2022屆福建省泉州市南安一中高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)（即質數(shù)）的和”，如，．在不超過20的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于20的概率是（）A． B． C． D．以上都不對2．若向量，，則與共線的向量可以是（）A． B． C． D．3．如圖，網(wǎng)格紙是由邊長為1的小正方形構成，若粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）A． B． C． D．4．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，，則輸出的值為（）A．0 B．1 C． D．5．已知（為虛數(shù)單位，為的共軛復數(shù)），則復數(shù)在復平面內對應的點在（）.A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積（單位：）為（）A． B．6 C． D．7．已知復數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則在復平面內復數(shù)z對應的點位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．若的展開式中的系數(shù)為150，則（）A．20 B．15 C．10 D．259．為比較甲、乙兩名高二學生的數(shù)學素養(yǎng)，對課程標準中規(guī)定的數(shù)學六大素養(yǎng)進行指標測驗（指標值滿分為5分，分值高者為優(yōu)），根據(jù)測驗情況繪制了如圖所示的六大素養(yǎng)指標雷達圖，則下面敘述正確的是（）A．乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于甲B．乙的數(shù)學建模素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學抽象素養(yǎng)C．甲的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于乙D．甲的六大素養(yǎng)中數(shù)據(jù)分析最差10．已知，，，則的最小值為（）A． B． C． D．11．已知全集，集合，則（）A． B． C． D．12．已知正項等比數(shù)列中，存在兩項，使得，，則的最小值是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．拋物線上到其焦點的距離為的點的個數(shù)為________．14．已知，則_____.15．已知函數(shù)，且，，使得，則實數(shù)m的取值范圍是______.16．已知向量，且，則___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程；（2）若對任意的，當時，都有恒成立，求最大的整數(shù).（參考數(shù)據(jù)：）18．（12分）設數(shù)列是等比數(shù)列，，已知,(1)求數(shù)列的首項和公比；（2）求數(shù)列的通項公式．19．（12分）在平面直角坐標系中，將曲線（為參數(shù)）通過伸縮變換，得到曲線，設直線（為參數(shù))與曲線相交于不同兩點，.（1）若，求線段的中點的坐標；（2）設點，若，求直線的斜率.20．（12分）在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）若，求曲線與的交點坐標；（2）過曲線上任意一點作與夾角為45°的直線，交于點，且的最大值為，求的值.21．（12分）已知函數(shù)，.（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調區(qū)間；（3）判斷函數(shù)的零點個數(shù).22．（10分）已知函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)），.（1）若有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍；（2）當時，對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【解析】

首先確定不超過的素數(shù)的個數(shù)，根據(jù)古典概型概率求解方法計算可得結果.【詳解】不超過的素數(shù)有，，，，，，，，共個，從這個素數(shù)中任選個，有種可能；其中選取的兩個數(shù)，其和等于的有，，共種情況，故隨機選出兩個不同的數(shù)，其和等于的概率．故選：.【點睛】本題考查古典概型概率問題的求解，屬于基礎題.2．B【解析】

先利用向量坐標運算求出向量,然后利用向量平行的條件判斷即可.【詳解】故選B【點睛】本題考查向量的坐標運算和向量平行的判定,屬于基礎題,在解題中要注意橫坐標與橫坐標對應,縱坐標與縱坐標對應,切不可錯位.3．C【解析】

根據(jù)三視圖還原為幾何體，結合組合體的結構特征求解表面積.【詳解】由三視圖可知，該幾何體可看作是半個圓柱和一個長方體的組合體，其中半圓柱的底面半圓半徑為1，高為4，長方體的底面四邊形相鄰邊長分別為1，2，高為4，所以該幾何體的表面積，故選C.【點睛】本題主要考查三視圖的識別，利用三視圖還原成幾何體是求解關鍵，側重考查直觀想象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng).4．A【解析】

