初中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)知識點總結(jié)

2012初中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)知識點總結(jié)

一、第一輪復(fù)習(xí)

1、'第一輪復(fù)習(xí)的形式：“梳理知識脈絡(luò)，構(gòu)建知識體系”一■理解為主,

做題為輔

(1)目的：過三關(guān)

①過記憶關(guān)

必須做到：在準(zhǔn)確理解的基礎(chǔ)上，牢記所有的基本概念(定義)、公式、定理，推論(性質(zhì)，

法則)等。

②過基本方法關(guān)

需要做到：以基本題型為綱，理解并掌握中學(xué)教學(xué)中的基本解題方法，例如：配方法，因式

分解法，換元法，判別式法(韋達定理)，待定系數(shù)法，構(gòu)造法，反證法等。

③過基本技能關(guān)。

應(yīng)該做到：無論是對典型題、基本題，還是對綜合題，應(yīng)該很清楚地知道該題目所要考查的

知識點，并能找到相應(yīng)的解題方法。

(2)宗旨：知識系統(tǒng)化

在這一階段的教學(xué)把書中的內(nèi)容進行歸納整理、組塊，使之形成結(jié)構(gòu)。

①數(shù)與代數(shù)

分為3個大單元：數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù)。

②空間和圖形

分為3個大單元：幾何基本概念(線與角)，平面圖形，立體圖形

③統(tǒng)計與概率

分為2個大單元：統(tǒng)計與概率

2、第一輪復(fù)習(xí)應(yīng)注意的問題

(D必須扎扎實實夯實基礎(chǔ)

中考試題按難：中：易=1:2:7的比例，基礎(chǔ)分占總分的70%,因此必須對基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識做

到“準(zhǔn)確理解”和“熟練掌握”，在應(yīng)用基礎(chǔ)知識時能做到熟練、正確和迅速。

(2)必須深鉆教材，不能脫離課本

按中考試卷的設(shè)計原則，基礎(chǔ)題都是送分的題，有不少基礎(chǔ)題都是課本上的原題或改造。

(3)掌握基礎(chǔ)知識，一定要從理解角度出發(fā)

數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，必須要建立邏輯思維能力，基礎(chǔ)知識只有理解透了，才可以舉一反三、觸

類旁通。相對而言，“題海戰(zhàn)術(shù)”在這個階段是不適用的。

二、第二輪復(fù)習(xí)

1、第二輪復(fù)習(xí)的形式：“突出重點，綜合提高”一■練習(xí)專題化，專題

規(guī)律化

(1)目的：融會貫通考綱上的所有知識點

①進行專題化訓(xùn)練

將所有考綱上要求的知識點分為為多個專題，按專題進行復(fù)習(xí)，進行有針對性的、典型性、

層次性、切中要害的強化練習(xí)。

②突出重點，難點和熱點的內(nèi)容

在專題訓(xùn)練的基礎(chǔ)上，要突出重點，抓住熱點，突破難點。按照中考的出題規(guī)律，每年的重

點、難點和熱點內(nèi)容都大同小異，。

(2)宗旨：建立數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力

在對初中階段所有數(shù)學(xué)基本知識的理解掌握前提下，應(yīng)該努力做到：

①建立函數(shù)與方程的思想

從函數(shù)的角度，去理解數(shù)，函數(shù)，方程、代數(shù)式以及跟圖像的對應(yīng)轉(zhuǎn)化關(guān)系。

②提高數(shù)學(xué)閱讀分析的能力

學(xué)會用數(shù)學(xué)語言描述問題，并能還原問題的數(shù)學(xué)描述。

2、第二輪復(fù)習(xí)應(yīng)注意的問題

(D專題的劃分要合理

專題的劃分標(biāo)準(zhǔn)為相關(guān)知識點的聯(lián)系緊密程度。專題要有代表性和針對性，切忌面面俱到；

始終圍繞熱點、難點、重點特別是中考必考內(nèi)容選定專題。

(2)保證一定的習(xí)題量

所謂“熟能生巧”，在這個階段，所要做的就是將關(guān)鍵知識點進行綜合、鞏固、完善、提高。

要盡可能多的接觸各類典型題。

(3)注重多思考，并及時總結(jié)規(guī)律

每個專題內(nèi)的知識點具有必然的緊密聯(lián)系，不同專題之間的知識點同樣會發(fā)生關(guān)聯(lián)融合，要

注重解題后的反思，總結(jié)規(guī)律。

三、第三輪復(fù)習(xí)

1第三輪復(fù)習(xí)的形式：”模擬訓(xùn)練，查缺補漏”

目的：突破中考分數(shù)的非知識角度的障礙

①研究歷年中考真題，選擇含金量高的模擬題

分析歷年中考題，對考點的掌握做到心中有數(shù)。選擇梯度設(shè)計合理，立足中考又稍高于中考

難度的模擬題來做。

②調(diào)整自己的心里狀態(tài)

