷售收入－進(jìn)貨支出）為（

）A.30000元B.60000元C.28000元D.23000元解析：D

設(shè)毛利潤(rùn)為L(zhǎng)（p）元，由題意知L（p）＝pQ－20Q＝Q（p－20）＝（8

300－170p－p2）（p－20）＝－p3－150p2＋11

700p－166

000（p≥20），所以L'（p）＝－3p2－300p＋11

700.令L'（p）＝0，解得p＝30或p＝－130（舍去