高考數(shù)學大一輪復習精講精練(新高考地區(qū))7.8空間幾何體中求距離(精講)(原卷版+解析)

7.8空間幾何體中求距離【題型解讀】【知識必備】1．點到直線的距離如圖，已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點，P是直線l外一點，設eq\o(AP,\s\up6(→))＝a，則向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(a·u)u，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝eq\r(|\o(AP,\s\up6(→))|2－|\o(AQ,\s\up6(→))|2)＝eq\r(a2－a·u2).2．點到平面的距離如圖，已知平面α的法向量為n，A是平面α內(nèi)的定點，P是平面α外一點．過點P作平面α的垂線l，交平面α于點Q，則n是直線l的方向向量，且點P到平面α的距離就是eq\o(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量eq\o(QP,\s\up6(→))的長度，因此PQ＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AP,\s\up6(→))·\f(n,|n|)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AP,\s\up6(→))·n,|n|)))＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).【題型精講】【題型一點線距】例1(2023·陜西安康·高三期末）在棱長為1的正方體中，為的中點，則點到直線的距離為（

）A． B．1 C． D．例2(2023·江蘇南通市高三模擬）如圖，在棱長為4的正方體中，E為BC的中點，點P在線段上，點Р到直線的距離的最小值為_______.【跟蹤精練】1.(2023·陜西高三模擬）設為矩形所在平面外的一點，直線平面，，，.求點到直線的距離.2.(2023·海原縣高三模擬）已知棱長為1的正方體ABCD－EFGH，若點P在正方體內(nèi)部且滿足eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AE,\s\up6(→))，則點P到AB的距離為()A.eq\f(5,6) B.eq\f(\r(181),12)C.eq\f(10\r(30),6) D.eq\f(\r(5),6)【題型二點面距】例3(2023·全國高三模擬）如圖所示，在長方體中，，點E是棱的中點，則點E到平面的距離為（

）A．1 B． C． D．例4(2023·河北衡水中學高三模擬）在直三棱柱中，，分別是，的中點.(1)求證：平面；(2)若，，，求點到平面的距離.【跟蹤精練】1.(2023·安徽·合肥市第六中學高一期中）如圖，在三棱柱中，平面，，，點為的中點.（1）求證：平面；（2）求點到平面的距離.2.(2023·全國高三模擬）如圖，在四棱錐中，已知棱，，兩兩垂直且長度分別為1，2，2，，．（1）若中點為，證明：平面；（2）求點到平面的距離．【題型三線線距】例5(2023·江西高三模擬）定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點到另一條直線距離的最小值.在長方體中，，，，則異面直線與之間的距離是（

）A． B． C． D．例6(2023·重慶八中高三階段練習）如圖，正四棱錐的棱長均為2，點E為側(cè)棱PD的中點．若點M，N分別為直線AB，CE上的動點，則MN的最小值為______．【題型精練】1．(2023·全國·高三專題練習）三棱錐中，，，.記中點為，中點為（1）求異面直線與的距離；（2）求二面角的余弦值.2.(2023·全國·高三專題練習）如圖，三棱柱中，側(cè)面底面，是邊長為2的正三角形，已知點滿足.（1）求二面角的大??；（2）求異面直線與的距離；（3）直線上是否存在點，使平面？若存在，請確定點的位置；若不存在，請說明理由.【題型四線面距】例7(2023·山東·模擬預測）如圖，已知斜三棱柱在底面上的射影恰為的中點又知.(1)求證:平面;(2)求到平面的距離.【題型精練】1.(2023·廣東佛山市高三模擬）如圖，在梯形ABCD中，，，，平面ABCD，且，點F在AD上，且．(1)求點A到平面PCF的距離；(2)求AD到平面PBC的距離．2.(2023·云南昆明市高三模擬）如圖，在長方體中，，，.(1)求直線與平面所成的角的大??；(2)求直線到平面的距離.【題型五面面距】例8(2023·山東·模擬預測）如圖在直三棱柱中，，，，E是上的一點，且，D、F、G分別是、、的中點，與相交于．(1)求證：平面；(2)求平面與平面的距離．【題型精練】1.(2023·廣東佛山市高三模擬）在棱長為的正方體中，、、、分別為、、、的中點．(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面之間的距離．2.(2023·云南昆明市高三模擬）如圖，在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是AA1與CC1的中點.(1)證明：平面EB1D1平面FBD；(2)求平面EB1D1與平面FBD之間的距離.7.8空間幾何體中求距離【題型解讀】【知識必備】1．點到直線的距離如圖，已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點，P是直線l外一點，設eq\o(AP,\s\up6(→))＝a，則向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(a·u)u，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝eq\r(|\o(AP,\s\up6(→))|2－|\o(AQ,\s\up6(→))|2)＝eq\r(a2－a·u2).2．點到平面的距離如圖，已知平面α的法向量為n，A是平面α內(nèi)的定點，P是平面α外一點．過點P作平面α的垂線l，交平面α于點Q，則n是直線l的方向向量，且點P到平面α的距離就是eq\o(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量eq\o(QP,\s\up6(→))的長度，因此PQ＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AP,\s\up6(→))·\f(n,|n|)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AP,\s\up6(→))·n,|n|)))＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).【題型精講】【題型一點線距】例1(2023·陜西安康·高三期末）在棱長為1的正方體中，為的中點，則點到直線的距離為（

