圓與方程復(fù)習(xí)課講義 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

第02講：圓與方程【知識(shí)回顧】知識(shí)點(diǎn)一：圓的定義與方程定義平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡叫做圓方程標(biāo)準(zhǔn)(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圓心(a，b)半徑為r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0充要條件：D2＋E2－4F>0圓心坐標(biāo)：(－eq\f(D,2)，－eq\f(E,2))半徑r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)知識(shí)點(diǎn)二：直線Ax＋By＋C＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系及判斷位置關(guān)系相交相切相離公共點(diǎn)個(gè)數(shù)2個(gè)1個(gè)0個(gè)判斷方法幾何法：設(shè)圓心到直線的距離為d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))d<rd＝rd>r知識(shí)點(diǎn)三：兩圓的位置關(guān)系及其判定(1)幾何法：若兩圓的半徑分別為r1，r2，兩圓連心線的長(zhǎng)為d，則兩圓的位置關(guān)系如下：位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示d與r1，r2的關(guān)系d>r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|d<|r1－r2|(2)代數(shù)法：設(shè)兩圓的一般方程為C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(Deq\o\al(2,1)＋Eeq\o\al(2,1)－4F1>0)，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(Deq\o\al(2,2)＋Eeq\o\al(2,2)－4F2>0)，聯(lián)立方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，))則方程組解的個(gè)數(shù)與兩圓的位置關(guān)系如下：方程組解的個(gè)數(shù)2組1組0組兩圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)2個(gè)1個(gè)0個(gè)兩圓的位置關(guān)系相交外切或內(nèi)切外離或內(nèi)含【典題歸納】題型一：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1．若圓經(jīng)過點(diǎn)，，且圓心在直線：上，則圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求解的中垂線方程，然后求解圓的圓心坐標(biāo)，求解圓的半徑，然后得到圓的方程.【詳解】圓經(jīng)過點(diǎn)，，可得線段的中點(diǎn)為，又，所以線段的中垂線的方程為，即，由，解得，即，圓的半徑，所以圓的方程為.故選：A.2．過點(diǎn)，，且圓心在直線上的圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求得線段AB的中垂線的方程，再根據(jù)圓心又在直線上求得圓心，圓心到點(diǎn)A的距離為半徑，可得圓的方程．【詳解】因?yàn)檫^點(diǎn)與，所以線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以線段AB的中垂線的斜率為，所以線段AB的中垂線的方程為，又因?yàn)閳A心在直線上，所以，解得，所以圓心為，所以圓的方程為.故選：A題型二：圓的一般方程3．三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，，則外接圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用圓的一般方程列出方程組求解即可.【詳解】設(shè)所求圓方程為,因?yàn)椋?，三點(diǎn)都在圓上，所以，解得，即所求圓方程為：.故選：C.4．圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出所求圓的圓心坐標(biāo)與半徑，即可得出所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，該圓圓心為，半徑為，故所求圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，因此，所求圓的方程為.故選：A.題型三：點(diǎn)和圓的位置關(guān)系5．已知圓：的一條切線過點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二元二次方程表示圓、點(diǎn)在圓外，列不等式來(lái)求得的取值范圍.【詳解】方程表示圓，則，，解得或.由于圓的一條切線過點(diǎn)，所以，所以的取值范圍是.故選：D6．若圓C：上存在到的距離為1的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出圓心到定點(diǎn)距離，由題設(shè)有且，即可得求范圍.【詳解】由題意可得圓心，半徑為，則到的距離，要使圓上存在到的距離為1的點(diǎn)，則，可得.故選：B題型四：圓的對(duì)稱問題7．已知圓：與圓：交于、兩點(diǎn)，則線段的垂直平分線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先寫出兩圓的圓心的坐標(biāo)，再求出兩圓的連心線所在直線的方程即得解.【詳解】圓：的圓心坐標(biāo)為，圓：的圓心為，由題得線段的垂直平分線就是兩圓的連心線，所以,所以線段的垂直平分線為.所以線段的垂直平分線為.故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求直線的方程常用的方法是：待定系數(shù)法，先定式，后定量.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.8．若直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則的值分別為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意分析得知：直線經(jīng)過圓心，求出b；由直線與直線垂直，求出k；【詳解】∵直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，∴直線經(jīng)過圓心（-2,0）且直線與直線垂直，∴解得：故選：B【點(diǎn)睛】(1)坐標(biāo)法是解析幾何的基本方法；(2)解析幾何歸根結(jié)底還是幾何，尋找合適的幾何關(guān)系可以簡(jiǎn)化運(yùn)算．9．若圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，過點(diǎn)的圓與軸相切，則圓心的軌跡方程為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】首先根據(jù)兩圓的對(duì)稱性，列式求，再利用直接法求圓心的軌跡方程.【詳解】由條件可知的半徑為1，并且圓心連線所在直線的斜率是，，，圓心，，所以，解得：，即設(shè)，由條件可知，即，兩邊平方后，整理為.故選：D題型五：直線和圓的位置關(guān)系10．圓：與直線：的位置關(guān)系為（

