考研數(shù)學(xué)二（函數(shù)、極限、連續(xù)）模擬試卷2（共278題）

考研數(shù)學(xué)二（函數(shù)、極限、連續(xù)）模擬試卷2（共9套）（共278題）考研數(shù)學(xué)二（函數(shù)、極限、連續(xù)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、當(dāng)χ→0時(shí)，χ－sinχ是χ2的()．A、低階無(wú)窮小B、高階無(wú)窮小C、等價(jià)無(wú)窮小D、同階但非等價(jià)的無(wú)窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)椋?，所以χ－sinχ為χ2的高階無(wú)窮小，應(yīng)選B．2、設(shè)y＝f(χ)由cos(χy)＋lny－χ＝1確定，則＝()．A、2B、1C、－1D、－2標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)3、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：4、設(shè)f(χ)＝aχ(a＞0，a≠1)，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：lna知識(shí)點(diǎn)解析：5、若a＞0，，則a＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：36知識(shí)點(diǎn)解析：6、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：7、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2ln2－1知識(shí)點(diǎn)解析：8、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：9、設(shè)f(χ)＝，則f(χ)的間斷點(diǎn)為χ＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)χ≠0時(shí)，f(χ)＝當(dāng)χ＝0時(shí)，f(0)＝0，即f(χ)＝因?yàn)椋健?，所以χ?為f(χ)的間斷點(diǎn)，且為第二類間斷點(diǎn)．10、設(shè)f(χ)＝，在χ＝0處連續(xù)，則A＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析三、解答題(本題共23題，每題1.0分，共23分。)11、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、求極限ln(1＋χt)dt．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)f(χ)連續(xù)，且f(0)＝0，f′(0)＝2，求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)F(χ)＝∫0χtisin(χ2－t2)dt，求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)f′(χ)連續(xù)，f(0)＝0，f′(0)≠0，求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)χn＝，求χn標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)f(χ)在χ＝0的某鄰域內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且＝2，求f(0)及f′(0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、設(shè)f(χ)在χ＝0處連續(xù)可導(dǎo)，且＝1，求f〞(0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由得f(0)＝0，得f〞(0)＝－1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、＝5，求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、設(shè)f(χ)在χ＝χ0處可導(dǎo)，且f(χ0)≠0，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、設(shè)f(χ)＝，求f′(χ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：則f′(χ)＝(1＋2χ)e2χ．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、設(shè)f(χ)＝且f(χ)存在，求a．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)榇嬖?，所以f(0－0)＝f(0＋0)，故a＝．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析29、設(shè)f(χ)＝，研究f(χ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(0－0)＝f(χ)＝1，f(0＋0)＝f(χ)＝－1，因?yàn)閒(0－0)≠f(0＋0)，所以f(χ)不存在．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析30、設(shè)f(χ)＝，求f(χ)的連續(xù)區(qū)間及間斷點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(χ)＝，f(χ)的連續(xù)區(qū)間為(－∞，1)∪(1，＋∞)．因?yàn)閒(χ)＝＋∞，所以χ－1為f(χ)的第二類間斷點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析31、求函數(shù)y＝的間斷點(diǎn)，并進(jìn)行分類．標(biāo)準(zhǔn)答案：χ＝0，χ＝1及χ＝2為函數(shù)的間斷點(diǎn)．由＝－1，得χ＝0為函數(shù)的可去間斷點(diǎn)；由＝0得χ＝1為函數(shù)的可去間斷點(diǎn)；由＝∞得χ＝2為函數(shù)的第二類間斷點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析32、設(shè)f(χ)在(0，1)內(nèi)有定義，且eχf(χ)與e－f(χ)在(0，1)內(nèi)都是單調(diào)增函數(shù)，證明：f(χ)在(0，1)內(nèi)連續(xù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)任蒽的c∈(0，1)，當(dāng)χ＜c時(shí)，由eχf(χ)≤ecf(c)及e－f(χ)≤e－f(c)得f(c)≤f(χ)≤ec－χf(c)，令χ→c－得f(c－0)＝f(c)；當(dāng)χ＞c時(shí)，由eχf(χ)≥ecf(c)及e－f(χ)≥e－f(c)得f(c)≥f(χ)≥ec－χf(c)，今χ→c＋得f(c＋0)＝f(c)，因?yàn)閒(c－0)＝f(c＋0)＝f(c)，所以f(χ)在χ＝c處連續(xù)，由c的任意性得f(χ)在(0，1)內(nèi)連續(xù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析33、設(shè)，若F(χ)＝f(χ)＋g(χ)在R上連續(xù)，求a，b．標(biāo)準(zhǔn)答案：F(－1)＝f(－1)＋g(－1)＝1－1＝0，F(xiàn)(－1－0)＝f(－1－0)＋g(－1－0)＝a－1，F(xiàn)(－1＋0)＝f(－1＋0)＋g(－1＋0)＝1－1＝0，由F(χ)在χ＝－1處連續(xù)，所以a＝1；F(1)＝f(1)＋g(1)＝－1＋b，F(xiàn)(1－0)＝f(1－0)＋g(1－0)＝－1＋1＝0，F(xiàn)(1＋0)＝f(1＋0)＋g(1＋0)＝－1＋b，由F(χ)在χ＝1處連續(xù)得b＝1，故a＝1，b＝1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)二（函數(shù)、極限、連續(xù)）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、極限()．A、等于1B、為∞C、不存在但不是∞D(zhuǎn)、等于0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)楫?dāng)χn＝(n＝1，2，…)時(shí)，＝∞，當(dāng)yn＝(n＝1，2，…)時(shí)，＝0，所以極限不存在但不是∞，選C．2、當(dāng)χ→1時(shí)，f(χ)＝的極限為()．A、2B、0C、∞D(zhuǎn)、不存在但不是∞標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：顯然＝2，因?yàn)閒(χ)＝2＝＋∞，而＝0，所以f(χ)不存在但不是∞，選D．3、設(shè)f(χ)連續(xù)且F(χ)＝f(t)dt，則F(χ)為()．A、a2B、a2f(a)C、0D、不存在標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：＝a2f(a)，選B．二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)4、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－2知識(shí)點(diǎn)解析：5、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：ln6－知識(shí)點(diǎn)解析：6、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)χ→0時(shí)，7、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由，得8、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閟inχ＝χ－＋o(χ3)，所以當(dāng)χ→0時(shí)(1＋χ2)sinχ－χ～χ3故原式＝．9、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：10、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)11、若＝0，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：得＝36知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、設(shè)＝A，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)棣帧鷷r(shí)，，所以A＝即＝A．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、求標(biāo)準(zhǔn)答案：由arctanχ－χ－＋o(χ3)得當(dāng)χ→0時(shí)，χ2(χ－arctanχ)～，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)棣帧?+時(shí)，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)f(χ)＝∫0tanχarctant2dt，g(χ)＝χ－sinχ，當(dāng)χ→0時(shí)，比較這兩個(gè)無(wú)窮小的關(guān)系．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)楫?dāng)χ→0時(shí)，g(χ)＝χ－sinχ＝χ－(χ－＋o(χ3))～χ3，所以當(dāng)χ→0時(shí)，f(χ)＝∫0tanχarctant2dt與g(χ)＝χ－sinχ是同階非等價(jià)的無(wú)窮?。