廣東省湛江市2025屆高三數(shù)學二?？荚囋囶}文含解析

PAGE23-廣東省湛江市2025屆高三數(shù)學二?？荚囋囶}文（含解析）一、選擇題（共12小題）.1.已知集合A＝{x|}，B＝{x|x≤1}，則A∩B＝（）A.（﹣1，+∞） B.[﹣1，1） C.（﹣1，1] D.（﹣∞，1]【答案】C【解析】【分析】可以求出集合A，然后進行交集的運算即可．【詳解】∵A＝{x|x＞﹣1}，B＝{x|x≤1}，∴A∩B＝（﹣1，1]．故選：C【點睛】本題考查了描述法、區(qū)間的定義，交集的運算，考查了計算實力，屬于基礎題．2.（）A.4i B.﹣4i C.﹣4i D.4i【答案】C【解析】【分析】由題意結(jié)合復數(shù)的運算法則干脆計算即可得解.【詳解】由題意．故選：C．【點睛】本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算，考查了運算求解實力，屬于基礎題．3.已知函數(shù)f（x）＝ax2+2bx的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為y＝4x+3，則b﹣a＝（）A.﹣8 B.20 C.8 D.﹣20【答案】C【解析】【分析】求得f(x)的導數(shù)，即可得切線的斜率，結(jié)合切線方程可得f(1)，解方程即可得解．【詳解】函數(shù)f(x)＝ax2+2bx的導數(shù)為＝2ax+2b，可得函數(shù)的圖象在點(1，f(1))處的切線斜率為2a+2b=4，由切線方程為y＝4x+3，可得f(1)=a+2b＝4+3=7，所以a＝﹣3，b＝5，所以b﹣a＝8．故選：C．【點睛】本題考查了導數(shù)的運算及導數(shù)幾何意義的應用，考查了運算求解實力，屬于基礎題．4.高二某班共有45人，學號依次為1、2、3、…、45，現(xiàn)按學號用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為5的樣本，已知學號為6、24、33的同學在樣本中，那么樣本中還有兩個同學的學號應為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意，由系統(tǒng)抽樣的方法，可求出抽到的每個同學的學號之間的間隔為：，而已知學號為6、24、33的同學在樣本中，即可得分別寫出5個同學的學號，即可得出剩余的兩個同學的學號.【詳解】解：由題可知，該班共有45人，按學號用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為5的樣本，則抽到的每個同學的學號之間的間隔為：，而已知學號為6、24、33的同學在樣本中，即抽到的第一個學號為6，則其次個學號為：6+9=15，第三個學號為：15+9=24，則第四個學號為：24+9=33，第五個學號為：33+9=42，所以樣本中還有兩個同學的學號應為：15，42.故選：B.【點睛】本題考查對系統(tǒng)抽樣的理解，屬于基礎題.5.已知a＝lg2，b＝ln2，c＝e，則（）A.a＜c＜b B.a＜b＜c C.b＜c＜a D.b＜a＜c【答案】B【解析】【分析】利用換底公式可得a＝lg2，b＝ln2，再利用對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得解．【詳解】由題意得a＝lg2，b＝ln2，，a＜b＜1，又，∴a＜b＜1＜c．故選：B．【點睛】本題考查了指數(shù)式、對數(shù)式的大小比較，考查了換底公式、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應用，屬于基礎題．6.下列圖象為函數(shù)y，y，y，y的部分圖象，則按依次對應關系正確的是（）A.①②③④ B.①②④③ C.①③②④ D.②①④③【答案】B【解析】【分析】由題意對比函數(shù)的性質(zhì)與函數(shù)圖象的特征，逐個推斷即可得解.【詳解】由可得函數(shù)為奇函數(shù)，所以函數(shù)對應的圖象為圖④，故解除A、C；由，可知函數(shù)對應圖象為圖③；由，可知函數(shù)、對應的圖象分別為①、②，故解除D.故選：B．