考試的成績絕不僅僅取決于對知識點的掌握，在真正的考場上，心理狀態(tài)和心里素質(zhì)會帶來

很大的影響，所以在模擬訓(xùn)練時，一定要嚴(yán)格按照真正中考的時間以及相關(guān)要求來訓(xùn)練。

2、第三輪復(fù)習(xí)應(yīng)注意的問題

(D通過做模擬題進行查缺補漏

中考大綱要求掌握的知識點可謂眾多，在經(jīng)過前兩輪的復(fù)習(xí)后，最后需要用做模擬題的方式

來檢查是否有遺漏生疏的知識點。

(2)克服不良的考試習(xí)慣

中考考題都有相應(yīng)的判分規(guī)則，要按照判分規(guī)則去優(yōu)化答題思路和步驟，必須避免因為“審

題不仔細，憑印象答題以及答題不規(guī)范”等原因造成的失分。

(3)總結(jié)適當(dāng)?shù)膽?yīng)試技巧

在實際的考試過程中，完成一道題目并不一定非要按照從知識點的應(yīng)用角度出發(fā)。針對不少

典型題，都有相應(yīng)的解題技巧，既節(jié)約了做題時間，還保證了結(jié)果正確。

第一章實數(shù)

考點一、實數(shù)的概念及分類(3分)

1、實數(shù)的分類

廠正有理數(shù)1

廠■有理數(shù)I零有限小數(shù)虹限循環(huán)小數(shù)

實數(shù)負有理數(shù)

廠正無理數(shù)1

無理數(shù)X無限不循環(huán)，卜數(shù)

L負無理數(shù)_

2、無理數(shù)

在理解無理數(shù)時，要抓住“無限不循環(huán)”這一時之，歸納起來有四類:

（1）開方開不盡的數(shù)，如蚯等：

（2）有特定意義的數(shù)，如圓周率n,或化簡后含有n的數(shù)，如工+8等；

3

（3）有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001…等；

（4）某些三角函數(shù)，如sin60°等

考點二、實數(shù)的倒數(shù)、相反數(shù)和絕對值（3分）

1、相反數(shù)

實數(shù)與它的相反數(shù)時一對數(shù)（只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零），從數(shù)軸上看，

互為相反數(shù)的兩個數(shù)所對應(yīng)的點關(guān)于原點對稱，如果a與b互為相反數(shù)，則有a+b=0,a--b,反之亦成立。

2、絕對值

一個數(shù)的絕對值就是表示這個數(shù)的點與原點的距離，|a|20。零的絕對值時它本身，也可看成它的相反數(shù)，

若|a|二a,則a》0;若|a|=-a,則aWO。正數(shù)大于零，負數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負數(shù)，兩個負數(shù)，絕對

值大的反而小。

3、倒數(shù)

如果a與b互為倒數(shù)，則有ab=1,反之亦成立。倒數(shù)等于本身的數(shù)是1和-1。零沒有倒數(shù)。

考點三、平方根、算數(shù)平方根和立方根（3—10分）

1、平方根

如果一個數(shù)的平方等于a,那么這個數(shù)就叫做a的平方根（或二次方跟）。

一個數(shù)有兩個平方根，他們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負數(shù)沒有平方根。

正數(shù)a的平方根記做“士

2、算術(shù)平方根

正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根，記作“J%”。

正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個，零的算術(shù)平方根是零。

a>o）y/a>0"

"=同=Y注意新的雙重非負性：Y

_。布<0）a>oI

3,立方根I

如果一個數(shù)的立方等于a,那么這個數(shù)就叫做a的立方根（或a的三次方根）。

一個正數(shù)有一個正的立方根；一個負數(shù)有一個負的立方根：零的立方根是零。

注意：必二1二一切2,這說明三次根號內(nèi)的負號可以移到根號外面。

考點四、科學(xué)記數(shù)法和近似數(shù)（3—6分）

1、有效數(shù)字

一個近似數(shù)四舍五人到哪一位，就說它精確到哪一位，這時，從左邊第一個不是零的數(shù)字起到右邊精確的

數(shù)位止的所有數(shù)字，都叫做這個數(shù)的有效數(shù)字。

2、科學(xué)記數(shù)法

把一個數(shù)寫做±axlO"的形式，其中l(wèi)Wa<l（）,n是整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法。

考點五、實數(shù)大小的比較（3分）

1、數(shù)軸

規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸（畫數(shù)軸時，要注意上述規(guī)定的三要素缺一不可）。

解題時要真正掌握數(shù)形結(jié)合的思想，理解實數(shù)與數(shù)軸的點是一一對應(yīng)的，并能靈活運用。

2、實數(shù)大小比較的幾種常用方法

(1)數(shù)軸比較：在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

(2)求差比較：設(shè)a、b是實數(shù)，

a—b>Ooa>b,

a—h=O<=>a=h,

a-b<0a<h

—>\oa>b\—=1=4=b\—<\oa<b\

(3)求商比較法：設(shè)a、b是兩正實數(shù)，bbb

(4)絕對值比較法:設(shè)a、b是兩負實數(shù)，則時

(5)平方法：設(shè)a、b是兩負實數(shù)，則a?>人20。<人。

考點六、實數(shù)的運算(做題的基礎(chǔ)，分值相當(dāng)大)

1、加法交換律a+b=b+a

2、加法結(jié)合律(a+力+c=a+S+c)

3、乘法交換律ab=ba

4、乘法結(jié)合律(ab)c=a(bc)

5、乘法對加法的分配律a("+c)=a8+ac

6、實數(shù)的運算順序

先算乘方，再算乘除，最后算加減，如果有括號，就先算括號里面的。

第二章代數(shù)式

考點一、整式的有關(guān)概念(3分)

1、代數(shù)式:用運算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式。單獨的一個數(shù)或一個字母也是代

