高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)梯級(jí)練三十六直接證明與間接證明數(shù)學(xué)歸納法課時(shí)作業(yè)理含解析新人教A版

一輪復(fù)習(xí)精品資料(高中)PAGE1-課時(shí)作業(yè)梯級(jí)練三十六直接證明與間接證明、數(shù)學(xué)歸納法一、選擇題(每小題5分,共20分)1.用反證法證明命題“已知a,b∈N*,如果ab可被5整除,那么a,b中至少有一個(gè)能被5整除”時(shí),假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為 ()A.a,b都能被5整除B.a,b都不能被5整除C.a,b不都能被5整除D.a不能被5整除〖解析〗選B.用反證法證明命題時(shí),應(yīng)先假設(shè)結(jié)論的否定成立,而至少有一個(gè)能被5整除的否定是都不能被5整除,故作的假設(shè)是“a,b都不能被5整除”.2.設(shè)f(n)=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE(n∈N*),那么f(n+1)-f(n)等于 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE+QUOTE D.QUOTE-QUOTE〖解析〗選D.f(n+1)-f(n)=QUOTE-QUOTE=QUOTE+QUOTE-QUOTE=QUOTE-QUOTE.3.用數(shù)學(xué)歸納法證明1-QUOTE+QUOTE-QUOTE+…+QUOTE-QUOTE=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE,則從k到k+1時(shí)左邊添加的項(xiàng)是 ()A.QUOTE B.QUOTE-QUOTEC.-QUOTE D.QUOTE-QUOTE〖解析〗選D.當(dāng)n=k時(shí),等式的左邊為1-QUOTE+QUOTE-QUOTE+…+QUOTE-QUOTE,當(dāng)n=k+1時(shí),等式的左邊為1-QUOTE+QUOTE-QUOTE+…+QUOTE-QUOTE+QUOTE-QUOTE,故從“n=k到n=k+1”,左邊所要添加的項(xiàng)是QUOTE-QUOTE.4.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)單調(diào)遞減,若x1+x2>0,則f(x1)+f(x2)的值 ()A.恒為負(fù)值 B.恒等于零C.恒為正值 D.無法確定正負(fù)〖解析〗選A.由f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)單調(diào)遞減可知,f(x)是R上的單調(diào)遞減函數(shù),由x1+x2>0可知x1>-x2,f(x1)<f(-x2)=-f(x2),則f(x1)+f(x2)<0.二、填空題(每小題5分,共15分)5.設(shè)a=QUOTE+2QUOTE,b=2+QUOTE,則a,b的大小關(guān)系為________.

〖解析〗a=QUOTE+2QUOTE,b=2+QUOTE,將兩式的兩邊分別平方,可得a2=11+4QUOTE,b2=11+4QUOTE,顯然QUOTE<QUOTE.所以a<b.〖答案〗:a<b6.利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE>QUOTE”的過程中,由“n=k”變到“n=k+1”時(shí),左邊增加了________項(xiàng).

〖解析〗當(dāng)n=k時(shí),左邊=1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE,當(dāng)n=k+1時(shí),左邊=1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE,觀察可知,增加的項(xiàng)數(shù)是2k+1-1-(2k-1)=2k+1-2k=2k.〖答案〗:2k7.已知點(diǎn)An(n,an)為函數(shù)y=QUOTE圖象上的點(diǎn),Bn(n,bn)為函數(shù)y=x圖象上的點(diǎn),其中n∈N*,設(shè)cn=an-bn,則cn與cn+1的大小關(guān)系為________.

