考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷3（共232題）

考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷3（共8套）（共232題）考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、設(shè)f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，在x=0處可導(dǎo)，且f(0)=0。φ(x)=則φ(x)在x=0處()A、不連續(xù)。B、連續(xù)但不可導(dǎo)。C、可導(dǎo)但φ’(x)在x=0處不連續(xù)。D、可導(dǎo)且φ’(x)在x=0處連續(xù)。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：因?yàn)樗驭?x)在x=0處連續(xù)。故φ’(x)在x=0連續(xù)。故選D。2、設(shè)f(x)在[a，b]可導(dǎo)，f(a)=，則()A、f＋’(a)=0。B、f＋’(a)≥0。C、f＋’(a)＜0。D、f＋’(a)≤0。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：由f(x)在[a，b]上可導(dǎo)可知，f＋’(a)=。顯然，x一a＞0，又f(a)=≤0，從而有≤0，再由極限的局部保號性可知，≤0，即f＋’(0)≤0，故選D。3、設(shè)f(x)可導(dǎo)且f’(x0)=，則當(dāng)△x→0時(shí)，f(x)在x0點(diǎn)處的微分dy是()A、與△x等價(jià)的無窮小。B、與△x同階的無窮小。C、比△x低階的無窮小。D、比△x高階的無窮小。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由f(x)在x0點(diǎn)處可導(dǎo)及微分的定義可知dy=f’(x0)△x=△x，于是，即當(dāng)△x→0時(shí)，dy與△x是同階的無窮小，故選B。4、設(shè)f(x)=(x一a)(x一b)(x一c)(x一d)，其中a，b，c，d互不相等，且f’(k)=(k一a)(k一b)(k一c)，則k的值等于()A、a。B、b。C、c。D、d。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：由題設(shè)條件得f’(x)=(x一b)(x一c)(x一d)+(x一a)(x一c)(x—d)+(x一a)(x一b)(x一d)+(x一a)(x一b)(x一c)，且已知f’(k)=(k一a)(k一b)(k一c)，故k=d。5、設(shè)f(x)=x2(x一1)(x一2)，則f’(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A、0。B、1。C、2。D、3。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：容易驗(yàn)證f(0)=f(1)=f(2)=0，因此由羅爾定理知至少有ξ1∈(0，1)，ξ2∈(1，2)，使f’(ξ1)=f’(ξ2)=0成立，所以f’(x)至少有兩個(gè)零點(diǎn)。又f’(x)中含有因子x，因此可知x=0也是f’(x)的零點(diǎn)，因此選D。6、設(shè)區(qū)間[0，4]上y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖1—2一1所示，則f(x)()A、在[0，2]單調(diào)上升且為凸的，在[2，4]單調(diào)下降且為凹的。B、在[0，1]，[3，4]單調(diào)下降，在[1，3]單調(diào)上升，在[0，2]是凹的，[2，4]是凸的。C、在[0，1]，[3，4]單調(diào)下降，在[1，3]單調(diào)上升，在[0，2]是凸的，[2，4]是凹的。D、在[0，2]單調(diào)上升且為凹的，在[2，4]單調(diào)下降且為凸的。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：當(dāng)x∈(0，1)或(3，4)時(shí)，f’(x)＜0，那么f(x)在[0，1]，[3，4]單調(diào)下降。當(dāng)x∈(1，3)時(shí)f’(x)＞0，那么f(x)在[1，3]單調(diào)上升。又f’(x)在[0，2]單調(diào)上升，那么f(x)在[0，2]是凹的；f’(x)在[2，4]單調(diào)下降，那么f(x)在[2，4]是凸的。故選B。7、設(shè)f(x)=｜x(1一x)｜，則()A、x=0是f(x)的極值點(diǎn)，但(0，0)不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)。B、x=0不是f(x)的極值點(diǎn)，但(0，0)是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)。C、x=0是f(x)的極值點(diǎn)，且(0，0)是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)。D、x=0不是f(x)的極值點(diǎn)，(0，0)也不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：一般情況下，討論分段函數(shù)的極值點(diǎn)和拐點(diǎn)，主要考慮分段點(diǎn)處。因此，本題只需討論x=0兩邊f(xié)’(x)，f’’(x)的符號?？梢赃x擇區(qū)間(一1，1)來討論?？梢奻’(x)在x=0兩邊異號，因此(0，0)是極值點(diǎn)；f’’(x)在x=0兩邊異號，所以(0，0)也是曲線的拐點(diǎn)。故選C。8、函數(shù)f(x)在x=a的某鄰域內(nèi)有定義，且設(shè)=一1，則在x=a處()A、f(x)的導(dǎo)數(shù)存在，且f’(0)≠0。B、f(x)取得極大值。C、f(x)取得極小值。D、f(x)的導(dǎo)數(shù)不存在。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：利用賦值法求解。取f(x)一f(a)=一(x一a)2，顯然滿足題設(shè)條件，而此時(shí)f(x)為一開口向下的拋物線，必在其頂點(diǎn)x=a處取得極大值，故選B。9、曲線y=1一x+()A、既有垂直又有水平與斜漸近線。B、僅有垂直漸近線。C、只有垂直與水平漸近線。D、只有垂直與斜漸近線。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：函數(shù)y的定義域?yàn)?一∞，一3)∪[0，+∞)，且只有間斷點(diǎn)x=一3，又=+∞，所以x=一3是曲線的垂直漸近線。x＞0時(shí)，因此y=一2x+是曲線的斜漸近線(x→一∞)。故選A。二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)10、設(shè)y=(1＋sinx)x，則dy｜x=π=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：一πdx知識點(diǎn)解析：運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)換y=(1+sinx)x=exln(1＋sinx)，于是y’=exln(1＋sinx)．[ln(1+sinx)+x．]，因此dy｜x=π=y’(π)dx=一πdx。11、∫0xsin(x－t)2=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：sinx2知識點(diǎn)解析：令x一t=μ，則=sinx2。12、設(shè)y=y(x)是由方程x2一y+1=ey所確定的隱函數(shù)，則=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點(diǎn)解析：將x=0代入原方程可得y=0。方程x2一y+1=ey兩端同時(shí)對x求導(dǎo)，有(*)將x=0，y=0代入上式，可得=0。式(*)再次對x求導(dǎo)得13、已知=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：－2知識點(diǎn)解析：由題干可知，14、設(shè)函數(shù)y=，則y(n)(0)=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：本題求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，利用歸納法求解。易歸納證得y(n)(x)=，故y(n)(0)=。15、曲線上對應(yīng)于t=1點(diǎn)處的法線方程為_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：y+x一=0知識點(diǎn)解析：當(dāng)t=1時(shí)，，=1，由此可得法線的斜率為一1，因此可得法線方程為16、設(shè)y=y(x)是由方程2y3一2y2+2xy一x2=1確定的，則y=y(x)的極值點(diǎn)是_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：x=1知識點(diǎn)解析：方程兩邊對x求導(dǎo)，可得y’(3y2一2y+x)=x一y(*)令y’=0，有x=y，代入2y3一2y2+2xy一x2=1中，可得(x一1)(2x2+x+1)=0，那么x=1是唯一的駐點(diǎn)。下面判斷x=1是否是極值點(diǎn)：對(*)式求導(dǎo)得y’’(3y2一2y+x)+y’(3y2一2y+x)’x=1一y’。把x=y=1，y’(1)=0代入上式，得y’’(1)=＞0。故y(x)只有極值點(diǎn)為x=1，且它是極小值點(diǎn)。17、曲線y=的水平漸近線方程為_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=知識點(diǎn)解析：直接利用曲線的水平漸近線的定義求解。由于因此曲線的水平漸近線為y=。18、曲線y=x2+x(x＜0)上曲率為的點(diǎn)的坐標(biāo)是________。標(biāo)準(zhǔn)答案：(一1，0)知識點(diǎn)解析：將y’=2x+1，y’’=2代入曲率計(jì)算公式，有整理得(2x+1)2=1，解得x=0或一1。又x＜0，所以x=一1，此時(shí)y=0，故該點(diǎn)坐標(biāo)為(一1，0)。三、解答題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)19、設(shè)函數(shù)y=f(x)由參數(shù)方程所確定，其中ψ(t)具有二階導(dǎo)數(shù)，且ψ(1)=，ψ’(1)=6，已知，求函數(shù)ψ(t)。標(biāo)準(zhǔn)答案：=t2+t3+C2。又已知ψ(1)=，可得C2=0，因此ψ(t)=t2+t3(t＞一1)。知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)奇函數(shù)f(x)在[一1，1]上具有二階導(dǎo)數(shù)，且f(1)=1，證明：20、存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=1；標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=f(x)一x，則F’(x)=f’(x)一1，且F(0)=f(0)=0，F(xiàn)(1)=f(1)一1=0，由羅爾定理知，存在ξ∈(0，1)，使得F’(ξ)=0，即f’(ξ)=1。