煙臺市重點中學2024-2025學年高三“零診”考試數學試題含解析

煙臺市重點中學2024-2025學年高三“零診”考試數學試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知等邊△ABC內接于圓：x2+y2=1，且P是圓τ上一點，則的最大值是（）A． B．1 C． D．22．若，則下列關系式正確的個數是（）①②③④A．1 B．2 C．3 D．43．某空間幾何體的三視圖如圖所示（圖中小正方形的邊長為1），則這個幾何體的體積是（）A． B． C．16 D．324．在四面體中，為正三角形，邊長為6，，，，則四面體的體積為（）A． B． C．24 D．5．已知雙曲線的左、右頂點分別為，點是雙曲線上與不重合的動點，若，則雙曲線的離心率為()A． B． C．4 D．26．已知分別為雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點，若，則雙曲線的離心率為（）A． B．4 C．2 D．7．設，則，則（）A． B． C． D．8．如圖，將兩個全等等腰直角三角形拼成一個平行四邊形，將平行四邊形沿對角線折起，使平面平面，則直線與所成角余弦值為（）A． B． C． D．9．已知的垂心為，且是的中點，則（）A．14 B．12 C．10 D．810．框圖與程序是解決數學問題的重要手段，實際生活中的一些問題在抽象為數學模型之后，可以制作框圖，編寫程序，得到解決，例如，為了計算一組數據的方差，設計了如圖所示的程序框圖，其中輸入，，，，，，，則圖中空白框中應填入（）A．， B． C．， D．，11．已知展開式的二項式系數和與展開式中常數項相等，則項系數為（）A．10 B．32 C．40 D．8012．若復數z滿足,則復數z在復平面內對應的點在()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，角，，的對邊分別為，，，若，且，則面積的最大值為________.14．設定義域為的函數滿足，則不等式的解集為__________．15．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的表面積是______cm2，體積是_____16．在三棱錐中，已知，且平面平面，則三棱錐外接球的表面積為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱柱中，底面為菱形，.（1）證明：平面平面；（2）若，是等邊三角形，求二面角的余弦值.18．（12分）在平面直角坐標系中，以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，并在兩坐標系中取相同的長度單位．已知曲線C的極坐標方程為ρ＝2cosθ，直線l的參數方程為(t為參數，α為直線的傾斜角)．(1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；(2)若直線l與曲線C有唯一的公共點，求角α的大小．19．（12分）已知函數，.（1）討論的單調性；（2）若存在兩個極值點，，證明：.20．（12分）運輸一批海鮮，可在汽車、火車、飛機三種運輸工具中選擇，它們的速度分別為60千米/小時、120千米/小時、600千米/小時，每千米的運費分別為20元、10元、50元.這批海鮮在運輸過程中每小時的損耗為m元（），運輸的路程為S（千米）.設用汽車、火車、飛機三種運輸工具運輸時各自的總費用（包括運費和損耗費）分別為（元）、（元）、（元）.（1）請分別寫出、、的表達式；（2）試確定使用哪種運輸工具總費用最省.21．（12分）已知曲線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．（1）寫出曲線的極坐標方程；（2）點是曲線上的一點，試判斷點與曲線的位置關系．22．（10分）如圖1，在等腰中，，，分別為，的中點，為的中點，在線段上，且。將沿折起，使點到的位置（如圖2所示），且。（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

如圖所示建立直角坐標系，設，則，計算得到答案.【詳解】如圖所示建立直角坐標系，則，，，設，則.當，即時等號成立.故選：.本題考查了向量的計算，建立直角坐標系利用坐標計算是解題的關鍵.2．D【解析】

a，b可看成是與和交點的橫坐標，畫出圖象，數形結合處理.【詳解】令，，作出圖象如圖，由，的圖象可知，，，②正確；，，有，①正確；，，有，③正確；，，有，④正確.故選：D.本題考查利用函數圖象比較大小，考查學生數形結合的思想，是一道中檔題.3．A【解析】幾何體為一個三棱錐，高為4，底面為一個等腰直角三角形，直角邊長為4，所以體積是，選A.4．A【解析】