〖解析〗點(diǎn)An(n,an)為函數(shù)y=QUOTE圖象上的點(diǎn),Bn(n,bn)為函數(shù)y=x圖象上的點(diǎn),因此an=QUOTE,bn=n,cn=QUOTE-n=QUOTE,因此數(shù)列{cn}為遞減數(shù)列,所以cn+1<cn.〖答案〗:cn+1<cn三、解答題(每小題10分,共20分)8.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,滿足Sn=2nan+1-3n2-4n,n∈N*,且S3=15.(1)求a1,a2,a3的值;(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.〖解析〗(1)依題意,有QUOTE解得a1=3,a2=5,a3=7.(2)猜想an=2n+1.由Sn=2nan+1-3n2-4n,得Sn-1=2(n-1)an-3(n-1)2-4(n-1)(n≥2),兩式相減,整理,得an=2nan+1-2(n-1)an-6n-1,an+1=QUOTEan+QUOTE,當(dāng)n=1時(shí)也成立,故可建立an與an+1的遞推關(guān)系(n∈N*);用數(shù)學(xué)歸納法證明an=2n+1如下:①當(dāng)n=1時(shí),a1=3,結(jié)論成立.②假設(shè)n=k時(shí)成立,即ak=2k+1成立,那么n=k+1時(shí),ak+1=QUOTEak+QUOTE=QUOTE·(2k+1)+QUOTE=2k+3=2(k+1)+1,綜上,對(duì)于n∈N*,有an=2n+1,所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n+1.9.(1)已知a,b都是正數(shù),并且a≠b,求證:a5+b5>a2b3+a3b2;(2)若x,y都是正實(shí)數(shù),且x=y>2,求證:QUOTE<2與QUOTE<2中至少有一個(gè)成立.〖證明〗(1)QUOTE-QUOTE=QUOTE+QUOTE=a3QUOTE+b3QUOTE=QUOTE=QUOTE,因?yàn)閍,b都是正數(shù),所以a+b>0,a2+ab+b2>0,又因?yàn)閍≠b,所以QUOTE>0,所以QUOTE>0,所以QUOTE-QUOTE>0,即a5+b5>a2b3+a3b2.(2)假設(shè)QUOTE<2和QUOTE<2都不成立,即QUOTE≥2和QUOTE≥2同時(shí)成立.因?yàn)閤>0且y>0,所以1+x≥2y,1+y≥2x.兩式相加得2+x+y≥2x+2y,即x+y≤2.這與已知條件x=y>2相矛盾,所以QUOTE<2和QUOTE<2中至少有一個(gè)成立.1.(5分)設(shè)a,b,c為任意正數(shù),則a+QUOTE,b+QUOTE,c+QUOTE這三個(gè)數(shù) ()A.都大于2B.都小于2C.至少有一個(gè)不小于2D.至少有一個(gè)不大于2〖解析〗選C.假設(shè)三個(gè)數(shù)均小于2,即a+QUOTE<2,b+QUOTE<2,c+QUOTE<2,故a+QUOTE+QUOTE+b+QUOTE+c<6,而a+QUOTE+QUOTE+b+QUOTE+c≥2QUOTE+2QUOTE+2QUOTE=6,當(dāng)a=b=c=1時(shí)等號(hào)成立,這與a+QUOTE+QUOTE+b+QUOTE+c<6矛盾,故假設(shè)不成立,故至少有一個(gè)不小于2,C正確;取a=b=c=2,計(jì)算排除BD;取a=b=c=1,計(jì)算排除A.2.(5分)設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù),給出下列條件:①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.其中能推出“a,b中至少有一個(gè)大于1”的條件是________(填序號(hào)〖解析〗若a=QUOTE,b=QUOTE,則a+b>1,但a<1,b<1,故①推不出;若a=b=1,則a+b=2,故②推不出;若a=-2,b=-3,則a2+b2>2,故④推不出;若a=-2,b=-3,則ab>1,故⑤推不出;對(duì)于③,即a+b>2,則a,b中至少有一個(gè)大于1,反證法:假設(shè)a≤1且b≤1,則a+b≤2與a+b>2矛盾,因此假設(shè)不成立,故a,b中至少有一個(gè)大于1,故③能推出.〖答案〗:③3.(5分)如果△A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于△A2B2C2的三個(gè)內(nèi)角的正弦值,則△A2B2C2是〖解析〗由條件知,△A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值均大于0,則△A1B1C1是銳角三角形,假設(shè)△A2B2C由QUOTE得QUOTE那么A2+B2+C2=QUOTE,這與三角形內(nèi)角和為π相矛盾.所以假設(shè)不成立,又顯然△A2B2C2不是直角三角形.所以△A2B2C2〖答案〗:鈍角4.(10分)設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列.