知識點(diǎn)解析：暫無解析21、存在η∈(一1，1)，使得f’’(η)+f’(η)=1。標(biāo)準(zhǔn)答案：令G(x)=ex[f’(x)一1]，由(I)知，存在ξ∈(0，1)，使G(ξ)=0，又因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，故f’(x)為偶函數(shù)，知G(－ξ)=0，則存在η∈(一ξ，ξ)(一1，1)，使得G’(η)=0，即eη[f’(η)一1]+eηf’’(η)=0，即f’’(η)+f’(η)=1知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)e＜a＜b＜e2，證明ln2b—ln2a＞(b一a)。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)φ(x)=ln2x一，則φ’(x)=，φ’’(x)=，所以當(dāng)x＞e時(shí)，φ’’(x)＜0，因此φ’(x)單調(diào)減少，從而當(dāng)e＜x＜e2時(shí)，φ’(x)＞φ’(e2)==0，即當(dāng)e＜x＜e2時(shí)，φ(x)單調(diào)增加。因此當(dāng)e＜x＜e2時(shí)，φ(b)＞φ(a)(e＜a＜b＜e2)，即故ln2b一ln2a＞(b一a)。知識點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程確定，求y=y(x)的極值和曲線y=y(x)的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)。標(biāo)準(zhǔn)答案：已知。令=0，得t=±1。當(dāng)t=1時(shí)，；當(dāng)t=一1時(shí)，x=一1，y=1。令。列表如下由此可知，函數(shù)y(x)的極大值為y(一1)=1，極小值為；曲線y=y(x)凹區(qū)間為；曲線y=y(x)的拐點(diǎn)為。知識點(diǎn)解析：暫無解析24、證明：xln+cosx≥1+，一1＜x＜1。標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=，可得故f’(x)≥0，而f(0)=0，即得當(dāng)一1＜x＜0時(shí)，有＞1，所以一sinx≤0，故f’(x)≤0，所以當(dāng)1≤x≤0時(shí)，f(x)≥f(0)，即得知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)在(a，b)上可導(dǎo)，考慮下列敘述：①若f(x)＞g(x)，則f’(x)＞g’(x)；②若f’(x)＞g’(x)，則f(x)＞g(x)．則()A、①，②都正確B、①，②都不正確C、①正確，但②不正確D、②正確，但①不正確標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：考慮f(x)=e-x與g(x)=一e-x，顯然f(x)＞g(x)，但f’(x)=一e-x，g’(x)=e-x，f’(x)＜g’(x)，①不正確．將f(x)與g(x)交換可說明②不正確．2、兩曲線與y=ax2+b在點(diǎn)處相切，則()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：因兩曲線相切于點(diǎn)故相交于該點(diǎn)．將x=2，代入y=ax2+b中得又因?yàn)橄嗲杏谠擖c(diǎn)，故切線斜率相等，即導(dǎo)數(shù)相等，所以得故3、關(guān)于函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的以下結(jié)論正確的是()A、若f’(x0)=0，則f(x0)必是一極值B、若f"(x0)=0，則點(diǎn)(x0，f(x0))必是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)C、若極限存在(n為正整數(shù))，則f(x)在x0點(diǎn)可導(dǎo)，且有D、若f(x)在x0處可微，則f(x)在x0的某鄰域內(nèi)有界標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：(A)不一定，反例：f(x)=x3，f’(0)=0，但=0是非極值點(diǎn)；(B)不一定，需加條件：f"(x)在x0點(diǎn)兩側(cè)異號；(C)項(xiàng)所給的只是必要條件，即僅在子列上收斂，這是不充分的．4、設(shè)函數(shù)則f(x)在x=0處()A、不連續(xù)B、連續(xù)，但不可導(dǎo)C、可導(dǎo)，但導(dǎo)數(shù)不連續(xù)D、可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)連續(xù)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由知?jiǎng)t不存在．5、設(shè)f(x)可導(dǎo)，F(xiàn)(x)=f(x)(1+|sinx|)，若使F(x)在x=0處可導(dǎo)，則必有()A、f(0)=0B、f’(0)=0C、f(0)+f’(0)=0D、f(0)一f’(0)=0標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：由于同理，要求F’+(0)=F’-(0)，可得(A)．6、設(shè)a為常數(shù)，則f(x)在區(qū)間(一∞，+∞)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)情況為()A、當(dāng)a＞0時(shí)f(x)無零點(diǎn)，當(dāng)a≤0時(shí)f(x)恰有一個(gè)零點(diǎn)B、當(dāng)a＞0時(shí)f(x)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)a≤0時(shí)f(x)無零點(diǎn)C、當(dāng)a＞0時(shí)f(x)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)a≤0時(shí)f(x)恰有一個(gè)零點(diǎn)D、當(dāng)a＞0時(shí)f(x)恰有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)a≤0時(shí)f(x)無零點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：本題考查一元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用，討論函數(shù)的零點(diǎn)問題．令由于e-x＞0，故g(x)與f(x)的零點(diǎn)完全一樣，又當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號成立，故g(x)嚴(yán)格單調(diào)遞增，所以g(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)，從而f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)a＞0時(shí)，f(一co)＜0，f(+∞)＞0，由連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)定理，f(x)至少有一個(gè)零點(diǎn)，所以f(x)恰有一個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)無零點(diǎn)．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)7、落在平靜水面的石頭，產(chǎn)生同心波紋，若最外一圈波半徑的增大率總是6m／s，問在2s末擾動(dòng)水面面積的增大率為___________m2／s．標(biāo)準(zhǔn)答案：144π知識點(diǎn)解析：設(shè)在t時(shí)刻最外圈波的半徑為r(t)，擾動(dòng)水面面積為s(t)，則s(t)=πr2(t)，故s’(t)=2πr(t)r’(t)，由題知r’(t)=6，r(t)=6t，所以s’(2)=2πr(2)．6=144π(m2／s)．8、p(x)為二次三項(xiàng)式，要使得ex=p(x)+o(x2)(x→0)，則p(x)=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：設(shè)p(x)=ax2+bx+c，由題意知，當(dāng)x→0時(shí)，ex一p(x)=o(x2)，由于ex=1+x++o(x2)于是ex-p(x)=(1-c)+(1-b)x++o(x2)故有1一c=0，1一b=0，即b=1．c=1．于是9、設(shè)則標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點(diǎn)解析：因?yàn)樗?0、設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程ex+y+cosxy=0確定，則標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：方程兩邊同時(shí)對x求導(dǎo)，得解得11、設(shè)則標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：故三、解答題(本題共19題，每題1.0分，共19分。)12、設(shè)f(x)，g(x)在[a，b]上二階可導(dǎo)，且f(a)=f(b)=g(a)=0，證明：存在ξ∈(a，b)，使f"(ξ)g(ξ)+2f’(ξ)g’(ξ)+f(ξ)g"(ξ)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=f(x)g(x)，在x=a處利用泰勒公式展開，有F(x)=F(a)+F’(a)(x一a)+F"(ξ)(x一a)2(a＜ξ＜x)．①令x=b，代入式①，得F(b)=F(a)+F’(a)(b一a)+F"(ξ)(b一a)2(a＜ξ＜b)．②因f(a)=f(b)=g(a)=0，則F(a)=F(b)=0，且F’(a)=0，代入式②，得F"(ξ)=0，即f"(ξ)g(ξ)+2f’(ξ)g’(ξ)+f(ξ)g"(ξ)=0．知識點(diǎn)解析：暫無解析13、若x＞一1，證明：當(dāng)0＜α＜1時(shí)，有(1+x)α<1+αx；當(dāng)α＜0或α＞1時(shí)，有(1+x)α＞1+αx．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=(1+x)α則有f’(x)=α(1+x)α-1，f"(x)=α(α一1)(1+x)α-2，由f(x)的泰勒展開式可知當(dāng)x＞-1，0＜α＜1時(shí)，α(α一1)＜0，1+ξ＞0，故所以f(x)＜f(0)+f’(0)x，即(1+x)α<1+αx．同理可證當(dāng)x＞一1，α＜0或α＞1時(shí)，有(1+x)α＞1+αx．知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)x∈(0，1)，證明：14、(1+x)ln2(1+x)＜x2；標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=x2一(1+x)ln2(1+x)，有φ(0)=0，且φ’(x)=2x—ln2(1+x)一2ln(1+x)，φ’(0)=0．當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，則φ’(x)單調(diào)遞增．從而φ’(x)＞φ’(0)=0，則φ(x)單調(diào)遞增，則φ(x)＞φ(0)=0，即(1+x)ln2(1+x)2．