推導出，分別取的中點,連結，則，推導出，從而，進而四面體的體積為，由此能求出結果.【詳解】解：在四面體中，為等邊三角形，邊長為6，，，，，，分別取的中點，連結，則，且，，，，平面，平面，，四面體的體積為：.故答案為：.本題考查四面體體積的求法，考查空間中線線，線面，面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力.5．D【解析】

設，，，根據可得①，再根據又②，由①②可得，化簡可得，即可求出離心率．【詳解】解：設，，，∵，∴，即，①又，②，由①②可得，∵，∴，∴，∴，即，故選：D．本題考查雙曲線的方程和性質，考查了斜率的計算，離心率的求法，屬于基礎題和易錯題．6．A【解析】

由已知得，，由已知比值得，再利用雙曲線的定義可用表示出，，用勾股定理得出的等式，從而得離心率．【詳解】.又，可令，則.設，得，即，解得，∴,,由得，，，該雙曲線的離心率.故選：A.本題考查求雙曲線的離心率，解題關鍵是由向量數量積為0得出垂直關系，利用雙曲線的定義把雙曲線上的點到焦點的距離都用表示出來，從而再由勾股定理建立的關系．7．A【解析】

根據換底公式可得，再化簡，比較的大小，即得答案.【詳解】，，.，顯然.,即，，即.綜上，.故選：.本題考查換底公式和對數的運算，屬于中檔題.8．C【解析】

利用建系，假設長度，表示向量與，利用向量的夾角公式，可得結果.【詳解】由平面平面，平面平面，平面所以平面，又平面所以，又所以作軸//,建立空間直角坐標系如圖設，所以則所以所以故選：C本題考查異面直線所成成角的余弦值，一般采用這兩種方法：（1）將兩條異面直線作輔助線放到同一個平面，然后利用解三角形知識求解；（2）建系，利用空間向量，屬基礎題.9．A【解析】

由垂心的性質，得到，可轉化，又即得解.【詳解】因為為的垂心，所以，所以，而，所以，因為是的中點，所以．故選：A本題考查了利用向量的線性運算和向量的數量積的運算率，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于中檔題.10．A【解析】

依題意問題是，然后按直到型驗證即可.【詳解】根據題意為了計算7個數的方差，即輸出的，觀察程序框圖可知，應填入，，故選：A.本題考查算法與程序框圖，考查推理論證能力以及轉化與化歸思想，屬于基礎題.11．D【解析】

根據二項式定理通項公式可得常數項，然后二項式系數和，可得，最后依據，可得結果.【詳解】由題可知：當時，常數項為又展開式的二項式系數和為由所以當時，所以項系數為故選：D本題考查二項式定理通項公式，熟悉公式，細心計算，屬基礎題.12．A【解析】

化簡復數，求得，得到復數在復平面對應點的坐標，即可求解.【詳解】由題意，復數z滿足，可得，所以復數在復平面內對應點的坐標為位于第一象限故選：A.本題主要考查了復數的運算，以及復數的幾何表示方法，其中解答中熟記復數的運算法則，結合復數的表示方法求解是解答的關鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

利用正弦定理將角化邊得到，再由余弦定理得到，根據同角三角函數的基本關系表示出，最后利用面積公式得到，由基本不等式求出的取值范圍，即可得到面積的最值；【詳解】解：∵在中，，∴，∴，∴，∴.∵，即，當且僅當時等號成立，∴，∴面積的最大值為.故答案為：本題考查正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面積公式的應用，以及基本不等式的應用，屬于中檔題.14．【解析】

根據條件構造函數F（x），求函數的導數，利用函數的單調性即可得到結論．【詳解】設F（x），則F′（x），∵，∴F′（x）＞0，即函數F（x）在定義域上單調遞增．∵∴，即F（x）＜F（2x）∴，即x＞1∴不等式的解為故答案為：本題主要考查函數單調性的判斷和應用，根據條件構造函數是解決本題的關鍵．15．20+45，8【解析】試題分析：由題意得，該幾何體為三棱柱，故其表面積S=2×1體積V=12×4×2×2=8，故填：20+4考點：1.三視圖；2.空間幾何體的表面積與體積.16．【解析】

