高考真題教材高考真題審題答題五

教材高考?審題答題(五)解析幾何熱點問題

I三年真題考情I

核心熱點真題印證核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)運算、邏

直線與橢圓的位置關(guān)系2018.III,20;2017-11,20

輯推理

2018-I,20;2017-I,20;

數(shù)學(xué)運算、邏

直線與拋物線的位置關(guān)系2016-III,20;2016-I,20;

輯推理

2018.11,20

數(shù)學(xué)運算、邏

最值與范圍問題2016.11,21

輯推理

數(shù)學(xué)運算、邏

與圓有關(guān)的綜合問題2017.III,20

輯推理

I審題答題指弓11

教材鏈接高考—求曲線方程及直線與圓錐曲線

［教材探究］(引自人教A版選修1—1P42習(xí)題A5(l)(2))求適合下列條件的橢圓的標

準方程：

(1)過點p(—2也,0),2(0,4)；

⑵長軸長是短軸長的3倍，且經(jīng)過點P(3,0).

［試題評析］1.問題涉及解析幾何中最重栗的一類題目：求曲線的方程，解決的方

法都是利用橢圓的幾何性質(zhì).

2.對于(1)給出的兩點并不是普通的兩點，而是長軸和短軸的端點，這就告訴我們

要仔細觀察、借助圖形求解問題，(2)中條件給出a,b的值，但要討論焦點的位

置才能寫出橢圓方程.

【教材拓展】設(shè)拋物線丁=2內(nèi)5>0)的焦點為F,準線為I,過拋物線上一點A

作/的垂線，垂足為5,設(shè)C&，0),AR與3C相交于點E,若|。川=2履用，且

△ACE的面積為3也，則p的值為.

解析易知拋物線的焦點R的坐標為g,0),

又|CW=2|AW且|B|=呼一￡=3p,

3

：.\AB\=\AF\=^p,

可得AQ?,的?).

白人AA|AE|\AB\1

易知AAEBsAFEC,二局=局=5，

故S^ACE=gsAACF=gx3pX巾pxg=^p2=35

.“2=6,；p>0,:.p=#.

答案^6

探究提高1.解答本題的關(guān)鍵有兩個：(1)利用拋物線的定義求出點A的坐標，

(2)根據(jù)△AEBs^f'EC求出線段比，進而得到面積比并利用條件“SMCE=3吐

求解.

2.對于解析幾何問題，除了利用曲線的定義、方程進行運算外，還應(yīng)恰當?shù)乩?/p>

平面幾何的知識，能起到簡化運算的作用.

72

【鏈接高考】(2018?天津卷)設(shè)橢圓，+方=l(a>0>0)的左焦點為R上頂點為3,

已知橢圓的離心率為叩，點A的坐標為(0,0),且總卦|4為=6色.

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)直線/：y=kx(Q0)與橢圓在第一象限的交點為P,且I與直線AB交于點Q.

若鼠=￥sinNA。。(。為原點)，求左的值.

c25

解⑴設(shè)橢圓的焦距為2c,由已知有，得，

又由a2=b2+c2,可得2a=3b.

由己知可得,\FB\=a,\AB\=y[2b,

由尸母|43|=6港，

可得R?=6,從而〃=3,b=2.

92

所以，橢圓的方程為5+:=1.

(2)設(shè)點尸的坐標為(XI,V),點。的坐標為(X2,?).

由已知有〉1＞丁2＞0，

故|PQkinNAOQ=yi一”.

又因為|AQ|=sin/043,而NOAB=g,

故|AQ|=?.

由^^=?gsinNA。。，可得5y1=9”.

y—kx9

由方程組9+9=1，消去“可得y=Sr

易知直線AB的方程為x+y—2=o,

y—kxy

由方程組＜消去X,可得＞2=等.

x~\~y—2=0,KI1

代入5%=9y2,可得5(左+1)=3,9/+4,

將等式兩邊平方，整理得56后一50左+11=0,

解得左=］或左=朵.