R(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)f(χ)連續(xù)，且＝e3，且f′(0)存在，求f′(0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由＝e3得f(0)＝0，則f′(0)＝3．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)f(χ)二階連續(xù)可導(dǎo)，f〞(0)＝4，＝0，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)椋?，所以f(0)＝0，f′(0)＝0，又f(χ)二階連續(xù)可導(dǎo)且f〞(0)＝4，所以f(χ)＝2χ2＋o(χ2)，所以＝e2知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、求標(biāo)準(zhǔn)答案：故原式＝知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、標(biāo)準(zhǔn)答案：所以＝e．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)二（函數(shù)、極限、連續(xù)）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設(shè)當(dāng)x→0時(shí)，f(x)=x—sinax與g(x)=x2ln(1一bx)是等價(jià)無(wú)窮小，則()A、a=1，B、a=1，C、a=一1，D、a=一1，標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由泰勒公式知從而解得a=1，即a=1，2、設(shè)當(dāng)x→0時(shí)，f(x)=ax3+bx與是等價(jià)無(wú)窮小，則()A、b=1B、a=3，b=0C、b=0D、a=1，b=0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由于當(dāng)b≠0時(shí)，該極限為∞，于是b=0，從而3、若在(一∞，+∞)上連續(xù)，且則()A、λ＜0，k＜0B、λ＜0，k＞0C、λ≥0，k＜0D、λ≤0，k＞0標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因故k＞0．若λ＞0，則必存在一個(gè)x使得λ—e-kx=0，即分母為0，矛盾，故λ≤0．4、設(shè)當(dāng)x→0時(shí)，f(x)=ln(1+x2)一ln(1+sin2x)是x的n階無(wú)窮小，則正整數(shù)n等于()A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)橐虼薾=4．5、設(shè)f2(x)=f1[f1(x)]，fk+1(x)=f1[fk(x)]，k=1，2，…，則當(dāng)n＞1時(shí)，fn(x)=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)則因此對(duì)任意n≥1，有故選(C)．6、設(shè)f(x)與g(x)在(一∞，+∞)上都有定義，且x=x1是f(x)的唯一間斷點(diǎn)，x=x2是g(x)的唯一間斷點(diǎn)．則()A、當(dāng)x1=x2時(shí)，f(x)+g(x)必有唯一的間斷點(diǎn)x=x1B、當(dāng)x1≠x2時(shí)，f(x)+g(x)必有兩個(gè)間斷點(diǎn)x=x1與x=x2C、當(dāng)x1=x2時(shí)，f(x)g(x)必有唯一間斷點(diǎn)x=x1D、當(dāng)x1≠x2時(shí)，f(x)g(x)必有兩個(gè)間斷點(diǎn)x=x1與x=x2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：反證法．令ω(x)=f(x)+g(x)．當(dāng)x1≠x2時(shí)，若ω(x)在x=x1處連續(xù)，由f(x)=ω(x)一g(x)及題設(shè)g(x)僅在x=x2處間斷，可以推知f(x)在x=x1處亦連續(xù)，與題干矛盾，故ω(x)在x=x1處間斷．同理可推知ω(x)在x=x2處亦間斷．所以(B)正確．二、填空題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)7、標(biāo)準(zhǔn)答案：e-π知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)樗?、設(shè)存在且不為零，則常數(shù)k=_____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：100知識(shí)點(diǎn)解析：由此可知，極限存在且不為零的充要條件是99一k+1=0，即k=100．9、設(shè)則標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由積分的定義知，因此三、解答題(本題共22題，每題1.0分，共22分。)10、求極限：標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)橛钟蓨A逼準(zhǔn)則得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析11、求極限：標(biāo)準(zhǔn)答案：這是“∞一∞”型未定式極限，首先通分變成型未定式，然后使用洛必達(dá)法則求極限．或利用等價(jià)無(wú)窮小代換ex一1～x(x→0)，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、設(shè)f(x)的二階導(dǎo)數(shù)在x=0處連續(xù)，且試求f(0)，f’(0)，f"(0)以及極限標(biāo)準(zhǔn)答案：依題意有故所以有所以這是“1∞”型未定式．由得f(0)=0．將原極限湊成第二個(gè)重要極限，其中所以必有于是有從而得f’(0)=0，f"(0)=4．則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、設(shè)a＞0，x1＞0，n=1，2，…，試求標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)楣蕒xn}有下界，又故{xn}單調(diào)遞減，所以存在．令于是解得故知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、試討論函數(shù)在點(diǎn)x=0處的連續(xù)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：所以：當(dāng)α＞0且β=一1時(shí)，有g(shù)(0-)=g(0+)=g(0)=0，故g(x)在x=0處連續(xù)；當(dāng)α＞0且β≠一1時(shí)，有g(shù)(0-)≠g(0+)，故點(diǎn)x=0是g(x)的跳躍間斷點(diǎn)；當(dāng)α≤0時(shí)，點(diǎn)x=0是g(x)的振蕩間斷點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、求函數(shù)的間斷點(diǎn)，并判斷它們的類型．標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)于函數(shù)F(x)的分段點(diǎn)x=0，因故點(diǎn)x=0是函數(shù)F(x)的跳躍間斷點(diǎn)．當(dāng)x＞0時(shí)，在x=1處沒(méi)有定義，且振蕩，不存在，故點(diǎn)x=1是函數(shù)F(x)的振蕩間斷點(diǎn)．當(dāng)x＜0時(shí)，在點(diǎn)列處沒(méi)有定義，則這些點(diǎn)都是函數(shù)F(x)的間斷點(diǎn)．特別對(duì)點(diǎn)有故點(diǎn)是函數(shù)F(x)的可去間斷點(diǎn)；而點(diǎn)列顯然是函數(shù)F(x)的無(wú)窮間斷點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)求f(x)的間斷點(diǎn)并判定其類型．標(biāo)準(zhǔn)答案：因故x=0為可去間斷點(diǎn)．又故x=一1為跳躍間斷點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)求f(x)的間斷點(diǎn)，并說(shuō)明間斷點(diǎn)的類型．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)在區(qū)間(一1，0)，(0，1)及(1，+∞)上都是初等函數(shù)，且是連續(xù)的．f(0)無(wú)定義，故x=0是間斷點(diǎn)．因?yàn)樗詘=0為跳躍間斷點(diǎn)．f(1)無(wú)定義，故x=1是間斷點(diǎn)．因?yàn)樗詘=1為無(wú)窮間斷點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)函數(shù)f(x)由下列表達(dá)式確定，求f(x)的連續(xù)區(qū)間和間斷點(diǎn)，并判定間斷點(diǎn)的類型．標(biāo)準(zhǔn)答案：顯然x=1為間斷點(diǎn)，連續(xù)區(qū)間為(一∞，1)∪(1，+∞)．由于所以x=1為無(wú)窮間斷點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，x1，x2，…，xn，…是[a，b]上的一個(gè)點(diǎn)列，求標(biāo)準(zhǔn)答案：本題考慮夾逼準(zhǔn)則．由f(x)在[a，b]上連續(xù)，知ef(x)在[a，b]上非負(fù)連續(xù)，且0＜m≤ef(x)≤M，其中M，m分別為ef(x)在[a，b]上的最大值和最小值，于是故由根據(jù)夾逼準(zhǔn)則，得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、(1)求函數(shù)的表達(dá)式，x≥0；(2)討論函數(shù)f(x)的連續(xù)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)當(dāng)時(shí)，有當(dāng)時(shí)，有當(dāng)x≥2時(shí)，有又故(2)因?yàn)閒(x)在[2，+∞)上均連續(xù)，又所以f(x)在[0，+∞)上連續(xù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、如果數(shù)列{xn}收斂，{yn}發(fā)散，那么{xnyn}是否一定發(fā)散?如果{xn}和{yn}都發(fā)散，那么{xnyn}的斂散性又將如何?標(biāo)準(zhǔn)答案：在題設(shè)兩種情況下，{xnyn)的收斂性都不能確定．現(xiàn)在先就{xn}收斂，{yn}發(fā)散的情況來(lái)分析．利用這個(gè)恒等式，就可得到下述結(jié)論：若{xn}收斂且不收斂于零，{yn}發(fā)散，則{xnyn)必發(fā)散．這是因?yàn)槿魗xnyn}收斂，且{xn}收斂而極限不等于零，則從上述恒等式及極限的除法法則，可知{yn}收斂，這與假設(shè)矛盾．若且{yn}發(fā)散，則{xnyn}可能收斂，也可能發(fā)散，如：①yn=n，則xnyn=1，于是{xnyn}收斂．②yn=(一1)nn，則xnyn=(一1)n，于是{xnyn}發(fā)散．現(xiàn)在再就{xn}和{yn}都發(fā)散的情況來(lái)分析{xnyn}的收斂性．有下面的結(jié)論：若{xn}和{yn}都發(fā)散，且兩者至少有一個(gè)是無(wú)窮大，則{xnyn}必發(fā)散．這是因?yàn)槿绻鹻xnyn}收斂，而{xn}為無(wú)窮大，從等式便得到{yn}收斂于零，這與假設(shè)矛盾．