【點睛】本題考查了函數(shù)圖象的識別，考查了三角函數(shù)性質(zhì)的應用，關鍵是找到函數(shù)的性質(zhì)與圖象特征的對應關系，屬于基礎題．7.我國南北朝時期的數(shù)學家祖暅提出了計算幾何體體積的祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異“．意思是兩個同高的幾何體，假如在等高處的截面積都相等，那么這兩個幾何體的體積相等．現(xiàn)有某幾何體和一個圓錐滿意祖暅原理的條件，若該圓錐的側(cè)面綻開圖是半徑為3的圓的三分之一，則該幾何體的體積為（）A.π B.π C.4 D.【答案】A【解析】【分析】由題意可得該幾何體的體積與圓錐相同，結(jié)合圓錐側(cè)面綻開圖的特征可求得圓錐的母線與底面半徑的長度，進而可得圓錐的高，代入圓錐體積公式即可得解．【詳解】由題意可知，該幾何體的體積等于圓錐的體積，∵圓錐的側(cè)面綻開圖恰為一個半徑為3的圓的三分之一，∴圓錐的底面周長為，∴圓錐的底面半徑為1，母線長為3，∴圓錐的高為，∴圓錐的體積圓錐．從而所求幾何體的體積為．故選：A．【點睛】本題考查了數(shù)學文化與圓錐體積的求法，考查了圓錐側(cè)面綻開圖的特征，正確理解題意是解題的關鍵，屬于基礎題．8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的，則輸入的x的值為（）A.﹣2 B.2 C.5或﹣2 D.7或﹣2【答案】D【解析】【分析】依據(jù)輸出的，結(jié)合程序框圖的值分和兩種狀況，分別計算即可.【詳解】由程序框圖可得：由，解得；由，解得.綜上，輸入的的值為7或-2．故選：D．【點睛】本題考查了程序框圖應用問題，解題時應模擬程序框圖的運行過程，以便得出正確的結(jié)論，是基礎題．9.若雙曲線E：1（a＞0，b＞0）的一條漸近線被圓（x﹣4）2+y2＝16所截得的弦長為4，則E的離心率為（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意可設雙曲線的一條漸近線方程為bx+ay＝0，由圓心到直線的距離公式可得d，再利用勾股定理，半弦長和點到直線的距離，和半徑的關系得到弦長為即可求出.【詳解】設雙曲線的一條漸近線方程為bx+ay＝0，則圓心（4，0）到該直線的距離d，由題意可得弦長：，即，得，即離心率∴E的離心率為2．故選：A．【點睛】本題考查圓與雙曲線的綜合，考查點到直線距離公式的應用及圓的弦長計算，屬于一般題.10.在中，角的對邊分別是，若，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由于，依據(jù)正弦定理角化邊得出，而，則，再利用余弦定理得出，即可得出，最終依據(jù)三角形的面積公式即可求出答案.【詳解】解：由題可知，則，即：，又，，則，由余弦定理得：則，即：，所以，得，解得：，則，得：或（舍去），所以的面積為：.故選：D.【點睛】本題考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，以及三角形的面積公式，考查運算實力.11.已知函數(shù)f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的圖象的一個最高點為（），與之相鄰的一個對稱中心為，將f（x）的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)g（x）的圖象，則（）A.g（x）為偶函數(shù)B.g（x）的一個單調(diào)遞增區(qū)間為C.g（x）為奇函數(shù)D.函數(shù)g（x）在上有兩個零點【答案】B【解析】【分析】先依據(jù)函數(shù)的部分圖象和性質(zhì)求出f（x）解析式，再依據(jù)圖象的變換規(guī)律求得g（x），最終依據(jù)余弦函數(shù)性質(zhì)得出結(jié)論．