ZZo

所以，左的值為;或

ZZo

教你如何審題一圓錐曲線中的證明問題

【例題】(2018?全國I卷)設(shè)拋物線C：V=2x,點A(2,0),3(—2,0),過點A

的直線/與C交于M,N兩點.

(1)當/與x軸垂直時，求直線3航的方程；

(2)證明：ZABM=ZABN.

［審題路線］

聯(lián)立直線和利用直線的

［求宜線的方程)拋物線方程［點M的坐標)兩點西方程俅嗣

當直線，與*

［自主解答］

(1)解當/與x軸垂直時，/的方程為x=2,代入拋物線方程y2=2x,可得M的

坐標為(2,2)或(2,-2).

所以直線BM的方程為y=；x+l或y=-^x~\.

(2)證明當/與x軸垂直時，A3為的垂直平分線，所以NABAf=NA3N.

當/與x軸不垂直時，設(shè)/的方程為,=左。一2)(kWO),M(x\,yi),Ng,")，則

XI>0,X2>0.

y=k(x—2),

由1得62—2y_4左=0,可知”+丁2=工，”V2=-4.

[y9-2x

直線3M,BN的斜率之和為

y2__除+冽+2⑶+券)(州+")巖+2

州

kBM~\~kBN所

xi+2處+2(xi+2)(檢+2)(xi+2)(&+2)=0,

以直線3N的傾斜角互補，所以NABM=NA3N.

綜上，ZABM=ZABN.

探究提高(1)解決本題的關(guān)鍵是分析圖形，把圖形中“角相等”關(guān)系轉(zhuǎn)化為相關(guān)

直線的斜率之和為零，類似的還有圓過定點問題，轉(zhuǎn)化為在該點的圓周角為直角，

進而轉(zhuǎn)化為斜率之積為一1;線段長度的比問題轉(zhuǎn)化為線段端點的縱坐標或橫坐標

之比；

(2)解決此類問題，一般方法是“設(shè)而不求”，通過“設(shè)參、用參、消參”的推理

及運算，借助幾何直觀，達到證明的目的.

【嘗試訓(xùn)練】已知橢圓C：］+t=13>6>0)的離心率為］且過點P0,|),F

為其右焦點.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)過點A(4,0)的直線/與橢圓相交于M,N兩點(點”在A,N兩點之間)，是

否存在直線/使與△MFN的面積相等？若存在，試求直線/的方程；若不

存在，請說明理由.

解⑴因為,=],所以a=2c,b=-\l3c,

22

設(shè)橢圓方程*x+Qv=l，

又點p[l,I)在橢圓上，所以白+親=1,

解得。2=1,次=4,/=3,

92

所以橢圓方程為]+]=L

(2)易知直線I的斜率存在，設(shè)I的方程為尸網(wǎng)x—4),

y=k(%—4),

由，三]消去y得(3+4F)%2—32Fx+64M—12=0,

由題意知A=(32層廣一4(3+4F)(64M一12)>0,

解得一；<舄.

設(shè)A/(X1，》)，N(X2,>2),

則XI+X2=3+4M'①

64——12

沏愈=3+4后.②

因為△AMF與的面積相等,

所以|AM=|MN|,所以2xi=垃+4.③

4+1Ap

由①③消去X2得％1=干后，④

64^—12

將電=2xi—4代入②，得沏(2X1—4)=3+4M⑤

將④代入到⑤式，整理化簡得36層=5.

：?=吊,經(jīng)檢驗滿足題設(shè)，

故直線I的方程為尸乎(x—4)或尸一坐(x—4).

滿分答題示范—圓錐曲線中的定點、定值問題

【例題】(12分X2018?北京卷)己知拋物線C：產(chǎn)=2內(nèi)經(jīng)過點P(l,2).過點0(0,

1)的直線/與拋物線。有兩個不同的交點A,B,且直線以交y軸于直線

交y軸于N.

(1)求直線/的斜率的取值范圍；

(2)設(shè)。為原點，QM=AQO,QN^^QO,求證：為定值.

［規(guī)范解答］

⑴解因為拋物線:/=2?工過點(1,2),

所以2?=4,即9=2.