若{xn}和{yn}都不是無(wú)窮大，且都發(fā)散，則{xnyn}可能收斂，也可能發(fā)散，如：③xn=yn=(一1)n，有xnyn=1，于是{xnyn}收斂．④xn=(一1)n，yn=1一(一1)n，有xnyn=(一1)n一1，于是{xnyn)發(fā)散．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、已知是連續(xù)函數(shù)，求a，b的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x=1時(shí)，當(dāng)|x|＜1時(shí)，當(dāng)|x|＞1時(shí)，當(dāng)x=一1時(shí)，于是只需討論分界點(diǎn)處的連續(xù)性：在x=1處，有要使f(x)在x=1處連續(xù)，則a+b=1；在x=一1處，有f(-1)=要使f(x)在x=一1處連續(xù)，則a一b=一1．綜上可得，當(dāng)a=0，b=1時(shí)，是連續(xù)函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)為了使f(x)對(duì)一切x都連續(xù)，求常數(shù)a的最小正值．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)|x|＜1時(shí)，所以f(x)=sinax；當(dāng)|x|＞1時(shí)，又f(1)=1，f(一1)=一1，所以由此可得，f(x)在(一∞，-1]，(一1，1)，[1，+∞)內(nèi)連續(xù)，故只需f(x)在x=一1，x=1這兩點(diǎn)處連續(xù)即可．因?yàn)樗约礊槌?shù)a的最小正值．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、設(shè)在0＜x≤1時(shí)函數(shù)f(x)=xsinx其他的x滿足關(guān)系式f(x)+k=2f(x+1)，試求常數(shù)k使極限存在．標(biāo)準(zhǔn)答案：因求“00”型未定式極限的常用方法是將該類冪指數(shù)函數(shù)u(x)v(x)化為復(fù)合函數(shù)ev(x)lnu(x)，故其中，(*)處通過(guò)等價(jià)無(wú)窮小代換與洛必達(dá)法則得根據(jù)題設(shè)的關(guān)系式知f(x)=2f(x+1)一k，得由上述結(jié)果可得f(x)在x=0處的右極限f(0+)=1，而其左極限要使極限存在，應(yīng)有2一k=f(0-)=f(0+)=1，故k=1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、證明：若單調(diào)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有間斷點(diǎn)，則必為第一類間斷點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：不妨設(shè)．f(x)在(a，b)內(nèi)是單調(diào)遞增的，x0∈(a，b)是f(x)的間斷點(diǎn)．再設(shè)x∈(a，x0)，則x＜x0，由單調(diào)遞增性知：f(x)＜f(x0)(為常數(shù))，即f(x)在(a，x0)上單調(diào)遞增有上界，它必定存在左極限：式中“≤”處若取“一”號(hào)，則f(x)在點(diǎn)x0處左連續(xù)，同理可證，當(dāng)x＞x0時(shí)，單調(diào)增函數(shù)f(x)存在右極限x(x0)≥f(x0)，則f(x)在x0處右連續(xù)．反之點(diǎn)x0為跳躍間斷點(diǎn)．綜合之，單調(diào)增函數(shù)f(x)在間斷點(diǎn)x0處的左、右極限都存在，故若x0是f(x)的間斷點(diǎn)，則x0一定是f(x)的第一類間斷點(diǎn)．同理可證f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞減的情形．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、設(shè)y=y(x)是由方程y2+xy+x2一x=0確定，且滿足y(1)=一1的連續(xù)函數(shù)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閥(1)=一1，所以所給極限為由洛必達(dá)法則得對(duì)所給的方程兩邊求導(dǎo)得2yy’xy’+y+2x一1=0，即當(dāng)x→1時(shí)y→一1，y’(x)→0．所以(*)式又是于是有又(**)式求導(dǎo)可得當(dāng)x→1時(shí)y→一1，y’(x)→0，于是y"(x)→2．所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、(1)設(shè)k為正整數(shù)，證明：F(x)存在唯一的零點(diǎn)，記為xk；(2)對(duì)于(1)中的xk，證明：存在，且其極限值小于2．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)故F(x)至少存在一個(gè)零點(diǎn)．又故至多存在一個(gè)零點(diǎn)．所以F(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)xk，且(2)因由單調(diào)有界定理知存在，且極限值小于2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、設(shè)a＞0，b＞0，a≠b，求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析29、求函數(shù)的所有間斷點(diǎn)，并判斷它們的類型．標(biāo)準(zhǔn)答案：考慮函數(shù)無(wú)定義的點(diǎn)，間斷點(diǎn)有x=一2，一1，0，1．在點(diǎn)x1=一2處，由可知f(x)在點(diǎn)x1=一2的半徑小于1的去心鄰域內(nèi)有界；同時(shí)，任一半徑小于1的去心鄰域內(nèi)f(x)的函數(shù)值無(wú)限振蕩，振幅不趨于0，所以x1=一2是f(x)的振蕩間斷點(diǎn)．在點(diǎn)x2=一1處，由于即在點(diǎn)x2=一1的半徑小于1的去心鄰域內(nèi)有界；而所以從而可知x2=一1是f(x)的可去間斷點(diǎn)．在點(diǎn)x3=0處，由于所以x3=0是f(x)的無(wú)窮間斷點(diǎn)．在點(diǎn)x4=1處，由于所以x4=1是f(x)的跳躍間斷點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)數(shù)列{xn}滿足0＜x1＜1，ln(1+xn)=exn+1一1(n=1，2，…)．證明30、當(dāng)0＜x＜1時(shí)，ln(1+x)＜x＜ex一1；標(biāo)準(zhǔn)答案：記F1(x)=ln(1+x)一x，則于是F1(x)在(0，1)內(nèi)單調(diào)減少，由F1(0)=0，知F1(x)＜0，x∈(0，1)，從而ln(1+x)＜x；記F2(x)=x-ex+1，則F’2(x)=1一ex＜0，于是F2(x)在(0，1)內(nèi)單調(diào)減少，由F2(0)=0，知F2(x)＜0，x∈(0，1)，從而x＜ex一1．故ln(1+x)＜x＜ex一1，0＜x＜1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析31、存在，并求該極限．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)0＜x＜1時(shí)，ln(1+x)＜x＜ex一1．由01＜1，可知0＜ex2—1一ln(1+x1)＜x1＜1，從而0＜x2＜1．同理可證當(dāng)0＜x＜k<1時(shí)，xk+1同樣滿足0＜xk+1＜1，由數(shù)學(xué)歸納法知對(duì)一切n=1，2，…，有0＜xn＜1，即數(shù)列{xn}是有界的．又當(dāng)0＜xn＜1時(shí)xn+1＜exn+1一1=ln(1+xn)＜xn，即{xn}單調(diào)減少．由單調(diào)有界準(zhǔn)則知存在．將該極限值記為a，則a≥0．對(duì)ln(1+xn)=exn+1一1兩邊取極限，得ln(1+a)=ea一1．設(shè)f(x)=ex一1一ln(1+x)，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，因此f(x)單調(diào)增加．由f(0)=0，可知f(x)＞0，從而只有a=0，即知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)二（函數(shù)、極限、連續(xù)）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)f(χ)＝，則f(χ)()．A、無(wú)間斷點(diǎn)B、有間斷點(diǎn)χ＝1C、有間斷點(diǎn)χ＝－1D、有間斷點(diǎn)χ＝0標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)｜χ｜＜1時(shí)，f(χ)＝1＋χ；當(dāng)｜χ｜＞1時(shí)，f(χ)＝0；當(dāng)χ＝－1時(shí)，f(χ)＝0；當(dāng)χ＝1時(shí)，f(χ)＝1．于是f(χ)＝，顯然χ＝1為函數(shù)f(χ)的間斷點(diǎn)，選B．2、設(shè)＝b其中a，b為常數(shù)，則()．A、a＝1，b＝1B、a＝1，b＝－1C、a＝－1，b＝1D、a＝－1，b＝－1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)椋健?，所以＝∞，即a＝1，又＝－1，選B．3、f(χ)在[－1，1]上連續(xù)，則χ＝0是函數(shù)g(χ)＝的()．A、可去間斷點(diǎn)B、跳躍間斷點(diǎn)C、連續(xù)點(diǎn)D、第二類間斷點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：顯然χ＝0為g(χ)的間斷點(diǎn)，因?yàn)閒＝(0)，所以χ＝0為g(χ)的可去間斷點(diǎn)，選A．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)4、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)χ→0時(shí)，于是5、若f(χ)＝在χ＝0處連續(xù)，則a＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：，因?yàn)閒(χ)在χ＝0處連續(xù)，所以1＋＝a，故a＝2．6、設(shè)f(χ)＝在χ＝0處連續(xù)，則a＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：e-1知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)椋絜-1，所以a＝e-1．7、設(shè)f(χ)連續(xù)可導(dǎo)，f(0)＝0且f′(0)＝b，若F(χ)＝在χ＝0處連續(xù)，則A＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：a＋b知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)镕(χ)在χ＝0處連續(xù)，所以A＝a＋b．8、設(shè)f(χ)連續(xù)，且F(χ)＝∫aχf(t)df，則F(χ)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：a2f(a)知識(shí)點(diǎn)解析：9、設(shè)f(χ)可導(dǎo)且＝2，又g(χ)＝在χ＝0處連續(xù)，則a＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識(shí)點(diǎn)解析：由∫0χ(χ－t)dt∫0χf(u)du，當(dāng)χ→0時(shí)，χ－arctanχ＝χ－[χ－＋o(χ3)]～得因?yàn)間(χ)在χ＝0處連續(xù)，所以a＝3．