比例線段三角形一邊平行線

比例線段一、比例的性質(zhì)：如果a,b,c,d是比例線段,即〔或〕，那么線段是比例外項，線段b、c是比例內(nèi)項，線段d是a,b,c的第四比例項。補(bǔ)充：十字相乘：假設(shè)，那么；對角線性質(zhì)：假設(shè)，那么；倒數(shù)性質(zhì)：假設(shè)，那么；性質(zhì)1：如果線段滿足，那么是否成立？性質(zhì)2：如果線段滿足，那么是否成立？例題：：如圖，，求證：(1)；(2)練習(xí)1.:如圖,C是線段AB上的一點,且。那么，。2.(x+y):y=11:4,求(1)x:y;(2)的值.3.線段a、b、c、d成比例,其中a=12厘米,b=3厘米,c=4厘米,求第四比例項d的長.4.△ABC和△A'B'C'中,且A'B'+B'C'+C'A'=24厘米,求△ABC的周長.5.(3)，求k的值.比例中項，黃金分割四、比例中項如果比例的兩個內(nèi)項(或兩個外項)相同a:b=b:c,那么這個相同的項叫做另兩項的比例中項.上述比例式中,b叫做a和c的比例中項.這時，。黃金分割在比例式中，線段AP稱為線段AB與線段PB的比例中項；如圖,點P是線段AB上的一個動點,那么點P在運(yùn)動過程中,線段AP,PB,AB之間有怎樣的一個數(shù)量關(guān)系?如果點P把線段AB分割成AP和PB(AP>PB)兩段,其中AP是AB和PB的比例中項,那么稱這種分割為黃金分割(goldensection),點P稱為線段AB的黃金分割點.AP與AB的比值稱為黃金分割數(shù)(簡稱黃金數(shù)).黃金分割數(shù)是一個無理數(shù),在應(yīng)用時常取它的近似值0.618.一般來說,一條線段的黃金分割點有個.練習(xí)：1，求線段a,b的比例中項：(1)；(2)；2，線段MN的長為2厘米,點P是線段MN的黃金分割點,那么較長線段MP的長是_____厘米,較短線段PN的長是_______厘米.3.點P是線段AB上的黃金分割點,AP>PB,AB=4厘米,那么線段AP,PB的長分別是____厘米和___厘米.

點P是線段AB上的黃金分割點,被分得的較長的線段PB=4厘米,那么較短的線段PA=____厘米,AB=___厘米.五、面積比1.同高三角形：(1)如圖(1),D是BC邊的中點,那么___________.(2)如圖(2),點D是邊BC邊上的一點，且DC:BD=1:2，;(3)如圖(2),假設(shè)，那么;面積之比可轉(zhuǎn)化為線段之比，反之，線段之比也可以轉(zhuǎn)化為面積之比。練習(xí).(1)如圖,D是△ABC的邊BC上一點,假設(shè)BD:DC=3:2，那么;;(2)如圖，假設(shè)，那么;2.同底等高三角形練習(xí)1.如圖,梯形ABCD中,AB//DC,△AOB的面積等于9平方厘米,△AOD的面積等于6平方厘米.(1)求△BOC的面積.(2)求的值.2.如圖：在梯形ABCD中，AD//BC，，求梯形ABCD的面積.3..探究新知：如圖，△ABC與△ABD的面積相等，試判斷AB與CD的位置關(guān)系，并說明理由.三角形一邊的平行線六、三角形一邊的平行線性質(zhì)定理三角形一邊的平行線性質(zhì)定理：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線,截得的對應(yīng)線段成比例.符號表達(dá)式:∵DE∥BC，∴_______________________________________________例題：如圖,DE∥BC,AB=15,AC=10,BD=6,求AE.復(fù)合圖形的證明與分析：例題1.DF//BC,求證：例題2.DE//AB、EF//BC,求證：例題3.CD//AB、DE//BC,求證：例題4.如圖，在平行四邊形ABCD中，F(xiàn)為邊BA延長線上一點，連接C、F交AD于點E，求證：七、三角形一邊的平行線性質(zhì)定理的推論可證得結(jié)論同樣成立.由上述探究,請用語言表達(dá)這一結(jié)論.三角形一邊的平行線性質(zhì)定理的推論:平行于三角形一邊的直線截其它兩邊所在的直線,截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例符號表達(dá)式，∴_____________________例題1,.：在△ABC中，BD平分∠ABC,DE//BC,AE=4,BC=8,求AE的長.例題2.,在梯形ABCD中，EF//AD,AD=2,BC=5,AE=1,BE=2,求EF的長.例題3.在△ABC中,D為BC中點,M為AD的中點,連接BM,延長BM交AC于點N,求AN:NC的值.例題4.如圖小明的身高是1.6米,他在路燈下的影長為2米,小明距路燈燈桿的底部3米,那么路燈燈炮距地面的高度是____米.八、三角形一邊的平行線性質(zhì)定理的推論例題.如圖，在平行四邊形ABCD中，E為邊BC的中點，分別連接A、E和B、D交于點F，求BF:FD的值練習(xí)1：如圖，在平行四邊形ABCD中，E、G為邊BC和線段BE的中點，分別連接A、E和G、D交于點F，求EF:AF的值練習(xí)2：如圖，在平行四邊形ABCD中，E、H為邊BC和AB的中點，分別連接E、H和B、D交于點F，求BF:FD的值練習(xí)3：如圖,在平行四邊形ABCD中，M、N、P分別是AB、AD、AN的中點，求EN∶CN的值．AABCDEPNM例題.在梯形ABCD中，AD//BC,EF為中位線AD:BC=2:3,求EF:MN的值.證明類：例題1.如圖,在△ABC中,點D、E分別在AB、AC上，DE//BC,點F在BC邊上,AF與DE相交于點G．求證：AB·EG=AD·CF練習(xí)：：如圖，AG//BC,BD=DC,求證：.例題2.在△ABC中，D為邊BC上一點，且,求證:∠BAD=∠CAD例題3.：如圖，在平行四邊形ABCD中，經(jīng)過對角線BD的中點P的直線分別交邊AB、CD所在直線于點E、F,分別交邊AD、BC于點M、N,求證：PE·PM=PF·PN例題4.在梯形ABCD中，AD//BC,BE//CD,求證:FC2=FA·FE.例題5.如圖，在△ABC中,,求證：BD=EC練習(xí)：如圖，在△ABC中，點D在BC的延長線上，點F在邊AB上，聯(lián)結(jié)DF交AC于點E，如果，求證：△FAE是等腰三角形。計算證明類：練習(xí)1:在△ABC中,點D、E分別為邊AB、AC的中點,且BE與CD交于點G,點M、N分別是BE、CD的中點,連接MN,求證:BC=4MN.練習(xí)2:在正方形ABCD中，E為邊CD上一點,DE:EC=3:1,延長AE交BC邊的延長線于點F，G為AE的中點,求BG:GD的值.八、重心：例題.:如圖,BE,CF是△ABC的中線,交于點G.求證:三角形的三條中線交于一點.三角形三條中線的交點叫做三角形的重心三角形重心定理