故拋物線C的方程為/=4z......................................2'HI

由題意知,直線I的斜率存在且不為0.

J

設(shè)直線I的方程為1y=k.rr}(Zr#0).

2=4),

市卜得+(24—4)2,+1=0.....................4，［2］

=1

依題意△=(24-4)2-4X&z><i>o,

解得4V1,又因為左羊。.故k<0或0<4VL

又PA.PB與》軸相交.故直線/不過點(1.—2).

從而及聲一3.

所以直線/斜率的取值范圍是(一\-3)U(-3,0)11(0,1).

............................................................................6'區(qū)

(2)證明設(shè)A(J;I,%)，“)?

由(1)知+72=-2',>?，叫工2=人.

kk

v—2

直線PA的方程為y—2=」』Q—1)....................7'@

令1=0,得點M的縱坐標為

—hrA1

同理得點N的縱坐標為？N=；：］+2..............9'叵|

由疝一入防.4="而得

入=1-5乂，〃=1一5N?...............................................1°'⑦

“'入Ml-yMi~yN（氏一1）為（R—1）公

2.2Z?~4

22

].21[-2-（11+/2）=].kk=?

k—1jr2卜—1J_

F

所以1+上=2為定值........................12'1S

［高考狀元滿分心得］

?得步驟分：抓住得分點的步驟，“步步為贏”，求得滿分.

如第(1)問中聯(lián)立直線方程和拋物線方程，對直線斜率取值的討論.

?得關(guān)鍵分：解題過程中不可忽視關(guān)鍵點，有則給分，無則沒分.如第⑴問中求拋

物線的方程，第(2)問中求點〃和N的縱坐標

?得計算分：解題過程中計算準確是滿分的根本保證.如第⑵中用：W，州表示九

〃，計算:十加值.

［構(gòu)建模板］

專堂)……求圓錐曲線的方程

I

星宴)……聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程

I

筵愛……應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系用參數(shù)表示點的坐標

I

(^遐)……根據(jù)相關(guān)條件計算推證

I

適)...明確結(jié)論

【規(guī)范訓(xùn)練】(2019?西安質(zhì)檢)設(shè)拋物線C：>2=2內(nèi)(/7>0)的焦點為F,準線為I.

已知以R為圓心、4為半徑的圓與/交于A,3兩點，E是該圓與拋物線C的一個

交點，ZEAB=9Q°.

⑴求p的值；

(2)已知點尸的縱坐標為一1且在拋物線C上，。，R是拋物線C上異于點P的另

外兩點，且直線PQ和直線PR的斜率之和為一1,試問直線QR是否經(jīng)過一定點，

若是，求出定點的坐標；若不是，請說明理由.

解(1)由題意及拋物線的定義，有|AW=|EF|=|AE|=4,

所以△AER是邊長為4的正三角形.

設(shè)準線/與x軸交于點。，

則|DF|=P=3AE|=3X4=2.所以p=2.

(2)設(shè)直線QR的方程為點Q(xi，v),Rg”).

由1得4小y—4%=0,

Ly9=4%

則yi+>2=4"z,yi>2=—4/，z/=16m2+16/>0.

又因為點尸在拋物線。上，則

.”一"沖―"4______4_

PQxp-xi城_比yp+yiyi_1'

4一4

,4

同理可得kpR=

>2-]

因為kpQ-YkpR=—1,

斫P，4_4_____4(yi+”)-8______16一一87

1,解得％=3加一不

yi-1,2-1—(川+丁2)+1-4/-4/n+l

rJ=16m2+16r>0,

7

由<t=3*m-^,

X

(—1)~vt,

解得機?1—8,—|jU[j,1JU（1,+8）.

一7

所以直線QR的方程為x="z（y+3）—a，

故直線QR過定點（一1，—3；

I熱點跟蹤訓(xùn)練高效訓(xùn)練，：提升能力

1.已知橢圓P的中心。在坐標原點，焦點在x軸上，且經(jīng)過點A（0,2班），離心

率*.