(1)推導(dǎo){an}的前n項(xiàng)和公式;(2)設(shè)q≠1,證明:數(shù)列{an+1}不是等比數(shù)列.〖解析〗(1)設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Sn,則Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn,兩式相減得(1-q)Sn=a1-a1qn=a1(1-qn),當(dāng)q≠1時(shí)Sn=QUOTE,當(dāng)q=1時(shí)Sn=a1+a1+…+a1=na1,所以Sn=QUOTE(2)假設(shè)數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列,則(a1+1)(a3+1)=(a2+1)2,即a1a3+a1+a3+1=QUOTE+2a2+1,因?yàn)閧an}是等比數(shù)列,公比為q,所以a1a3=QUOTE,a2=a1q,a3=a1q2,所以a1(1+q2)=2a1q,即q2-2q+1=0,(q-1)2=0,q=1,這與已知q≠1矛盾,所以假設(shè)不成立,故數(shù)列{an+1}不是等比數(shù)列.5.(10分)已知Sn是數(shù)列QUOTE的前n項(xiàng)和,且an=QUOTE,試比較Sn與QUOTE的大小關(guān)系,并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.〖解析〗當(dāng)n=1時(shí),S1=QUOTE=QUOTE<1=QUOTE;當(dāng)n=2時(shí),S2=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE<QUOTE=QUOTE=QUOTE.……猜想Sn<QUOTE.用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:(1)由上述歸納過程可知,n=1,n=2時(shí),不等關(guān)系Sn<QUOTE都成立.(2)假設(shè)n=k(k≥2)時(shí),不等式成立,即QUOTE+QUOTE+…+QUOTE<QUOTE.當(dāng)n=k+1時(shí),兩邊同加QUOTE,得QUOTE+QUOTE+…+QUOTE<QUOTE+QUOTE,只需證QUOTE+QUOTE<QUOTE即可.而QUOTE-QUOTE>QUOTE?QUOTE>QUOTE?QUOTE>QUOTE+QUOTE?QUOTE(QUOTE-1)>QUOTE,所以對(duì)k≥2成立,即當(dāng)n=k+1時(shí),不等式成立,由(1)(2)知Sn<QUOTE對(duì)n∈N*都成立.1.設(shè)x>0,P=2x+2-x,Q=(sinx+cosx)2,則 ()A.P>Q B.P<Q C.P≤Q D.P≥Q〖解析〗選A.因?yàn)?x+QUOTE≥2QUOTE=2(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立),而x>0,所以P>2;又(sinx+cosx)2=1+sin2x,而sin2x≤1,所以Q≤2.于是P>Q.2.十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出猜想:“當(dāng)整數(shù)n>2時(shí),關(guān)于x,y,z的方程xn+yn=zn沒有正整數(shù)解”.經(jīng)歷三百多年,于二十世紀(jì)九十年代中期由英國(guó)數(shù)學(xué)家安德魯·懷爾斯證明了費(fèi)馬猜想,使它終成費(fèi)馬大定理,則下面說法正確的是()A.存在至少一組正整數(shù)組(x,y,z)使方程x3+y3=z3有解B.關(guān)于x,y的方程x3+y3=1有正有理數(shù)解C.關(guān)于x,y的方程x3+y3=1沒有正有理數(shù)解D.當(dāng)整數(shù)n>3時(shí),關(guān)于x,y的方程xn+yn=zn沒有正實(shí)數(shù)解〖解析〗選C.由于B,C兩個(gè)命題是對(duì)立的,故正確選項(xiàng)是這兩個(gè)中的一個(gè).假設(shè)關(guān)于x,y的方程x3+y3=1有正有理數(shù)解,故x,y可寫成整數(shù)比值的形式,不妨設(shè)x=QUOTE,y=QUOTE,其中m,n為互質(zhì)的正整數(shù),a,b為互質(zhì)的正整數(shù).代入方程得QUOTE+QUOTE=1,兩邊乘以a3n3得(am)3+(bn)3=(an)3,由于am,bn,an都是正整數(shù),這與費(fèi)馬大定理矛盾,故假設(shè)不成立,所以關(guān)于x,y的方程x3+y3=1沒有正有理數(shù)解.課時(shí)作業(yè)梯級(jí)練三十六直接證明與間接證明、數(shù)學(xué)歸納法一、選擇題(每小題5分,共20分)1.用反證法證明命題“已知a,b∈N*,如果ab可被5整除,那么a,b中至少有一個(gè)能被5整除”時(shí),假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為 ()A.a,b都能被5整除B.a,b都不能被5整除C.a,b不都能被5整除D.a不能被5整除〖解析〗選B.