專題05直線與圓的位置關(guān)系（考點(diǎn)清單5考點(diǎn)11種題型）

專題05直線與圓的位置關(guān)系（考點(diǎn)清單）考點(diǎn)一直線和圓的位置關(guān)系【考試題型1】判定直線和圓的位置關(guān)系【解題方法】設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定相離直線與圓沒有公共點(diǎn)d>r?直線l與⊙相切直線與圓有唯一公共點(diǎn)，直線叫做圓的切線，公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)d=r?直線l與⊙相交直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，直線叫做圓的割線d<r?直線l與⊙【典例1】（2021秋·廣東江門·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知平面內(nèi)有和點(diǎn)，，若半徑為，線段，，則直線與的位置關(guān)系為（

）A．相離 B．相交 C．相切 D．相交或相切【答案】D【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定方法進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵⊙O的半徑為2cm，線段OA=3cm，線段OB=2cm，即點(diǎn)A到圓心O的距離大于圓的半徑，點(diǎn)B到圓心O的距離等于圓的半徑，∴點(diǎn)A在⊙O外．點(diǎn)B在⊙O上，∴直線AB與⊙O的位置關(guān)系為相交或相切，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)11】（2022春·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）在△ABC中，，點(diǎn)O為AB中點(diǎn)．以點(diǎn)C為圓心，CO長(zhǎng)為半徑作⊙C，則⊙C與AB的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切C．相離 D．不確定【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，三線合一即可得，根據(jù)三角形切線的判定即可判斷是的切線，進(jìn)而可得⊙C與AB的位置關(guān)系【詳解】解：連接,，點(diǎn)O為AB中點(diǎn)．CO為⊙C的半徑，是的切線，⊙C與AB的位置關(guān)系是相切故選B【點(diǎn)睛】本題考查了三線合一，切線的判定，直線與圓的位置關(guān)系，掌握切線判定定理是解題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)12】（2022秋·江蘇南京·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，以A為圓心作一個(gè)半徑為2的圓，下列結(jié)論中正確的是（）A．點(diǎn)B在⊙A內(nèi) B．點(diǎn)C在⊙A上C．直線BC與⊙A相切 D．直線BC與⊙A相離【答案】D【分析】過A點(diǎn)作AH⊥BC于H，如圖，利用等腰三角形的性質(zhì)得到BH=CH=BC=4，則利用勾股定理可計(jì)算出AH=3，然后根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定方法對(duì)A選項(xiàng)和B選項(xiàng)進(jìn)行判斷；根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系對(duì)C選項(xiàng)和D選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解】解：過A點(diǎn)作AH⊥BC于H，如圖，∵AB=AC，∴BH=CH=BC=4，在Rt△ABH中，AH==3，∵AB=5＞3，∴B點(diǎn)在⊙A外，所以A選項(xiàng)不符合題意；∵AC=5＞3，∴C點(diǎn)在⊙A外，所以B選項(xiàng)不符合題意；∴AH⊥BC，AH=3＞半徑，∴直線BC與⊙A相離，所以C選項(xiàng)不符合題意，D選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，若直線l和⊙O相交?d＜r；直線l和⊙O相切?d=r；直線l和⊙O相離?d＞r．也考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系和等腰三角形的性質(zhì)．【專訓(xùn)13】（2022秋·廣東廣州·九年級(jí)執(zhí)信中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，則以A為圓心，3為半徑的與的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相切 C．相交 D．不確定【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)度，再根據(jù)圓心到直線的距離與圓的半徑之間的關(guān)系進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：，∴，∴圓心到直線的距離為：，等于圓的半徑，∴與相切．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系．熟練掌握根據(jù)圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關(guān)系確定直線與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)14】（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)（2，3）為圓心，2為半徑的圓一定與（