根據(jù)輸入的值大小關系，代入程序框圖即可求解.【詳解】輸入，，因為，所以由程序框圖知，輸出的值為.故選：A【點睛】本題考查了對數(shù)式大小比較，條件程序框圖的簡單應用，屬于基礎題.5．D【解析】

設，由，得，利用復數(shù)相等建立方程組即可.【詳解】設，則，所以，解得，故，復數(shù)在復平面內對應的點為，在第四象限.故選：D.【點睛】本題考查復數(shù)的幾何意義，涉及到共軛復數(shù)的定義、復數(shù)的模等知識，考查學生的基本計算能力，是一道容易題.6．D【解析】

根據(jù)幾何體的三視圖，該幾何體是由正方體去掉三棱錐得到，根據(jù)正方體和三棱錐的體積公式可求解.【詳解】如圖,該幾何體為正方體去掉三棱錐,所以該幾何體的體積為：,故選：D【點睛】本題主要考查了空間幾何體的三視圖以及體積的求法，考查了空間想象力，屬于中檔題.7．D【解析】

根據(jù)復數(shù)運算，求得，再求其對應點即可判斷.【詳解】，故其對應點的坐標為.其位于第四象限.故選：D.【點睛】本題考查復數(shù)的運算，以及復數(shù)對應點的坐標，屬綜合基礎題.8．C【解析】

通過二項式展開式的通項分析得到，即得解.【詳解】由已知得，故當時，，于是有，則.故選：C【點睛】本題主要考查二項式展開式的通項和系數(shù)問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.9．C【解析】

根據(jù)題目所給圖像，填寫好表格，由表格數(shù)據(jù)選出正確選項.【詳解】根據(jù)雷達圖得到如下數(shù)據(jù)：數(shù)學抽象邏輯推理數(shù)學建模直觀想象數(shù)學運算數(shù)據(jù)分析甲454545乙343354由數(shù)據(jù)可知選C.【點睛】本題考查統(tǒng)計問題，考查數(shù)據(jù)處理能力和應用意識.10．B【解析】,選B11．D【解析】

根據(jù)函數(shù)定義域的求解方法可分別求得集合，由補集和交集定義可求得結果.【詳解】，，，.故選：.【點睛】本題考查集合運算中的補集和交集運算問題，涉及到函數(shù)定義域的求解，屬于基礎題.12．C【解析】

由已知求出等比數(shù)列的公比，進而求出，嘗試用基本不等式，但取不到等號，所以考慮直接取的值代入比較即可.【詳解】，，或（舍）.，，.當，時；當，時；當，時，，所以最小值為.故選:C.【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式基本量的計算及最小值，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

設拋物線上任意一點的坐標為，根據(jù)拋物線的定義求得，并求出對應的，即可得出結果.【詳解】設拋物線上任意一點的坐標為，拋物線的準線方程為，由拋物線的定義得，解得，此時.因此，拋物線上到其焦點的距離為的點的個數(shù)為.故答案為：.【點睛】本題考查利用拋物線的定義求點的坐標，考查計算能力，屬于基礎題.14．【解析】

對原方程兩邊求導，然后令求得表達式的值.【詳解】對等式兩邊求導，得，令，則.【點睛】本小題主要考查二項式展開式，考查利用導數(shù)轉化已知條件，考查賦值法，屬于中檔題.15．【解析】

根據(jù)條件轉化為函數(shù)在上的值域是函數(shù)在上的值域的子集；分別求值域即可得到結論.【詳解】解：依題意，，即函數(shù)在上的值域是函數(shù)在上的值域的子集.因為在上的值域為（）或（），在上的值域為，故或，解得故答案為：.【點睛】本題考查了分段函數(shù)的值域求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題.16．【解析】

由向量平行的坐標表示得出，求解即可得出答案.【詳解】因為，所以，解得.故答案為：【點睛】本題主要考查了由向量共線或平行求參數(shù)，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）2【解析】