（1）求橢圓P的方程；

⑵是否存在過點及0,—4）的直線/交橢圓尸于點凡T,且滿足讀?小=與？若

存在，求直線/的方程；若不存在，請說明理由.

72

解（1）設(shè)橢圓P的方程為1（。＞。＞0）,

1

-C-

由題意得5=2#,e--2

〃

2222

：?a=2c,b=a—c=3c9

??c=2,a=4,

72

???橢圓P的方程為W+^=L

1012

⑵假設(shè)存在滿足題意的直線/，易知當直線/的斜率不存在時，OROT<Q,不滿足

題意.

故可設(shè)直線/的方程為4,R(xi,州)，T(X2,y2).

,:dk?所=埠,??.》1了2+%>2=與.

y=kx—^,

由1％2y2得(3+4F)f—32日+16=0,

府+12=1

由/>0得(一32左產(chǎn)一64(3+4/)>0,解得修.①

.,32k16

??xi+x2—3+4標'用工=3+4嚴'

?**y\yi=(kxi—4)(te-4)=lcx\X2—4左(xi+x2)+16,

_16?16M128后」16

故xiX2+yiy2—3+4下+3+4下―3+4萬+16一萬,

解得M=1.②

由①②解得左=±1,

直線I的方程為y=±x-4.

故存在直線/：x+y+4=0或x—y—4=0滿足題意.

2.(2019?南昌調(diào)研)在平面直角坐標系x0y中，過點C(2,0)的直線與拋物線?=

4x相交于A,3兩點，設(shè)A(xi,yi),3(x2,/).

(1)(一題多解)求證：yi>2為定值；

(2)是否存在平行于y軸的定直線被以AC為直徑的圓截得的弦長為定值？如果存

在，求出該直線的方程和弦長；如果不存在，說明理由.

⑴證明法一當直線A3垂直于x軸時，

不妨取8=2/，y2=-2y[2.

因此％”=-8(定值).

當直線AB不垂直于x軸時，

設(shè)直線AB的方程為尸網(wǎng)x—2),

y—k(x—2),

由J得62一分一8左=0.

ly9=4%,

:?yiy2=-8.

因此有yiyi=-8為定值.

法二設(shè)直線AB的方程為my=x-2,

\my=x—2,

由J,得V一4my—8=0.

Ly=4x,

-8.

因此有與”=—8為定值.

(2)解存在.理由如下：

設(shè)存在直線/：x=a滿足條件，

則AC的中點石仲宇，乎，

\AC\=yl(xi-2)2+y?.

因此以AC為直徑的圓的半徑

r=^\AC\=^\l(^i-2)2+yl=^\/xi+4,

Yl—2

又點E到直線尤=。的距離d=-y—?

故所截弦長為

2\1好一#=7\^a(x?+4)—-aj

=>\/x?+4(xi+2—2tz)2

=yj4(1tz)XI+8<74tz2.

當1一。=0,即a=l時，弦長為定值2,這時直線方程為x=L

3.(2019?鄭州質(zhì)檢)已知圓。：f+y2=4，點/1,0),尸為平面內(nèi)一動點，以線段

改為直徑的圓內(nèi)切于圓。，設(shè)動點尸的軌跡為曲線C.

⑴求曲線C的方程；

(2)”,N是曲線C上的動點，且直線MN經(jīng)過定點(0,3J.問：在y軸上是否存在

定點Q，使得/MQO=/NQO?若存在，請求出定點Q的坐標；若不存在，請

說明理由.

解⑴設(shè)PR的中點為S,切點為T,連接。S,ST,則|OS|+|SW=|O7]=2.

取V(—1,0),連接HP,

則尸P|+\FP\=2(|0S|+\SF\)=4.

所以點P的軌跡是以F,F為焦點、、長軸長為4的橢圓，其中，a=2,c=l,所

以Z?2=tz2—c2=4—1=3.

?2

所以曲線C的方程為￡+5=1.