【詳解】因為函數(shù)f（x）＝Acos（ωx+φ）的圖象的一個最高點為（），與之相鄰的一個對稱中心為，所以A=3，（）；所以T＝π所以ω＝2；所以f（x）＝3cos（2x+φ）；又因為f（）＝3cos[（2×（）+φ]＝3，所以φ＝Kπ；∵0＜φ＜π；∴φ，∴f（x）＝3cos（2x）；因為將f（x）的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)g（x）的圖象，所以g（x）＝3cos[2（x）]＝3cos（2x）；是非奇非偶函數(shù)；令﹣π+2kπ≤2x2kπ，所以kπ≤x≤kπ，k∈z；當k＝0時，g（x）的一個單調(diào)遞增區(qū)間為：；令2xkπ，解得x，k∈z，∴函數(shù)g（x）在[0，]上只有一個零點．故選：B．【點睛】本題主要考查由三角函數(shù)部分圖象求解析式，圖象變換以及三角函數(shù)的性質(zhì)，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運算求解的實力，屬于中檔題.12.已知正方體的棱長為2，為的中點，則三棱錐的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由條件推斷得到三棱錐外接球即四棱錐的外接球，設四棱錐的外接球半徑為，則由勾股定理可解出，即可求得三棱錐的外接球的表面積.【詳解】如圖，因為、、、的四點共面，所以三棱錐的外接球即四棱錐的外接球，因為為矩形，且，，，四棱錐的高為，設四棱錐的外接球半徑為，則，解得，則三棱錐的外接球表面積，故選：D．【點評】本題考查三棱錐外接球表面積，轉(zhuǎn)化為求四棱錐的外接球半徑是關鍵，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應位置.13.已知向量，若，則____________.【答案】5【解析】【分析】依據(jù)題意，依據(jù)平面對量坐標的加減法運算求出，由于，得出，最終利用向量垂直的坐標表示，即可求出.【詳解】解：由題可知，，則，由于，則，即：，解得：.故答案為：5.【點睛】本題考查平面對量坐標的加減法運算和向量垂直的坐標表示，屬于基礎題.14.已知定義域為R的函數(shù)f（x）滿意f（﹣x）＝﹣f（x），f（x+2）＝﹣f（x），且f（x），則f（7）＝_____．【答案】-1【解析】【分析】由f（﹣x）＝﹣f（x）和f（x+2）＝﹣f（x），推導出函數(shù)的周期，再利用周期性和奇偶性求解.【詳解】因為定義域為R的函數(shù)f（x）滿意f（﹣x）＝﹣f（x），f（x+2）＝﹣f（x），所以f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），所以函數(shù)f（x）的周期為4，又因為f（x）是奇函數(shù)，所以f（7）＝f（7-8）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1．故答案為：﹣1．【點睛】本題考查主要函數(shù)值的求法以及函數(shù)周期性和奇偶性的應用，還考查了運算求解的實力，屬于基礎題．15.已知，則____________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意，由，兩邊同時平方并利用同角三角函數(shù)的平方關系得出，得出，依據(jù)三角函數(shù)所在象限的符號，從而可推斷出，再依據(jù)，可求得的值，即可求出的值，最終依據(jù)二倍角的正切公式，即可求出的結(jié)果.【詳解】因為，兩邊同時平方得出：，即：，得，而中，，則可知，所以得，即有，∴，可解得，∴，，即：.故答案為：.【點睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關系，以及二倍角的正切公式的應用，還涉及利用齊次式進行化簡求值，三角函數(shù)中需特殊留意象限的推斷.16.已知拋物線C：y2＝2x，過點E（a，0）的直線l與C交于不同的兩點P（x1，y1），Q（x2，y2），且滿意y1y2＝﹣4，以Q為中點的線段的兩端點分別為M，N，其中N在x軸上，M在C上，則a＝_____．|PM|的最小值為_____．【答案】(1).2(2).4【解析】【分析】過點E（a，0）的直線l的方程設為x＝my+a，代入拋物線的方程，運用韋達定理，結(jié)合條件，解方程可得a的值；再設直線PM的方程為x＝ny+b，聯(lián)立拋物線方程，設M（x3，y3），運用韋達定理和中點坐標公式，可得b＝4，再由弦長公式和二次函數(shù)的最值求法，可得所求最小值．