三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)10、設(shè)f(χ)＝是連續(xù)函數(shù)，求a，b．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(χ)＝，因?yàn)閒(χ)是連續(xù)函數(shù)，所以f(－1－0)＝－1＝f(－1)＝(a－b－1)＝f(－1＋0)＝a－b，f(1－0)＝a＋b＝f(1)＝(a＋b＋1)＝f(1＋0)＝1，解得a＝0，b＝1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析11、確定正數(shù)a，b，使得＝2．標(biāo)準(zhǔn)答案：顯然b＝1，且＝2，故a＝1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、求常數(shù)m，n，使得＝3．標(biāo)準(zhǔn)答案：由＝3得m＋n＋1＝0，得m＋2＝6，解得m＝4，n＝－5．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、設(shè)an＝，證明：{an}收斂，并求．標(biāo)準(zhǔn)答案：顯然{an}單調(diào)增加，現(xiàn)證明：an≤3，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝≤3，設(shè)n＝k時(shí)，ak≤3，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak+1＝＝3，由歸納法原理，對(duì)一切的自然數(shù)n，有an≤3，所以an存在．令an＝A，由an+1＝，得A＝，解得A＝3，即an＝3．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、設(shè)a1＝1，an+1＋＝0，證明：數(shù)列{an}收斂，并求．標(biāo)準(zhǔn)答案：先證明{an}單調(diào)減少．a(chǎn)2＝0，a2＜a1；設(shè)ak+1，＜ak，ak+2＝－，由ak+1＜ak得1－ak+1＞1－ak，從而，即aa+2＜ak+1，由歸納法得數(shù)列{an}單調(diào)減少．現(xiàn)證明an≥－a1＝1≥－，設(shè)ak≥－，則1－ak≤，從而－，即ak+1≥－，由歸納法，對(duì)一切n，有an≥－由極限存在準(zhǔn)則，數(shù)列{an}收斂，設(shè)an＝A，對(duì)an+1＋＝0兩邊求極限得A＋＝0，解得．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、設(shè)χ1＝2，χn+1＝2＋，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：令＝l，則l＝1＋，現(xiàn)證明．因?yàn)?≤｜χn－l｜＝｜χ1－l｜，且｜χ1－l｜＝0，所以由夾逼定理得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)a1＝1，a2＝2，3an+2－4an+1＋an＝0，n＝1，2，…，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：由3an+2－4an+1＋an＝0，得3(an+2－an+1)＝an+1－an(n＝1，2，…)．令bn＝an+1－an，則bn+11／bn＝1／3(n＝1，2，…)，由b1＝1，得bn＝(n＝1，2，…)，即解得an＝1＋，所以．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、求標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)χ∈[0，1]時(shí)，由0≤≤sinnχ≤χn，積分得0≤，而＝0，由迫斂定理得＝0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、討論函數(shù)f(χ)＝的連續(xù)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)χ≠0時(shí)，函數(shù)f(χ)連續(xù)，f(0－0)＝＝－1，f(0＋0)＝＝1，f(0)＝1，χ＝0為函數(shù)f(χ)的第一類間斷點(diǎn)中的跳躍間斷點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、討論函數(shù)f(χ)＝(χ＞0)的連續(xù)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)χ∈(0，e)時(shí)，f(χ)＝＝1當(dāng)χ＝e時(shí)，f(e)＝1，當(dāng)χ＞e時(shí)，f(χ)＝＝lnχ故f(χ)＝因?yàn)閒(e－0)＝f(e)＝f(e＋0)＝1，所以f(χ)在χ＞0處處連續(xù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)f(χ)＝，求f(χ)的間斷點(diǎn)并判斷其類型．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(χ)為初等函數(shù)，所以f(χ)的間斷點(diǎn)為χ＝0和χ＝1．因?yàn)棣帧?時(shí)，1－～－χ，所以f(χ)＝－1，即χ＝0為f(χ)的第一類間斷點(diǎn)中的可去間斷點(diǎn)；因?yàn)閒(1－0)＝＝0，f(1＋0)＝＝1，所以χ＝1為f(χ)的第一類間斷點(diǎn)中的跳躍間斷點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)f(χ)＝，求f(χ)的間斷點(diǎn)，并分類．標(biāo)準(zhǔn)答案：顯然χ＝0，χ＝1為函數(shù)f(χ)的間斷點(diǎn)．f(0－0)＝，f(0＋0)＝，因?yàn)閒(0－0)≠f(0＋0)，所以χ＝0為f(χ)的跳躍間斷點(diǎn)；f(1－0)＝，f(1＋0)＝＝0，因?yàn)閒(1－0)≠f(1＋0)，所以χ＝1為f(χ)的跳躍間斷點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、求f(χ)＝的間斷點(diǎn)并分類．標(biāo)準(zhǔn)答案：χ＝－1、χ＝0、χ＝1、χ＝2為f(χ)的間斷點(diǎn)，由得χ＝－1為第二類間斷點(diǎn)，由得χ＝0為可去間斷點(diǎn)，由f(χ)＝∞得χ＝1為第二類間斷點(diǎn)，由f(2＋0)＝f(χ)＝＋∞得χ＝2為第二類間斷點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)f(χ)＝，求f(χ)的間斷點(diǎn)并判斷其類型．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)χ＝0及χ＝±1時(shí)f(χ)間斷．由f(0－0)＝0，f(0＋0)＝－∞得χ＝0為f(χ)的第二類間斷點(diǎn)．由f(1－0)＝－，f(1＋0)＝得χ＝1為f(χ)的第一類間斷點(diǎn)中的跳躍間斷點(diǎn)，同理χ＝－1也為f(χ)的跳躍間斷點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、設(shè)f(χ)＝，χ∈[，1)，試補(bǔ)充定義使得f(χ)在[，1]上連續(xù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：所以令f(1)＝則f(χ)在[，1]上連續(xù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、設(shè)f(χ)＝，求f(χ)的間斷點(diǎn)及分類．標(biāo)準(zhǔn)答案：χ＝0及χ＝1為f(χ)的間斷點(diǎn)．則χ＝0為f(χ)的可去間斷點(diǎn)；因?yàn)閒(1－0)≠f(1＋0)，所以χ＝0為f(χ)的跳躍間斷點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)二（函數(shù)、極限、連續(xù)）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)1、設(shè)則()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：將題設(shè)條件f(x)中的所有自變量x都用(一x)替換，得也就是故選D。2、設(shè)則f{f[f(x)]}=()A、0B、1C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)椋黤(x)｜≤1恒成立，所以f[f(x)]=1恒成立，從而f{f[f(x)]}=f(1)=1。故選B。3、下列各題計(jì)算過(guò)程正確的是()A、數(shù)列極限B、C、不存在D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：A項(xiàng)錯(cuò)誤，數(shù)列沒(méi)有導(dǎo)數(shù)概念，不能直接用洛必達(dá)法則。B項(xiàng)錯(cuò)誤，是定式，不能用洛必達(dá)法則。C項(xiàng)錯(cuò)誤，用洛必達(dá)法則求型極限時(shí)，若不存在，也不為∞，法則失效，不能推出原極限不存在，事實(shí)上該極限是存在的。故選D。4、下列各式中正確的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由重要極限結(jié)論可排除B、D。對(duì)于A、C選項(xiàng)，只要驗(yàn)算其中之一即可。對(duì)于C選項(xiàng)，因故C選項(xiàng)不正確。故選A。5、當(dāng)x→1時(shí)，函數(shù)的極限()A、等于2B、等于0C、為∞D(zhuǎn)、不存在，但不為∞標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因故當(dāng)x→1時(shí)，函數(shù)極限不存在，也不是∞。故選D。6、函數(shù)f(x)=xsinx()A、當(dāng)x→∞時(shí)為無(wú)窮大B、在(一∞，+∞)內(nèi)有界C、在(一∞，+∞)內(nèi)無(wú)界D、當(dāng)x→∞時(shí)有有限極限標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：令xn=2nπ+，yn=2nπ+π，則f(xn)=2nπ—，f(yn)=0。因?yàn)?，所以f(x)在(一∞，+∞)內(nèi)無(wú)界，且當(dāng)x→∞時(shí)不一定為無(wú)窮大。故選C。7、設(shè)數(shù)列{xn}與{yn}滿足xnyn=0，則下列結(jié)論正確的是()A、若{xn}發(fā)散，則{yn}必發(fā)散B、若{xn}無(wú)界，則{yn}必?zé)o界C、若{xn}有界，則{yn}必為無(wú)窮小D、若為無(wú)窮小，則{yn}必為無(wú)窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：取xn=n，yn=0，顯然滿足題設(shè)條件，由此可排除選項(xiàng)A、B。取xn=0，yn=0，也滿足xnyn=0，排除選項(xiàng)C。故選D。8、設(shè){an}，{bn}，{cn}均為非負(fù)數(shù)列，且，則必有()A、an＜bn對(duì)任意n成立B、bn＜cn對(duì)任意n成立C、極限ancn不存在D、極限bncn不存在標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于極限值與數(shù)列前面有限項(xiàng)的大小無(wú)關(guān)，因此可排除選項(xiàng)A、B。