用反證法證明命題時(shí),應(yīng)先假設(shè)結(jié)論的否定成立,而至少有一個(gè)能被5整除的否定是都不能被5整除,故作的假設(shè)是“a,b都不能被5整除”.2.設(shè)f(n)=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE(n∈N*),那么f(n+1)-f(n)等于 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE+QUOTE D.QUOTE-QUOTE〖解析〗選D.f(n+1)-f(n)=QUOTE-QUOTE=QUOTE+QUOTE-QUOTE=QUOTE-QUOTE.3.用數(shù)學(xué)歸納法證明1-QUOTE+QUOTE-QUOTE+…+QUOTE-QUOTE=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE,則從k到k+1時(shí)左邊添加的項(xiàng)是 ()A.QUOTE B.QUOTE-QUOTEC.-QUOTE D.QUOTE-QUOTE〖解析〗選D.當(dāng)n=k時(shí),等式的左邊為1-QUOTE+QUOTE-QUOTE+…+QUOTE-QUOTE,當(dāng)n=k+1時(shí),等式的左邊為1-QUOTE+QUOTE-QUOTE+…+QUOTE-QUOTE+QUOTE-QUOTE,故從“n=k到n=k+1”,左邊所要添加的項(xiàng)是QUOTE-QUOTE.4.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)單調(diào)遞減,若x1+x2>0,則f(x1)+f(x2)的值 ()A.恒為負(fù)值 B.恒等于零C.恒為正值 D.無法確定正負(fù)〖解析〗選A.由f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)單調(diào)遞減可知,f(x)是R上的單調(diào)遞減函數(shù),由x1+x2>0可知x1>-x2,f(x1)<f(-x2)=-f(x2),則f(x1)+f(x2)<0.二、填空題(每小題5分,共15分)5.設(shè)a=QUOTE+2QUOTE,b=2+QUOTE,則a,b的大小關(guān)系為________.

〖解析〗a=QUOTE+2QUOTE,b=2+QUOTE,將兩式的兩邊分別平方,可得a2=11+4QUOTE,b2=11+4QUOTE,顯然QUOTE<QUOTE.所以a<b.〖答案〗:a<b6.利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE>QUOTE”的過程中,由“n=k”變到“n=k+1”時(shí),左邊增加了________項(xiàng).

〖解析〗當(dāng)n=k時(shí),左邊=1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE,當(dāng)n=k+1時(shí),左邊=1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE,觀察可知,增加的項(xiàng)數(shù)是2k+1-1-(2k-1)=2k+1-2k=2k.〖答案〗:2k7.已知點(diǎn)An(n,an)為函數(shù)y=QUOTE圖象上的點(diǎn),Bn(n,bn)為函數(shù)y=x圖象上的點(diǎn),其中n∈N*,設(shè)cn=an-bn,則cn與cn+1的大小關(guān)系為________.

〖解析〗點(diǎn)An(n,an)為函數(shù)y=QUOTE圖象上的點(diǎn),Bn(n,bn)為函數(shù)y=x圖象上的點(diǎn),因此an=QUOTE,bn=n,cn=QUOTE-n=QUOTE,因此數(shù)列{cn}為遞減數(shù)列,所以cn+1<cn.〖答案〗:cn+1<cn三、解答題(每小題10分,共20分)8.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,滿足Sn=2nan+1-3n2-4n,n∈N*,且S3=15.(1)求a1,a2,a3的值;(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.〖解析〗(1)依題意,有QUOTE解得a1=3,a2=5,a3=7.(2)猜想an=2n+1.由Sn=2nan+1-3n2-4n,得Sn-1=2(n-1)an-3(n-1)2-4(n-1)(n≥2),兩式相減,整理,得an=2nan+1-2(n-1)an-6n-1,an+1=QUOTEan+QUOTE,當(dāng)n=1時(shí)也成立,故可建立an與an+1的遞推關(guān)系(n∈N*);用數(shù)學(xué)歸納法證明an=2n+1如下:①當(dāng)n=1時(shí),a1=3,結(jié)論成立.②假設(shè)n=k時(shí)成立,即ak=2k+1成立,那么n=k+1時(shí),ak+1=QUOTEak+QUOTE=QUOTE·(2k+1)+QUOTE=2k+3=2(k+1)+1,綜上,對(duì)于n∈N*,有an=2n+1,所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n+1.9.