2025屆高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)總復(fù)習(xí)提升之專題突破詳解專題18演繹推理與合情推理含解析

⑶動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)的距離與到軸的距離之積為1，設(shè)點(diǎn)M的軌跡為E，求證：通過原點(diǎn)的直線中，有且僅有一條直線是E的分割線.【答案】(1)證明見解析；（2）；（3）證明見解析.【解析】試題分析：本題屬于新定義問題，（1）我們只要利用題設(shè)定義求出的值，若，則結(jié)論就可得證；（2）直線是曲線的分隔線，首先直線與曲線無(wú)交點(diǎn)，即直線方程與曲線方程聯(lián)立方程組，方程組應(yīng)無(wú)實(shí)解，方程組變形為，此方程就無(wú)實(shí)解，留意分類探討，按二次項(xiàng)系數(shù)為0和不為0分類，然后在曲線上找到兩點(diǎn)位于直線的兩側(cè)．則可得到所求范圍；（3）首先求出軌跡的方程，化簡(jiǎn)為，過原點(diǎn)的直線中，當(dāng)斜率存在時(shí)設(shè)其方程為，然后解方程組，變形為，這個(gè)方程有無(wú)實(shí)數(shù)解，干脆推斷不便利，可轉(zhuǎn)化為推斷函數(shù)與的圖象有無(wú)交點(diǎn)，而這可利用函數(shù)圖象干脆推斷．是開口方向向上的二次函數(shù)，是冪函數(shù)，其圖象確定有交點(diǎn)，因此直線不是的分隔線，過原點(diǎn)的直線還有一條就是，它明顯與曲線無(wú)交點(diǎn)，又曲線上兩點(diǎn)確定在直線兩側(cè)，故它是分隔線，結(jié)論得證．試題解析：（1）由題得，，∴被直線分隔.（2）由題得，直線與曲線無(wú)交點(diǎn)即無(wú)解∴或，∴.又對(duì)隨意的，點(diǎn)和在曲線上，滿意，被直線分隔，所以所求的范圍是．（3）由題得，設(shè)，∴，化簡(jiǎn)得，點(diǎn)的軌跡方程為①當(dāng)過原點(diǎn)的直線斜率存在時(shí)，設(shè)方程為.聯(lián)立方程，.令，因?yàn)?，所以方程有?shí)解，直線與曲線有交點(diǎn)．直線不是曲線的分隔線．【考點(diǎn)】新定義，直線與曲線的公共點(diǎn)問題.【名師點(diǎn)睛】推斷直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系時(shí)，通常將直線l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)代入圓錐曲線C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一個(gè)關(guān)于變量x(或變量y)的一元方程．即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,Fx，y＝0，))消去y，得ax2＋bx＋c＝0.(1)當(dāng)a≠0時(shí)，設(shè)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判別式為Δ，則Δ>0?直線與圓錐曲線C相交；Δ＝0?直線與圓錐曲線C相切；Δ<0?直線與圓錐曲線C相離．(2)當(dāng)a＝0，b≠0時(shí)，即得到一個(gè)一次方程，則直線l與圓錐曲線C相交，且只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，若C為雙曲線，則直線l與