）A．相切 B．相離 C．相交 D．無(wú)法確定【答案】A【分析】由圓心到直線的距離等于半徑可判斷相切.【詳解】由得，所以圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，由得，圓心到直線的距離為：，故圓與直線相切，故選：A11．“”是“直線與圓相離”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)直線和圓相離求得參數(shù)a的取值范圍，比較該范圍和的關(guān)系，即可判斷出答案.【詳解】將配方，即，表示圓需滿足，所以或，其圓心為，半徑為，因?yàn)橹本€與圓相離，故圓心到直線的距離，解得，結(jié)合或可得或，（）則成立推不出直線與圓相離；反之成立，故“”是“直線與圓相離”的必要不充分條件，故選：B12．若直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出直線的恒過點(diǎn)，再將曲線轉(zhuǎn)化為，可知其圖象為圓的一部分，結(jié)合圖形，即可求出的取值范圍.【詳解】由題可知，直線可轉(zhuǎn)化為，所以直線恒過點(diǎn)，又因?yàn)榍€可轉(zhuǎn)化為，則其表示圓心為原點(diǎn)，半徑為的圓的上半部分，當(dāng)直線與該曲線相切時(shí)，點(diǎn)到直線的距離，解得.設(shè)，則，由圖可得，若要使直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，需要即故選：D題型六：圓的切線方程13．過點(diǎn)作圓的切線，則切線方程為（

）A． B．C． D．或【答案】C【分析】確定點(diǎn)在圓上，即可求得圓心和該點(diǎn)連線的斜率，即得過該點(diǎn)的切線的斜率，由直線的點(diǎn)斜式方程可得答案.【詳解】將點(diǎn)代入中，成立，即點(diǎn)在圓上，圓心和連線的斜率為，故過圓上點(diǎn)的切線的斜率為，則切線方程為，即，故選：C14．已知圓，過點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則的面積為（

）A． B． C．8 D．16【答案】A【分析】畫出圖形，求出的長(zhǎng)，就能求出的長(zhǎng)，根據(jù)求解.【詳解】因?yàn)閳A的圓心，半徑為因?yàn)槭菆A的切線，所以，即是以為直角的直角三角形則又因?yàn)橛忠驗(yàn)樗运怨蔬x：A15．已知點(diǎn)是圓上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，則切線長(zhǎng)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得兩圓心之間的距離，根據(jù)三點(diǎn)共線可知當(dāng)共線且點(diǎn)在之間時(shí)，最小，由勾股定理即可求解.【詳解】切線長(zhǎng)，所以當(dāng)取得最小值時(shí)，切線長(zhǎng)取得最小值.當(dāng)共線且點(diǎn)在之間時(shí)，最小，由于,所以min，所以.故選：.

題型七：弦長(zhǎng)問題16．已知圓：，則過點(diǎn)的最短弦所在直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)垂徑定理，分析出圓心和連線的直線垂直于直線時(shí)，所截得弦長(zhǎng)最短.【詳解】

由于，故點(diǎn)在圓內(nèi)，化為標(biāo)準(zhǔn)方程：.如圖，設(shè)，垂足為，設(shè)直線和圓的交點(diǎn)是，根據(jù)垂徑定理，，為使得最小，必須最大，顯然，重合的時(shí)候取得等號(hào)，此時(shí)，由于，所以直線的斜率為，故直線的方程為，即.故選：C17．已知圓，直線.若直線與圓相交所得的弦長(zhǎng)為8，則（

）A．或2 B．或12 C．或12 D．或1【答案】C【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，從而得到圓心與半徑，再利用點(diǎn)線距離公式與弦長(zhǎng)公式得到關(guān)于的方程，解之即可得解.【詳解】由圓的方程，得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，解得或.圓心到直線的距離，又弦長(zhǎng)為，即，整理得，解得或，均滿足圓的條件.故選：C.18．直線截圓所得的弦長(zhǎng)為（