數(shù)式。

2、單項式:只含有數(shù)字與字母的積的代數(shù)式叫做單項式。

注意：單項式是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)構(gòu)成的，其中系數(shù)不能用帶分數(shù)表示，如-4上/人這種表示

3

就是錯誤的，應(yīng)寫成一二。26。一個單項式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù)。如-5a362c

3

是6次單項式。

考點二、多項式(11分)

1、多項式：

幾個單項式的和叫做多項式。其中每個單項式叫做這個多項式的項。多項式中不含字母的項叫做常數(shù)項。

多項式中次數(shù)最高的項的次數(shù)，叫做這個多項式的次數(shù)。

單項式和多項式統(tǒng)稱整式。

用數(shù)值代替代數(shù)式中的字母，按照代數(shù)式指明的運算，計算出結(jié)果，叫做代數(shù)式的值。

注意：(1)求代數(shù)式的值，一般是先將代數(shù)式化簡，然后再將字母的取值代入。

(2)求代數(shù)式的值，有時求不出其字母的值，需要利用技巧，“整體”代入。

2、同類項:所有字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項叫做同類項。幾個常數(shù)項也是同類項。

3、去括號法則

(1)括號前是“+”，把括號和它前面的"+”號一起去掉，括號里各項都不變號。

(2)括號前是“-把括號和它前面的“-”號一起去掉，括號里各項都變號。

4、整式的運算法則

整式的加減法：(1)去括號；(2)合并同類項。

整式的乘法：=尸"(人〃都是正整數(shù))

(/)"=〃(加，鹿都是正整數(shù))

(")"=4"(〃都是正整數(shù))

(a+b)(a—b)=a2—b2

(?+/?)2-a2+2ab+b2

(a-b)2=a2-2ab+b2

整式的除法：a'：a"=a'”"(加,〃都是正整數(shù)a*0)

注意：(1)單項式乘單項式的結(jié)果仍然是單項式。

(2)單項式與多項式相乘，結(jié)果是一個多項式，其項數(shù)與因式中多項式的項數(shù)相同。

(3)計算時要注意符號問題，多項式的每一項都包括它前面的符號，同時還要注意單項式的符號。

(4)多項式與多項式相乘的展開式中，有同類項的要合并同類項。

(5)公式中的字母可以表示數(shù)，也可以表示單項式或多項式。

(6)=1(。*0);ap=—(a豐0,〃為正整數(shù))

ap

(7)多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加，單項式除以多

項式是不能這么計算的。

考點三、因式分解(11分)

1、因式分解:把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式

分解因式。

2、因式分解的常用方法

(1)提公因式法：ab+ac=a(b+c)

(2)運用公式法：a2-b2=(a+b)(a-力

a2+2ah+h2=(a+b)2

a2-2ab+b2=(a-b)2

(3)分組分解法：ac+ad+bc+bd-a(c+d)+h(c+d)=(a+b)(c+d)

(4)十字相乘法：a?+(〃+4)a+“9=(。+〃)(a+q)

3、因式分解的一般步驟：

(1)如果多項式的各項有公因式，那么先提取公因式。

(2)在各項提出公因式以后或各項沒有公因式的情況下，觀察多項式的項數(shù)：2項式可以嘗試運用公式法

分解因式；3項式可以嘗試運用公式法、十字相乘法分解因式；4項式及4項式以上的可以嘗試分組分解

法分解因式

(3)分解因式必須分解到每一個因式都不能再分解為止。

考點四、分式(8~10分)

1、分式的概念

AA

一般地，用A、B表示兩個整式，A+B就可以表示成一的形式，如果B中含有字母，式子一就叫做分式。

BB

其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。分式和整式通稱為有理式。

2、分式的性質(zhì)

(I)分式的基本性質(zhì)：

分式的分子和分母都乘以(或除以)同一個不等于零的整式，分式的值不變。

(2)分式的變號法則：

分式的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變。

3、分式的運算法則

ac_acacadada?a"%敕*八ab_a+bac_ad+bc

片片/丁W七)=/"為整數(shù)):土丁丁■工土廠F-

考點五、二次根式(初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，分值很大)

1、二次根式:式子&(a20)叫做二次根式，二次根式必須滿足：含有二次根號“「；被開方數(shù)a必須

是非負數(shù)。

2、最簡二次根式:若二次根式滿足：被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；被開方數(shù)中不含能開得盡方的

因數(shù)或因式，這樣的二次根式叫做最簡二次根式。

化二次根式為最簡二次根式的方法和步驟：

(1)如果被開方數(shù)是分數(shù)(包括小數(shù))或分式，先利用商的算數(shù)平方根的性質(zhì)把它寫成分式的形式，然

后利用分母有理化進行化簡。

(2)如果被開方數(shù)是整數(shù)或整式，先將他們分解因數(shù)或因式，然后把能開得盡方的因數(shù)或因式開出來.