）A．x軸相交 B．y軸相交 C．x軸相切 D．y軸相切【答案】D【分析】根據(jù)點(diǎn)（2，3）到y(tǒng)軸的距離為2，到x軸的距離為3即可判斷.【詳解】∵圓是以點(diǎn)（2，3）為圓心，2為半徑，∴圓心到y(tǒng)軸的距離為2，到x軸的距離為3，則2=2，2＜3∴該圓必與y軸相切，與x軸相離．故選D.【點(diǎn)睛】本題是直線和圓的位置關(guān)系及坐標(biāo)與圖形的基礎(chǔ)應(yīng)用題，在中考中比較常見，一般以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，屬于基礎(chǔ)題，難度不大．【考試題型2】已知直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)行計(jì)算【解題方法】解題的關(guān)鍵是記住：①直線與圓相交時(shí)，d<r；②直線與圓相切時(shí)，d=r；③直線與圓相離時(shí)，d>r．【典例2】（2022秋·河北承德·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以點(diǎn)A為圓心作圓，如果圓A與線段BC沒有公共點(diǎn)，那么圓A的半徑r的取值范圍是()A．5≥r≥3 B．3＜r＜5 C．r＝3或r＝5 D．0＜r＜3或r＞5【答案】D【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系得出相切時(shí)有一交點(diǎn)，再結(jié)合圖形即可得出答案．【詳解】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以點(diǎn)A為圓心作圓，當(dāng)圓A的半徑0＜r＜3或r＞5時(shí)，圓A與線段BC沒有公共點(diǎn)；故選D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，結(jié)合題意畫出符合題意的圖形，從而得出答案．【專訓(xùn)21】（2022春·上海徐匯·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝2，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)O是邊BC上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OC為半徑的⊙O，與邊AD只有一個(gè)公共點(diǎn)，則OC的取值范圍是（）A．4＜OC≤ B．4≤OC≤ C．4＜OC D．4≤OC【答案】B【分析】作DE⊥BC于E，當(dāng)⊙O與邊AD相切時(shí)，圓心O與E重合，即OC＝4；當(dāng)OA＝OC時(shí)，⊙O與AD交于點(diǎn)A，設(shè)OA＝OC＝x，則OB＝6﹣x，在Rt△ABO中，由勾股定理得出方程，解方程得出OC＝；即可得出結(jié)論．【詳解】作DE⊥BC于E，如圖所示：則DE＝AB＝4，BE＝AD＝2，∴CE＝4＝DE，當(dāng)⊙O與邊AD相切時(shí)，切點(diǎn)為D，圓心O與E重合，即OC＝4；當(dāng)OA＝OC時(shí)，⊙O與AD交于點(diǎn)A，設(shè)OA＝OC＝x，則OB＝6﹣x，在Rt△ABO中，由勾股定理得：42+（6﹣x）2＝x2，解得：x＝；∴以O(shè)為圓心，OC為半徑的⊙O，與邊AD只有一個(gè)公共點(diǎn)，則OC的取值范圍是4≤x≤；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系、直角梯形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握直角梯形的性質(zhì)，分情況討論是解題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)22】（2022秋·廣西欽州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若直線與半徑為的⊙O相交，則圓心O到直線的距離可能為（

）A．3 B．4 C． D．5【答案】A【分析】根據(jù)圓與直線的位置關(guān)系進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵直線與半徑為的⊙O相交，∴圓心到直線的距離d<r，即d<4，∴滿足條件的只有A選項(xiàng)，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是記?。孩僦本€與圓相交時(shí)，d<r；②直線與圓相切時(shí)，d=r；③直線與圓相離時(shí)，d>r．【專訓(xùn)23】（2022秋·河北唐山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為2的圓的圓心的坐標(biāo)為（3，0），將圓沿軸的正方向平移，使得圓與軸相切，則平移的距離為（

）A．1 B．3或6 C．3 D．1或5【答案】D【分析】分圓P在y軸的左側(cè)與y軸相切、圓P在y軸的右側(cè)與y軸相切兩種情況，根據(jù)切線的判定定理解答即可求得．【詳解】解：根據(jù)題意可得：OP=3，圓P的半徑為2，當(dāng)圓P在y軸的左側(cè)與y軸相切時(shí)，平移的距離為32=1，當(dāng)圓P在y軸的右側(cè)與y軸相切時(shí)，平移的距離為3+2=5，故圓與軸相切，則平移的距離為1或5，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的判定，圖形的平移，分類討論是解決本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)二切線性質(zhì)與判定定理【考試題型3】利用切線性質(zhì)定理求解相關(guān)問題【解題方法】切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.判斷一條直線是一個(gè)圓的切線有三個(gè)方法：1.定義法：直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，我們說(shuō)這條直線是圓的切線;2.數(shù)量關(guān)系法：圓心到這條直線的距離等于半徑(即d=r)時(shí)，直線與圓相切；3.判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.【典例3】（2022秋·河南安陽(yáng)·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在半徑為5cm的⊙O中，直線l交⊙O于A、B兩點(diǎn)，且弦AB＝8cm，要使直線l與⊙O相切，則需要將直線l向下平移()A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】B【分析】作出OC⊥AB，利用垂徑定理求出BC＝4，再利用勾股定理求出OC＝3，即可求出要使直線l與⊙O相切，則需要將直線l向下平移的長(zhǎng)度．