知識點(diǎn)解析：暫無解析15、標(biāo)準(zhǔn)答案：令x∈(0，1]，則有由(1)得，當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f’(x)＜0，知f(x)單調(diào)遞減，從而又因?yàn)榍襢(x)單調(diào)遞減，則所以知識點(diǎn)解析：暫無解析16、求證：當(dāng)x＞0時(shí)，(x2一1)lnx≥(x一1)2．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)f(x)=(x2一1)lnx一(x一1)2，所以f(1)=0．又因?yàn)閒’(1)=0，且當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f"(x)＜0，知f"(x)單調(diào)遞減，則f"(x)≥f"(1)=2＞0，從而f’(x)單調(diào)遞增，故f’(x)＜f’(1)=0，所以f(x)單調(diào)遞減，知f(x)＞f(1)=0．原式成立．當(dāng)x≥1時(shí)，f"(x)＞0，知f’(x)單調(diào)遞增，則f’(x)≥f’(1)=0，從而f(x)單調(diào)遞增，故f(x)≥f(1)=0．原式成立．知識點(diǎn)解析：暫無解析17、證明：其中標(biāo)準(zhǔn)答案：要證成立．即證明令只需證明f(x)≤1．由f(0)=1，只需證設(shè)有g(shù)(0)=0，且因此，當(dāng)時(shí)，g’(x)＜0，g(x)＜0，即f’(x)＜0，f(x)＜1，得證．知識點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)函數(shù)f(x)在(一∞，+∞)內(nèi)二階可導(dǎo)，且f(x)和f"(x)在(一∞，+∞)內(nèi)有界，證明：f’(x)在(一∞，+∞)內(nèi)有界．標(biāo)準(zhǔn)答案：存在正常數(shù)M0，M2，使得對任意的X∈(一∞，+∞)，恒有|f(x)|≤M0，|f"(x)|≤M2．由泰勒公式，有其中ξ介于x與x+1之間，整理得所以|f’(x)|≤|f(x+1)|+|f(x)|+|f"(ξ)|≤2M0+因此函數(shù)f’(x)在(一∞，+∞)內(nèi)有界．知識點(diǎn)解析：暫無解析19、證明：函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)的充要條件是存在一個(gè)關(guān)于△x的線性函數(shù)L(△x)=a△x，使標(biāo)準(zhǔn)答案：必要性若f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則f(x)在點(diǎn)x0處可微，由可微的定義知，f(x0+△x)一f(x0)=α△x+o(△x)(其中α為常數(shù))，取L(△x)=α△x，則充分性若存在L(△x)=α△x(其中α為常數(shù))使則故有f(x0+△x)一f(x0)一L(△x)=o(△x)．即f(x0+△x)一f(x0)=α△x+o(△x)，所以f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)．知識點(diǎn)解析：暫無解析已知f(x)二階可導(dǎo)，且f(x)＞0，f(x)f"(x)一[f'(x)]2≥0(x∈R)，證明：20、f(x1)f(x2)≥標(biāo)準(zhǔn)答案：記g(x)=lnf(x)，則故即知識點(diǎn)解析：暫無解析21、若f(0)=1，則f(x)≥ef’(0)x．標(biāo)準(zhǔn)答案：由泰勒展開式，有即f(x)≥ef’(0)x．知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)f(x)在閉區(qū)間[0，c]上連續(xù)，其導(dǎo)數(shù)f’(x)在開區(qū)間(0，c)內(nèi)存在且單調(diào)遞減，f(0)=0．試證明：f(a+b)≤f(a)+f(b)，其中常數(shù)a，b滿足條件0≤a≤b≤a+b≤c．標(biāo)準(zhǔn)答案：方法一用拉格朗日中值定理．當(dāng)a=0時(shí)，等號成立．當(dāng)a＞0時(shí)，因f(x)在區(qū)間[0，a]及[b，a+b]上滿足拉格朗日中值定理，所以存在ξ1∈(0，a)，ξ0∈(b，a+b)，ξ1＜ξ2，使得|f(a+b)一f(b)]一[f(a)一f(0)]=af’(ξ2)一af’(ξ1)．因?yàn)閒’(x)在(0，c)內(nèi)單調(diào)遞減，所以f’(ξ2)≤f’(ξ1)，于是[f(a+b)一f(b)]一[f(a)一f(0)]≤0，即f(a+b)≤f(a)+f(b)．方法二用函數(shù)的單調(diào)性．將f(a+b)一f(b)一f(a)中的b改寫為x，構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)=f(a+x)一f(x)一f(a)，x∈[0，b]，顯然F(0)=0，又因?yàn)閒’(x)在(0，c)內(nèi)單調(diào)遞減，所以F’(x)=f’(a+x)一f’(x)≤0，于是有F(b)≤F(0)=0，即f(a+b)一f(b)一f(a)≤0，即f(a+b)≤f(a)+f(b)．知識點(diǎn)解析：暫無解析23、證明：當(dāng)x＞0時(shí)，有標(biāo)準(zhǔn)答案：方法一用拉格朗日中值定理．函數(shù)f(t)=lnt在[x，1+x]上滿足拉格朗日中值定理，所以存在ξ∈(x，1+x)，使得因?yàn)?于是有即方法二用函數(shù)的單調(diào)性．令因?yàn)樗訤(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減，又因此對一切x∈(0，+∞)，恒有F(x)＞0，即知識點(diǎn)解析：暫無解析24、證明：當(dāng)0＜a＜b＜π時(shí)，bsinb+2cosb+nb＞asina+2cosa+πa．標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=xsinx+2cosx+πx，只需證明F(x)在(0，π)上單調(diào)遞增．F’(x)=sinx+xcosx一2sinx+π=π+xcosx—sinx，由此式很難確定F’(x)在(0，π)上的符號，為此再求二階導(dǎo)，有F"(x)=一xsinx＜0，x∈(0，π)，即函數(shù)F’(x)在(0，π)上單調(diào)遞減，又F’(π)=0，所以F’(x)＞0，x∈(0，π)，于是F(b)＞F(a)，即bsinb+2cosb+πb＞asina+2cosa+πa．知識點(diǎn)解析：暫無解析25、證明：當(dāng)x＞0時(shí)，不等式成立．標(biāo)準(zhǔn)答案：構(gòu)造輔助函數(shù)則f(0)=0，且由題設(shè)條件很難確定的符號，但是所以從而，當(dāng)x＞0時(shí)，即知識點(diǎn)解析：暫無解析26、證明：當(dāng)時(shí)，不等式成立．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)而cosx≤0，所以不等式成立．當(dāng)時(shí)，構(gòu)造輔助函數(shù)則上式中，當(dāng)時(shí)，但是2xcosx—2sinx+x3的符號無法直接確定．為此，令g(x)=2xcosx一2sinx+x3，則g(0)=0，且g’(x)=x2+2x(x—sinx)＞0，所以，當(dāng)時(shí)，g(x)=2xcosx一2sinx+x3＞0．從而，當(dāng)時(shí)，又所以，當(dāng)時(shí)，即知識點(diǎn)解析：暫無解析27、若函數(shù)f(x)在(0，+∞)上有定義，在x=1處可導(dǎo)，且對于任意的正數(shù)a，b總有f(ab)=f(a)+f(b)，證明：f(x)在(0，+∞)上處處可導(dǎo)，且標(biāo)準(zhǔn)答案：由于f(ab)=f(a)+f(b)，令a=b一1，則f(1)=0．于是即對于任意的正數(shù)x，在f(ab)=f(a)+f(b)中，取a=x，ab=x+△，也就是取于是這就證明了f(x)在(0，+∞)上處處可導(dǎo)，且有知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)f(x)在x0處n階可導(dǎo)，且f(m)(x0)=0(m=1，2，…，n一1)，f(n)(x0)≠0(n≥2)，證明：28、當(dāng)n為偶數(shù)且f(n)(x0)＜0時(shí)，f(x)在x0處取得極大值；標(biāo)準(zhǔn)答案：n為偶數(shù)，令n=2k，構(gòu)造極限當(dāng)f(2k)(x0)＜0時(shí)，由極限保號性可得即f(x)＜f(x0)，故x0為極大值點(diǎn)；知識點(diǎn)解析：暫無解析29、當(dāng)n為偶數(shù)且f(n)(x0)＞0時(shí)，f(x)在x0處取得極小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)f(2k)(x0)＞0時(shí)，由極限保號性可得即f(x)＞f(x0)，故x0為極小值點(diǎn)．知識點(diǎn)解析：暫無解析30、設(shè)f(x)在x0處n階可導(dǎo)，且f(m)(x0)=0(m=1，2，…，n一1)，f(n)(x0)≠0(n＞2)，證明：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，(x0，f(x0))為拐點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：n為奇數(shù)，令n=2k+1，構(gòu)造極限當(dāng)f(2k+1)(x0)＞0時(shí)，則x→x+時(shí)，f"(x)＞0；x→x-時(shí)，f"(x)＜0，故(x0，f(x0))為拐點(diǎn)．當(dāng)f(2k+1)(x0)＜0時(shí)，同理可得(x0，f(x0))為拐點(diǎn)．知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、設(shè)f(x)=則f(x)在點(diǎn)x=0處A、極限不存在．B、極限存在但不連續(xù)．C、連續(xù)但不可導(dǎo)．D、可導(dǎo)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：暫無解析2、設(shè)f(x)=．則在點(diǎn)x=1處A、不連續(xù)．B、連續(xù)但不可導(dǎo)．C、可導(dǎo)但導(dǎo)數(shù)不連續(xù)．D、可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)連續(xù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：暫無解析3、設(shè)f(0)=0．則f(x)在點(diǎn)x=0可導(dǎo)的充要條件為A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：暫無解析4、若f(1+x)=af(x)總成立，且f’(0)=b．(a，b為非零常數(shù))則f(x)在x=1處A、不可導(dǎo)．B、可導(dǎo)且f’(1)=a．C、可導(dǎo)且f’(1)=b．D、可導(dǎo)且f’(1)=ab．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：暫無解析5、設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=a處可導(dǎo)，則函數(shù)|f(x)|在點(diǎn)x=a處不可導(dǎo)的充分條件是：A、f(a)=0且f’(a)=0．