3、同類二次根式

幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式叫做同類二次根式。

4、二次根式的性質(zhì)

(1)(V?)2=a(a>0)

a(a>0)r~

(2)y[a^~|tz|=-<

-a(a<0)(3)-Jab=4a?4b(a>0,b>0)(4)=^(a>Q,b>0)

5、二次根式混合運算

二次根式的混合運算與實數(shù)中的運算順序一樣，先乘方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里的(或

先去括號)。

第三章方程(組)

考點一'一元一次方程的概念(6分)

1、方程

含有未知數(shù)的等式叫做方程。

2、方程的解

能使方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。

3、等式的性質(zhì)

(1)等式的兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)或同一個整式，所得結(jié)果仍是等式。

(2)等式的兩邊都乘以(或除以)同一個數(shù)(除數(shù)不能是零)，所得結(jié)果仍是等式。

4、一元一次方程

只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程

ax+Z?=0(x為未知數(shù)，aW0)叫做一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，a是未知數(shù)x的系數(shù)，b是常數(shù)項。

考點二、一元二次方程(6分)

1、一元二次方程

含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式

“父+。%+。=()3。0),它的特征是：等式左邊十一個關(guān)于未知數(shù)x的二次多項式，等式右邊是零，其

中叫做二次項，a叫做二次項系數(shù)；bx叫做一次項，b叫做一次項系數(shù)；c叫做常數(shù)項。

考點三'一元二次方程的解法(10分)

1、直接開平方法

利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法。直接開平方法適用于解形如

(x+a)2=人的一元二次方程。根據(jù)平方根的定義可知，x+a是b的平方根，當(dāng)。20時，x+a=+4b,

x=-a±4b,當(dāng)b<0時，方程沒有實數(shù)根。

2、配方法

配方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它不僅在解一元二次方程上有所應(yīng)用，而且在數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域也有著廣泛

的應(yīng)用。配方法的理論根據(jù)是完全平方公式a?±2“》+〃=(“+")2,把公式中的a看做未知數(shù)x,并用

x代替,5JUWx2±2bx+b2=(x±b)2,,

3、公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程ax2+bx+c=0(a*0)的求根公式：

“一個一”一4心0）

4、因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡單易行，是解一元二次方程最常

用的方法。

考點四'一元二次方程根的判別式（3分）

根的判別式：一元二次方程+bx+c=O（a^O）中,b2-Aac叫做一元二次方程

aW+Ox+cnOmwO）的根的判別式，通常用來表示，即△=從一40，

考點五、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（3分）

bc

2

如果方程ax+bx+c=O（a#0）的兩個實數(shù)根是X],x2,那么用+工2=——>xtx2,也就是說，對

aa

于任何一個有實數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反

數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的商。

考點六'分式方程（8分）

1、分式方程

分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。

2、分式方程的一般方法

解分式方程的思想是將“分式方程”轉(zhuǎn)化為“整式方程”。它的一般解法是：

（I）去分母，方程兩邊都乘以最簡公分母

（2）解所得的整式方程

（3）驗根：將所得的根代入最簡公分母，若等于零，就是增根，應(yīng)該舍去；若不等于零，就是原方程的

根。

3、分式方程的特殊解法

換元法：

換元法是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個重要的數(shù)學(xué)思想，其應(yīng)用非常廣泛，當(dāng)分式方程具有某種特殊形式，一般的去

分母不易解決時，可考慮用換元法。

考點七'二元一次方程組（8~10分）

1、二元一次方程

含有兩個未知數(shù)，并且未知項的最高次數(shù)是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是（

2、二元一次方程的解

使二元一次方程左右兩邊的值相等的一對未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的一個解。

3、二元一次方程組

兩個（或兩個以上）二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組。

4二元一次方程組的解

使二元一次方程組的兩個方程左右兩邊的值都相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程組的解。

5、二元一次方正組的解法

（1）代入法（2）加減法

6、三元一次方程

把含有三個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的整式方程。

7、三元一次方程組

由三個（或三個以上）一次方程組成，并且含有三個未知數(shù)的方程組，叫做三元一次方程組。

第四章不等式（組）

考點一'不等式的概念（3分）

1、不等式:用不等號表示不等關(guān)系的式子，叫做不等式。

2、不等式的解集

對于一個含有未知數(shù)的不等式，任何一個適合這個不等式的未知數(shù)的值，都叫做這個不等式的解。

對于一個含有未知數(shù)的不等式，它的所有解的集合叫做這個不等式的解的集合，簡稱這個不等式的解集。

求不等式的解集的過程，叫做解不等式。

3、用數(shù)軸表示不等式的方法

考點二'不等式基本性質(zhì)（3~5分）

1、不等式兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，不等號的方向不變。

2、不等式兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變。

3、不等式兩邊都乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變。

考試題型：

考點三、一元一次不等式（6~8分）

1、一元一次不等式的概念:一般地，不等式中只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1,且不等式的兩邊都

