2.1-隨機變量的概念與離散型隨機變量

第二章隨機變量及其分布第二章主要內(nèi)容

2.1隨機變量的概念與離散型隨機變量2.3連續(xù)型隨機變量及其概率密度2.2隨機變量的分布函數(shù)2.4隨機變量函數(shù)的分布

2.1隨機變量的概念與離散型隨機變量RandomVariableandDistribution2.1.1隨機變量的概念出現(xiàn)1點出現(xiàn)2點出現(xiàn)3點出現(xiàn)4點出現(xiàn)5點出現(xiàn)6點X123456P例：E:擲一顆骰子

,觀察點數(shù).如何引入隨機變量？基本思想將樣本空間數(shù)量化,即用數(shù)值來表示試驗的結(jié)果又如：1.某個燈泡的使用壽命為X。X的可能取值為[0,+)2.某電話總機在一分鐘內(nèi)收到的呼叫次數(shù)為Y.Y

的可能取值為0，1，2，3，...,3.

設(shè)箱中有10個球，其中有2個紅球，8個白球；從中任意抽取2個,觀察抽球結(jié)果。取球結(jié)果為兩個紅球一紅一白兩個白球

X表示取得的紅球數(shù)210未中中了贏了輸了不發(fā)生發(fā)生不合格合格不健康健康不好好

有些隨機試驗的結(jié)果不是用數(shù)量來表示，但可數(shù)量化實驗所有結(jié)果X10隨機變量的定義定義2.1.1設(shè)隨機試驗的樣本空間為Ω，如果對于每一個樣本點，均有唯一的實數(shù)與之對應(yīng)，稱為樣本空間Ω上的隨機變量（RandomVariable）

。WxX=X(

1)0X=X(

2)隨機變量的特征:1.任一隨機事件就可以用隨機變量在實數(shù)軸上的某一集合中的取值來表示，2.隨機變量是定義在樣本空間上的(樣本空間的元素不一定是實數(shù))一個函數(shù)，而普通函數(shù)是定義在實數(shù)軸上的一個函數(shù)，這是二者的差別之一.3．作為樣本空間上的函數(shù)，隨機變量的取值隨試驗的結(jié)果而定,隨機變量的取值也有一定的概率，這是隨機變量與普通函數(shù)的差別之二.隨機變量的特征:

通過引進(jìn)隨機變量的概念，能夠把不同的樣本空間抽象化為一些定量的實數(shù)，由此就可以利用高等數(shù)學(xué)的有關(guān)方法來研究隨機現(xiàn)象。為什么要引進(jìn)隨機變量的概念？問例1：在擲骰子試驗中，例2

觀察一個電話交換臺在一段時間（0，T）內(nèi)接到的呼叫次數(shù)。用隨機變量表示事件X表示出現(xiàn)的點數(shù)用隨機變量X表示事件出現(xiàn)偶數(shù)點出現(xiàn)的點數(shù)小于4{X=2}

{X=4}

{X=6}{X<4}或{X3}X表示呼叫次數(shù)用隨機變量X表示事件接到的呼叫次數(shù)k次收到不少于1次呼叫什么是隨機變量X的概率分布？一般地，隨機變量X取值的概率稱為該隨機變量X的概率分布．取球結(jié)果為兩個紅球一紅一白兩個白球

X表示取得的紅球數(shù)210P例

設(shè)箱中有10個球，其中有2個紅球，8個白球；從中任意抽取2個,觀察抽球結(jié)果。3.使我們用分析的方法來研究隨機試驗成為可能．隨機變量是研究隨機試驗的有效工具．引入隨機變量的意義1.隨機事件的發(fā)生可以用隨機變量的取值表示．2.可以用隨機變量取值的概率來研究隨機事件發(fā)生的概率，從而將隨機事件概率的研究轉(zhuǎn)化為隨機變量取值概率的研究.隨機變量的類型隨即變量的取值有無窮多個，且不可列其中連續(xù)型隨機變量是一種重要類型