B、f(a)=0，且f’(a)≠0．C、f(a)＞0，f’(a)＞0．D、f(a)＜0．且f’(a)＜0．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：暫無解析6、設(shè)f(x)可導(dǎo)，且F(x)=f(x)(1+|sinx|)，則f(0)=0是F(x)在x=0處可導(dǎo)的()條件．A、充分且必要．B、充分非必要．C、必要非充分．D、非充分非必要．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：暫無解析7、設(shè)f(x)的導(dǎo)數(shù)在x=a處連續(xù)，又=-2．則A、x=a是f(x)的極小值點(diǎn)．B、x=a是f(x)的極大值點(diǎn)．C、(a,f(a))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)．D、x=a不是f(x)的極值點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：暫無解析8、設(shè)y=f(x)滿足f”(x)+2f’(x)+=0，且f’(x0)=0，則f(x)在A、x0某鄰域內(nèi)單調(diào)增加．B、x0某鄰域內(nèi)單調(diào)減少．C、x0處取得極小值．D、x0處取極大值．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：暫無解析9、設(shè)f(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)．且f’(0)=0,則A、f(0)是f(x)極小值．B、f(0)是f(x)極大值．C、(0，f(0)是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)．D、f(0)不是f(x)的極值,(0，f(0))也不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：暫無解析10、曲線(常數(shù)a≠0)(一∞＜x＜+∞)A、沒有漸近線．B、只有一條漸近線．C、有兩條漸近線．D、是否有漸近線與a有關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：暫無解析二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)11、設(shè)f’(3)=2,則標(biāo)準(zhǔn)答案：-3知識點(diǎn)解析：暫無解析12、設(shè)f’(a)=b,f(a)=1．則標(biāo)準(zhǔn)答案：eh知識點(diǎn)解析：暫無解析13、設(shè)f(x)連續(xù)，且f(1+x)一3f(1一x)=8x(1+|x|)則f’(1)=______.標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點(diǎn)解析：暫無解析14、設(shè)f’(1)=2，標(biāo)準(zhǔn)答案：一2知識點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程ln(x2+y2)=ysinx+x所確定，則標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)其中f(x)可導(dǎo)且f’(0)≠0，則標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識點(diǎn)解析：暫無解析17、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析18、已知f’(x)=arctanx2，則標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)f(x)=x(x一1)(x一2)…(x一n)．則f’(0)=______，f(n+1)(x)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：(一1)nn!，(n+1)!知識點(diǎn)解析：暫無解析三、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)20、設(shè)y=y(x)由y=tan(x+y)所確定,試求y’.y”．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程xsiny—ex+ey=0所確定．求標(biāo)準(zhǔn)答案：一2知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)y=y(x)由標(biāo)準(zhǔn)答案：=2(t一1)(t2+1)知識點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)y=y(x)由標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)f(x)=求f(n)(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)y=sin4x+cos4x,求y(n)。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析26、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析27、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析28、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析29、在半徑為A的球中內(nèi)接一正網(wǎng)錐．試求圓錐的最大體積，標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、設(shè)f(x)=｜(x一1)(x一2)2(x一3)2｜，則導(dǎo)數(shù)f’(x)不存在的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()A、0。B、1。C、2。D、3。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：考查帶有絕對值的函數(shù)在x0點(diǎn)處是否可導(dǎo)，可以借助如下結(jié)論：設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，則(1)若f(x0)≠0，且f(x)在x0處可導(dǎo)，則｜f(x)｜在x0處可導(dǎo)；(2)若f(x0)=0，且f’(x0)=0，則｜f(x)｜在x0處可導(dǎo)；(3)若f(x0)=0，且f’(x0)≠0，則｜f(x)｜在x0處不可導(dǎo)。設(shè)φ(x)=(x一1)(x一2)2(x一3)3，則f(x)=｜φ(x)｜，f’(x)不存在的點(diǎn)就是f(x)不可導(dǎo)的點(diǎn)，根據(jù)上述結(jié)論可知，使φ(x)=0的點(diǎn)x1=1，x2=2，x3=3可能為不可導(dǎo)點(diǎn)，故只需驗(yàn)證φ’(xi)，i=1，2，3是否為零即可，而φ’(x)=(x一2)2(x一3)3+2(x一1)(x一2)(x一3)3+3(x一1)(x一2)2(x一3)3，顯然，φ’(1)≠0，φ’(2)=0，φ’(3)=0，所以只有一個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)x=1。故選B。2、設(shè)函數(shù)f(x)對任意的x均滿足等式f(1+x)=af(x)，且有f’(0)=b，其中a，b為非零常數(shù)，則()A、f(x)在x=1處不可導(dǎo)。B、f(x)在x=1處可導(dǎo)，且f’(1)=a。C、f(x)在x=1處可導(dǎo)，且f’(1)=b。D、f(x)在x=1處可導(dǎo)，且f’(1)=ab。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：根據(jù)題意，令x=0，則f(1)=af(0)。由導(dǎo)數(shù)的定義可知，f’(1)=，且由f’(0)=b可知，=b，故=f’(1)=ab，應(yīng)選D。3、設(shè)f(x)在點(diǎn)x=a處可導(dǎo)，則函數(shù)｜f(x)｜在點(diǎn)x=a處不可導(dǎo)的充分必要條件是()A、f(a)=0且f’(a)=0。B、f(a)=0且f’(a)≠0。C、f(a)＞0且f’(a)＞0。D、f(a)＜0且f’(a)＜0。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：若f(a)≠0，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有因此排除C和D。當(dāng)f(x)在x=a可導(dǎo)，且f(a)≠0時(shí)，｜f(x)｜在x=a點(diǎn)可導(dǎo)。當(dāng)f(a)=0時(shí)，上兩式分別是｜f(x)｜在x=a點(diǎn)的左、右導(dǎo)數(shù)，因此，當(dāng)f(a)=0時(shí)，｜f(x)｜在x=a點(diǎn)不可導(dǎo)的充要條件是上兩式不相等，即f’(a)≠0，故選B。4、設(shè)函數(shù)g(x)可微，h(x)=e1＋g(x)，h’(1)=1，g’(1)=2，則g(1)等于()A、ln3—1。B、一ln3—1。C、一ln2—1。D、ln2—1。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：函數(shù)h(x)=e1＋g(x)兩邊同時(shí)對x求導(dǎo)，可得h’(x)=e1＋g(x)g’(x)。在上面的等式中令x=1，結(jié)合已知條件h’(1)=1，g’(1)=2，可得1=h’(1)=e1＋g(1)g’(1)=2e1＋g(1)，因此得g(1)=一ln2—1，故選C。5、已知函數(shù)f(x)具有任意階導(dǎo)數(shù)，且f’(x)=f2(x)，則當(dāng)n為大于2的正整數(shù)時(shí)，f(x)的n階導(dǎo)數(shù)是()A、n！[f(x)]n＋1。B、n[f(x)]n＋1。C、[f(x)]2n。D、n！[f(x)]2n。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：由f’(x)=f2(x)可得，f’’(x)=2f(x)f’(x)=2！[f(x)]3。假設(shè)f(k)(x)=k！[f(x)]k＋1，則f(k＋1)(x)=(k+1)k！[f(x)]kf’(x)=(k+1)！[f(x)]k＋2，由數(shù)學(xué)歸納法可知，f(n)(x)=n！[f(x)]n＋1對一切正整數(shù)成立。6、周期函數(shù)f(x)在(一∞，+∞)內(nèi)可導(dǎo)，周期為4，又=一1，則y=f(x)在點(diǎn)(5，f(5))處的切線斜率為()A、。B、0。C、一1。D、一2。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x)在(一∞，+∞)內(nèi)可導(dǎo)，且f(x)=f(x+4k)，其中k為整數(shù)，故有f’(x)=f’(x+4k)。取x=1，k=1，可得f’(1)=f’(5)。又由=一1，可得f’(1)=一2，故選D。7、設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且f’(0)＞0，則存在δ＞0，使得()A、f(x)在(0，δ)內(nèi)單調(diào)增加。