極限ancn是一個(gè)0·∞型未定式極限，可能存在也可能不存在，因此可以排除選項(xiàng)C。極限bncn是1·∞型，必為無(wú)窮大量，即極限不存在。故選D。也可用舉反例法，取an=，bn=1，cn=(n=1，2，…)，則可排除選項(xiàng)A、B、C。故選D。9、設(shè)對(duì)任意的x，總有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且[g(x)一φ(x)]=0，則f(x)()A、存在且等于零B、存在但不一定為零C、一定不存在D、不一定存在標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：取φ(x)=f(x)=g(x)=x，顯然有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且，但不存在，故排除A、B。再取φ(x)=f(x)=g(x)=1，同樣有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且，但，可見(jiàn)C項(xiàng)不正確。故選D。10、設(shè)函數(shù)f(x)在(一∞，+∞)內(nèi)單調(diào)有界，{xn}為數(shù)列，下列命題正確的是()A、若{x1}收斂，則{f(xn)}收斂B、若{xn}單調(diào)，則{f(xn)}收斂C、若{f(xn)}收斂，則{xn}收斂D、若{f(xn)}單調(diào)，則{xn}收斂標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x)在(一∞，+∞)內(nèi)單調(diào)有界，且結(jié)合選項(xiàng)B，{xn}單調(diào)，所以{f(xn)}單調(diào)且有界。故{f(xn)}一定存在極限，即{f(xn)}一定收斂。故選B。11、設(shè)f(x)=2x+3x一2，則當(dāng)x→0時(shí)()A、f(x)與x是等價(jià)無(wú)窮小B、f(x)與x是同階，但非等價(jià)無(wú)窮小C、f(x)是比x高階的無(wú)窮小D、f(x)是比x低階的無(wú)窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：利用洛必達(dá)法則求解。故選B。二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)12、當(dāng)x→0時(shí)，α(x)=kx2與是等價(jià)無(wú)窮小，則k=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)可知所以13、=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：14、=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：將分子化簡(jiǎn)后用等價(jià)無(wú)窮小因子代換。易知?jiǎng)t原式=15、=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：利用等價(jià)無(wú)窮小量替換將極限式進(jìn)行化簡(jiǎn)，即16、=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：17、=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：18、=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)榍襛rctanx為有界函數(shù)，即，所以19、設(shè)a>0，a≠1，且，則p=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：由于則當(dāng)x→+∞時(shí)，所以原式=(當(dāng)p=2時(shí)成立)。故取p=2。三、解答題(本題共14題，每題1.0分，共14分。)20、試確定常數(shù)A，B，C的值，使得ex(1+Bx+Cx2)=1+4x+o(x3)，其中o(x3)是當(dāng)x→0時(shí)比x3高階的無(wú)窮小。標(biāo)準(zhǔn)答案：將麥克勞林展開(kāi)式代入已知等式得整理得比較系數(shù)可得解這個(gè)方程組可得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：原式知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：由麥克勞林展開(kāi)式因此知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閘n(cosx)=ln(1+cosx一1)，所以x→0，ln(cosx)～cosx一1~一x2。又由麥克勞林展開(kāi)式因此知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：由麥克勞林展開(kāi)式因此知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：由麥克勞林展開(kāi)式及常見(jiàn)的等價(jià)無(wú)窮小代換，可得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：由麥克勞林展開(kāi)式sinx=x一+o(x3)和tanx=x+x3+o(x3)，得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：由麥克勞林展開(kāi)式故可得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析29、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：由洛必達(dá)法則可知知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析30、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：由積分上限函數(shù)求導(dǎo)法則，且，所以x→0+時(shí)，有故知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析31、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)樗詘→0時(shí)，有且arcsinx～x。故原式知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析32、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：由麥克勞林展開(kāi)式和洛必達(dá)法則可知原式知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析33、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)二（函數(shù)、極限、連續(xù)）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、當(dāng)χ→1時(shí)，f(χ)＝的極限為()．A、2B、0C、∞D(zhuǎn)、不存在但不是∞標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：顯然＝2，因?yàn)椋剑?，而?，所以f(χ)不存在但不是∞，選D．2、設(shè)f(χ)連續(xù)且F(χ)＝f(t)dt，則F(χ)為()．A、a2B、a2f(a)C、0D、不存在標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：[2χ∫aχf(t)dt＋χ2f(χ)]＝a2f(a)，選B．3、設(shè)f(χ)一階連續(xù)可導(dǎo)，且f(0)＝0，f′(0)＝1，則＝()．A、e-1B、eC、e2D、e3標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：＝e，選B．4、設(shè)f(χ)＝，則χ＝0是f(χ)的()．A、連續(xù)點(diǎn)B、第一類間斷點(diǎn)C、第二類間斷點(diǎn)D、不能判斷連續(xù)性的點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)χ＞0時(shí)，f(χ)＝＝1；當(dāng)χ＝0時(shí)，f(χ)＝；當(dāng)χ＜0時(shí)，f(χ)＝χ．因?yàn)閒(0＋0)＝1，f(0)＝，f(0－0)＝0，所以χ＝0為f(χ)的第一類間斷點(diǎn)，選B．二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)5、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：6、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：7、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由＝1＋χ2＋＋o(χ4)及l(fā)n(1＋χ)＝χ－＋o(χ2)，得－1＝χ2＋＋0(χ4)，χln(1＋χ)＝χ2～＋o(χ3)，從而－1－χln(1＋χ)＝＋o(χ3)，所以8、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由ln(1＋χ)＝χ－＋o(χ2)得當(dāng)χ→0時(shí)，χ2－χln(1＋χ)＝＋o(χ3)～，9、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：10、設(shè)函數(shù)f(χ)在[0，1]上連續(xù)，且f(χ)＞0，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：11、若(cosχ－b)＝5，則a＝_______，b＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：a＝1；b＝－4．知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)12、標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(t)＝et，由微分中值定理，其中ξ介于之間所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(χ)＝arctanχ，由微分中值定理得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、設(shè)曲線y＝χn在點(diǎn)(1，1)處的切線交χ軸于點(diǎn)(ξn，0)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：y＝χn在點(diǎn)(1，1)處的切線方程為y－1＝n(χ－1)，令y＝0得ξ＝1－，于是＝e－2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、確定常數(shù)a，b，c的值，使得當(dāng)χ→0時(shí)，eχ(1＋bχ＋cχ2)＝1＋aχ＋0(χ3)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由eχ＝1＋χ＋＋o(χ3)得eχ(1＋bχ＋cχ2)所以b＋1＝a，b＋c＋＝0，＝0，即知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、確定常數(shù)a，c，使得＝c，其中c為非零常數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由洛必達(dá)法則，故a＝1，c＝．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)(χ-3sin3χ＋aχ-2＋b)＝0，求a，b．