【詳解】過點E（a，0）的直線l的方程設為x＝my+a，代入拋物線方程y2＝2x，可得y2﹣2my﹣2a＝0，所以y1+y2＝2m，y1y2＝﹣2a＝﹣4，可得a＝2；設直線PM的方程為x＝ny+b，聯(lián)立拋物線方程y2＝2x，可得y2﹣2ny﹣2b＝0，設M（x3，y3），所以y1+y3＝2n，y1y3＝﹣2b，由Q為MN的中點，且N在x軸上，可得y3＝2y2，即有2y1y2＝﹣2b＝﹣8，可得b＝4，則|PM|??224，當n＝0即PM⊥x軸時，|PM|取得最小值4．故答案為：2；4．【點睛】本題考查拋物線的方程和運用，考查直線方程和拋物線聯(lián)立，運用韋達定理和弦長公式，考查方程思想和運算實力，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17～21題為必考題，每個試題考生都必需作答.第22，23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝n2+an﹣1．（1）求{an}的通項公式；（2）設bn，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．【答案】（1）an＝2n+1；（2）Tn．【解析】【分析】（1）先由得到，兩式相減得，進而求得；（2）利用裂項相消法求和即可．【詳解】解：（1）∵①，∴，②，由①﹣②可得：，整理得：，，∴，當時，有,所以也適合，故；（2）∵，∴，∴．【點睛】本題主要考查數(shù)列通項公式的求法及裂項相消法求前n項和，屬于中檔題．18.如圖，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1，E，F(xiàn)分別是棱CC1，AB的中點．（1）證明：CF∥平面AEB1．（2）若AC＝BC＝AA1＝4，∠ACB＝90°，求三棱錐B1﹣ECF的體積．【答案】（1）證明見解析（2）．【解析】【分析】（1）取AB1的中點G，連結(jié)EG，F(xiàn)G，推導出四邊形FGEC是平行四邊形，從而CF∥EG，由此能證明CF∥平面AEB1．（2）求出△B1EC的面積，三棱錐F﹣B1CE的高為2，由此能求出三棱錐F﹣B1CE的體積，再利用等體積法求解.【詳解】（1）如圖所示：取AB1的中點G，連結(jié)EG，F(xiàn)G，∵F，G分別是AB，AB1的中點，∴FG∥EC，F(xiàn)G＝EC，∴四邊形FGEC是平行四邊形，∴CF∥EG，∵CF?平面AEB1，EG?平面AEB1，∴CF∥平面AEB1．（2）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵BC＝AA1＝4，E是CC1的中點，∴△B1EC的面積為，∵AC⊥BC，平面ABC平面,平面ABC平面=BC,∴AC平面,∵F是AB的中點，∴三棱錐F﹣B1CE的高為2，∴三棱錐F﹣B1CE的體積為V．∵三棱錐B1﹣ECF的體積與三棱錐F﹣B1CE的體積相等，∴三棱錐B1﹣ECF的體積為.【點睛】本題主要考查線面平行的證明，三棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎學問，考查推理論證實力實力與運算求解實力，屬于中檔題．19.冠狀病毒是一個大型病毒家族，已知的有中東呼吸綜合征（MERS）和嚴峻急性呼吸綜合征（SARS）等較嚴峻的疾病，新型冠狀病毒（nCoV）是以前從未在人體中發(fā)覺的冠狀病毒新毒株，某小區(qū)為進一步做好新型冠狀病毒肺炎疫情學問的教化，在小區(qū)內(nèi)開展“新型冠狀病毒防疫平安公益課”在線學習，在此之后組織了“新型冠狀病毒防疫平安學問競賽”在線活動．已知進入決賽的分別是甲、乙、丙、丁四位業(yè)主，決賽后四位業(yè)主相應的名次為第1，2，3，4名，該小區(qū)為了提高業(yè)主們的參加度和重視度，邀請小區(qū)內(nèi)的全部業(yè)主在競賽結(jié)束前對四位業(yè)主的名次進行預料，若預料完全正確將會獲得禮品，現(xiàn)用表示某業(yè)主對甲、乙、丙、丁四位業(yè)主的名次做出一種等可能的預料排列，記．