B、f(x)在(一δ，0)內(nèi)單調(diào)減少。C、對任意的x∈(0，δ)，有f(x)＞f(0)。D、對任意的x∈(一δ，0)，有f(x)＞f(0)。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由導(dǎo)數(shù)定義，知f’(0)=＞0。根據(jù)極限的保號性，存在δ＞0，使對任意x∈＞0。于是當(dāng)x∈(一δ，0)時(shí)，有f(x)＜f(0)；當(dāng)x∈(0，δ)時(shí)，有f(x)＞f(0)。故選C。8、設(shè)y=f(x)是方程y’’一2y’+4y=0的一個(gè)解，且f(x0)＞0，f’(x0)=0，則函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處()A、取得極大值。B、取得極小值。C、某鄰域內(nèi)單調(diào)增加。D、某鄰域內(nèi)單調(diào)減少。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：由f’(x0)=0知，x=x0是函數(shù)y=f(x)的駐點(diǎn)。將x=x0代入方程，得y’’(x0)一2y’(x0)+4y(x0)=0?？紤]到y(tǒng)’(x0)=f’(x0)=0，y’’(x0)=f’’(x0)，y(x0)=f(x0)＞0，有f’’(x0)=一4f(x0)＜0，由極值的第二判定定理知，f(x)在點(diǎn)x0處取得極大值，故選A。9、設(shè)f(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f’(0)=0，=1，則()A、f(0)是f(x)的極大值。B、f(0)是f(x)的極小值。C、(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)。D、f(0)不是f(x)的極值，(0，f(0))也不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：根據(jù)極限的保號性，由=1可知，存在x=0的某鄰域，使對任意x∈＞0，即f’’(x)＞0。從而函數(shù)f’(x)在該鄰域內(nèi)單調(diào)增加。于是當(dāng)x＜0時(shí)，有f’(x)＜f’(0)=0；當(dāng)x＞0時(shí)，f’(x)＞f’(0)=0，由極值的第一判定定理可知，f(x)在x=0處取得極小值。故選B。二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)10、設(shè)函數(shù)f(x)=則f’(x)=___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：當(dāng)x≠0時(shí)，11、設(shè)f(x)=，則f’(x)=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：(1+3x)e3x知識點(diǎn)解析：先求出函數(shù)的表達(dá)式，即f(x)==xe3x，于是有f’(x)=e3x+x．e3x．3=(1+3x)e3x。12、設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程y=1一xey確定，則｜x=0=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：一e知識點(diǎn)解析：當(dāng)x=0時(shí)，y=1。在方程兩端對x求導(dǎo)，得y’=一ey一xeyy’，整理得y’(1+xey)=一ey，=－e。13、設(shè)y=y(x)由方程x=∫1y－xsin2dt所確定，則y’’(0)=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：一2π知識點(diǎn)解析：將x=0代入方程x=∫1y－xsin2dt可得y=1，即y(0)=1。在方程兩邊對x求導(dǎo)，得1=(y’一1)sin2，14、已知f’(ex)=xe－x，且f(1)=0，則f(x)=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：(lnx)2知識點(diǎn)解析：令ex=t，則x=lnt，于是有f’(t)=。對上式兩端同時(shí)積分得f(x)=＋C。由f(1)=0得C=0，故f(x)=(lnx)2。15、曲線y=lnx上與直線x+y=1垂直的切線方程為__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=x一1知識點(diǎn)解析：由題干可知，所求切線的斜率為1。由y’=(lnx)’==1，得x=1，則切點(diǎn)為(1，0)，故所求的切線方程為y—0=1．(x一1)，即y=x一1。16、設(shè)曲線y=f(x)與y=x2一x在點(diǎn)(1，0)處有公共的切線，則=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：一2知識點(diǎn)解析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的極限表示和曲線在某點(diǎn)的切線的幾何意義。17、曲線y=(x一5)x的拐點(diǎn)坐標(biāo)為_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：(一1，一6)知識點(diǎn)解析：由題設(shè)，y=，則有x=一1時(shí)，y’’=0；x=0時(shí)，y’’不存在。在x=一1左右兩側(cè)的微小鄰域內(nèi)，y’’異號，在x=0左右微小鄰域內(nèi)y’’＞0，且y(一1)=一6。故曲線的拐點(diǎn)為(一1，一6)。18、曲線y=的過原點(diǎn)的切線是_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：x+25y=0與x+y=0知識點(diǎn)解析：顯然原點(diǎn)(0，0)不在曲線上，需首先求出切點(diǎn)坐標(biāo)。設(shè)切點(diǎn)為，則y’=，因此切線方程為把(0，0)代入上式，得x0=一3或x0=一15。則斜率分別為所以切線方程為x+25y=0與x+y=0。三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)19、設(shè)y=f(t)，μ=∫0te－s2ds，μ=g(x)，其中f，g均二階可導(dǎo)且g’(x)≠0，求。標(biāo)準(zhǔn)答案：由積分上限函數(shù)求導(dǎo)法則可得=e－t2，再由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得=f’(t)．et2．g’(x)，[f’(t)．et2．g’(x)]=[f’(t)．et2]．g’(x)+f’(t)．et2．g’’(x)=．g’(x)+f’(t)。et2．g’’(x)=e2t2．[f’’(t)+2tf’(t)]．[g’(x)]2+f’(t)et2g’’(x)。知識點(diǎn)解析：暫無解析假設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)在[a，b]上存在二階導(dǎo)數(shù)，并且g''(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，試證：20、在開區(qū)間(a，b)內(nèi)g(x)≠0；標(biāo)準(zhǔn)答案：利用反證法。假設(shè)存在c∈(a，b)，使得g(c)=0，則根據(jù)題意，對g(x)在[a，c]和[c，b]上分別應(yīng)用羅爾定理，可知存在ξ1∈(a，c)和ξ2∈(c，b)，使得g’(ξ1)=g’(ξ2)=0成立。接著再對g’(x)在區(qū)間[ξ1，ξ2]上應(yīng)用羅爾定理，可知存在ξ3∈(ξ1，ξ2)，使得g’’(ξ3)=0成立，這與題設(shè)條件g’’(x)≠0矛盾，因此在開區(qū)間(a，b)內(nèi)g(x)≠0。知識點(diǎn)解析：暫無解析21、在開區(qū)間(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，。標(biāo)準(zhǔn)答案：構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)g’(x)一g(x)f’(x)，由題設(shè)條件得函數(shù)F(x)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)的，在區(qū)間(a，b)上是可導(dǎo)的，且滿足F(a)=F(b)=0根據(jù)羅爾定理可知，存在點(diǎn)ξ∈(a，b)，使得F’(ξ)=0。即f(ξ)g’’(ξ)一f’’(ξ)g(ξ)=0，因此可得知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，證明存在ξ∈(a，b)，使得f’’(ξ)=g’’(ξ)。標(biāo)準(zhǔn)答案：構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)=f(x)一g(x)，由題設(shè)有F(a)=F(b)=0。又f(x)，g(x)在(a，b)內(nèi)具有相等的最大值，不妨設(shè)存在x1≤x2，x1，x2∈(a，b)使得f(x1)=M=。若x1=x2，令c=x1，則F(c)=0。若x1＜x2，因F(x1)=f(x1)一g(x1)≥0，F(xiàn)(x2)=f(x2)一g(x2)≤0，由介值定理知，存在c∈[x1，x2](a，b)，使F(c)=0。在區(qū)間[a，c]，[c，b]上分別利用羅爾定理知，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得F’(ξ1)=F’(ξ2)=0。再對F’(x)在區(qū)間[ξ1，ξ2]上應(yīng)用羅爾定理，知存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，有F’’(ξ)=0，即f’’(ξ)=g’’(ξ)。知識點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)函數(shù)f(x)在(0，+∞)上二階可導(dǎo)，且f’’(x)＞0，記μn=f(n)，n=1，2，…，又μ1＜μ2，證明μn=+∞。標(biāo)準(zhǔn)答案：對函數(shù)f(x)分別在區(qū)間[k，k+1](k=1，2，…，n，…)上使用拉格朗日中值定理μ2一μ1=f(2)一f(1)=f’(ξ1)＞0，1＜ξ1＜2，……μn－1一μn－2=f(n一1)一f(n一2)=f’(ξn－2)，n一2＜ξn－2＜n一1，μn一μn－1=f(n)一f(n一1)=f’(ξn－1)，n一1＜ξn－1＜n。因f’’(x)＞0，故f’(x)嚴(yán)格單調(diào)增加，即有f’(ξn－1)＞f’(ξn－2)＞…＞f’(ξ2)＞f’(ξ1)=μ2一μ1，則μn=(μn一μn－1)+(μn－1—μn－2)+…+(μ2一μ1)+μ1=f’(ξn－1)+f’(ξn－2)+…+f’(ξ1)+μ1＞f’(ξ1)+f’(ξ1)+…+f’(ξ1)+μ1=(n一1)(μ2一μ1)+μ1，于是有=+∞。知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)f(x)在[a，b]上可導(dǎo)，f'(x)+[f(x)]2－∫axf(t)dt=0，且∫abf(t)dt=0。證明：24、∫axf(t)dt在(a，b)的極大值不能為正，極小值不能為負(fù)；標(biāo)準(zhǔn)答案：記F(x)=∫axf(t)dt，假設(shè)F(x)在(a，b)內(nèi)能取到正的極大值，且記該極大值點(diǎn)為x0，于是F’(x0)=0，F(xiàn)(x0)＞0，即f(x0)=0，∫ax0f(t)dt＞0。