【詳解】解：作OC⊥AB，又∵⊙O的半徑為5cm，直線l交⊙O于A、B兩點(diǎn)，且弦AB＝8cm∴BO＝5，BC＝4，∴由勾股定理得OC＝3cm，∴要使直線l與⊙O相切，則需要將直線l向下平移2cm．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了切線的性質(zhì)定理與垂徑定理，根據(jù)圖形求出OC的長(zhǎng)度是解決問題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)31】（2022秋·河南南陽(yáng)·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，∠ABC＝25°，OC的延長(zhǎng)線交PA于點(diǎn)P，則∠P的度數(shù)是(

)A．25° B．35° C．40° D．50°【答案】C【分析】根據(jù)圓周角定理可得，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，根據(jù)直角三角形兩個(gè)銳角互余即可求解．【詳解】，∠ABC＝25°，，AB是⊙O的直徑，，．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，掌握?qǐng)A周角定理與切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)32】（2023·山東臨沂·統(tǒng)考二模）如圖，AB是圓O的直徑，弦AD平分∠BAC，過點(diǎn)D的切線交AC于點(diǎn)E，∠EAD＝25°，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．AE⊥DE B．AE//OD C．DE=OD D．∠BOD=50°【答案】C【分析】過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD⊥DE，證明OD∥AE，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】解：∵DE是⊙O的切線，∴OD⊥DE，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠EAD，∴∠EAD=∠ODA，∴OD∥AE，∴AE⊥DE．故選項(xiàng)A、B都正確；∵∠OAD=∠EAD=∠ODA=25°，∠EAD=25°，∴∠BOD=∠OAD+∠ODA=50°，故選項(xiàng)D正確；∵AD平分∠BAC，AE⊥DE，DF⊥AB，∴DE=DF<OD，故選項(xiàng)C不正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，平行線的性質(zhì)，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)33】（2022秋·河南南陽(yáng)·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，PA，PB是的切線，A、B為切點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)以及四邊形的內(nèi)角和即可求解．【詳解】解：∵PA，PB是的切線，∴，，，則，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)以及四邊形的內(nèi)角和，掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)34】（2023春·河北衡水·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D是不倒翁的主視圖，不倒翁的圓形臉恰好與帽子邊沿，分別相切于點(diǎn)，，不倒翁的鼻尖正好是圓心，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連OB，由AO=OB得，∠OAB=∠OBA=28°，∠AOB=180°2∠OAB=124°；因?yàn)镻A、PB分別相切于點(diǎn)A、B，則∠OAP=∠OBP=90°，利用四邊形內(nèi)角和即可求出∠APB．【詳解】連接OB，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=28°，∴∠AOB=124°，∵PA、PB切⊙O于A、B，∴OA⊥PA，OP⊥AB，∴∠OAP+∠OBP=180°，∴∠APB+∠AOB=180°；∴∠APB=56°．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，三角形和四邊形的內(nèi)角和定理，切線長(zhǎng)定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造等腰三角形解決問題．【專訓(xùn)35】（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考一模）如圖，是的直徑，點(diǎn)P在的延長(zhǎng)線上，與相切于點(diǎn)A，連接，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由切線性質(zhì)得出，根據(jù)三角形的內(nèi)角和是、對(duì)頂角相等求出，即可得出答案；【詳解】解：PA與⊙O相切于點(diǎn)A，AD是⊙O的直徑，，，，，，，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查圓內(nèi)求角的度數(shù)，涉及知識(shí)點(diǎn)：切線的性質(zhì)、對(duì)頂角相等、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和是，解題關(guān)鍵根據(jù)切線性質(zhì)推出．【專訓(xùn)36】（2022秋·廣東河源·九年級(jí)校考期末）如圖，的內(nèi)切圓與各邊相切于，，，且，則是（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】根據(jù)已知易得，由切線的性質(zhì)可得，，，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理即可求得，即可判定是等邊三角形．