新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 講與練第24練 空間向量及其應(yīng)用（解析版）

第24練空間向量及其應(yīng)用學(xué)校____________姓名____________班級(jí)____________一、單選題1．直三棱柱SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】由已知得SKIPIF1<0，故選：A.2．在正方體SKIPIF1<0中O為面SKIPIF1<0的中心，SKIPIF1<0為面SKIPIF1<0的中心.若E為SKIPIF1<0中點(diǎn)，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故選：B3．已知正六棱柱SKIPIF1<0的底面邊長(zhǎng)為1，SKIPIF1<0是正六棱柱內(nèi)（不含表面）的一點(diǎn)，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，且SKIPIF1<0，由正六邊形的性質(zhì)可得，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范圍SKIPIF1<0.故選：A.4．在四面體OABC中，E為OA中點(diǎn)，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：D5．在正方體SKIPIF1<0中，E，F(xiàn)，G分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則（

）A．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】A【詳解】解：取SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點(diǎn)分別記為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，根據(jù)正方體的性質(zhì)可得面SKIPIF1<0即為平面SKIPIF1<0，對(duì)于A：如圖SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故A正確；對(duì)于B：如圖SKIPIF1<0，在平面SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C、D：如圖SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因?yàn)檫^平面SKIPIF1<0外一點(diǎn)作SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）僅能作一條垂線垂直該平面，故C、D錯(cuò)誤；其中SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0可按如下證明：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；故選：A6．如圖，在正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是底面SKIPIF1<0的中心，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．SKIPIF1<0//SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0//平面SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】B【詳解】在正四棱柱SKIPIF1<0中，以點(diǎn)D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是底面SKIPIF1<0的中心，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，對(duì)于A，顯然SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不共線，即SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不平行，A不正確；對(duì)于B，因SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，B正確；對(duì)于C，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不垂直，即SKIPIF1<0不平行于平面SKIPIF1<0，C不正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)C知，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不共線，即SKIPIF1<0不垂直于平面SKIPIF1<0，D不正確.故選：B7．已知直三棱柱SKIPIF1<0各棱長(zhǎng)均相等，點(diǎn)D，E分別是棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則異面直線AD與BE所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】設(shè)直三棱柱的棱長(zhǎng)為1，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，點(diǎn)D，E分別是棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以異面直線AD與BE所成角的余弦值為SKIPIF1<0．故選：A．8．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0（

）A．－2 B．2 C．1 D．－1【答案】B【詳解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<02.故選：B9．如圖，四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．現(xiàn)將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，當(dāng)二面角SKIPIF1<0處于SKIPIF1<0過程中，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】設(shè)向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0的平面角大小為SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中點(diǎn)E，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)橹本€夾角范圍為SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值范圍是SKIPIF1<0．故選：D．10．如圖，已知正方體SKIPIF1<0的棱長(zhǎng)為1，則線段SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)P到直線SKIPIF1<0的距離的最小值為（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴動(dòng)點(diǎn)P到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)，即線段SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)P到直線SKIPIF1<0的距離的最小值為SKIPIF1<0.故選：D.二、多選題11．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示兩條不同的直線，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示兩個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是（

）A．若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不平行，且SKIPIF1<0，則平面SKIPIF1<0內(nèi)不存在與SKIPIF1<0平行的直線B．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D．存在兩條異面直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】ABD【詳解】對(duì)于A，若平面SKIPIF1<0內(nèi)存在與SKIPIF1<0平行的直線，則SKIPIF1<0，與已知矛盾，故A正確；對(duì)于B，由線面平行的性質(zhì)定理易知B正確；對(duì)于C，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可能平行，也可能相交，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若SKIPIF1<0，易知D正確.故選：ABD.12．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為120°，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．17 C．1 D．SKIPIF1<0【答案】BD【詳解】由題意得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0故選：BD13．如圖所示，在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0垂直 B．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0垂直C．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0平行 D．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0平行【答案】ABC【詳解】如圖所示，易知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中點(diǎn)，又SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，根據(jù)向量的運(yùn)算：SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0不共線，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，于是A，C正確；又SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故B正確；若SKIPIF1<0，結(jié)合SKIPIF1<0，根據(jù)平行的傳遞性，可知SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，顯然是錯(cuò)誤的，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.14．在空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，已知點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為SKIPIF1<0B．若平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的法向量，則平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0D．點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0【答案】ACD【詳解】解：對(duì)于A：因?yàn)镾KIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)槠矫鍿KIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0不平行，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)镾KIPIF1<0、SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的法向量，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，故D正確；故選：ACD三、解答題15．如圖，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0分別在棱SKIPIF1<0和棱SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0．(1)設(shè)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．【解析】(1)證明：取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，所以SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．(2)解：因?yàn)橹比庵鵖KIPIF1<0中SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩兩垂直．分別以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的方向?yàn)镾KIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得到平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量SKIPIF1<0．設(shè)直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0．16．如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0