標(biāo)準(zhǔn)答案：由麥克勞林公式得sin3χ＝3χ－＋o(χ3)＝3χ－＋0(χ3)，于是sin3χ＋aχ＋bχ3＝(3＋a)χ＋(b－)χ3＋o(χ3)，而＝0，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、(1)設(shè)＝0，求a，b的值．(2)確定常數(shù)a，b，使得ln(1＋2χ)＋＝χ＋χ2＋o(χ2)．(3)設(shè)b＞0，且＝2，求b．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)由得于是解得a＝1，b＝－3．(2)由ln(1＋2χ)＝2χ－＋o(χ2)＝2χ－2χ2＋o(χ2)，＝4χ.[1－bχ＋o(χ)]＝aχ－abχ2＋o(χ2)，于是．解得a＝－1，b＝3．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)＝2，求a，b．標(biāo)準(zhǔn)答案：由ln(1－2χ＋3χ)＝(－2χ＋3χ2)－＋o(χ2)＝－2χ＋χ2＋o(χ2)得＝2，則a＝2，b＋1＝2，即a＝2，b＝1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)＝0，求a，b，c，d．標(biāo)準(zhǔn)答案：由，得c＝－1，所以a，b，c，d滿足的條件是a＝－2d，c＝－1，b取任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)f(χ)＝是連續(xù)函數(shù)，求a，b．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(χ)＝因?yàn)閒(χ)是連續(xù)函數(shù)，所以f(－1－0)＝－1＝f(－1)＝(a－b－1)＝f(－1＋0)＝a－b，f(1－0)＝a＋b＝f(1)＝(a＋b＋1)＝f(1＋0)＝1，解得a＝0，b＝1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、確定正數(shù)a，b，使得＝2．標(biāo)準(zhǔn)答案：顯然b＝1，且＝2，故a＝1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、求常數(shù)m，n，使得＝3．標(biāo)準(zhǔn)答案：由＝3得m＋n＋1＝0，再由得m＋2＝6，解得m＝4，n＝－5．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、設(shè)an＝，證明：{an}收斂，并求．標(biāo)準(zhǔn)答案：顯然{an}單調(diào)增加，現(xiàn)證明：an≤3，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝≤3，設(shè)n＝k時(shí)，ak≤3，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak+1＝＝3，由歸納法原理，對(duì)一切的自然數(shù)n，有an≤3，所以an存在．令an＝A，由an+1＝，得A＝，解得A＝3，即an＝3．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、設(shè)a1＝1，an+1＋＝0，證明：數(shù)列{an}收斂，并求．標(biāo)準(zhǔn)答案：先證明{an}單調(diào)減少．a(chǎn)2＝0，a2＞a1；設(shè)ak+1＜ak，ak+2＝－，由ak+1＜ak得1－ak+1＞1－ak，從而，即ak+2＜ak+1，由歸納法得數(shù)列{an}單調(diào)減少．現(xiàn)證明an≥－由歸納法，對(duì)一切n，有an≥－由極限存在準(zhǔn)則，數(shù)列{an}收斂，設(shè)＝A，對(duì)n+1＋＝0兩邊求極限得A＋＝0，解得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、設(shè)χ1＝2，χn+1＝2＋，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：令χn＝l，則l＝1＋，現(xiàn)證明因?yàn)?≤｜χn－l｜＝且｜χ1－l｜＝0，所以由夾逼定理得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、設(shè)a1＝1，a2＝2，3an+2－4an-1＋an＝0，n＝1，2，…，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：由3an+2－4an+1＋an＝0，得3(an+2－an+1)＝an+1－an(n＝1，2，…)．令bn＝an+1－an，則bn+1／bn＝1／3(n＝1，2，…)，由b1＝1，得bn＝(n＝1，2，…)，即解得an＝1＋，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)χ∈[0，1]時(shí)，由0≤≤sinnχ≤χn，積分得0≤而＝0，由迫斂定理得＝0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析29、討論函數(shù)f(χ)＝的連續(xù)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)χ≠0時(shí)，函數(shù)f(χ)連續(xù)，f(0)＝1，χ＝0為函數(shù)f(χ)的第一類間斷點(diǎn)中的跳躍間斷點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)二（函數(shù)、極限、連續(xù)）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)1、設(shè)f(x)=，則f{f[x)]}等于()A、0。B、1。C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)椋黤(x)｜≤1恒成立，所以f[f(x)]=1恒成立，從而f{f(x))]}=f(1)=1。故選B。2、當(dāng)X→1時(shí)，函數(shù)的極限()A、等于2。B、等于0。C、為∞。D、不存在，但不為∞。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因故當(dāng)x→1時(shí)，函數(shù)極限不存在，也不是∞，應(yīng)選D。3、設(shè){an}，{bn}，{cn}均為非負(fù)數(shù)列，且=∞，則必有()A、an＜bn對(duì)任意n成立。B、bn＜cn對(duì)任意n成立。C、極限ancn不存在。D、極限bncn不存在。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于極限值與數(shù)列前面有限項(xiàng)的大小無(wú)關(guān)，因此可排除A、B；而極限是一個(gè)0·∞型未定式極限，可能存在也可能不存在，因此可以排除C；極限bncn是1．∞型，必為無(wú)窮大量，即極限不存在。因此選項(xiàng)D正確。也可用舉反例法，取an=，bn=1，cn=n(n=1，2，…)，則可立即排除A、B、C，因此正確選項(xiàng)為D。4、設(shè)f(x)=2x+3x一2，則當(dāng)x→0時(shí)()A、f(x)與x是等價(jià)無(wú)窮小。B、f(x)與x是同階，但非等價(jià)無(wú)窮小。C、f(x)是比x高階的無(wú)窮小。D、f(x)是比x低階的無(wú)窮小。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：利用洛必達(dá)法則求解。=ln2+ln3=ln6，故選B。5、當(dāng)x→0＋時(shí)，與等價(jià)的無(wú)窮小量是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x→0＋時(shí)，有以下等價(jià)無(wú)窮?。河膳懦芍_選項(xiàng)為B。6、設(shè)x→0時(shí)，(1+sinx)x一1是比xtanxn低階的無(wú)窮小，而xtanxn是比(esin2x一1)ln(1+x2)低階的無(wú)窮小，則正整數(shù)n等于()A、1。B、2。C、3。D、4。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x→0時(shí)，(1+sinx)x一1=exln(1＋sinx)一1～xln(1+sinx)～xsinx～x2，(esin2x一1)ln(1+x2)～sin2x．x2～x4，而xtanxn～x．xn=xn＋1。因此2＜n+1＜4，則正整數(shù)n=2，故選B。7、當(dāng)x→0時(shí)，f(x)=x一sinax與g(x)=x2ln(1一bx)是等價(jià)無(wú)窮小，則()A、a=1，b=。B、a=1，b=。C、a=一1，b=。D、a=一1，b=。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：本題可以利用排除法解答，由于ln(1—bx)與一bx為等價(jià)無(wú)窮小，則所以a3=一6b，故排除B，C。另外是存在的，即滿足1—acosax→0(x→0)，故a=1，排除D。所以本題選A。8、設(shè)=2，其中a2+c2≠0，則必有()A、b=4d。B、b=一4d。C、a=4c。D、a=一4c。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x→0時(shí)，由帶佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式可知，tanx，ln(1—2x)均為x的一階無(wú)窮??；而1一cosx，1—e－x2均為x的二階無(wú)窮小，因此有故有=2，即a=一4c，故選D。9、設(shè)f(x)和φ(x)在(一∞，+∞)上有定義，f(x)為連續(xù)函數(shù)，且f(x)≠0，φ(x)有間斷點(diǎn)，則()A、φ[f(x)]必有間斷點(diǎn)。B、[φ(x)]2必有間斷點(diǎn)。C、f(φ(x)]必有間斷點(diǎn)。D、必有間斷點(diǎn)。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：借助極限的四則運(yùn)算性質(zhì)可知，連續(xù)×間斷=由題意知，函數(shù)f(x)連續(xù)，且f(x)≠0，則必定間斷，故選D。10、設(shè)函數(shù)f(x)=，則()A、x=0，x=1都是f(x)的第一類間斷點(diǎn)。B、x=0，x=1都是f(x)的第二類間斷點(diǎn)。C、x=0是f(x)的第一類間斷點(diǎn)，x=1是f(x)的第二類間斷點(diǎn)。D、x=0是f(x)的第二類間斷點(diǎn)，x=1是f(x)的第一類間斷點(diǎn)。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：顯然函數(shù)f(x)在x=0，x=1兩個(gè)點(diǎn)處無(wú)定義，因此這兩個(gè)點(diǎn)均為間斷點(diǎn)。因?yàn)?∞，所以x=0為第二類間斷點(diǎn)；因?yàn)?一1，所以x=1為第一類間斷點(diǎn)。故應(yīng)選D。11、函數(shù)f(x)=在[一π，π]上的第一類間斷點(diǎn)是x=()A、0。B、1。C、。D、。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：可以先找出函數(shù)的無(wú)定義點(diǎn)，再根據(jù)左、右極限判斷間斷點(diǎn)的類型。顯然函數(shù)在x=0，x=1，x=±均無(wú)意義，而故x=0為函數(shù)f(x)的第一類間斷點(diǎn)，故應(yīng)選A。12、函數(shù)f(x)=的無(wú)窮間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()A、0。