【詳解】解：∵，∴，∵的內(nèi)切圓與各邊相切于，，，∴，，，∴，∵四邊形內(nèi)角和為，∴，∴是等邊三角形，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)定理、等邊三角形的判定和四邊形內(nèi)角和定理，切線的性質(zhì)：過切點(diǎn)的直徑垂直于切線．【考試題型4】證明某條直線是圓的切線【解題方法】要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心和這點(diǎn)（即為半徑），再證它們垂直即可解決問題．【典例4】（2023春·湖南永州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，為⊙的直徑，過圓上一點(diǎn)作⊙的切線交的延長(zhǎng)線與點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接．(1)直線與⊙相切嗎？并說(shuō)明理由；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)相切，見解析(2)【分析】（1）先證得：，再證，得到，即可求出答案；（2）設(shè)半徑為；則：，即可求得半徑，再在直角三角形中，利用勾股定理，求解即可．【詳解】（1）證明：連接．∵為切線，∴，又∵，∴，，且，∴，在與中；∵，∴，∴，∴直線與相切．（2）設(shè)半徑為；則：，得；在直角三角形中，，，解得【點(diǎn)睛】本題主要考查與圓相關(guān)的綜合題型，涉及全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握平行線性質(zhì)、勾股定理及全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)41】（2023春·四川樂山·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，D是邊BC上一點(diǎn)，以BD為直徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)A，且∠CAD=∠ABC．（1）請(qǐng)判斷直線AC是否是⊙O的切線，并說(shuō)明理由；（2）若CD=2，CA=4，求弦AB的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）如圖，連接OA，由圓周角定理可得∠BAD=90°=∠OAB+∠OAD，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠OAB=∠CAD=∠ABC，可得∠OAC=90°，可得結(jié)論；（2）由勾股定理可求OA=OD=3，由面積法可求AE的長(zhǎng)，由勾股定理可求AB的長(zhǎng)．【詳解】（1）直線AC是⊙O的切線，理由如下：如圖，連接OA，∵BD為⊙O的直徑，∴∠BAD=90°=∠OAB+∠OAD，∵OA=OB，∴∠OAB=∠ABC，又∵∠CAD=∠ABC，∴∠OAB=∠CAD=∠ABC，∴∠OAD+∠CAD=90°=∠OAC，∴AC⊥OA，又∵OA是半徑，∴直線AC是⊙O的切線；（2）過點(diǎn)A作AE⊥BD于E，∵OC2=AC2+AO2，∴(OA+2)2=16+OA2，∴OA=3，∴OC=5，BC=8，∵S△OAC=OAAC=OCAE，∴AE=，∴OE=，∴BE=BO+OE=，∴AB=．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，圓的有關(guān)知識(shí)，勾股定理等知識(shí)，求圓的半徑是本題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)42】（2022秋·江蘇常州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知AB、AC分別為⊙O的直徑和弦，D為弧BC的中點(diǎn)，DE⊥AC于E，DE=6，AC=16．(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)求直徑AB的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)20【分析】（1）連接OD，BC，要證明DE是⊙O的切線只要證明OD⊥DE即可，根據(jù)已知條件可以證明OD⊥BC；（2）由（1）可得四邊形CFDE為矩形，從而得到CF=DE=6，BC=2CF=12，利用勾股定理即可求得AB的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：如圖，連接OD，BC；∵AB為⊙O的直徑，∴BC⊥AC，∵DE⊥AC，∴BCDE；∵D為弧BC的中點(diǎn)，∴OD⊥BC，∴OD⊥DE．∴DE是⊙O的切線．（2）設(shè)BC與DO交于點(diǎn)F，由（1）可得四邊形CFDE為矩形；∴CF=DE=6，∵OD⊥BC，∴BC=2CF=12，在Rt△ABC中，AB==20．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心和這點(diǎn)（即為半徑），再證它們垂直即可解決問題．【專訓(xùn)43】（2022秋·江蘇南京·九年級(jí)校聯(lián)考期中）在四邊形中，，E是上一點(diǎn)，以為直徑的經(jīng)過B，D兩點(diǎn)，．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)16【分析】（1）連接并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)F，連接，．利用等弧所對(duì)的弦相等推出,再結(jié)合證明是垂直平分線，得出，，進(jìn)而證明四邊形是矩形，推出，即可證明是的切線；（2）先證是的中位線，推出，設(shè)的半徑為r，用勾股定理解得，解得，兩式聯(lián)立解出r，即可求出的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接，．∵，∴,又∵，∴O、D都在的垂直平分線上．∴是垂直平分線，∴，．∵為的直徑，∴．又∵，∴四邊形是矩形．∴．又∵點(diǎn)D在上，