在方程f’(x)+[f(x)]2一∫axf(t)dt=0中令x=x0，得F’’(x0)=∫ax0f(t)dt＞0，故F(x0)應(yīng)是極小值，這與假設(shè)矛盾。所以∫axf(t)dt在(a，b)的極大值不能為正，極小值不能為負(fù)。知識點(diǎn)解析：暫無解析25、∫axf(t)dt在(a，b)內(nèi)恒為零。標(biāo)準(zhǔn)答案：若F(x)在(a，b)內(nèi)可取正值，由于F(a)=F(b)=0，故F(x)在(a，b)內(nèi)存在最大值且為正，從而知F(x)在(a，b)內(nèi)存在正的極大值，與(I)中的結(jié)論矛盾，故F(x)在(a，b)內(nèi)不可能取正值。同理可證F(x)在(a，b)內(nèi)也不可能取到負(fù)值，故F(x)在(a，b)內(nèi)恒為零。知識點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)a＞1，f(t)=at一at在(一∞，+∞)內(nèi)的駐點(diǎn)為t(a)。問a為何值時(shí)，t(a)最小?并求出最小值。標(biāo)準(zhǔn)答案：令f’(t)=atlna—a=0，解得f(t)的駐點(diǎn)為t(a)=1—。對t(a)關(guān)于a求導(dǎo)，可得t’(a)=，令t’(a)＞0，解得a＞ee。則當(dāng)a＞ee時(shí)，t(a)單調(diào)遞增；當(dāng)1＜a＜ee時(shí)，t(a)單調(diào)遞減。所以當(dāng)a=ee時(shí)，t(a)最小，且最小值為t(ee)=1一。知識點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)e＜a＜b，證明：a2＜＜b2。標(biāo)準(zhǔn)答案：①要證明＜b2，只需要證明alna＜blnb。設(shè)函數(shù)f(x)=xlnx。當(dāng)x＞e時(shí)，f’(x)=lnx+1＞0，故f(x)單調(diào)遞增。又因e＜a＜b，所以f(b)＞f(a)，即alna＜blnb。②要證明。設(shè)函數(shù)g(x)=。當(dāng)x＞e時(shí)，g’(x)=＜0，故g(x)單調(diào)遞減。又因e＜a＜b，故g(a)＞g(b)，即。綜上所述：當(dāng)e＜a＜b時(shí)，a2＜＜b2。知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、設(shè)f(χ)在χ＝a處可導(dǎo)，且f(a)≠0，則｜f(χ)｜在χ＝a處()．A、可導(dǎo)B、不可導(dǎo)C、不一定可導(dǎo)D、不連續(xù)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：不妨設(shè)f(a)＞0，因?yàn)閒(χ)在χ＝a處可導(dǎo)，所以f(χ)在χ＝a處連續(xù)，于是存在δ＞0，當(dāng)｜χ－a｜＜δ時(shí)，有f(χ)＞0，于是即｜f(χ)｜在χ＝a處可導(dǎo)，同理當(dāng)f(a)＜0時(shí)，｜f(χ)｜在χ＝a處也可導(dǎo)，選A．2、設(shè)ξ為f(χ)＝arctanχ在[0，a]上使用微分中值定理的中值，則為()．A、1B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：令f(a)－f(0)＝f′(ξ)a，故選C．3、設(shè)f(χ)在χ＝a處二階可導(dǎo)，則等于()．A、－f〞(a)B、f〞(a)C、2f〞(a)D、f〞(a)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：故選D．4、設(shè)f(χ)在χ＝0處二階可導(dǎo)，f(0)＝0且＝2，則()．A、f(0)是f(χ)的極大值B、f(0)是f(χ)的極小值C、(0，f(0))是曲線y＝f(χ)的拐點(diǎn)D、f(0)不是f(χ)的極值，(0，f(O))也不是曲線y＝f(χ)的拐點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由＝2，得f(0)＋f′(0)＝0，于是f′(0)＝0．再由＝f′(0)＋f〞(0)＝f′(0)＋f〞(0)＝2，得f〞(0)＝2＞0，故f(0)為f(χ)的極小值，選B．5、設(shè)f(χ)連續(xù)可導(dǎo)，g(χ)連續(xù)，且＝0，又f′(χ)＝－2χ2＋∫0χg(χ－t)dt，則()．A、χ＝0為f(χ)的極大值點(diǎn)B、χ＝0為f(χ)的極小值點(diǎn)C、(0，f(0))為y＝f(χ)的拐點(diǎn)D、χ＝0既不是f(χ)極值點(diǎn)，(0，f(0))也不是y＝f(χ)的拐點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由∫0χg(χ－t)dt＝∫0χg(t)dt得f′(χ)＝－2χ2＋∫0χg(t)dt，f〞(χ)＝－4χ＋g(χ)，因?yàn)椋剑?＜0，所以存在δ＞0，當(dāng)0＜｜χ｜＜δ時(shí)，＜0，即當(dāng)χ∈(－δ，0)時(shí)，f〞(χ)＞0；當(dāng)χ∈(0，δ)時(shí)，f〞(χ)＜0，故(0，f(0))為y＝f(χ)的拐點(diǎn)，應(yīng)選C．6、設(shè)f(χ)在χ＝a處的左右導(dǎo)數(shù)都存在，則f(χ)在χ＝a處()．A、一定可導(dǎo)B、一定不可導(dǎo)C、不一定連續(xù)D、連續(xù)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：因?yàn)閒(χ)在χ＝a處右可導(dǎo)，所以存在，于是f(χ)＝f(a)，即f(χ)在χ＝a處右連續(xù)，同理由f(χ)在χ＝a處左可導(dǎo)，得f(χ)在χ＝a處左連續(xù)，故f(χ)在χ＝a處連續(xù)，由于左右導(dǎo)數(shù)不一定相等，選D．7、f(χ)g(χ)在χ0處可導(dǎo)，則下列說法正確的是()．A、f(χ)，g(χ)在χ0處都可導(dǎo)B、f(χ)在χ0處可導(dǎo)，g(χ)在χ0處不可導(dǎo)C、f(χ)在χ0處不可導(dǎo)，g(χ)在χ0處可導(dǎo)D、f(χ)，g(χ)在χ0處都可能不可導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：令顯然f(χ)，g(χ)在每點(diǎn)都不連續(xù)，當(dāng)然也不可導(dǎo)，但f(χ)g(χ)≡－1在任何一點(diǎn)都可導(dǎo)，選D．8、f(χ)在χ0處可導(dǎo)，則｜f(χ)｜在χ0處()．A、可導(dǎo)B、不可導(dǎo)C、連續(xù)但不一定可導(dǎo)D、不連續(xù)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由f(χ)在χ0處可導(dǎo)得｜f(χ)｜在χ0處連續(xù)，但｜f(χ)｜在χ0處不一定可導(dǎo)，如f(χ)＝χ在χ＝0處可導(dǎo)，但｜f(χ)｜＝｜χ｜在χ＝0處不可導(dǎo)，選C．9、設(shè)f(χ)為二階可導(dǎo)的奇函數(shù)，且χ＜0時(shí)有f〞(χ)＞0，f′(χ)＜0，則當(dāng)χ＞0時(shí)有()．A、f〞(χ)＜0，f′(χ)＜0B、f〞(χ)＞0，f′(χ)＞0C、f〞(χ)＞0，f′(χ)＜0D、f〞(χ)＜0，f′(χ)＞0標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：因?yàn)閒(χ)為二階可導(dǎo)的奇函數(shù)，所以f(－χ)＝－f(χ)，f′(－χ)＝f′(χ)，f〞(－χ)＝－f〞(χ)，即f′(χ)為偶函數(shù)，f〞(χ)為奇函數(shù)，故由χ＜0時(shí)有f〞(χ)＞0，f′(χ)＜0，得當(dāng)χ＞0時(shí)有f〞(χ)＜0，f′(χ)＜0，選A．10、設(shè)f(χ)為單調(diào)可微函數(shù)，g(χ)與f(χ)互為反函數(shù)，且f(2)＝4，f′(2)＝，f′(4)＝6，則g′(4)等于()．A、B、C、D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：暫無解析二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)11、設(shè)f(χ)＝，則f′(χ)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2χ(1＋4χ)e8χ知識點(diǎn)解析：得f′(χ)＝2χe8χ＋8χ2e8χ＝2χ(1＋4χ)e8χ．12、設(shè)兩曲線y＝χ2＋aχ＋b與－2y＝－1＋χy3在點(diǎn)(－1，1)處相切，則a＝_______，b＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：3；3．知識點(diǎn)解析：因?yàn)閮汕€過點(diǎn)(－1，1)，所以b－a＝0，又由y＝χ2＋aχ＋b得＝a－2，再由－2y＝－1＋χy3得，且兩曲線在點(diǎn)(－1，1)處相切，則a－2＝1，解得a＝b＝3．13、設(shè)函數(shù)y＝滿足f′(χ)＝arctan，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：14、設(shè)f(χ)二階連續(xù)可導(dǎo)，且＝0，f〞(0)＝4，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：e2知識點(diǎn)解析：由＝0得f(0)＝0，f′(0)＝0，則15、設(shè)f(χ)在χ＝1處一階連續(xù)可導(dǎo)，且f′(1)＝－2，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點(diǎn)解析：16、設(shè)f(χ)為二階可導(dǎo)的偶函數(shù)，f(0)＝1，f〞(0)＝2且f〞(χ)在χ＝0的鄰域內(nèi)連續(xù)，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點(diǎn)解析：因?yàn)閒(χ)為偶函數(shù)，所以f′(χ)為奇函數(shù)，于是f′(0)＝0，又因?yàn)閒〞(χ)在χ＝0的鄰域內(nèi)連續(xù)，所以f(χ)＝f(0)＋f′(0)χ＋＋o(χ2)＝1＋χ2＋o(χ2)，于是＝1．17、設(shè)f(χ)滿足f(χ)＝f(χ＋2)，f(0)＝0，又在(－1，1)內(nèi)f′(χ)＝｜χ｜，則f()＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：因?yàn)樵?－1，1)內(nèi)f′(χ)＝｜χ｜，所以在(－1，1)內(nèi)f(χ)＝由f(0)＝0得18、若f(χ)＝2nχ(1－χ)n，記Mn＝f(χ)，則Mn＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：由f′(χ)＝2n(1－χ)n－2n2χ(1－χ)n－1＝0得χ＝，當(dāng)χ∈(0，)時(shí)，f′(χ)＞0；當(dāng)χ∈(，1)時(shí)，f′(χ)＜0，則χ＝為最大點(diǎn)，三、解答題(本題共19題，每題1.0分，共19分。)