(1)已知a,b都是正數(shù),并且a≠b,求證:a5+b5>a2b3+a3b2;(2)若x,y都是正實(shí)數(shù),且x=y>2,求證:QUOTE<2與QUOTE<2中至少有一個(gè)成立.〖證明〗(1)QUOTE-QUOTE=QUOTE+QUOTE=a3QUOTE+b3QUOTE=QUOTE=QUOTE,因?yàn)閍,b都是正數(shù),所以a+b>0,a2+ab+b2>0,又因?yàn)閍≠b,所以QUOTE>0,所以QUOTE>0,所以QUOTE-QUOTE>0,即a5+b5>a2b3+a3b2.(2)假設(shè)QUOTE<2和QUOTE<2都不成立,即QUOTE≥2和QUOTE≥2同時(shí)成立.因?yàn)閤>0且y>0,所以1+x≥2y,1+y≥2x.兩式相加得2+x+y≥2x+2y,即x+y≤2.這與已知條件x=y>2相矛盾,所以QUOTE<2和QUOTE<2中至少有一個(gè)成立.1.(5分)設(shè)a,b,c為任意正數(shù),則a+QUOTE,b+QUOTE,c+QUOTE這三個(gè)數(shù) ()A.都大于2B.都小于2C.至少有一個(gè)不小于2D.至少有一個(gè)不大于2〖解析〗選C.假設(shè)三個(gè)數(shù)均小于2,即a+QUOTE<2,b+QUOTE<2,c+QUOTE<2,故a+QUOTE+QUOTE+b+QUOTE+c<6,而a+QUOTE+QUOTE+b+QUOTE+c≥2QUOTE+2QUOTE+2QUOTE=6,當(dāng)a=b=c=1時(shí)等號(hào)成立,這與a+QUOTE+QUOTE+b+QUOTE+c<6矛盾,故假設(shè)不成立,故至少有一個(gè)不小于2,C正確;取a=b=c=2,計(jì)算排除BD;取a=b=c=1,計(jì)算排除A.2.(5分)設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù),給出下列條件:①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.其中能推出“a,b中至少有一個(gè)大于1”的條件是________(填序號(hào)〖解析〗若a=QUOTE,b=QUOTE,則a+b>1,但a<1,b<1,故①推不出;若a=b=1,則a+b=2,故②推不出;若a=-2,b=-3,則a2+b2>2,故④推不出;若a=-2,b=-3,則ab>1,故⑤推不出;對(duì)于③,即a+b>2,則a,b中至少有一個(gè)大于1,反證法:假設(shè)a≤1且b≤1,則a+b≤2與a+b>2矛盾,因此假設(shè)不成立,故a,b中至少有一個(gè)大于1,故③能推出.〖答案〗:③3.(5分)如果△A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于△A2B2C2的三個(gè)內(nèi)角的正弦值,則△A2B2C2是〖解析〗由條件知,△A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值均大于0,則△A1B1C1是銳角三角形,假設(shè)△A2B2C由QUOTE得QUOTE那么A2+B2+C2=QUOTE,這與三角形內(nèi)角和為π相矛盾.所以假設(shè)不成立,又顯然△A2B2C2不是直角三角形.所以△A2B2C2〖答案〗:鈍角4.(10分)設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列.(1)推導(dǎo){an}的前n項(xiàng)和公式;(2)設(shè)q≠1,證明:數(shù)列{an+1}不是等比數(shù)列.〖解析〗(1)設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Sn,則Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn,兩式相減得(1-q)Sn=a1-a1qn=a1(1-qn),當(dāng)q≠1時(shí)Sn=QUOTE,當(dāng)q=1時(shí)Sn=a1+a1+…+a1=na1,所以Sn=QUOTE(2)假設(shè)數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列,則(a1+1)(a3+1)=(a2+1)2,即a1a3+a1+a3+1=QUOTE+2a2+1,因?yàn)閧an}是等比數(shù)列,公比為q,所以a1a3=QUOTE,a2=a1q,a3=a1q2,所以a1(1+q2)=2a1q,即q2-2q+1=0,(q-1)2=0,q=1,這與已知q≠1矛盾,所以假設(shè)不成立,故數(shù)列{an+1}不是等比數(shù)列.5.(10分)已知Sn是數(shù)列QUOTE的前n項(xiàng)和,且an=QUOTE,試比較Sn與QUOTE的大小關(guān)系,并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.〖解析〗當(dāng)n=1時(shí),S1=QUOTE=QUOTE<1=QUOTE;當(dāng)n=2時(shí),S2=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE<QUOTE=QUOTE=QUOTE.……猜想