離散型非離散型隨機變量的所有取值是有限個或可列個2.1.2離散隨機變量及其分布稱此式為X的分布律（列）或概率分布（Probabilitydistribution)

設(shè)離散型隨機變量X的所有可能取值是

，而取值的概率為即如果隨機變量X的所有取值是有限個或可列個,則稱X為離散型隨機變量。定義2.1.2要研究離散型隨機變量X的分布律，就要完成如下兩件事：1．隨機變量的取值及其范圍是什么？2．它取每個值或在某個范圍內(nèi)取值的概率是多少？全面表達(dá)了X的所有可能取值以及取各個值的概率情況

p1

，p2

，…pK

…

P

x1，x2，…xk…X離散隨機變量分布律的表示法1.公式法2.表格法隨機變量X的概率分布特征：兩條性質(zhì)

例題講解.一袋中有5只乒乓球，編號為1，2，3，4，5，在其中同時取3只，以X表示取出的3只球中的最大號碼，寫出隨機變量X的分布律.X345P0.10.30.6例1求分布律【解】P(X=3)P(X=4)P(X=5)X=3、4、5設(shè)隨機變量X的分布律為試確定常數(shù)b.解例2設(shè)X的分布律為求P(0<X≤2)P(0<X≤2)例3：由分布律確定概率解=1/2+1/6=2/3=P（X=1）+P（X=2）

例4

某系統(tǒng)有兩臺機器相互獨立地運轉(zhuǎn)。設(shè)第一臺與第二臺機器發(fā)生故障的概率分別為0.1，0.2，以X表示系統(tǒng)中發(fā)生故障的機器數(shù)，求X的分布律解故所求概率分布為：

X=0、1、2P{X=0}=P{X=1}=P{X=2}=例5：

設(shè)有一批產(chǎn)品20件，其中有3件次品，從中任意抽取2件，如果用X表示取得的次品數(shù)，求隨機變量X的分布律及事件“至少抽得一件次品”的概率。X的可能取值為

0，1，2解：P{X=0}P{X=1}P{X=2}故X的分布律為X的分布律為P“至少抽得一件次品”==P{X=1}+P{X=2}P{X≥1}從一批次品率為p的產(chǎn)品中，有放回抽樣直到抽到次品為止。

求抽到次品時，已抽取的次數(shù)X的分布律。解

記Ai=“第i次取到正品”,i=1,2,3,…

則Ai,

i=1,2,3,…是相互獨立的！X的所有可能取值為1，2，3，…,k,…P(X=k)=(1-p)k-1p,k=1,2,…{X=k}=例6例7：某人騎自行車從學(xué)校到火車站，一路上要經(jīng)過3個獨立的交通燈，設(shè)各燈工作獨立，且設(shè)各燈為紅燈的概率為p，0<p<1，以X表示首次停車時所通過的交通燈數(shù)，求X的概率分布律。pX0123pp(1-p)(1-p)2p(1-p)3解：設(shè)Ai={第i個燈為紅燈}，則P(Ai)=p，i=1,2,3且A1,A2,A3相互獨立。P{X=0}=P{X=1}=P{X=2}=P{X=3}=2.1.2幾種常見的離散型分布2.1.3.10-1分布(二點分布)1－pp

P

01

X則稱X服從參數(shù)為p的二點分布或(0-1)分布,△定義2.1.3：若隨機變量X的分布律為:其中0<p<1,則稱X服從參數(shù)為n,p

的二項分布,記為X～B(n,p)2.1.3.2二項分布Binomialdistribution定義2.1.4

在n重貝努利試驗中,若以X表示事件A發(fā)生的次數(shù),

則X可能的取值為0,1,2,3,…,n.隨機變量X的分布律二項分布的概率分布示意圖二項分布的圖形二項分布的圖形二項分布的圖形二項分布的圖形從一批由9件正品、3件次品組成的產(chǎn)品中,有放回地抽取5次,每次抽一件,求恰好抽到兩次次品的概率.有放回地抽取5件,可視為5重Bernoulli實驗記X為共抽到的次品數(shù)，則A=“一次實驗中抽到次品”，P(A)=3/12,n=5p=1/4例解例