）A．4 B． C． D．【答案】A【分析】由已知，根據(jù)題中給出的圓的方程，寫出圓心坐標(biāo)與半徑，然后求解圓心到直線的距離，最后利用垂徑定理可直接求解弦長(zhǎng).【詳解】由已知，圓，則圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以點(diǎn)到直線的距離為，所以，直線被圓截得的弦長(zhǎng)為.故選：A.題型八：圓和圓的位置關(guān)系19．若圓與圓外切，則實(shí)數(shù)（

）A．－1 B．1 C．1或4 D．4【答案】D【分析】由兩圓的位置關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】由條件化簡(jiǎn)得，即兩圓圓心為，設(shè)其半徑分別為，，所以有.故選：D20．已知圓：與圓：的公共弦所在直線與直線：垂直，則的值為（

）A．2 B． C．8 D．【答案】A【分析】求出圓與圓的公共弦所在直線方程，再由垂直關(guān)系求出并驗(yàn)證即得.【詳解】把圓與圓的方程相減得：，即為圓與圓的公共弦所在直線方程，由直線與直線垂直，得，解得，當(dāng)時(shí)，圓：，即的圓心，半徑，而圓：的圓心，半徑，于是，則圓與圓相交，符合題意，所以的值為2.故選：A21．已知圓與圓相外切，，為正實(shí)數(shù)，則的最小值為（

）A．2 B． C．4 D．【答案】B【解析】由題意結(jié)合圓與圓相切的性質(zhì)得，轉(zhuǎn)化條件得，利用基本不等式即可得解.【詳解】由題意圓的圓心，半徑，圓的圓心，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選：B.題型九：圓的公共弦長(zhǎng)22．已知圓與圓交于兩點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)兩圓相交求出公共弦所在直線方程，再根據(jù)弦長(zhǎng)公式求解即可.【詳解】由題意知，圓與圓相交，且公共弦所在直線方程為.又圓的圓心為，半徑為，所以圓心到直線的距離為，由弦長(zhǎng)公式得.故選：B.23．已知圓，圓相交于P，Q兩點(diǎn)，其中，分別為圓和圓的圓心.則四邊形的面積為（

）A．3 B．4 C．6 D．【答案】A【分析】求得，由此求得四邊形的面積.【詳解】圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，所以，由、兩式相減并化簡(jiǎn)得，即直線的方程為，到直線的距離為，所以，所以四邊形的面積為.故選：A題型十：圓的公切線問題24．已知圓與圓的公共弦長(zhǎng)為2，則m的值為（

）A． B． C． D．3【答案】A【分析】根據(jù)圓的圓心和半徑公式以及點(diǎn)到直線的距離公式，以及公共線弦方程的求法即可求解.【詳解】聯(lián)立和,得，由題得兩圓公共弦長(zhǎng)，圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以，平方后整理得,，所以或（舍去）；故選：A.25．圓與的公共弦長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】已知兩圓方程，可先讓兩圓方程作差，得到其公共弦的方程，然后再計(jì)算圓心到直線的距離，再結(jié)合勾股定理即可完成弦長(zhǎng)的求解.【詳解】已知圓，圓，兩圓方程作差，得到其公共弦的方程為：：，而圓心到直線的距離為，圓的半徑為，所以，所以.故選：D.26．已知圓：與圓：相內(nèi)切，則與的公切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由兩圓的位置關(guān)系得出，進(jìn)而聯(lián)立兩圓方程得出公切線方程.【詳解】圓：的圓心，圓：可化為，，則其圓心為，半徑為，因?yàn)閳A與圓相內(nèi)切，所以，即，故.由，可得，即與的公切線方程為.故選：D題型十一：圓的綜合問題27．已知圓.(1)若過點(diǎn)向圓作切線，求切線的方程；(2)若為直線上的動(dòng)點(diǎn)，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，求的最大值.【答案】(1)或(2)8【分析】（1）分類討論，當(dāng)切線的斜率不存在，易求的方程為；當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，然后利用點(diǎn)到直線距離等于半徑建立方程求解即可；（2）根據(jù)圓的性質(zhì)，利用三點(diǎn)共線的性質(zhì)求解即可.【詳解】（1）若切線的斜率不存在，則的方程為；若切線的斜率存在，設(shè)切線的方程為，即.因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到的距離為3，即，解得，所以切線的方程為，即.綜上，切線的方程為或.（2）因?yàn)?，所以．設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則，解得，即.因?yàn)?，所?因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，所以，故的最大值為.28．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓.設(shè)圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上.(1)求