）A． B．1 C． D．答案：B【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系，由已知，得，，，，，所以在上的投影為，所以點到直線的距離為故選：B例2(2023·江蘇南通市高三模擬）如圖，在棱長為4的正方體中，E為BC的中點，點P在線段上，點Р到直線的距離的最小值為_______.答案：【解析】在正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，因點P在線段上，則，，，向量在向量上投影長為，而，則點Р到直線的距離，當且僅當時取“=”，所以點Р到直線的距離的最小值為.故答案為：【跟蹤精練】1.(2023·陜西高三模擬）設為矩形所在平面外的一點，直線平面，，，.求點到直線的距離.答案：.【解析】因為平面，所以，所以，因為四邊形為矩形，所以,所以,因為，，所以在上的射影長為，又，所以點到直線的距離.故答案為：2.(2023·海原縣高三模擬）已知棱長為1的正方體ABCD－EFGH，若點P在正方體內(nèi)部且滿足eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AE,\s\up6(→))，則點P到AB的距離為()A.eq\f(5,6) B.eq\f(\r(181),12)C.eq\f(10\r(30),6) D.eq\f(\r(5),6)答案：A【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(1,0,0)＋eq\f(1,2)(0,1,0)＋eq\f(2,3)(0,0,1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(1,2)，\f(2,3))).又eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,0,0)，∴eq\o(AP,\s\up6(→))在eq\o(AB,\s\up6(→))上的投影為eq\f(\o(AP,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\f(3,4)，∴點P到AB的距離為eq\r(|\o(AP,\s\up6(→))|2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AP,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)))2)＝eq\f(5,6).【題型二點面距】例3(2023·全國高三模擬）如圖所示，在長方體中，，點E是棱的中點，則點E到平面的距離為（