取的中點，設等邊三角形的中心為，連接.根據等邊三角形的性質可求得，，由等腰直角三角形的性質，得，根據面面垂直的性質得平面，，由勾股定理求得，可得為三棱錐外接球的球心，根據球體的表面積公式可求得此外接球的表面積.【詳解】在等邊三角形中，取的中點，設等邊三角形的中心為，連接.由，得，，由已知可得是以為斜邊的等腰直角三角形，,又由已知可得平面平面，平面，，，所以，為三棱錐外接球的球心，外接球半徑，三棱錐外接球的表面積為.故答案為：本題考查三棱錐的外接球的表面積，關鍵在于根據三棱錐的面的關系、棱的關系和長度求得外接球的球心的位置，球的半徑，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）證明見解析（2）【解析】

（1）根據面面垂直的判定定理可知，只需證明平面即可．由為菱形可得，連接和與的交點，由等腰三角形性質可得，即能證得平面；（2）由題意知，平面，可建立空間直角坐標系，以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，再分別求出平面的法向量，平面的法向量，即可根據向量法求出二面角的余弦值．【詳解】（1）如圖，設與相交于點，連接，又為菱形，故，為的中點.又，故.又平面，平面，且，故平面，又平面，所以平面平面.（2）由是等邊三角形，可得，故平面，所以，，兩兩垂直.如圖以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標系.不妨設，則，，則，，，，，，設為平面的法向量，則即可取，設為平面的法向量，則即可取，所以.所以二面角的余弦值為0.本題主要考查線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理的應用，以及利用向量法求二面角，意在考查學生的直觀想象能力，邏輯推理能力和數學運算能力，屬于基礎題．18．（1）當時，直線l方程為x＝－1；當時，直線l方程為y＝(x＋1)tanα；x2＋y2＝2x（2）或.【解析】

（1）對直線l的傾斜角分類討論，消去參數即可求出其普通方程；由，即可求出曲線C的直角坐標方程；（2）將直線l的參數方程代入曲線C的直角坐標方程，根據條件Δ＝0，即可求解.【詳解】(1)當時，直線l的普通方程為x＝－1；當時，消去參數得直線l的普通方程為y＝(x＋1)tanα.由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ，所以x2＋y2＝2x，即為曲線C的直角坐標方程．(2)把x＝－1＋tcosα，y＝tsinα代入x2＋y2＝2x，整理得t2－4tcosα＋3＝0.由Δ＝16cos2α－12＝0，得cos2α＝，所以cosα＝或cosα＝，故直線l的傾斜角α為或.本題考查參數方程化普通方程，極坐標方程化直角坐標方程，考查直線與曲線的關系，屬于中檔題.19．（1）見解析；（2）見解析【解析】

（1）求得的導函數，對分成兩種情況，討論的單調性.（2）由（1）判斷出的取值范圍，根據韋達定理求得的關系式，利用差比較法，計算，通過構造函數，利用導數證得，由此證得，進而證得不等式成立.【詳解】（1）.當時，，此時在上單調遞減；當時，由解得或，∵是增函數，∴此時在和單調遞減，在單調遞增.（2）由（1）知.，，，不妨設，∴，，令，∴，∴在上是減函數，，∴，即.本小題主要考查利用導數研究函數的單調區(qū)間，考查利用導數證明不等式，考查分類討論的數學思想方法，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于中檔題.20．（1），，.（2）當時，此時選擇火車運輸費最??；當時，此時選擇飛機運輸費用最省；當時，此時選擇火車或飛機運輸費用最省.【解析】

（1）將運費和損耗費相加得出總費用的表達式.（2）作差比較、的大小關系得出結論.【詳解】（1），，.（2），故，恒成立，故只需比較與的大小關系即可，令，故當，即時，，即，此時選擇火車運輸費最省，當，即時，，即，此時選擇飛機運輸費用最省.當，即時，，，此時選擇火車或飛機運輸費用最省.本題考查了常見函數的模型，考查了分類討論的思想，屬于基礎題.21．（1）（2）點在曲線外．【解析】

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