三角形的重心到一個頂點的距離,等于它到這個頂點對邊中點的距離的兩倍.重心練習(xí)1.在△ABC中,D為BC的上任意一點,G1是△ABD重心,G2是△ACD的重心,那么G1G22.在△ABC中，AB=AC=10,BC=16,E為AC的中點,求BE的長;3.在△ABC中,中線AD,BE,CF交于點G,AD⊥CF,AD=9,CF=12求AB和BE的長;4.：在Rt△ABC中,∠BCA=900,AC=5,∠B=300,G是重心,那么CG=;5.在△ABC中,中線AD,BE交于點G,CP//AD交BE延長線于點P,求PC;AD=;圖1圖2圖3圖4圖56.在等邊△ABC中,G為重心,AB=1,把△ABG繞點A旋轉(zhuǎn)使點B與點C重合,點G到點G’處,求S△AGb’;7.在△ABC中,G為重心,求證:S△ABG=S△BCG=S△ACG8.在四邊形ABCD中,G1是△ABC的重心,G2是△DBC的重心,G1G2求AD的長;9.如圖是一個半徑為10,圓心角為90°的扇形,點P是弧上一個動點(與A、B不重合).PH⊥OB,G是△POH的重心,問點P在運(yùn)動過程中,在PG,OG,HG這三條線段中,是否存在長

度不變的線段？假設(shè)存在是哪一條？它的長度等于多少？九、三角形一邊的平行線判定定理.三角形一邊的平行線判定定理

如果一條直線截三角形的兩邊所得的對應(yīng)線段成比例,那么這條直線平行于三角形的第三邊．符號表達(dá)式:根據(jù)比例的性質(zhì)知,在關(guān)系式①②③中,由其中一個可推出其余兩個.因此,以關(guān)系式①、②、③之一為條件,都可推出DE∥BC.如果點D、E分別在線段AB,AC的延長線上或分別在它們的反向延長線上,且具備條件之一,那么也可以用上述同樣的方法推出DE∥BC.三角形一邊的平行線判定定理推論:如果一條直線截三角形兩邊的延長線(這兩邊的延長線在第三邊的同側(cè)),所得的對應(yīng)線段成比例,那么這條直線平行于三角形的第三邊.練習(xí)1.:如圖,點A1、B1、C1分別在射線OA、OB、OC上,且AB∥A1B1,BC∥B1C1.求證:AC∥A1C2.:點D、E分別在△ABC的邊AB和AC的延長線上,BD=2AB,CE=2AC.求證:DE∥BC.3.:如圖,點O在△ABC內(nèi)部,點D、E、F分別在線段OA、OB、OC上,且DE∥AB,EF∥BC.

