廣東省六校聯(lián)盟2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次聯(lián)考試題

PAGEPAGE1廣東省六校聯(lián)盟2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期其次次聯(lián)考試題第Ⅰ卷(選擇題共60分)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．)1．已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|－2<x≤1}，則A∩B等于()A．{1}B．{0,1}C．{－1,0,1} D．{－1,0,1,2}2．已知命題：，則命題為()A．B．C．D．3．我國南宋聞名數(shù)學(xué)家秦九韶提出了由三角形三邊求三角形面積的“三斜求積”公式．設(shè)的三個(gè)內(nèi)角所對的邊分別為，面積為，“三斜求積”公式表示為．若,，則用“三斜求積”公式求得的面積為（）A. B. C. D.24．已知都是正數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件5．實(shí)數(shù)x，y，k滿意約束條件，目標(biāo)函數(shù)z＝x2＋y2，若z的最大值為13，則k的值為()A．1B．2C．3D6．若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且對全部恒成立，則下列函數(shù)值肯定正確的是()A．B．C．D．7．在中，若，則滿意()A． B． C． D．8．三棱錐的全部頂點(diǎn)都在球的球面上．棱錐的各棱長為：，，則球的表面積為（）A. B. C.D.二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯(cuò)的得0分．)9．下列四個(gè)命題中，正確的有()A．函數(shù)的圖象可由y＝3sin2x的圖象向左平移eq\f(π,3)個(gè)單位長度得到B．的最小正周期等于π，且在上是增函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)）C．直線x＝eq\f(π,8)是函數(shù)圖象的一條對稱軸D．函數(shù)的定義域是10．設(shè)a>1，b>1且ab－(a＋b)＝1，那么()A．a(chǎn)＋b有最小值2＋2eq\r(2)B．a(chǎn)＋b有最大值2＋2eq\r(2)C．a(chǎn)b有最小值3＋2eq\r(2)D．a(chǎn)b有最大值1＋eq\r(2)11．如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)P在線段AD1上運(yùn)動，則下列命題正確的有()A．直線CP和平面ABC1D1所成的角為定值B．三棱錐D－BPC1的體積為定值C．異面直線C1P和CB1所成的角為定值D．直線CD和平面BPC1平行12.意大利聞名數(shù)學(xué)家斐波那契在探討兔子的繁殖問題時(shí)，發(fā)覺了數(shù)列：1，1，2，3，5，8，…，該數(shù)列的特點(diǎn)是：前兩項(xiàng)均為1，從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它前面兩項(xiàng)的和．人們把這個(gè)數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列.將數(shù)列中的各項(xiàng)除以4所得余數(shù)按原依次構(gòu)成的數(shù)列記為，則下列結(jié)論正確的有()A.B.C.D.第Ⅱ卷(非選擇題共90分)三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．)13.若復(fù)數(shù)，則等于.14.已知數(shù)列中，．若為等差數(shù)列，則．15．已知，，，則（2分），角．（3分）16．已知函數(shù)若關(guān)于x的方程f