一大批種子發(fā)芽率為90%，今從中任取10粒.求播種后,求（1）恰有8粒發(fā)芽的概率；（2）不小于8粒發(fā)芽的概率。解X～B（10,0.9）記X為種子發(fā)芽數(shù)，則(1)P(X=8)=P(X≥8)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)2.1.3.3泊松分布

Poissondistribution其中

>0,

則稱X服從參數(shù)為

的泊松分布X～P()定義2.1.5若隨機變量

X的分布律為:記為泊松分布的圖形泊松分布的圖形泊松分布的圖形泊松分布的圖形泊松(1781-1840)法國數(shù)學(xué)家

青年時期曾學(xué)過醫(yī)學(xué),后因喜好數(shù)學(xué)于1798年入巴黎綜合工科學(xué)院深造。他的數(shù)學(xué)才能受到拉格朗日和拉普拉斯的注意。

泊松的科學(xué)生涯開始于研究微分方程及其單擺的運動和聲學(xué)理論中的應(yīng)用。他工作的特色是應(yīng)用數(shù)學(xué)方法研究各類力學(xué)和物理問題，并由此得到數(shù)學(xué)上的發(fā)現(xiàn)。

他對積分理論、熱物理，彈性理論、電磁理論、位勢理論和概率論都有重要貢獻(xiàn)。泊松分布的背景及應(yīng)用二十世紀(jì)初羅瑟福和蓋克兩位科學(xué)家在觀察與分析放射性物質(zhì)放出的粒子個數(shù)的情況時,他們做了2608

次觀察(每次時間為7.5

秒)發(fā)現(xiàn)放射性物質(zhì)在規(guī)定的一段時間內(nèi),其放射的粒子數(shù)X服從泊松分布.服務(wù)臺在某時間段內(nèi)接待的服務(wù)次數(shù)；交換臺在某時間段內(nèi)接到呼叫的次數(shù);礦井在某段時間發(fā)生事故的次數(shù);顯微鏡下相同大小的方格內(nèi)微生物的數(shù)目；單位體積空氣中含有某種微粒的數(shù)目體積相對小的物質(zhì)在較大的空間內(nèi)的稀疏分布，都可以看作泊松分布,其參數(shù)

可以由觀測值的平均值求出。實際問題中若干隨機變量服從或近似服從

Poisson分布的情形：Poisson分布的性質(zhì)例1：設(shè)隨機變量X的分布律為其中k=0，1，2，…，λ＞0為常數(shù)，試確定常數(shù)a.【解】由分布律的性質(zhì)知例:

已知某電話交換臺每分鐘接到的呼喚次數(shù)X服從

=4的泊松分布，分別求（1）每分鐘內(nèi)恰好接到3次呼喚的概率；（2）每分鐘不超過4次的概率解定理2.1.1

（泊松定理）

實際應(yīng)用中：當(dāng)n較大,p較小，np適中時，即可用泊松公式近似替換二項概率公式二項分布的泊松近似ThePoissonApproximationtotheBinomialDistribution二項分布

泊松分布例

某人騎摩托車上街,出事故率為0.02，獨立重復(fù)上街400次，求出事故至少兩次的概率.解400次上街

400重Bernoulii實驗記X為出事故的次數(shù)，則≈1-e-8-8e-8≈0.9972

P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)結(jié)果表明，隨著實驗次數(shù)的增多，小概率事件總會發(fā)生的！=1-0.98

400-400（0.02)(0.98

399)≈0.9970

若某人做某事的成功率為1%，他重復(fù)努力400次，成功次數(shù)服從二項概率有百分之一的希望，就要做百分之百的努力則至少成功一次的概率為≈1-e-8例2.1.8

有一繁忙的汽車站，每天有大量汽車通過，設(shè)每輛車在一天的某時段出事故的概率為0.0001,在某天的該時段內(nèi)有1000輛汽車通過，問出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？【解法一】設(shè)X表示出