19、設(shè)χ＝χ(t)由sint－＝0確定，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：將t＝0代入sint－＝0得＝0，再由＞0得χ＝1，sint－＝0兩邊對t求導(dǎo)得cost－＝0，從而＝e＋1，cost－＝0兩邊再對t求導(dǎo)得將t＝0，χ＝1，＝e＋1代入得＝2e2知識點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)χ3－3χy＋y3＝3確定y為χ的函數(shù)，求函數(shù)y＝y(tǒng)(χ)的極值點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：χ3－3χy＋y3＝3兩邊對χ求導(dǎo)得令＝0得y＝χ2，代入χ3－3χy＋y3＝3得χ＝－1或χ＝，因?yàn)椋?＞0，所以χ＝－1為極小值點(diǎn)，極小值為y＝1；因?yàn)椋剑?＜0，所以χ＝為極大值點(diǎn)，極大值為y＝χ＝y(tǒng)2時(shí)，≠0，此時(shí)y沒有極值．知識點(diǎn)解析：暫無解析21、χ＝φ(y)是y＝f(χ)的反函數(shù)，f(χ)可導(dǎo)，且f′(χ)＝，f(0)＝3，求φ〞(3)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)棣铡?3)＝，而f′(0)＝e，所以φ′(3)＝，f〞(χ)＝(2χ＋1)，f〞(0)＝e，知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)f(χ)連續(xù)，φ(χ)＝∫01f(χt)dt，且＝A．求φ′(χ)，并討論φ′(χ)在χ＝0處的連續(xù)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)χ≠0時(shí)，當(dāng)χ＝0時(shí)，φ(0)＝∫01f(0)dt＝0，所以φ′(χ)在χ＝0處連續(xù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)函數(shù)f(χ)在χ＝1的某鄰域內(nèi)有定義，且滿足｜f(χ)－2eχ｜≤(χ－1)2，研究函數(shù)f(χ)在χ＝1處的可導(dǎo)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：把χ＝1代入不等式中，得f′(1)＝2e．當(dāng)χ≠1時(shí)，不等式兩邊同除以｜χ－1｜，得知識點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)f(χ)在χ＝0的鄰域內(nèi)二階連續(xù)可導(dǎo)，＝2，求曲線y＝f(χ)在點(diǎn)(0，f(0))處的曲率．標(biāo)準(zhǔn)答案：則y＝f(χ)在點(diǎn)(0，f(0))處的曲率為K＝＝2．知識點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)y＝，求y′．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)｜χ｜＜1時(shí)，y′＝－；當(dāng)χ＞1時(shí)，y′＝1；當(dāng)χ＜－1時(shí)，y′＝－1；由＝0得y在χ＝－1處不連續(xù)，故y′(－1)不存在；得y′＋(1)＝1，因?yàn)閥′－(1)≠y′＋(1)，所以y在χ＝1處不可導(dǎo)，故y′＝知識點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)f(χ)＝，且f〞(0)存在，求a，b，c．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(χ)在χ＝0處連續(xù)，所以c＝0，即由f(χ)在χ＝0處可導(dǎo)，得b＝1，即由f〞(0)存在，得a＝－，即a＝－，b＝1，c＝0．知識點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)f(χ)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，f(0)＝0，f()＝1，f(1)＝0．證明：(1)存在η∈(，1)，使得f(η)－η；(2)對任意的k∈(－∞，＋∞)，存在ξ∈(0，η)，使得f′(ξ)－k[f(ξ)－ξ]＝1．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)令φ(χ)＝f(χ)－χ，φ(χ)在[0，1]上連續(xù)，＞0，φ(1)＝－1＜0，由零點(diǎn)定理，存在η∈(，1)，使得φ(η)＝0，即f(η)＝η．(2)設(shè)F(χ)＝e－kχφ(χ)，顯然F(χ)在[0，η]上連續(xù)，在(0，η)內(nèi)可導(dǎo)，且F(0)＝F(η)＝0，由羅爾定理，存在ξ∈(0，η)，使得F′(ξ)＝0，整理得f′(ξ)－k[f(ξ)－ξ]＝1．知識點(diǎn)解析：暫無解析28、設(shè)f(χ)在[0，2]上連續(xù)，在(0，2)內(nèi)二階可導(dǎo)，且＝0，又f(2)＝2f(χ)dχ，證明：存在ξ∈(0，2)，使得f′(ξ)＋f〞(ξ)＝0．標(biāo)準(zhǔn)答案：由＝0，得f(1)＝－1，又所以f′(1)＝0由積分中值定理得f(2)＝2f(χ)dχ＝f(c)，其中c∈[1，]由羅爾定理，存在χ0∈(c，2)(1，2)，使得f′(χ0)＝0．令φ(χ)＝eχf′(χ)，則φ(1)＝φ(χ0)＝0，由羅爾定理，存在ξ∈(1，χ0)(0，2)，使得φ′(ξ)＝0，而φ′(χ)＝eχ[f′(χ)＋f〞(χ)]且eχ≠0，所以f′(ξ)＋f〞(ξ)＝0．知識點(diǎn)解析：暫無解析29、設(shè)f(χ)在[0，1]上可導(dǎo)，f(0)＝0，｜f′(χ)｜≤｜f(χ)｜．證明：f(χ)≡0，χ[0，1]．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(χ)在[0，1]上可導(dǎo)，所以f(χ)在[0，1]上連續(xù)，從而｜f(χ)｜在[0，1]上連續(xù)，故｜f(χ)｜在[0，1]上取到最大值M，即存在χ0∈[0，1]，使得｜f(χ0)｜＝M．當(dāng)χ0＝0時(shí)，則M＝0，所以f(χ)≡0，χ∈[0，1]；當(dāng)χ0≠0時(shí)，M＝｜f(χ0)｜＝｜f(χ0)－f(0)｜＝｜f′(ξ)｜χ0≤，其中ξ∈(0，χ0)，故M＝0，于是f(χ)≡0，χ∈[0，1]．知識點(diǎn)解析：暫無解析30、設(shè)f(χ)∈C[a，b]，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)＝f(b)＝1．證明：存在ξ，η∈(a，b)，使得2e2ξ－η＝(ea＋eb)[f′(η)＋f(η)]．標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(χ)＝eχf(χ)，由微分中值定理，存在η∈(a，b)，使得再由f(a)＝f(b)＝1，得＝eη[f′(η)＋f(η)]，從而＝(ea＋eb)eη[f′(η)＋f(η)]，令φ(χ)＝e2χ，由微分中值定理，存在ξ∈(a，b)，使得＝2e2ξ，即2e2ξ＝(ea＋eb)eη[f′(η)＋f(η)]，或2e2ξ－η＝(ea＋eb)[f′(η)＋f(η)]．知識點(diǎn)解析：暫無解析31、設(shè)f(χ)二階可導(dǎo)，f(0)＝f(1)＝0且f(χ)＝－1．證明：存在ξ∈(0，1)，使得f〞(ξ)≥8．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(χ)在[0，1]上二階可導(dǎo)，所以f(χ)在[0，1]上連續(xù)且f(0)＝f(1)＝0，f(χ)＝－1，由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)最值定理知，f(χ)在[0，1]取到最小值且最小值在(0，1)內(nèi)達(dá)到，即存在c∈(0，1)，使得f(c)＝－1，再由費(fèi)馬定理知f′(c)＝0，根據(jù)泰勒公式f(0)＝f(c)＋f′(c)(0－c)＋(0－c)2，ξ1∈(0，c)f(1)＝f(c)＋f′(c)(1－c)＋(1－c)2，ξ2∈(c，1)整理得當(dāng)c∈[0，]時(shí)，f〞(ξ1)＝≥8，取ξ＝ξ1；當(dāng)c∈(，1)時(shí)，f〞(ξ2)＝≥8，取ξ＝ξ2．所以存在ξ∈(0，1)，使得f〞(ξ)≥8．知識點(diǎn)解析：暫無解析32、一質(zhì)點(diǎn)從時(shí)間t＝0開始直線運(yùn)動(dòng)，移動(dòng)了單位距離使用了單位時(shí)間，且初速度和末速度都為零．證明：在運(yùn)動(dòng)過程中存在某個(gè)時(shí)刻點(diǎn)，其加速度絕對值不小于4．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為S＝S(t)，顯然S(0)＝0，S′(0)＝0，S(1)＝1，S′(1)＝0．由泰勒公式兩式相減，得S〞(ξ2)－S〞(ξ1)＝－8｜S〞(ξ1)｜＋｜S〞(ξ2)｜≥8．當(dāng)｜S〞(ξ1)｜≥｜S〞(ξ2)｜時(shí)，｜S〞(ξ1)｜≥4；當(dāng)｜S〞(ξ1)｜＜｜S〞(ξ2)｜時(shí)，｜S〞(ξ2)｜≥4．知識點(diǎn)解析：暫無解析33、設(shè)f(χ)在[0，1]上二階可導(dǎo)，且｜f〞(χ)｜≤1(χ∈[0，1])，又f(0)＝f(1)，證明：｜f′(χ)｜≤(χ∈[0，1])．標(biāo)準(zhǔn)答案：由泰勒公式得f(0)＝f(χ)－f′(χ)χ＋f〞(ξ1)χ2，ξ1∈(0，z)，f(1)＝f(χ)＋f′(χ)(1－χ)＋f〞(ξ2)(1－χ)2，ξ2∈(χ，1)，兩式相減，得f′(χ)＝．兩邊取絕對值，再由｜f〞(χ)｜≤1，得知識點(diǎn)解析：暫無解析34、設(shè)f(χ)在(－1，1)內(nèi)二階連續(xù)可導(dǎo)，且f〞(χ)≠0．證明：(1)對(－1，1)內(nèi)任一點(diǎn)χ≠0，存在唯一的θ(χ)∈(0，1)，使得f(χ)＝f(0)＋f(0)＋χf′(χ)χ]；(2)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)對任意χ∈(－1，1)，根據(jù)微分中值定理，得f(χ)＝f(0)＋χf′[θ(χ)χ]，其中0＜θ(χ)＜1．因?yàn)閒〞(χ)∈C(－1，1)且f〞(χ)≠0，所以f〞(χ)在(－1，1)內(nèi)保號，不妨設(shè)f〞(χ)＞0，則f′(χ)在(－1，1)內(nèi)單調(diào)增加，又由于χ≠0，所以θ(χ)是唯一的．(2)由泰勒公式，得f(χ)＝f(0)＋f′(0)χ＋，其中ξ介于0與χ之間，而f(χ)＝f(0)＋χf′[θ(χ)χ]，所以有令χ→0，再由二階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性及非零性，得知識點(diǎn)解析：暫無解析35、設(shè)f(χ)在[a，b]上二階可導(dǎo)，且f′(a)＝f′(b)＝0．證明：存在ξ∈(a，b)，使得｜f〞(ξ)｜≥｜f(b)－f(a)｜．標(biāo)準(zhǔn)答案：由泰勒公式得兩式相減得f(b)－f(a)＝[f〞(ξ1)－f〞(ξ2)]取絕對值得｜f(b)－f(a)｜≤[｜f〞(ξ1)｜－｜f〞(ξ2)｜](1)當(dāng)｜f〞(ξ1)｜≥｜f〞(ξ2)｜時(shí)，取ξ＝ξ1，則有｜f〞(ξ)｜≥｜f(b)－f(a)｜；(2)當(dāng)｜f〞(ξ1)｜＜｜f〞(ξ2)｜時(shí)，取ξ＝ξ2，則有｜f〞(ξ)｜≥｜f(b)－f(a)｜．知識點(diǎn)解析：暫無解析36、f(χ)在[－1，1]上三階連續(xù)可導(dǎo)，且f(－1)＝0，f(1)＝1，f′(0)＝0．證明：存在ξ∈(－1，1)，使得f″′(ξ)＝3．標(biāo)準(zhǔn)答案：由泰勒公式得兩式相減得f″′(ξ)＋f″′(ξ)＝6．