B、1。C、2。D、3。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：已知f(x)=有間斷點(diǎn)x=0，±1。所以正確選項(xiàng)為B。二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)13、=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：將分子化簡(jiǎn)后用等價(jià)無(wú)窮小因子代換。易知(x→0)，則14、=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：15、=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：16、=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：該極限式為1∞型未定式，可直接利用重要極限公式進(jìn)行計(jì)算，17、數(shù)列xn==_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：利用等價(jià)無(wú)窮小因子，當(dāng)n→∞時(shí)由麥可勞林展開(kāi)式ln(1＋t)=t－t2＋o(t2)(t→0)得，18、設(shè)函數(shù)f(x)=在x=0處連續(xù)，則a=___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：已知f(x)在x=0處連續(xù)，則所以a=。19、已知函數(shù)f(x)連續(xù)，且=1，則f(0)=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：因此f(0)=2。三、解答題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)20、求極限。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、求極限。標(biāo)準(zhǔn)答案：由麥克勞林展開(kāi)式arctanx=x一x3+o(x3)，sinx=x一+o(x3)，ln(1+x)=x一+o(x2)，因此知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、求極限。標(biāo)準(zhǔn)答案：由麥克勞林展開(kāi)式sinx=x一+o(x3)和tanx=x+x3+o(x3)，得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、求極限。標(biāo)準(zhǔn)答案：由積分上限函數(shù)求導(dǎo)法則，且。故知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、求極限。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析已知函數(shù)f(x)=。25、求a的值；標(biāo)準(zhǔn)答案：=1，即a=1。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、若x→0時(shí)，f(x)一a與xk是同階無(wú)窮小，求常數(shù)k的值。標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x→0時(shí)，又因?yàn)楫?dāng)x→0時(shí)，x—sinx與x3是等價(jià)無(wú)窮小，故由題設(shè)，x→0時(shí)，f(x)一a與xk是同階無(wú)窮小，所以k=1。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、求極限。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、求極限。標(biāo)準(zhǔn)答案：由洛必達(dá)法則可知知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析29、求極限。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析30、(I)證明方程xn+xn－1+…+x=1(n為大于1的整數(shù))在區(qū)間(，1)內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根；(Ⅱ)記(Ⅰ)中的實(shí)根為xn，證明xn存在，并求此極限。標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)根據(jù)題意，令f(x)=xn+xn－1+…+x一1，則f(1)＞0，又＜0。結(jié)合零點(diǎn)定理可得，f(x)=xn+xn－1+…+x一1在(，1)內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，即方程xn+xn－1+…+x=1在區(qū)間(，1)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。又因?yàn)閒(x)=xn+xn－1+…+x一1在(，1)上是單調(diào)的，可知f(x)=xn+xn－1＋…+x一1在(，1)內(nèi)最多只有一個(gè)零點(diǎn)。綜上所述，方程xn+xn－1+…+x=1在區(qū)間(，1)內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根。(Ⅱ)由題設(shè)f(xn)=0，可知xnn+xnn－1+…+xn一1=0，進(jìn)而有xn＋1n+xn＋1n+…+xn＋1一1=0，所以xn＋1n+xn＋1n－1+…+xn＋1—1＜0，比較上面兩個(gè)式子可知xn＋1＜xn，故{xn}單調(diào)遞減。又由(Ⅰ)知＜Xn＜1，也即{xn}是有界的。則由單調(diào)有界收斂定理可知{xn}收斂，假設(shè)xn=a，可知a＜x2＜x1=1。當(dāng)n→∞時(shí)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析31、求函數(shù)f(x)=，所有的間斷點(diǎn)及其類型。標(biāo)準(zhǔn)答案：函數(shù)f(x)有可疑點(diǎn)x=0，x=1，x=一1，且所以x=0為跳躍間斷點(diǎn)，x=1為可去間斷點(diǎn)，x=一1為無(wú)窮間斷點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)二（函數(shù)、極限、連續(xù)）模擬試卷第8套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設(shè)當(dāng)x→x0時(shí)，f(x)不是無(wú)窮大，則下述結(jié)論正確的是()A、設(shè)當(dāng)x→x0時(shí)，g(x)是無(wú)窮小，則f(x)g(x)必是無(wú)窮小B、設(shè)當(dāng)x→x0時(shí)，g(x)不是無(wú)窮小，則f(x)g(x)必不是無(wú)窮小C、設(shè)在x=x0的某鄰域內(nèi)g(x)無(wú)界，則當(dāng)x→x0時(shí)，f(x)g(x)必是無(wú)窮大D、設(shè)在x=x0的某鄰域內(nèi)g(x)有界，則當(dāng)x→x0時(shí)，f(x)g(x)必不是無(wú)窮大標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)當(dāng)x→0時(shí)為無(wú)界變量，不是無(wú)窮大．令g(x)=x，當(dāng)x→0時(shí)為無(wú)窮小，可排除(A)．設(shè)x→0時(shí)，令f(x)=x2，可排除(B)，(C)．因此選(D)．2、設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義，且f(x)在點(diǎn)x0處間斷，則在點(diǎn)x0處必定間斷的函數(shù)為()A、f(x)sinxB、f(x)+sinxC、f2(x)D、|f(x)|標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：方法一若f(x)+sinx在點(diǎn)x0處連續(xù)，則f(x)=|f(x)+sinx]一sinx在點(diǎn)x0處也連續(xù)，與已知矛盾．方法二排除法．設(shè)則f(x)在點(diǎn)x=0處間斷，但f(x)sinx=0在x=0處連續(xù)．若設(shè)則f(x)在點(diǎn)x=0處間斷，但f2(x)=1，|f(x)|=1在x=0處都連續(xù)．故可排除(A)，(C)，(D)．3、設(shè)當(dāng)x→x0時(shí)，α(x)，β(x)(β(x)≠0)都是無(wú)窮小，則當(dāng)x→x0時(shí)，下列表達(dá)式中不一定為無(wú)窮小的是()A、B、C、ln[1+α(x)．β2(x)]D、|α(x)|+|β(x)|標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：有限個(gè)無(wú)窮小的和、差、積、絕對(duì)值還是無(wú)窮?。?、下列各項(xiàng)中與的定義相悖的是()A、對(duì)于任意給定的正數(shù)α＞0，存在正整數(shù)N，當(dāng)n≥N+2時(shí)，有|an一A|＜2αB、對(duì)于任意給定的正數(shù)α＞0，存在正整數(shù)N，當(dāng)n＞2N時(shí)，有|an一A|＜α2C、對(duì)于任意給定的正數(shù)α＞0，存在正整數(shù)N，當(dāng)n＞N時(shí)，有|an一A|＜2αD、對(duì)于任意給定的正數(shù)α＞0，存在正整數(shù)N，當(dāng)n≥N2時(shí)，有|an一A|≤標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)于數(shù)列極限教材寫(xiě)法一般為：正整數(shù)N＞0，當(dāng)N＞N時(shí)，有|an一A|＜a．這里，α作為衡量|an一A|大小的尺度，只需要滿足任意小的正數(shù)即可，而不必拘泥于表達(dá)形式，(A)中的2α，(B)中的α2，(D)中的均可在α＞0時(shí)，任意小，但(C)中的2α＞1，不可能為任意小，故選(C)．至于對(duì)“n＞N”的其他寫(xiě)法，(A)(B)(C)(D)均可接受．5、若f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)有界，則f(x)在(a，b)內(nèi)間斷點(diǎn)的類型只能是()A、第一類間斷點(diǎn)B、第二類間斷點(diǎn)C、既有第一類間斷點(diǎn)也有第二類間斷點(diǎn)D、結(jié)論不確定標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：不妨設(shè)f(x)單調(diào)遞增，且|f(x)|≤M，對(duì)任一點(diǎn)x0∈(a，b)，當(dāng)x→x0-時(shí)，f(x)隨著x增加而增加且有上界，故存在；當(dāng)x→x0+時(shí)，f(x)隨著x減小而減小且有下界，故存在，故x0只能是第一類間斷點(diǎn)．6、設(shè)當(dāng)x→0時(shí)，etanx一ex與xn是同階無(wú)窮小，則n為()A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：則n=3時(shí)，二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)7、設(shè)則α，β的值分別為_(kāi)___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：所以α=5，8、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：9、標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：10、若當(dāng)x→0時(shí)，有則a=______________．