是整式，這樣的不等式叫做一元一次不等式。

2、一元一次不等式的解法:解一元一次不等式的一般步驟：（1）去分母（2）去括號（3）移項（4）合并同

類項（5）將x項的系數(shù)化為1

考點四'一元一次不等式組（8分）

1、一元一次不等式組的概念

兒個一元一次不等式合在一起，就組成了一個一元一次不等式組。

幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它們所組成的一元一次不等式組的解集。

求不等式組的解集的過程，叫做解不等式組。

當(dāng)任何數(shù)X都不能使不等式同時成立，我們就說這個不等式組無解或其解為空集。

2、一元一次不等式組的解法

（1）分別求出不等式組中各個不等式的解集

（2）利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個不等式組的解集。

第五章統(tǒng)計初步與概率初步

考點一,平均數(shù)（3分）

1、平均數(shù)的概念

（1）平均數(shù)：一般地，如果有n個數(shù)玉,X,,…,x“，那么，1=，區(qū)+々+…+x”）叫做這n個數(shù)的平均

n

數(shù)，嚏讀作“x拔”。

（2）加權(quán)平均數(shù)：如果n個數(shù)中，M出現(xiàn)工次，%出現(xiàn)人次，…，々出現(xiàn)力.次（這里

/+力+??,/=〃），那么，根據(jù)平均數(shù)的定義，這n個數(shù)的平均數(shù)可以表示為

-=.r,./,+.r2/2這樣求得的平均數(shù)最叫做加權(quán)平均數(shù)，其中力，人，…，人叫做權(quán)。

n

2、平均數(shù)的計算方法

（1）定義法當(dāng)所給數(shù)據(jù)內(nèi),工2,…，演，比較分散時，一般選用定義公式：X=+X+---+X?）

n2

（2）加權(quán)平均數(shù)法：當(dāng)所給數(shù)據(jù)重復(fù)出現(xiàn)時，一般選用加權(quán)平均數(shù)公式：］=/力.+“20+…勺/.,

n

其中工+人+…力=〃。

（3）新數(shù)據(jù)法：當(dāng)所給數(shù)據(jù)都在某一常數(shù)a的上下波動時，一般選用簡化公式：7=下+“0

其中，常數(shù)a通常取接近這組數(shù)據(jù)平均數(shù)的較“整”的數(shù)，居=玉—a,x'2=x2-a,…，x'n=xn-a.

-1

X'=—（X；+X',+…+總）是新數(shù)據(jù)的平均數(shù)（通常把々X”，叫做原數(shù)據(jù)，居，x'2，…，，叫做新

n

數(shù)據(jù)）。

考點二、統(tǒng)計學(xué)中的幾個基本概念（4分）

1、總體：所有考察對象的全體叫做總體。

2、個體：總體中每一個考察對象叫做個體。

3、樣本：從總體中所抽取的一部分個體叫做總體的一個樣本。

4、樣本容量：樣本中個體的數(shù)目叫做樣本容量。

5、樣本平均數(shù)：樣本中所有個體的平均數(shù)叫做樣本平均數(shù)。

6、總體平均數(shù)：總體中所有個體的平均數(shù)叫做總體平均數(shù)，在統(tǒng)計中，通常用樣本平均數(shù)估計總體平均

數(shù)。

善點三、眾數(shù)'中位數(shù)（3~5分）

1,眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。

2、中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)（或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）

叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。

考點四、方差（3分）

1、方差的概念：在一組數(shù)據(jù)王,々，…，當(dāng)，中，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)最的差的平方的平均數(shù)，叫做這組

1--—

數(shù)據(jù)的方差。通常用“S2”表示，即S2=土［（內(nèi)一為2+（馬一回2+…+（居—以］

n

2、方差的計算

1———

2—2

（1）基本公式：——［（X|-X）+（X2—冗）2+…+（XwX）］

n

1—21—2

（2）簡化計算公式（I）：/=_［（x：+x；+…+/）一〃也可寫成/+—x

nn

此公式的記憶方法是：方差等于原數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方。

（3）簡化計算公式（II）：

1_2

52=-［（X‘；+￡+…+彳［）一〃/］

n

當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的數(shù)據(jù)較大時，可以依照簡化平均數(shù)的計算方法，將每個數(shù)據(jù)同時減去一個與它們的平均數(shù)

接近的常數(shù)a,得到一組新數(shù)據(jù)x；=玉一a,x'2=x2-a,…，x'n=xn-a,那么，

s2=3（肝+/+…+x［）］一，

n

此公式的記憶方法是：方差等于新數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去新數(shù)據(jù)平均數(shù)的平方。

（4）新數(shù)據(jù)法：

原數(shù)據(jù)無1，%2,…,X”的方差與新數(shù)據(jù)％；=內(nèi)一。，x'2=x2-a,…，-a的方差相等，也就是

說，根據(jù)方差的基本公式，求得》\,￡2，-一,"“，的方差就等于原數(shù)據(jù)的方差。

3、標(biāo)準(zhǔn)差

方差的算數(shù)平方根叫做這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，用“s”表示,即

s—Js~-J—［（X|—X）~+（X,—X）2+,,?+（怎-X）~］

Vn

考點五、頻率分布（6分）

1、頻率分布的意義:在許多問題中，只知道平均數(shù)和方差還不夠，還需要知道樣本中數(shù)據(jù)在各個小范圍所

占的比例的大小，這就需要研究如何對一組數(shù)據(jù)進行整理，以便得到它的頻率分布。

2、研究頻率分布的一般步驟及有關(guān)概念：

（1）研究樣本的頻率分布的一般步驟是：

①計算極差（最大值與最小值的差）

②決定組距與組數(shù)

③決定分點

④列頻率分布表

⑤畫頻率分布直方圖

（2）頻率分布的有關(guān)概念

①極差：最大值與最小值的差

②頻數(shù)：落在各個小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個數(shù)

③頻率：每一小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)（樣本容量n）的比值叫做這一小組的頻率。