因?yàn)閒(χ)在[－1，1]上三階連續(xù)可導(dǎo)，所以f″′(χ)在[ξ1，ξ2]上連續(xù)，由連續(xù)函數(shù)最值定理，f″′(χ)在[ξ1，ξ2]上取到最小值m和最大值M，故2m≤f″′(ξ1)＋f″′(ξ2)≤2M，即m≤3≤M．由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2](－1，1)，使得f″′(ξ)＝3．知識點(diǎn)解析：暫無解析37、設(shè)f(χ)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)二階連續(xù)可導(dǎo)．證明：存在ξ∈(a，b)，使得f(b)－2f＋f(a)＝f〞(ξ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(χ)在(a，b)內(nèi)二階可導(dǎo)，所以有兩式相加得因?yàn)閒〞(χ)在(a，b)內(nèi)連續(xù)，所以f〞(χ)在[ξ1，ξ2]上連續(xù)，從而f〞(χ)在[ξ1，ξ2]上取到最小值m和最大值M，故m≤≤M，由介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2](a，b)，使得＝f〞(ξ)故知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、設(shè)f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，在x=0處可導(dǎo)，且f(0)=0。則φ(x)在x=0處()A、不連續(xù)。B、連續(xù)但不可導(dǎo)。C、可導(dǎo)但φ’(x)在x=0處不連續(xù)。D、可導(dǎo)且φ’(x)在x=0處連續(xù)。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：因?yàn)樗驭?x)在x=0處連續(xù)。x≠0時(shí)，則故φ’(x)在x=0連續(xù)。故選D。2、設(shè)f(x)=｜x｜sin2x，則使導(dǎo)數(shù)存在的最高階數(shù)n=()A、0。B、1。C、2。D、3。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：因?yàn)樗杂忠驗(yàn)樗詮亩蔲(3)(0)不存在，因此n=2。故選C。3、設(shè)函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù)，下列命題錯(cuò)誤的是()A、若存在，則f(0)=0。B、若存在，則f(0)=0。C、若存在，則f’(0)存在。D、若存在，則f’(0)存在。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：本題主要考查的是導(dǎo)數(shù)的極限定義及函數(shù)連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系。由于已知條件中含有抽象函數(shù)，因此本題最簡便的方法是用賦值法，可以選取符合題設(shè)條件的特殊函數(shù)f(x)判斷。取特殊函數(shù)f(x)=｜x｜，則，但f(x)在x=0不可導(dǎo)。故選D。4、設(shè)函數(shù)g(x)可微，h(x)=e1+g(x)，h’(1)=1，g’(1)=2，則g(1)=()A、ln3—1。B、一ln3—1。C、一ln2—1。D、ln2—1。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：函數(shù)h(x)=e1+g(x)兩邊同時(shí)對x求導(dǎo)，可得h’(x)=e1+g(x)g’(x)。在上面的等式中令x=1，結(jié)合已知條件h’(1)=1，g’(1)=2，可得1=h’(1)=e1+g(1)g’(1)=2e1+g(1)，因此得g(1)=一ln2—1。故選C。5、設(shè)函數(shù)f(x)在(一∞，+∞)存在二階導(dǎo)數(shù)，且f(x)=f(一x)，當(dāng)x＜0時(shí)有f’(x)＜0，f’’(x)＞0，則當(dāng)x＞0時(shí)，有()A、f’(x)＜0，f’’(x)＞0。B、f’(x)＞0，f’’(x)＜0。C、f’(x)＞0，f’’(x)＞0。D、f’(x)＜0，f’’(x)＜0。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由f(x)=f(一x)可知，f(x)為偶函數(shù)，因可導(dǎo)偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，可導(dǎo)奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，即f’(x)為奇函數(shù)，f’’(x)為偶函數(shù)，因此當(dāng)x＜0時(shí)，有f’(x)＜0，f’’(x)＞0；當(dāng)x＞0時(shí)，有f’(x)＞0，f’’(x)＞0。故選C。6、設(shè)函數(shù)f(x)在R+上有界且可導(dǎo)，則()A、當(dāng)f(x)=0時(shí)，必有f’(x)=0。B、當(dāng)f’(x)存在時(shí)，必有f’(x)=0C、當(dāng)f(x)=0時(shí)，必有f’(x)=0。D、當(dāng)f’(x)存在時(shí)，必有f’(x)=0。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：可以用反證法證明選項(xiàng)B是正確的。假設(shè)，則由拉格朗日中值定理可知，存在ξ，使得x＜ξ＜2x，所以當(dāng)x→+∞時(shí)，ξ→+∞，有f(2x)一f(x)=f’(ξ)x→+∞(x→+∞)，但這與｜f(2x)一f(x)｜≤｜f(2x)｜+｜f(x)｜≤2M矛盾(｜f(x)｜≤M)。故選B。7、設(shè)區(qū)間[0，4]上y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示，則f(x)()A、在[0，2]單調(diào)上升且為凸的，在[2，4]單調(diào)下降且為凹的。B、在[0，1]，[3，4]單調(diào)下降，在[1，3]單調(diào)上升，在[0，2]是凹的，[2，4]是凸的。C、在[0，1]，[3，4]單調(diào)下降，在[1，3]單調(diào)上升，在[0，2]是凸的，[2，4]是凹的。D、在[0，2]單調(diào)上升且為凹的，在[2，4]單調(diào)下降且為凸的。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：當(dāng)x∈(0，1)或(3，4)時(shí)，f’(x)＜0，那么f(x)在[0，1]，[3，4]單調(diào)下降。當(dāng)x∈(1，3)時(shí)f’(x)＞0，那么f(x)在[1，3]單調(diào)上升。又f’(x)在[0，2]單調(diào)上升，那么f(x)在[0，2]是凹的；f’(x)在[2，4]單調(diào)下降，那么f(x)在[2，4]是凸的。故選B。8、設(shè)常數(shù)k＞0，函數(shù)在(0，+∞)內(nèi)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A、3。B、2。C、1。D、0。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：因，令f’(x)=0，得唯一駐點(diǎn)x=e，f(x)在區(qū)間(0，e)與(e，+∞)內(nèi)都具有單調(diào)性。又f(e)=k＞0，而因此根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知，f(x)在(0，e)與(e，+∞)內(nèi)分別有唯一零點(diǎn)。故選B。9、設(shè)函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式f’’(x)+[f’(x)]2=x，且f’(0)=0，則()A、f(0)是f(x)的極大值。B、f(0)是f(x)的極小值。C、(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)。D、f(0)不是f(x)的極值，(0，f(0))也不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由于f’’(x)=x一[f’(x)]2，該等式右邊可導(dǎo)，故f’’(x)可導(dǎo)。在題設(shè)等式兩端對x求導(dǎo)，得f’’’(x)+2f’(x)f’’(x)=1。令x=0，可得f’’(0)=1。f’’f”(0)=0，由拐點(diǎn)的充分條件可知，(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)。故選C。10、設(shè)f(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f’(0)=0，則()A、f(0)是f(x)的極大值。B、f(0)是f(x)的極小值。C、(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)。D、f(x)不是f(x)的極值，(0，f(0))也不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：根據(jù)極限的保號性，由可知，存在x=0的某鄰域，使對任意x∈，都有，即f’’(x)＞0。從而函數(shù)f’(x)在該鄰域內(nèi)單調(diào)增加。于是當(dāng)x＜0時(shí)，有f’(x)＜f’(0)=0；當(dāng)x＞0時(shí)，f’(x)＞f’(0)=0，由極值的第一判定定理可知，f(x)在x=0處取得極小值。故選B。二、填空題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)11、g(x)為奇函數(shù)且在x=0處可導(dǎo)，則f’(0)=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：2g’(0)知識點(diǎn)解析：由g(x)在x=0處可導(dǎo)可知，g(x)在x=0處連續(xù)。又因?yàn)間(x)是奇函數(shù)，所以g(0)=0。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可得12、已知?jiǎng)ty’=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：等式兩邊取對數(shù)，則有l(wèi)ny=[lnx+lnsinx+ln(1一ex)]，等式兩邊分別對x求導(dǎo)，有整理得13、∫0xsin(x一t)2dt=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：sinx2知識點(diǎn)解析：令x一t=u，則14、設(shè)y=y(x)是由方程xy+ey=x+1確定的隱函數(shù)，則=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：一3知識點(diǎn)解析：方程兩邊對x求導(dǎo)可得，y+xy’+y’ey=1，解得再次求導(dǎo)可得2y’+xy’’+y’’ey+(y’)2ey=0，整理得當(dāng)x=0時(shí)，y=0，y’(0)=1，代入(*)得15、設(shè)則=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：因?yàn)閯t所以16、已知f’(ex)=xe—x，且f(1)=0，則f(x