（1）先求得切點坐標，利用導數(shù)求得切線的斜率，由此求得切線方程.（2）對分成，兩種情況進行分類討論.當時，將不等式轉化為，構造函數(shù)，利用導數(shù)求得的最小值（設為）的取值范圍，由的得在上恒成立，結合一元二次不等式恒成立，判別式小于零列不等式，解不等式求得的取值范圍.【詳解】（1）已知函數(shù)，則處即為，又，，可知函數(shù)過點的切線為，即.（2）注意到，不等式中，當時，顯然成立；當時，不等式可化為令，則，，所以存在，使.由于在上遞增，在上遞減，所以是的唯一零點.且在區(qū)間上，遞減，在區(qū)間上，遞增，即的最小值為，令，則，將的最小值設為，則，因此原式需滿足，即在上恒成立，又，可知判別式即可，即，且可以取到的最大整數(shù)為2.【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)求切線方程，考查利用導數(shù)研究不等式恒成立問題，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，屬于難題.18．(1)（2）【解析】

本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式的求解，數(shù)列求和的錯位相減求和是數(shù)列求和中的重點與難點，要注意掌握．（1）設等比數(shù)列{an}的公比為q，則q+q2=6，解方程可求q（2）由（1）可求an=a1?qn-1=2n-1，結合數(shù)列的特點，考慮利用錯位相減可求數(shù)列的和解：（1）（2），兩式相減：19．（1）；（2）.【解析】

（1）由l參數(shù)方程與橢圓方程聯(lián)立可得A、B兩點參數(shù)和，再利用M點的參數(shù)為A、B兩點參數(shù)和的一半即可求M的坐標；（2）利用直線參數(shù)方程的幾何意義得到，再利用計算即可，但要注意判別式還要大于0.【詳解】（1）由已知，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），其普通方程為，當時，將（為參數(shù)）代入得，設直線l上A、B兩點所對應的參數(shù)為，中點M所對應的參數(shù)為，則，所以的坐標為；（2）將代入得，則，因為即，所以，故，由得，所以.【點睛】本題考查了伸縮變換、參數(shù)方程與普通方程的互化、直線參數(shù)方程的幾何意義等知識，考查學生的計算能力，是一道中檔題.20．（1），；（2）或【解析】

（1）將曲線的極坐標方程和直線的參數(shù)方程化為直角坐標方程，聯(lián)立方程，即可求得曲線與的交點坐標；（2）由直線的普通方程為，故上任意一點，根據(jù)點到直線距離公式求得到直線的距離，根據(jù)三角函數(shù)的有界性，即可求得答案.【詳解】（1），.由，得，曲線的直角坐標方程為.當時，直線的普通方程為由解得或.從而與的交點坐標為，.（2）由題意知直線的普通方程為，的參數(shù)方程為（為參數(shù)）故上任意一點到的距離為則.當時，的最大值為所以；當時，的最大值為，所以.綜上所述，或【點睛】解題關鍵是掌握極坐標和參數(shù)方程化為直角坐標方程的方法，和點到直線距離公式，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.21．（1）（2）答案見解析（3）答案見解析【解析】

（1）設曲線在點，處的切線的斜率為，可求得，，利用直線的點斜式方程即可求得答案；（2）由（Ⅰ）知，，分時，，三類討論，即可求得各種情況下的的單調區(qū)間為；（3）分與兩類討論，即可判斷函數(shù)的零點個數(shù)．【詳解】（1），，設曲線在點，處的切線的斜率為，則，又，曲線在點，處的切線方程為：，即；（2）由（1）知，，故當時，，所以在上單調遞增；當時，，；，，；的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，；當時，同理可得的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，；綜上所述，時，單調遞增為，無遞減區(qū)間；當時，的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，；當時，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，；（3）當時，恒成立，所以無零點；當時，由，得：，只有一個零點．【點睛】本題考查利用導數(shù)研究曲線上某點的切線方程，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查分類討論思想與推理、運算能力，屬于中檔題．22．（1）；（2）【解析】

（1）將有兩個零點轉化為方程有兩個相異實根，令求導，利用其單調性和極值求解；（2）將問題轉