求證:DF∥AC.十、平行線分線段成比例定理引入：如圖,DE∥FG∥BC,AF=27,DF=15,BF=9,AG=18.那么EG=__,GC=___.平行線分線段成比例定理

兩條直線被三條平行的直線所截,截得的對應(yīng)線段成比例.符號表達(dá)式：當(dāng)圖中ι2經(jīng)過AC的中點B,即AB=BC時,那么DE=EF.平行線等分線段定理〔直線ι在平移過程中,上述比例式始終成立.〕兩條直線被三條平行的直線所截,如果在一條直線上截得的線段相等,那么在另一條直線上截得的線段也相等.平行線分線段成比例定理與三角形一邊的平行線的性質(zhì)定理有著內(nèi)在的聯(lián)系.例題:如圖ι1∥ι2∥ι3,AM=3,BM=2,BC=4,DE=7.5,求DM,DF的長.線段a、b、c,如何求作一條線段x,使x是a,b,c的第四比例項(即a:b=c:x).下面哪種畫法是正確的？練習(xí)1.如圖,AD∥BE∥CF,它們依次交直線ι1,ι2于點A、B、C.和點D、E、F.

(1)如果AB=6,BC=10,EF=8,那么DE=;

(2)如果DE:EF=3:5,AC=24,那么AB=_____,BC=_____.2.如圖,直線ι1,ι2,ι3分別交直線ι4于點A、B、C,交直線ι5于點D、E、F,且ι1∥ι2∥ι3.

AB=3,AC=5,DF=9,求DE、EF的長.第1題圖第2題圖3.如圖,線段AB,在線段AB上求作一點C,使AC:CB=1:2.4.如圖,AD∥EF∥BC.(1)如果AE=4,DF=5,EB=6,求FC的長.(2)如果AE:EB=2:3,FC=6,求DF的值.5.如圖,直線ι1、ι2、ι3分別截直線ι4于點A、B、C,截直線ι5于點D、E、F,且ι1∥ι2∥ι3.

(1)如果AB=4,BC=8,DE=6,求EF的長.

(2)如果DE:EF=2:3,AC=15,求AB的長.小結(jié)練習(xí)1：1、如圖中,DE∥BC,DE分別交AB、AC于點D、E，那么，，。2、假設(shè)B、C分別是⊿ADE的邊DE、AD的延長線上的點,且AE∥BC那么，，3、中,DE∥BC,DE分別交AB、AC于點D、E,AD=3，BD=2，CE=4，那么AE=.4、在中,DE∥BC，DE分別交AB、AC于點D、E，AB=6，AD=2，EC=3，那么AE=.5、如果D、E分別是⊿ABC的邊AB、AC的延長線上的點,且DE∥BC，AE=30，EC=20，AB=16那么AD=.6、在中,D、E分別在AB、AC上,且DE∥BC,如果,且AC=10,那么AE=.7、在△ABC中，D、E分別在AB、AC的反向延長線上,DE∥BC，假設(shè)AD∶AB=3∶4，EC=14厘米,那么AC=.8、在△ABC中，點D、E分別在AB、BC邊上，DE∥AC．如果AB＝12cm，BC＝16cm，AD＝5cm，那么BE＝cm．9、如圖，AE∥BC，AC、BE交于點D，假設(shè)，那么=;10、如圖，L1∥L2∥L3，AB=3，BC=2，CD=1，那么以下式子中不成立的是〔〕(A)EC∶CG=5∶1(B)EF∶FG=1∶1(C)EF∶FC=3∶2(D)EF∶EG=3∶511、如圖，在中,DE∥BC,交AB于D，交AC于E，F(xiàn)為BC上的一點，DE交AF于G，AD=2BD,AE=5,求(1)；(2)AC的長.小結(jié)作業(yè)2：1、在中，DE∥BC，點D、E分別在邊AB、AC上?！?〕假設(shè)AD=5，DB=3，AE=4求EC的長〔2〕假設(shè)AB=9，DA=6，AE=4求AC的長〔3〕假設(shè)AC=12，EC=4，DB=5求AB的長2、AM與BN相交于點P，AB∥MN，PN=8，PM=12，PA=6求AE的長.3、如圖，在△ABC中，點D、E分別在AC、AB上，如果DE∥BC，，求小結(jié)練習(xí)3.1、在中,D、E分別在AB、AC上，以下條件能判斷DE∥BC的是〔〕〔1〕AD=6，BD=9，AE=4，AC=10〔2〕AD=8，AC=16，AE=6，AB=12〔3〕AB=2DB，AC=2CE2、在△ABC中,D、E分別在AB、AC上,DE∥BC，那么=3、△PMN中,點A、B分別在MP和NP的延長線上,那么4、在△ABC中,D、E分別在AB、AC上,DE∥BC，DE=2，BC=5，AE=3，那么EC=5、如圖,菱形ADEF，AC=15，AB=10，那么CF=.6、如圖，在△ABC中,，四邊形EDFC為內(nèi)接正方形,AC=5，BC=3，那么AE∶DF=.7、如圖，在平行四邊形ABCD中，E為的BC中點,F是BE的中點,AE與DF交于H，那么AH∶HE=.第5題圖