(x)＝kx有6個(gè)不同的根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.（用集合或區(qū)間表示）四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．)17．（10分）已知點(diǎn)、、，為坐標(biāo)原點(diǎn)．若∥且，求的取值范圍．18.（12分）從①；②；③中任選兩個(gè)補(bǔ)充到下面問題中的橫線上，然后完成問題的解答.問題：已知數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，；數(shù)列滿意：.（1）求；（2）求的前項(xiàng)和.注：假如多次選擇條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.19.(12分)如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面相互垂直，BE∥FC，∠CEF＝∠FCB＝90°，AD＝eq\r(3)，EF＝2.(1)求證：AE∥平面DCF；(2)當(dāng)AB的長為何值時(shí)，二面角A－EF－C的大小為60°.20.（12分）已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)．(1)若a＝，證明：f(x)≥0；(2)若f(x)在(0，π)上有唯一的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．．．．．．）22.（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）為自然對數(shù)的底數(shù)，若時(shí)，恒成立，證明：.2025屆六校高三其次次聯(lián)考數(shù)學(xué)答案一、選擇題題號123456789101112答案CADBBCDBCDACBCDAB填空題13.14.15．，16.部分客觀題解析9．將y＝3sin2x的圖象向左平移eq\f(π,3)個(gè)單位長度得到y(tǒng)＝，故A錯(cuò)誤；由2x＋eq\f(5π,4)＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得x＝eq\f(kπ,2)－eq\f(3π,8)，k∈Z，得x＝eq\f(π,8)是其對稱軸，故B正確；令f(x)＝esin2x，∴f(x＋π)＝esin[2(x＋π)]＝f(x)，故f(x)＝esin2x的周期為π，且在上為增函數(shù)，故C錯(cuò)誤；由得，故D正確．a(chǎn)b＝1＋(a＋b)≤(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b>1時(shí)取等號)，即(a＋b)2－4(a＋b)－4≥0且a＋b>2，解得a＋b≥2＋2eq\r(2)，∴a＋b有最小值2＋2eq\r(2)，知A正確；由ab－(a＋b)＝1，得ab－1＝a＋b≥2eq\r(ab)(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b>1時(shí)取等號)，即ab－2eq\r(ab)－1≥0且ab>1，解得ab≥3＋2eq\r(2)，∴ab有最小值3＋2eq\r(2)，知C正確．選項(xiàng)A，由線面所成角的定義，令BC1與B1C的交點(diǎn)為O，可得∠CPO即為直線CP和平面ABC1D1所成的角，當(dāng)P移動時(shí)∠CPO是改變的，故A選項(xiàng)B，三棱錐D－BPC1的體積等于三棱錐P－DBC1的體積，而△DBC1大小肯定，∵P∈AD1，而AD1∥平面BDC1，∴點(diǎn)A到平面DBC1的距離即為點(diǎn)P到該平面的距離，∴三棱錐D－BPC1的體積為定值，故B正確；選項(xiàng)C，∵在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)P在線段AD1上運(yùn)動，∴CB1⊥平面ABC1D1，∵C1P?平面ABC1D1，∴CB1⊥C1P，故這兩個(gè)異面直線所成的角為定值90°，故C選項(xiàng)D，直線CD和平面ABC1D1平行，∴直線CD和平面BPC1平行，故D正確.對于A選項(xiàng)：，，數(shù)列是以6為最小正周期的數(shù)列，又，所以，故A選項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)：，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)：斐波那契數(shù)列總有：，∴，故B正確；對于D選項(xiàng)：，，，，。所以，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.16.關(guān)于x的方程f

(x)＝kx有6個(gè)不同的根，等價(jià)于y＝f

(x)與y＝kx的圖象有6個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)閒

(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,x＋2)，x≤0且x≠－2，,f

x－1＋1，x>0，))所以若0<x≤1，則－1<x－1≤0，則f

(x)＝f

(x－1)＋1＝eq\f(2,x＋1)＋1；若1<x≤2，則0<x－1≤1，則f

(x)＝f

(x－1)＋1＝eq\f(2,x)＋2；若2<x≤3，則1<x－1≤2，則f

(x)＝f

(x－1)＋1＝eq\f(2,x－1)＋3；若3<x≤4，則2<x－1≤3，則f

(x)＝f

(x－1)＋1＝eq\f(2,x－2)＋4；若4<x≤5，則3<x－1≤4，則f

(x)＝f

(x－1)＋1＝eq\f(2,x－3)＋5；…作出f

(x)的圖象如圖，與圖中OA、OB類似，分析O與點(diǎn)（1，2）、（2，3）、（5，8）、（6，9）、（7，10）的連線可知，當(dāng)時(shí)，y＝f