⑵假設(shè)存在滿足題意的定點。設(shè)Q(0,m),當直線的斜率存在時直線MN的方程

為尸質(zhì)+；,M(x\,yi)9N(X2,>2).

JU

聯(lián)立得方程組11

y=kx~\~2-

消去y并整理，得(3+4MW+4右—11=0.

—4k—11

由題意知/>0,，X1+X2=

3+4S'xiX2=3+4H

由ZMQO=ZNQO,得直線MQ與直線NQ的斜率之和為0,

,,1,,1

Axi十7-mkx2\^—m

』口=——」

XlX2xiX2

2kx\X2~\~(Xl+%2)

=0,

XlX2

.fl)—11(1\—4k4k(m—6)

??2履1%2+5-mJ(%i+/2)=2k.§+4M士6-mJ,2+4^2=3+4M=0，3左W。

時，m=6,所以存在定點(0,6),使得NMQO=NN。。；當k=0時，定點(0,

6)也符合題意.

易知直線MN的斜率不存在時，定點。(0,6)也符合題意.

???存在符合題意的定點Q,且定點。的坐標為(0,6).

綜上，存在定點(0,6)使得NMQO=NNQO

4.已知橢圓C：5+核=1(。?>°)的左、右焦點分別為B(T，0),F2(L0),點

A[I,噂在橢圓C上.

⑴求橢圓C的標準方程；

(2)是否存在斜率為2的直線，使得當該直線與橢圓C有兩個不同交點M,N時，

能在直線丁=向上找到一點P,在橢圓C上找到一點。，滿足由=順？若存在,

求出直線的方程；若不存在，說明理由.

解（1）設(shè)橢圓C的焦距為2c,則c=l,

因為啕在橢圓。上，所以2a=|4品|+從巳|=2w，則。=爽，廿=/—02

=1.

故橢圓C的方程為小尸L

⑵橢圓C上不存在這樣的點Q,理由如下：

設(shè)直線的方程為y=2x+f,Mxi，州），N（X2,m），P（X3,I）,Q（X4,3）,MN的中

點為D（xo,yo）,

y=2x+1,

由2_］消去x得9y2—2"+/一8=0,

7t

所以％+”=§,且/=4尸一36（尸—8）>0,

故州二州3'2=1,且一3?3.

由.=感得（為一了3，力―§=（X4—X2,y4~y2）,

5525

所以有y一弓=州一"，3=》+>2-§=§/一,

7

又一3</<3,所以一不勺4<一1,

與橢圓上點的縱坐標的取值范圍是［—1,1］矛盾.

因此橢圓C上不存在這樣的點Q.

5.（2019?合肥質(zhì)檢）在平面直角坐標系中，。為坐標原點，圓。交x軸于點Q,F2,

交y軸于點BI,Bi,以囪，&為頂點，F(xiàn)i,巳分別為左、右焦點的橢圓E,恰好

經(jīng)過點［1,坐）.

（1）求橢圓E的標準方程；

（2）設(shè)經(jīng)過點（一2,0）的直線/與橢圓E交于M,N兩點，求△丑的面積的最大

值.

解（1）由題意，得橢圓E的焦點在x軸上.

設(shè)橢圓E的標準方程為7+/=1(。＞。＞0)，焦距為2c,則b=c,

72

.?.次=/+/=2/，.?.橢圓E的標準方程為東+方=1.

1

???橢圓E經(jīng)過點[1,坐)，????+1=1，解得。2=1.

，橢圓E的標準方程為弓+『=1.

(2);?點(一2,0)在橢圓E外，.?.直線/的斜率存在.

設(shè)直線/的斜率為七則直線/：y=-x+2).設(shè)M(xi,yi),N(x2,yi).

y=k(x+2),

由x2?消去》得(l+2F*+8&+8F—2=0.

萬+戶?1

-Sic8—-2

1+2小xix=]+2后'

A=64Z:4-4(1+2^)(8^-2)>0,解得0WF<；.

2—4后

(1+2后)2,

3|總

:點F2(l,0)到直線l的距離d=

但(2—4層)一

：.叢F?MN的面積為S=^\