∴是的切線．（2）解：∵，，∴是的中位線，∴．設(shè)的半徑為r，在中，，在中，；∴，解得，（舍去）．∴．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，矩形的判定與性質(zhì)，切線的判定，三角形中位線的判定與性質(zhì)，勾股定理解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，涉及知識(shí)點(diǎn)比較多，難度一般，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用上述知識(shí)．考點(diǎn)三切線長(zhǎng)定理【考試題型5】利用切線長(zhǎng)定理求解【解題方法】切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角.【典例5】（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是的切線，切點(diǎn)分別是P、C、D．若，則的長(zhǎng)是（）．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根據(jù)是的切線，則，再求出的長(zhǎng)，即可求出的長(zhǎng)．【詳解】解：∵為的切線，∴．∵為的切線，∴．∵，∴．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查切線長(zhǎng)定理，掌握從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等是解題關(guān)鍵．【專訓(xùn)51】（2022秋·廣東廣州·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，、切于點(diǎn)、，直線切于點(diǎn)，交于，交于點(diǎn)，若，則的周長(zhǎng)是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到，結(jié)合題意，即可求得的周長(zhǎng)．【詳解】是的切線，．的周長(zhǎng)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了切線長(zhǎng)定理，理解切線長(zhǎng)定理是解題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)52】（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)統(tǒng)考期末）工人為了測(cè)量某段圓木的直徑，把圓木截面、含角的三角板和直尺按如圖擺放，測(cè)得，由此可算得該圓木的直徑為（

）厘米．A． B． C．6 D．8【答案】B【分析】設(shè)圓O切三角板的斜邊于點(diǎn)C，連接，根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得平分，，在中，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得的長(zhǎng)，即可．【詳解】解：如圖，設(shè)圓O切三角板的斜邊于點(diǎn)C，連接，根據(jù)題意得：，∵圓O與直尺相切，∴平分，，∴，在中，，∴，∵，∴，∴該圓木的直徑為厘米．故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線長(zhǎng)定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線長(zhǎng)定理，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)53】（2022秋·山西大同·九年級(jí)大同一中?？茧A段練習(xí)）如圖，為外一點(diǎn)，、分別切于點(diǎn)、，切于點(diǎn)，分別交PA、PB于點(diǎn)C、D，若△PCD的周長(zhǎng)為18，則PA的長(zhǎng)度為（）A．7 B．9 C．12 D．14【答案】B【分析】先根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到，，，再利用的周長(zhǎng)為得到，然后利用等線段代換得到，從而得到的長(zhǎng)．【詳解】解：∵、分別切于點(diǎn)、，切于點(diǎn)，∴，，，∵的周長(zhǎng)為，∴，∴，即，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，利用運(yùn)用切線長(zhǎng)定理是解決問題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)54】（2023·山東濱州·統(tǒng)考一模）如圖，與分別相切于點(diǎn)A，B，，則（）A． B．2 C． D．3【答案】B【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到，由此推出是等邊三角形，即可得到答案．【詳解】解：∵與分別相切于點(diǎn)A，B，∴，∵，∴是等邊三角形，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了切線長(zhǎng)定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟記切線長(zhǎng)定理是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)四三角形外接圓與內(nèi)接圓【考試題型6】求特殊三角形外接圓半徑【解題方法】三角形外接圓的概念：經(jīng)過三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形。外接圓圓心和三角形位置關(guān)系：1）銳角三角形外接圓的圓心在它的內(nèi)部（如圖1）；2）直角三角形外接圓的圓心在斜邊中點(diǎn)處（即直角三角形外接圓半徑等于斜邊的一半，如圖2）；3）鈍角三角形外接圓的圓心在它的外部（如圖3）。【典例6】（2022秋·云南大理·九年級(jí)?？计谥校┤切蔚娜呴L(zhǎng)為6，8，10，那么此三角形的外接圓的半徑長(zhǎng)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】因?yàn)槿呴L(zhǎng)分別為6、8、10的三角形是直角三角形，由直角三角形的特征知，圓心為斜邊中點(diǎn)，半徑等于斜邊的一半．【詳解】解：∵，∴三角形為直角三角形，∵直角三角形的外接圓的圓心是斜邊的中點(diǎn)，斜邊為直角三角形中最長(zhǎng)邊，∴三角形外接圓的半徑,∴三角形外接圓的半徑等于5．