(x)與y＝kx的圖象有6個(gè)交點(diǎn)，所以k的取值范圍是.17.（10分），而∥，∴，即，3分4分（以下過程用數(shù)形結(jié)合解答的不扣分）∴6分∵∴，解得8分∴.10分18.（12分）選擇①③解：（1）令，得，所以，1分令，得，所以，又，所以，3分設(shè)數(shù)列的公比為，則，所以；4分（2）當(dāng)時(shí)，①5分又，②②–①，6分因?yàn)椋?，時(shí)也成立，所以.8分，所以.12分選擇①②解：（1）令，得，所以，令，得，所以，又，所以，設(shè)數(shù)列的公比為，則，所以；4分（2）當(dāng)時(shí)，①又，②②–①，因?yàn)椋?，時(shí)也成立，所以.8分以下與選擇①③相同.12分選擇②③解：（1）令，得，所以，令，得，，所以，，相除得，，，所以，設(shè)數(shù)列的公比為，則，所以；4分（2）當(dāng)時(shí)，①又，②②–①，因?yàn)?，所以，時(shí)也成立，所以.8分以下與選擇①③相同.12分19.(12分)(1)證明過點(diǎn)E作EG⊥CF，垂足為點(diǎn)G，連接DG，可得四邊形BEGC為矩形，又四邊形ABCD為矩形，∴AD＝BC＝EG，AD∥BC∥EG，∴四邊形ADGE為平行四邊形，∴AE∥DG，2分又DG?平面DCF，AE?平面DCF，3分∴AE∥平面DCF.4分解∵，平面ABCD平面BEFC，交線為，∴CD平面BEFC.以C為原點(diǎn)，分別以CB，CF，CD所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝a，BE＝b，CF＝c，（）則C(0,0,0)，A(eq\r(3)，0，a)，B(eq\r(3)，0,0)，E(eq\r(3)，b,0)，F(xiàn)(0，c,0)，5分因?yàn)閑q\o(EF,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)，c－b,0)，eq\o(CE,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，b,0)，且eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝0，|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝2，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3＋bc－b＝0，,\r(3＋c－b2)＝2，))解得b＝3，c＝4，所以E(eq\r(3)，3,0)，F(xiàn)(0,4,0)，7分（用平面幾何或三角函數(shù)學(xué)問求得BE=3，CF=4的，請參照評分.）設(shè)n＝(x，y，z)與平面AEF垂直，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AE,\s\up6(→))＝0，,n·\o(EF,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3y－az＝0，,－\r(3)x＋y＝0，))令x＝1，解得n＝，9分又因?yàn)锳B⊥平面BEFC，eq\o(BA,\s\up6(→))＝(0,0，a)，10分所以＝eq\f(|\o(BA,\s\up6(→))·n|,|\o(BA,\s\up6(→))||n|)＝eq\f(3\r(3),\r(4a2＋27))＝eq\f(1,2)，11分得到a＝eq\f(9,2)，當(dāng)AB＝eq\f(9,2)時(shí)，二面角A－EF－C的大小為60°.12分20.（12分）(1)證明a＝時(shí)，，令g(x)＝ex－x，則g′(x)＝ex－1，1分當(dāng)x<0時(shí)，g′(x)<0，g(x)在(－∞，0)上為減函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，g′(x)>0，g(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，∴函數(shù)(x)的微小值也是最小值為，3分所以g(x)≥g(0)＝1，而≤1，所以ex－x≥，即f(x)≥0.5分(2)解f(x)在(0，π)上有唯一的極值點(diǎn)等價(jià)于f′(x)＝＝0在(0，π)上有唯一的變號零點(diǎn)，f′(x)＝0等價(jià)于a＝，6分設(shè)h(x)＝，x∈(0，π)，h′(x)＝＝， 7分∵x∈(0，π)，∴，當(dāng)0<x<eq\f(π,2)時(shí)，，，h′(x)<0，h(x)在上為減函數(shù)，當(dāng)eq\f(π,2)<x<π時(shí)，，，h′(x)>0，h(x)在上為增函數(shù)，∴函數(shù)h(x)的微小值也是最小值為，10分又h(0)＝0，h(π)＝，11分所以當(dāng)時(shí)，方程a＝在(0，π)上有唯一的變號零點(diǎn)，所以a的取值范圍是．12分解：由AB⊥平面DEC知，，在中，，得,2分在中，,4分由余弦定理有化簡得，所以，,