（1）求出的全部可能情形；（2）若會有小禮品贈送，求該業(yè)主獲得小禮品的概率，【答案】（1）見解析（2）．【解析】【分析】（1）利用列舉法能求出的全部可能狀況．（2）以為一個基本領件，列表求出全部可能結(jié)果，由此能求出該業(yè)主獲得小禮品的概率．【詳解】（1）利用列舉法得到的全部可能情形如下：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.共種狀況.（2）以（a，b，c，d）為一個基本領件，如下表所示：因為共有種狀況，所以的概率為，即該業(yè)主獲得小禮品的概率為．【點睛】本題主要考查古典概型，考查列舉法等基礎學問，同時考查了學生的運算求解實力，屬于簡潔題．20.已知函數(shù)在處取得微小值．（1）求f（x）；（2）令函數(shù)，若f（x）≤g（x）對x∈[1，4]恒成立，求m的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）先對函數(shù)求導，然后結(jié)合極值存在的條件代入即可求解a，b，進而可求函數(shù)解析式；（2）由已知不等式恒成立，分別參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值問題，可構造函數(shù)，結(jié)合導數(shù)可求．【詳解】解：（1），所以，f（），解可得，；（2）若f（x）≤g（x）對x∈[1，4]恒成立，則，所以m對x∈[1，4]恒成立，令h（x），x∈[1，4]，則，當1時，h′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，h′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)減，故h（x）max＝h（），即m的范圍．【點睛】本題考查了函數(shù)極值存在條件的應用，考查利用分別法處理恒成立問題中參數(shù)范圍求解問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的應用，是中檔題．21.已知橢圓C：1（a＞b＞0）的離心率為，點M（a，0），N（0，b），O（0，0），且△OMN的面積為1．（1）求橢圓C的標準方程；（2）設A，B是x軸上不同的兩點，點A（異于坐標原點）在橢圓C內(nèi)，點B在橢圓C外．若過點B作斜率不為0的直線與C相交于P，Q兩點，且滿意∠PAB+∠QAB＝180°．證明：點A，B的橫坐標之積為定值．【答案】（1）y2＝1；（2）見解析【解析】【分析】（1）由題意離心率的值及三角形OMN的面積和a，b，c之間的關系求出a，b的值，進而求出橢圓的方程；（2）作點P關于x軸的對稱點，由橢圓的對稱性可知∠PAB＝∠AB，∠QBA＝∠BA，所以，A，Q三點共線，設Q，A，B的坐標，設直線Q的方程與橢圓聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，因為∠QBA＝∠BA，所以，求出兩條直線的斜率，求出A，B的乘積為定值．【詳解】解：（1）由題意可得：，解得：a2＝4，b2＝1，所以橢圓C的標準方程：y2＝1；（2）證明：作點P關于x軸的對稱點，由橢圓的對稱性可知，點在橢圓上，且∠PAB＝∠AB，∠QBA＝∠BA，因為∠PAB+∠QAB＝180°．所以∠AB+∠QAB＝180°，所以，A，Q三點共線，由題意可知直線Q不與x軸平行或重合，設直線Q的方程為：x＝ty+m，（mt≠0），設，聯(lián)立直線與橢圓的方程：，消x可得，則有y1+y2，y1y2，因為∠QBA＝∠BA，所以，即，所以，即即，解得，因為，所以，故點A，B橫坐標之積為定值4．【點睛】本題考查求橢圓方程及直線與橢圓的綜合，及由角的關系可得斜率的關系，屬于中檔題．（二）選考題：共10分請考生在第22、23兩題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題計分.[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]22.在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系．（1）設射線l的極坐