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形的外接圓半徑，勾股定理逆定理，重點(diǎn)在于理解直角三角形的外接圓是以斜邊中點(diǎn)為圓心，斜邊長(zhǎng)的一半為半徑的圓．【專訓(xùn)61】（2022秋·浙江寧波·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知在Rt中，，則Rt的外接圓的半徑為（）A．4 B． C．5 D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形外心的性質(zhì)可知，直角三角形的外心為斜邊中點(diǎn)，斜邊為直徑，先求斜邊長(zhǎng)，再求半徑．【詳解】在中，根據(jù)勾股定理得，，∵直角三角形的外心為斜邊中點(diǎn)，∴的外接圓的半徑為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的外心的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，關(guān)鍵是明確直角三角形的斜邊為三角形外接圓的直徑．【專訓(xùn)62】（2022秋·廣東江門·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，△ABC的外接圓半徑為8，∠ACB＝60°，則AB的長(zhǎng)為（）A．8 B．4 C．6 D．4【答案】A【分析】連接OA，OB，過O作OH⊥AB于H，根據(jù)圓周角定理得到∠AOB=2∠ACB=120°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠AOH=∠BOH=60°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到OH，AH的長(zhǎng)，于是得到答案．【詳解】解：連接OA，OB，過O作OH⊥AB于H，∵∠ACB=60°，∴∠AOB=2∠ACB=120°，∵OB=OA=8，∴∠AOH=∠BOH=60°，∴∠OAB=30°，∴OH=OA=4，∴AH=，∴AB=2AH=8，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，等腰三角形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【考試題型7】判斷三角形外接圓圓心的位置【解題方法】掌握三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【典例7】（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)為（1，3）、（5，3）、（1，－1），則△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)是（

）A．（1，3） B．（3，1） C．（2，3） D．（3，2）【答案】B【分析】根據(jù)三角形的外心的概念作出外心，根據(jù)坐標(biāo)與圖形性質(zhì)解答即可．【詳解】解：連接AB、AC，分別作AB、AC的垂直平分線，兩條垂直平分線交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為△ABC外接圓的圓心，由題意得：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，1），即△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)是（3，1），故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，掌握三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)71】（2022秋·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)河南師大附中?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)，，都在格點(diǎn)上，的外接圓的圓心坐標(biāo)為（

）A．（5，2） B．（2，4） C．（3，3） D．（4，3）【答案】A【分析】根據(jù)的外接圓的定義，作和的垂直平分線相交于點(diǎn)，則可得出答案．【詳解】解：根據(jù)的外接圓的定義，作和的垂直平分線相交于點(diǎn)，∴點(diǎn)P（5，2），故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓，三角形的垂直平分線，正確作圖是解題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)72】（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在由小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，O均在格點(diǎn)上．下列三角形中，外心不是點(diǎn)O的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)小正方形邊長(zhǎng)為1，再通過勾股定理求出到所有頂點(diǎn)長(zhǎng)度，不相等的就是外心不在的三角形．【詳解】解：設(shè)小正方形邊長(zhǎng)為1，則：，，根據(jù)三角形外心到各頂點(diǎn)距離相等可以判斷：點(diǎn)O是三個(gè)三角形的外心；不是的外心，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查外心的定義，掌握勾股定理求出外心到各頂點(diǎn)距離是關(guān)鍵．【考試題型8】直角三角形周長(zhǎng)、面積與三角形內(nèi)切圓半徑的關(guān)系【解題方法】1）三角形內(nèi)切圓半徑公式：r=2SC其中S為三角形的面積；C2）特殊的直角三角形內(nèi)切圓半徑公式：r=a+b-c2或r=aba+b+c.其中【典例8】（2022秋·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考期中）三邊長(zhǎng)分別為6、8、10的三角形的內(nèi)切圓的半徑長(zhǎng)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根據(jù)面積關(guān)系：，其中、是兩直角邊，是斜邊，是直角三角形內(nèi)切圓的半徑，由此關(guān)系即可求得內(nèi)切圓的半徑．