）A．1 B． C． D．答案：B【解析】設點E到平面的距離為h，因為點E是棱的中點，所以點E到平面的距離等于點B到平面的距離的一半，又平面過的中點，所以點B到平面的距離等于點D到平面的距離，由等體積法，所以，，，在中，，所以，則解得，即點E到平面的距離為.故選：B.例4(2023·河北衡水中學高三模擬）在直三棱柱中，，分別是，的中點.(1)求證：平面；(2)若，，，求點到平面的距離.答案：(1)詳見解析(2)【解析】（1）連結(jié)交于點，連結(jié)，因為點分別是的中點，所以，且，所以，即四邊形是平行四邊形，所以，且平面，平面，所以平面；（2）因為，則,,，所以，所以，,因為，且，，所以平面，因為，所以點到平面的距離為1，，根據(jù)等體積轉(zhuǎn)化可知，即，解得：，所以點到平面的距離為.【跟蹤精練】1.(2023·安徽·合肥市第六中學高一期中）如圖，在三棱柱中，平面，，，點為的中點.（1）求證：平面；（2）求點到平面的距離.答案：（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）證明：因為平面，平面，所以.在中，，，，所以.所以.因為，，平面，所以平面.（2）由（1）知，，，，如圖，以為原點建立空間直角坐標系.則，，，.，.設平面的法向量為，則即令，則，，所以.又因為，故點到平面的距離.2.(2023·全國高三模擬）如圖，在四棱錐中，已知棱，，兩兩垂直且長度分別為1，2，2，，．（1）若中點為，證明：平面；（2）求點到平面的距離．答案：（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）證明：分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系如圖所示，因為，，的長度分別為1，2，2，且，則，，，，，又是的中點，所以，所以，由已知可得平面的一個法向量為，則，所以，又平面，所以平面；（2）解：設平面的法向量為，因為，，則有，即，令，則，，故，又，所以點到平面的距離．【題型三線線距】例5(2023·江西高三模擬）定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點到另一條直線距離的最小值.在長方體中，，，，則異面直線與之間的距離是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】如圖，以D為坐標原點建立空間直角坐標系，則，則，，設和的公垂線的方向向量，則，即，令，則，，.故選：D.例6(2023·重慶八中高三階段練習）如圖，正四棱錐的棱長均為2，點E為側(cè)棱PD的中點．若點M，N分別為直線AB，CE上的動點，則MN的最小值為______．答案：【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系，則有：，，，，，可得：設，且則有：，可得：則有：故則當且僅當時，故答案為：【題型精練】1．(2023·全國·高三專題練習）三棱錐中，，，.記中點為，中點為（1）求異面直線與的距離；（2）求二面角的余弦值.答案：（1）；（2）【解析】三棱錐三組對棱相等，因此三棱錐的外接平行六面體為長方體，將三棱錐放在長方體中研究設長方體的三維分別為、、且，即，解得：因此以為坐標原點，長方體在處的三條棱的方向為正方向建立空間直角坐標系，則，，，，，，（1），，設垂直于和，所以，令，，，所以，而，因此所求距離為：（2），，設平面的一個法向量為，則，令，則，，所以，設平面的一個法向量為，則，令，則，，所以，所以，所以所求角的余弦值為.2.(2023·全國·高三專題練習）如圖，三棱柱中，側(cè)面底面，是邊長為2的正三角形，已知點滿足.（1）求二面角的大??；（2）求異面直線與的距離；（3）直線上是否存在點，使平面？若存在，請確定點的位置；若不存在，請說明理由.答案：（1）（2）（3）存在點，其坐標為，即恰好為點【解析】（1）側(cè)面底面，又均為正三角形，取得中點，連接，，則底面，故以為坐標原點，分別以為軸、軸、軸建立如圖所示空間直角坐標系，則設平面的法向量為取，可得又平面的一個法向量為由圖知二面角為銳角，故二面角的大小為.（2）異面直線與的公垂線的方向向量，則易得，異面直線與的距離（3），而又，點的坐標為假設存在點符合題意，則點的坐標可設為平面為平面的一個法向量，由，得.又平面，故存在點，使平面，其坐標為，即恰好為點.【題型四線面距】例7(2023·山東·模擬預測）如圖，已知斜三棱柱在底面上的射影恰為的中點又知.(1)求證:平面;(2)求到平面的距離.答案：(1)證明見解析(2)【解析】（1）證明：∵在底面上的射影為的中點，∴平面平面，∵，且平面平面，平面，∴平面，∵平面，∴，∵，且，平面，∴平面．（2）解：取的中點，以為坐標原點，，，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，∵平面，平面，∴，∴四邊形是菱形，∵是的中點，∴，∴，，，，∴，，設平面的法向量，則，，取，，到平面的距離．，平面，平面

平面，到平面的距離等于到平面的距離.【題型精練】1.(2023·廣東佛山市高三模擬）如圖，在梯形ABCD中，，，，平面ABCD，且，點F在AD上，且．(1)求點A到平面PCF的距離；(2)求AD到平面PBC的距離．答案：(1)；(2).【解析】(1)連接AC，因為平面ABCD，又平面ABCD，∴PA⊥CF，又，，∴平面PAC，又平面PFC，∴平面PFC⊥平面PAC，平面PFC⊥平面PAC=PC，過點A作AH⊥PC于H，則AH⊥平面PFC，故AH即為所求，∵在梯形ABCD中，，，，，∴，∴在中，，∴，即點A到平面PCF的距離為；(2)∵，平面PBC，平面PBC，∴平面PBC，過點A作AE⊥PB于E，又因為平面ABCD，則BC，又AB⊥BC，，∴BC⊥平面PBA，則BC⊥AE，又∴AE⊥平面PBC，即AE的長為AD到平面PBC的距離，在等腰直角三角形PAB中，，∴，故AD到平面PBC的距離為2.(2023·云南昆明市高三模擬）如圖，在長方體中，，，.(1)求直線與平面所成的角的大??；(2)求直線到平面的距離.答案：(1)(2)【解析】(1)在長方體中，平面,即平面，則即為直線與平面所成的角，由于，，故，即直線與平面所成的角為；(2)在長方體中，由于,故四邊形是平行四邊形，故，而平面，平面，故平面，則點B到平面的距離即為直線到平面的距離.；而,故,設點B到平面的距離為h，則,即,則，即直線到平面的距離為.【題型五面面距】例8(2023·山東·模擬預測）如圖在直三棱柱中，，，，E是上的一點，且，D、F、G分別是、、的中點，與相交于．(1)求證：平面；(2)求平面與平面的距離．答案：(1)證明見解析(2)【解析】(1)證明：由直三棱柱的性質(zhì)得平面平面，又，平