考點六、確定事件和隨機事件（3分）

1、確定事件：

必然發(fā)生的事件：在一定的條件下重復(fù)進行試驗時，在每次試驗中必然會發(fā)生的事件。

不可能發(fā)生的事件：有的事件在每次試驗中都不會發(fā)生，這樣的事件叫做不可能的事件。

2、隨機事件：

在一定條件下，可能發(fā)生也可能不放聲的事件，稱為隨機事件。

考點七'隨機事件發(fā)生的可能性（3分）

一般地，隨機事件發(fā)生的可能性是有大小的，不同的隨機事件發(fā)生的可能性的大小有可能不同。

對隨機事件發(fā)生的可能性的大小，我們利用反復(fù)試驗所獲取一定的經(jīng)驗數(shù)據(jù)可以預(yù)測它們發(fā)生機會的大

小。要評判一些游戲規(guī)則對參與游戲者是否公平，就是看它們發(fā)生的可能性是否一樣。所謂判斷事件可能

性是否相同，就是要看各事件發(fā)生的可能性的大小是否一樣，用數(shù)據(jù)來說明問題。

考點八'概率的意義與表示方法（5~6分）

n

1、概率的意義：一般地，在大量重復(fù)試驗中，如果事件A發(fā)生的頻率一會穩(wěn)定在某個常數(shù)p附近，那么

m

這個常數(shù)p就叫做事件A的概率。

2、事件和概率的表示方法：一般地，事件用英文大寫字母A,B,C,…，表示事件A的概率p,可記為

P（A）=P

考點九'確定事件和隨機事件的概率之間的關(guān)系（3分）

1、確定事件概率：（1）當(dāng)A是必然發(fā)生的事件時，P（A）=1

（2）當(dāng)A是不可能發(fā)生的事件時，P（A）=0

2、確定事件和隨機事件的概率之間的關(guān)系

事件發(fā)生的可能性越來越小

0v------------------------I概率的值

事件發(fā)生的可能性越來越大

考點十'古典概型（3分）

1、古典概型的定義

某個試驗若具有：①在一次試驗中，可能出現(xiàn)的結(jié)構(gòu)有有限多個；②在一次試驗中，各種結(jié)果發(fā)生的可能

性相等。我們把具有這兩個特點的試驗稱為古典概型。

2、古典概型的概率的求法

一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m

中結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為P（A）=-

n

考點十一'列表法求概率（10分）

1、列表法：用列出表格的方法來分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。

2、列表法的應(yīng)用場合：當(dāng)一次試驗要設(shè)計兩個因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時，為不重不漏地列

出所有可能的結(jié)果，通常采用列表法。

考點十二、樹狀圖法求概率（10分）

1、樹狀圖法：就是通過列樹狀圖列出某事件的所有可能的結(jié)果，求出其概率的方法叫做樹狀圖法。

2、運用樹狀圖法求概率的條件：當(dāng)一次試驗要設(shè)計三個或更多的因素時，用列表法就不方便了，為了不

重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹狀圖法求概率。

考點十三、利用頻率估計概率（8分）

1、利用頻率估計概率

在同樣條件下，做大量的重復(fù)試驗，利用一個隨機事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定到某個常數(shù)，可以估計這個事

件發(fā)生的概率。

2、在統(tǒng)計學(xué)中，常用較為簡單的試驗方法代替實際操作中復(fù)雜的試驗來完成概率估計，這樣的試驗稱為

模擬實驗。

3、隨機數(shù)

在隨機事件中，需要用大量重復(fù)試驗產(chǎn)生一串隨機的數(shù)據(jù)來開展統(tǒng)計工作。把這些隨機產(chǎn)生的數(shù)據(jù)稱為隨

機數(shù)。

第六章一次函數(shù)與反比例函數(shù)

考點一、平面直角坐標(biāo)系(3分)

1,平面直角坐標(biāo)系

在平面內(nèi)畫兩條互相垂直且有公共原點的數(shù)軸，就組成了平面直角坐標(biāo)系。

其中，水平的數(shù)軸叫做X軸或橫軸，取向右為正方向；鉛直的數(shù)軸叫做y軸或縱軸，取向上為正方向；兩

軸的交點0(即公共的原點)叫做直角坐標(biāo)系的原點；建立了直角坐標(biāo)系的平面，叫做坐標(biāo)平面。

為了便于描述坐標(biāo)平面內(nèi)點的位置，把坐標(biāo)平面被x軸和y軸分割而成的四個部分，分別叫做第一象限、

第二象限、第三象限、第四象限。

注意：x軸和y軸上的點，不屬于任何象限。

2、點的坐標(biāo)的概念

點的坐標(biāo)用(a,b)表示，其順序是橫坐標(biāo)在前，縱坐標(biāo)在后，中間有“，”分開，橫、縱坐標(biāo)的位置不

能顛倒。平面內(nèi)點的坐標(biāo)是有序?qū)崝?shù)對，當(dāng)〃時，(a,b)和(b,a)是兩個不同點的坐標(biāo)。

考點二、不同位置的點的坐標(biāo)的特征(3分)

1、各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的特征

點P(x,y)在第一象限。x>0,y>0

點P(x,y)在第二象限=x<0,y>0

點P(x,y)在第三象限Ox<0,y<0

點P(x,y)在第四象限=x>0,y<0

2、坐標(biāo)軸上的點的特征

點P(x,y)在x軸上=y=0,x為任意實數(shù)

點P(x,y)在y軸上Ox=0,y為任意實數(shù)

點P(x,y)既在x軸上，又在y軸上Ox,y同時為零，即點P坐標(biāo)為(0,0)