【詳解】設(shè)三角形內(nèi)切圓的半徑為，由于，所以此三角形是直角三角形，則有：解得：；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了求三角形的內(nèi)切圓半徑，勾股定理的逆定理，利用面積關(guān)系是關(guān)鍵．【專訓(xùn)81】（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著．書中有下列問題“今有勾八步，股十五步，問勾中容圓徑幾何？”其意思是“今有直角三角形(如圖)，勾(短直角邊)長(zhǎng)為8步，股(長(zhǎng)直角邊)長(zhǎng)為15步，問該直角三角形能容納的圓形(內(nèi)切圓)直徑是多少？”()A．3步 B．5步 C．6步 D．8步【答案】C【詳解】解：根據(jù)勾股定理得：斜邊為則該直角三角形能容納的圓形(內(nèi)切圓)半徑(步)，即直徑為6步，故選C【考試題型9】理解三角形內(nèi)心【解題方法】【典例9】（2022秋·江蘇連云港·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，則點(diǎn)O是△ABC的（）A．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn) B．三條角平分線的交點(diǎn)C．三條中線的交點(diǎn) D．三條高的交點(diǎn)【答案】B【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)切圓得出點(diǎn)到三邊的距離相等，即可得出結(jié)論．【詳解】解：是的內(nèi)切圓，則點(diǎn)到三邊的距離相等，點(diǎn)是的三條角平分線的交點(diǎn)；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的內(nèi)切圓的圓心性質(zhì)．【專訓(xùn)91】（2023春·河北邢臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，在正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D，O都在格點(diǎn)上，下列說(shuō)法正確的是（

）A．點(diǎn)O是ABC的內(nèi)心 B．點(diǎn)O是ABC的外心C．點(diǎn)O是ABD的內(nèi)心 D．點(diǎn)O是ABD的外心【答案】D【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，三角形的外接圓與外心即可解決問題．【詳解】解：根據(jù)點(diǎn)A，B，C，D，O都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上．可知：點(diǎn)O到點(diǎn)A，B，D的三點(diǎn)的距離相等，所以點(diǎn)O是△ABD的外心，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，三角形的外接圓與外心，解決本題的關(guān)鍵是掌握內(nèi)心與外心的定義．【專訓(xùn)92】（2023春·廣東梅州·九年級(jí)校考開學(xué)考試）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，以點(diǎn)A為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫弧交射線AB，AC于兩點(diǎn)，分別以這兩點(diǎn)為圓心，以適當(dāng)?shù)亩ㄩL(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)E，作射線AE，交BD于點(diǎn)I，連接CI，以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．I到AB，AC邊的距離相等B．CI平分∠ACBC．I是△ABC的內(nèi)心D．I到A，B，C三點(diǎn)的距離相等【答案】D【分析】根據(jù)作圖先判斷AE平分∠BAC，再由三角形內(nèi)心的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：A.由作圖可知，AE是∠BAC的平分線，∴I到AB，AC邊的距離相等，故選項(xiàng)正確，不符合題意；B.∵BD平分∠ABC，三角形三條角平分線交于一點(diǎn)，∴CI平分∠ACB，故選項(xiàng)正確，不符合題意；C.由上可知，I是△ABC的內(nèi)心，故選項(xiàng)正確，不符合題意，D.∵I是△ABC的內(nèi)心，∴I到AB，AC，BC的距離相等，不是到A，B，C三點(diǎn)的距離相等，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查尺規(guī)作圖，涉及三角形內(nèi)心的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握基本的尺規(guī)作圖和三角形內(nèi)心的性質(zhì)．【考試題型10】三角形外接圓與內(nèi)切圓關(guān)系【典例10】（2022秋·山東煙臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若等腰直角三角形的外接圓半徑的長(zhǎng)為2，則其內(nèi)切圓半徑的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等腰直角三角形的外接圓半徑的長(zhǎng)求出斜邊，再由勾股定理求出直角邊，利用等腰直角三角形的面積即可求出內(nèi)切圓的半徑．【詳解】如圖所示，是等腰直角三角形，是它的外接圓，是它的內(nèi)切圓，連接AE、BE，∵等腰直角三角形的外接圓半徑的長(zhǎng)為2，∴AB=4，∴在中，，∵是內(nèi)切圓，∴EF=EG=ED，∴，∵，∴，即，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓和內(nèi)切圓，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A基本的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)101】（2022秋·廣東河源·九年級(jí)?？