標(biāo)準(zhǔn)答案：一3知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x→0時(shí)，故a=一3．11、當(dāng)x→0時(shí)，若有則A=____________，k=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：則k=2，即12、當(dāng)x→π時(shí)，若有則A=_________，k=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x→π時(shí)，故k=2．三、解答題(本題共21題，每題1.0分，共21分。)13、設(shè)f(x)=x2+ax+b，證明：|f(1)|，|f(3)|，|f(5)|中至少有一個(gè)不小于2．標(biāo)準(zhǔn)答案：反證法．設(shè)|f(1)|，|f(3)|，|f(5)|都小于2，即|f(1)|=|a+b+1|＜2，|f(3)|=|3a+b+9|＜2，|f(5)|=|5a+b+25|＜2，則|f(1)一2f(3)+f(5)|≤|f(1)|+2|f(3)|+|f(5)|＜2+2×2+2=8．事實(shí)上，|f(1)一2f(3)+f(5)|=|a+b+1—6a-2b-18+5a+6+25|=8，與上面結(jié)論矛盾，故|f(1)|，|f(3)|，|f(5)|中至少有一個(gè)不小于2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、求極限：標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)榧从炙灾R(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、求極限：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、求極限：標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)楫?dāng)x→0時(shí)，又故原極限=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、求極限：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、求極限：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、求極限：標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)楣试瓨O限=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、求極限：ai＞0，且ai＞≠1，i=1,2,…n,n≥2.標(biāo)準(zhǔn)答案：故原極限=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、求極限：a＞0.標(biāo)準(zhǔn)答案：方法一原極限等價(jià)于求令f(t)=arctant，由拉格朗日中值定理可得故方法二令所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)求標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)樗云渲杏之?dāng)x→0時(shí)，ax一1=exlna一1～xlna．所以因此f(x)～Axlna．sinx(x→0)，于是得到知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、已知存在，且求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)令x一1=t，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、設(shè)f(x)是三次多項(xiàng)式，且有求標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)樗詅(2a)=f(4a)=0，從而可知x一2a，x一4a為f(x)的因式，又因?yàn)閒(x)為三次多項(xiàng)式，可令f(x)=b(x一2a)(x一4a)(x—c)．于是解得所以故知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、設(shè)求a，b的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)樗怨蔭=1．又所以b=一4．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、確定常數(shù)a和b的值，使標(biāo)準(zhǔn)答案：于是ln(1—2x+3x2)=一2x+3x2一(一2x+3x2)2+o(x2)=一2x+x2+o(x2)，代入即得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、設(shè)函數(shù)證明：存在常數(shù)A，B，使得當(dāng)x→0+時(shí)，恒有f(x)=e+Ax+Bx2+o(x2)，并求常數(shù)A，B．標(biāo)準(zhǔn)答案：故知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、已知：求常數(shù)A，B，C，D．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析29、已知數(shù)列{xn}的通項(xiàng)求標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)楣视蓨A逼準(zhǔn)則有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析30、設(shè)a1=2，證明：存在并求其極限值．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)樗詛an}有下界．下面再證明{an}單調(diào)遞減．即an+1≤an，所以存在．令代入有則A=1(A=一1舍去)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析31、設(shè)x1=1，求標(biāo)準(zhǔn)答案：假設(shè)xn＞xn-1，則即xn+1＞xn，由數(shù)學(xué)歸納法可知對(duì)一切n，都有xn=1＞xn．又所以{xn}單調(diào)遞增且有上界，故{xn}收斂．記對(duì)等式xn+1=1+兩邊取極限，得即a2一a一1=0．解得因xn≥1，故負(fù)值不合題意，于是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析已知數(shù)列{xn}的通項(xiàng)n=1，2，…．32、證明標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析33、計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)答案：又故知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)二（函數(shù)、極限、連續(xù)）模擬試卷第9套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)當(dāng)χ→0時(shí)，有aχ3＋bχ2＋cχ～sintdt，則()．A、a＝，b＝1，c＝0B、a＝－，b＝1，c＝0C、a＝，b＝－1，c＝0D、a為任意常數(shù)，b＝2，c＝0標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)楫?dāng)χ→0時(shí)，aχ2＋bχ2＋cχ～sintdt，得a為任意常數(shù)，b＝2，選D．2、設(shè)f(χ)＝∫0sinχsint2dt，g(χ)＝χ3＋χ4，當(dāng)χ→0時(shí)，f(χ)是g(χ)的()．A、等價(jià)無(wú)窮小B、同階但非等價(jià)無(wú)窮小C、高階無(wú)窮小D、低階無(wú)窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?，所以正確答案為B．3、設(shè)f(χ)＝∫0χdt∫0ttln(1＋u2)du，g(χ)＝(1－cost)dt，則當(dāng)χ→0時(shí)，f(χ)是g(χ)的()．A、低階無(wú)窮小B、高階無(wú)窮小C、等價(jià)無(wú)窮小D、同階但非等價(jià)的無(wú)窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：得n＝5且χ→0時(shí)，f(χ)～χ5由得m＝6且χ→0時(shí)，g(χ)～χ6，故χ→0時(shí)，f(χ)是g(χ)的低階無(wú)窮小，應(yīng)選A．4、設(shè){an}與{bn}為兩個(gè)數(shù)列，下列說(shuō)法正確的是()．A、若{an}與{bn}都發(fā)散，則{anbn}一定發(fā)散B、若{an}與{bn}都無(wú)界，則{anbn}一定無(wú)界C、若{an}無(wú)界且anbn＝0，則bn＝0D、若an為無(wú)窮大，且anbn＝0，則bn一定是無(wú)窮標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：A項(xiàng)不對(duì)，如an＝2＋(－1)n，bn＝2－(－1)n，顯然{an}與{bn}都發(fā)散，但anbn＝3，顯然{anbn}收斂；選項(xiàng)B、C都不對(duì)，如an＝n[1＋(－1)n]，bn＝n[1－(－1)n]，顯然{an}與{bn}都無(wú)界，但anbn＝0，顯然{anbn}有界且bn≠0；正確答案為D．二、填空題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)5、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：6、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：7、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：8、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)楫?dāng)χ→0時(shí)，，9、當(dāng)χ→0時(shí)，χ－sinχcos2χ～cχk，則c＝_______，k＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：；3．知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)棣帧?時(shí)，sinχ＝χ－＋o(χ3)，cos2χ＝1－＋o(χ2)＝1－2χ2＋o(χ2)，sinχcos2χ＝χ－χ3＋o(χ3)，所以χ－sinχcos2χ＝，故c＝，k＝3．10、設(shè)＝∫－∞atetdt，則a＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：由ea＝aea－ea得a＝2．11、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：12、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：13、(1)設(shè)＝8，則a＝_______．(2)設(shè)χ－(a＋bcosχ)sinχ為χ的5階無(wú)窮小，則a_______，b_______．(3)設(shè)當(dāng)χ→0時(shí)，f(χ)＝ln(1＋t)dt～g(χ)＝χa(ebχ－1)，則