3、兩條坐標(biāo)軸夾角平分線上點的坐標(biāo)的特征

點P(x,y)在第一、三象限夾角平分線上Ox與y相等

點P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上Ox與y互為相反數(shù)

4、和坐標(biāo)軸平行的直線上點的坐標(biāo)的特征

位于平行于x軸的直線上的各點的縱坐標(biāo)相同。

位于平行于y軸的直線上的各點的橫坐標(biāo)相同。

5、關(guān)于x軸、y軸或遠點對稱的點的坐標(biāo)的特征

點P與點p’關(guān)于x軸對稱O橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)

點P與點p'關(guān)于y軸對稱O縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)

點P與點P'關(guān)于原點對稱O橫、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)

6、點到坐標(biāo)軸及原點的距離

點P(x,y)到坐標(biāo)軸及原點的距離：

(1)點P(x,y)到x軸的距離等于僅|

(2)點P(x,y)到y(tǒng)軸的距離等于N

(3)點P(x,y)到原點的距離等于"x?+>2

考點三、函數(shù)及其相關(guān)概念(3~8分)

］、變量與常量

定某一變化過程中，可以取不同數(shù)值的量叫做變量，數(shù)值保持不變的量叫做常量。

一般地，在某一變化過程中有兩個變量x與y,如果對于x的每一個值，y都有唯一確定的值與它對應(yīng)，

那么就說x是自變量，y是x的函數(shù)。

2、函數(shù)解析式

用來表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關(guān)系式。

使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍。

3、函數(shù)的三種表示法及其優(yōu)缺點

(1)解析法

兩個變量間的函數(shù)關(guān)系，有時可以用一個含有這兩個變量及數(shù)字運算符號的等式表示，這種表示法叫做解

析法。

（2）列表法

把自變量x的一系列值和函數(shù)y的對應(yīng)值列成一個表來表示函數(shù)關(guān)系，這種表示法叫做列表法。

（3）圖像法

用圖像表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖像法。

4、由函數(shù)解析式畫其圖像的一般步驟

（1）列表：列表給出自變量與函數(shù)的一些對應(yīng)值

（2）描點：以表中每對對應(yīng)值為坐標(biāo)，在坐標(biāo)平面內(nèi)描出相應(yīng)的點

（3）連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連接起來。

考點四'正比例函數(shù)和一次函數(shù)（3~10分）

1、正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念

一般地，如果丁=丘+。（k,b是常數(shù)，k/O）,那么y叫做x的一次函數(shù)。

特別地，當(dāng)一次函數(shù)y=+b中的b為。時，y=%c（k為常數(shù)，kHO）。這時，y叫做X的正比例函數(shù)。

2、一次函數(shù)的圖像

所有一次函數(shù)的圖像都是一條直線

3、一次函數(shù)、正比例函數(shù)圖像的主要特征：

一次函數(shù)丁=丘+人的圖像是經(jīng)過點（0,b）的直線；正比例函數(shù)y="的圖像是經(jīng)過原點（0,0）的直

線。

k的符號b的符號函數(shù)圖像圖像特征

b>0卜、圖像經(jīng)過一、二、三象限，y隨x的增大而增大。

k>0

b<0圖像經(jīng)過一、三、四象限，y隨x的增大而增大。

b>0圖像經(jīng)過一、二、四象限，y隨x的增大而減小

K<0

y

b<0圖像經(jīng)過二、三、四象限，y隨x的增大而減小。

注：當(dāng)b=0時，一次函數(shù)變?yōu)檎壤瘮?shù)，正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例。

4、正比例函數(shù)的性質(zhì)

一般地，正比例函數(shù)丁=依有下列性質(zhì)：

（1）當(dāng)k>0時，圖像經(jīng)過第一、三象限，y隨x的增大而增大;

（2）當(dāng)k<0時，圖像經(jīng)過第二、四象限，y隨x的增大而減小。

5、一次函數(shù)的性質(zhì)

一般地，一次函數(shù)丁=丘+。有下列性質(zhì)：

（I）當(dāng)k>0時，y隨x的增大而增大

（2）當(dāng)k<0時，y隨x的增大而減小

6、正比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定

確定一個正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定義式丁=依（kHO）中的常數(shù)k。確定一個一次函數(shù)，需

要確定一次函數(shù)定義式^=丘+。（kHO）中的常數(shù)k和b。解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法。

考點五、反比例函數(shù)（3~10分）

1、反比例函數(shù)的概念

一般地，函數(shù)>=七（k是常數(shù)，kHO）叫做反比例函數(shù)。反比例函數(shù)的解析式也可以寫成丁=入川的形

x

式。自變量x的取值范圍是XH0的一切實數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實數(shù)。

2、反比例函數(shù)的圖像

反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限，它們

關(guān)于原點對稱。由于反比例函數(shù)中自變量XH0,函數(shù)yHO,所以，它的圖像與x軸、y軸都沒有交點，即

雙曲線的兩個分支無限接近坐標(biāo)軸，但永遠達不到坐標(biāo)軸。

3、反比例函數(shù)的性質(zhì)