计谀┤舻妊苯侨切蔚耐饨訄A半徑的長(zhǎng)為2，則其內(nèi)切圓半徑的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．—1【答案】B【分析】由于直角三角形的外接圓半徑是斜邊的一半，由此可求得等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)，進(jìn)而可求得兩條直角邊的長(zhǎng)；然后根據(jù)直角三角形內(nèi)切圓半徑公式求出內(nèi)切圓半徑的長(zhǎng)．【詳解】解：∵等腰直角三角形外接圓半徑為2，∴此直角三角形的斜邊長(zhǎng)為4，兩條直角邊分別為2，∴它的內(nèi)切圓半徑為：R=（2+24）=22．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓和三角形的內(nèi)切圓，等腰直角三角形的性質(zhì)，要注意直角三角形內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑的區(qū)別：直角三角形的內(nèi)切圓半徑：r=（a+bc）；（a、b為直角邊，c為斜邊）直角三角形的外接圓半徑：R=c．【專訓(xùn)102】（2022秋·天津·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，點(diǎn)和分別是的內(nèi)心和外心，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓周角定義，以及內(nèi)心的定義，可以利用∠C表示出∠AIB和∠AOB，即可得到兩個(gè)角的關(guān)系可進(jìn)一步得出結(jié)論．【詳解】解：∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，∴∠IAB=∠CAB，∠IBA=∠CBA，∴∠AIB=180°（∠IAB+∠IBA）=180°（∠CAB+∠CBA），=180°（180°∠C）=90°+∠C，∵∴∠C=70°，∵點(diǎn)O是△ABC的外心，∴∠AOB=2∠C=140°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理以及三角形的內(nèi)心的性質(zhì)，正確利用∠C表示∠AIB的度數(shù)是關(guān)鍵．【專訓(xùn)103】（2022·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）直角三角形的外接圓半徑為3，內(nèi)切圓半徑為1，則該直角三角形的周長(zhǎng)是（

）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】B【分析】⊙I切AB于E，切BC于F，切AC于D，連接IE，IF，ID，得出正方形CDIF推出CD=CF=1，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得出AD=AE，BE=BF，CF=CD，求出AD+BF=AE+BE=AB=6，即可求出答案．【詳解】解：如圖，⊙I切AB于E，切BC于F，切AC于D，連接IE，IF，ID，則∠CDI=∠C=∠CFI=90°，ID=IF=1，∴四邊形CDIF是正方形，∴CD=CF=1，由切線長(zhǎng)定理得：AD=AE，BE=BF，CF=CD，∵直角三角形的外接圓半徑為3，內(nèi)切圓半徑為1，∴AB=6=AE+BE=BF+AD，即△ABC的周長(zhǎng)是AC+BC+AB=AD+CD+CF+BF+AB=6+1+1+6=14，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的外接圓與內(nèi)切圓，正方形的性質(zhì)和判定，切線的性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．【專訓(xùn)104】（2022秋·山東聊城·九年級(jí)校聯(lián)考期中）等邊三角形的內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑的比是（

）A．1： B．2：1 C．1： D．1∶2【答案】D【分析】連接OD、OE，根據(jù)切線的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)證明△AOD為直角三角形且∠OAD為30°，即可求出OD、OA的比．【詳解】如圖，連接OD、OE，∵AB、AC切圓O于E、D，∴，，且OA平分∠BAC，又∵為等邊三角形，，，::2．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓和外接圓，等邊三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)五圓與圓位置關(guān)系【考試題型11】圓與圓位置關(guān)系【解題方法】設(shè)⊙O1、⊙O2的半徑分別為位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定外離圖1兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)，并且每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部．d>R+r?外切圖2兩個(gè)圓有唯一公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)之外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部．d=R+r?相交圖3兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)．R-內(nèi)切圖4兩個(gè)圓有唯一公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)之外，一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部．d=R-內(nèi)含圖5兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)，并且一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部，兩圓