反比例函

數(shù)

k的符號k>0

圖像

①x的取值范圍是xH0,①x的取值范圍是xHO,

y的取值范圍是yHO；y的取值范圍是yAO；

性質(zhì)②當(dāng)k>0時，函數(shù)圖像的兩個分支分別②當(dāng)k<0時，函數(shù)圖像的兩個分支分別

在第一、三象限。在每個象限內(nèi)，y在第二、四象限。在每個象限內(nèi)，y

隨x的增大而減小。隨x的增大而增大。

4、反比例函數(shù)解析式的確定

k

確定及諛是的方法仍是待定系數(shù)法。由于在反比例函數(shù)y=—中，只有一個待定系數(shù)，因此只需要一對對

x

應(yīng)值或圖像上的一個點的坐標(biāo)，即可求出k的值，從而確定其解析式。

5、反比例函數(shù)中反比例系數(shù)的幾何意義

如下圖，過反比例函數(shù)y="（女W0）圖像上任一點P作x軸、y軸的垂線PM,PN,則所得的矩形PMON

X

的面積S=PM?PN=|y|?W=|到。

女

???y=—xy=k,S=。

x

第七章二次函數(shù)

考點一'二次函數(shù)的概念和圖像（3~8分）

1、二次函數(shù)的概念

一般地，如果y=ad+/7%+（:（。力,。是常數(shù)，QWO）,那么y叫做x的二次函數(shù)。

y=aj3+〃x+c（4,"c是常數(shù)，aw0）叫做二次函數(shù)的一般式。

2、二次函數(shù)的圖像

二次函數(shù)的圖像是一條關(guān)于對稱的曲線，這條曲線叫拋物線。

2a

拋物線的主要特征：

①有開口方向；②有對稱軸；③有頂點。

3、二次函數(shù)圖像的畫法

五點法：

（1）先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出頂點M,并用虛線畫出對稱軸

（2）求拋物線y=ax2+"x+c與坐標(biāo)軸的交點：

當(dāng)拋物線與x軸有兩個交點時，描出這兩個交點A,B及拋物線與y軸的交點C,再找到點C的對稱點D。

將這五個點按從左到右的順序連接起來，并向上或向下延伸，就得到二次函數(shù)的圖像。

當(dāng)拋物線與x軸只有一個交點或無交點時，描出拋物線與y軸的交點C及對稱點D。由C、M、D三點可

粗略地畫出二次函數(shù)的草圖。如果需要畫出比較精確的圖像，可再描出一對對稱點A、B,然后順次連接

五點，畫出二次函數(shù)的圖像。

考點二、二次函數(shù)的解析式（10~16分）

二次函數(shù)的解析式有三種形式：

（1）一般式：y-ax2+Z?x+c（a,0,c,是常數(shù)，awO）

（2）頂點式：y=+Z（a,〃,攵是常數(shù)，a/0）

（3）當(dāng)拋物線丁=。%2+"1+<?與*軸有交點時，即對應(yīng)二次好方程a?+6x+c=0有實根匹和馬存在

時，根據(jù)二次三項式的分解因式“%2+匕％+。=4。-2）。一々），二次函數(shù)卜=a￡+》x+c可轉(zhuǎn)化為兩

根式丁="0-2）。一々）。如果沒有交點，則不能這樣表示。

考點三、二次函數(shù)的最值（10分）

如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值），即當(dāng)了=-b=時，

2a

4cic—h~h

y最值二;〃。如果自變量的取值范圍是項KX<X2,那么，首先要看-工是否在自變量取值范圍

玉工工<%2內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當(dāng)X=-上-時，y最俏=上——；若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)

2a4。

在X1范圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)，y隨X的增大而增大，則當(dāng)x=%2時，

y最大=aE+/?W+c,當(dāng)工=用時，y最小=。q+如+。；如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，則

當(dāng)x=X1時，y垠大=aAf+bx]+c,當(dāng)x=/時，y最小=+b%+c。

考點四'二次函數(shù)的性質(zhì)（6~14分）

1、二次函數(shù)的性質(zhì)

函二次函數(shù)y=。工2+bx+cm,o,c是常數(shù)，a。。）

數(shù)

a>0a<0

y

圖

像■/11

（1）拋物線開口向上，并向上無限延伸；（1）拋物線開口向下，并向下無限延伸；

,bhhb

（2）對稱軸是x=--------,頂點坐標(biāo)是（---------，（2）對稱軸是x=--------?頂點坐標(biāo)是（------，

2a2a2a2a

4ac-b24ac-h2

---------）；---------）；

4a4a

bb

性（3）在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x<--------時，y隨x的增大（3）在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)xv--------時，y隨x的增

2a2。

質(zhì)

b大而增大：在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)x>-2時，y隨x

而減??；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)x>--------時，y隨X的增

2a2a

大而增大，簡記左減右增；的增大而減小，簡記左增右減；

b一,b

（4）拋物線有最低點，當(dāng)x=--------時，y有最小值，（4）拋物線有最高點，當(dāng)x=--------時，y有最大值，

2a2a

4ac-b24ac-b2

y最小值一4a》最大值-4a

2,二次函數(shù)曠=ad+"+c（a,力,。是常數(shù)，。不0）中，a、b、c的含義:

。表示開口方向：。>0時，拋物線開口向上

。<0時，拋物線開口向下

b

b與對稱軸有關(guān)：對稱軸為*=——c表示拋物線與y軸的交點坐標(biāo)：（0,c）

2a

3、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標(biāo)。

因此一元二次方程中的△=b?-4ac,在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點。

當(dāng)△>（）時，圖像與x軸有兩個交點；

當(dāng)A=0時，圖像與x軸有一個交點；

當(dāng)A<0時，圖像與x