基于核心素養(yǎng)的“三角函數(shù)的周期性”概念教學策略

摘

要：概念是數(shù)學的細胞，也是數(shù)學思維活動的重要載體。因此，數(shù)學概念教學不能止步于讓學生熟悉概念、運用概念解題，而應挖掘數(shù)學概念的內涵與外延。厘清新授概念與學生熟悉的數(shù)學概念、知識間的內在聯(lián)系，進而創(chuàng)建合適的數(shù)學概念生成情境，讓數(shù)學概念在學生的自主探究中主動生成;讓學生習得數(shù)學抽象、邏輯推理的具體方法，提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。文章以“三角函數(shù)的周期性”公開教學觀摩課為例，闡述了數(shù)學概念教學中設計探究生成過程的重要性。教師應注重從真實情境出發(fā)，逐步引導學生感悟、體會，從而水到渠成掌握數(shù)學知識概念。關鍵詞：三角函數(shù);數(shù)學核心素養(yǎng);教學策略;概念教學一、教材分析“三角函數(shù)的周期性”是蘇教版（2019版）高中數(shù)學必修第一冊教材7.3“三角函數(shù)的圖像和性質”的第一節(jié)內容。周期性是三角函數(shù)的一個典型特征，是后續(xù)研究及學習三角函數(shù)的圖像與性質的基本工具，三角函數(shù)周期性的研究也為一般函數(shù)周期性的研究奠定了重要基礎。二、學情分析該堂課是在學生已經學習了函數(shù)、角與弧度、三角函數(shù)概念等相關知識的基礎上開展的。學生來自江蘇省四星級高中的普通班，數(shù)學學習的基礎較好，且在高中階段的學習已經接近一個學期，數(shù)學思維能力有了很大的提升，已具備一定的自主探究能力、數(shù)學推理能力及數(shù)學抽象能力，可以借助已學知識，采用類比、化歸等思想方法完成本節(jié)課內容。三、教學目標其一，知識與技能。（1）了解周期函數(shù)的概念;（2）會判斷一些簡單的、常見的函數(shù)的周期性;（3）會求一些簡單的三角函數(shù)的周期。其二，過程與方法。通過眾多實例總結探究周期函數(shù)，再由周期函數(shù)到三角函數(shù)的周期性的探索過程，培養(yǎng)學生的數(shù)學發(fā)現(xiàn)能力和概括總結能力。在研究周期性的過程中，讓學生體驗由簡單到復雜，由特殊到一般的化歸思想，并滲透數(shù)形結合的思想方法，培養(yǎng)數(shù)學的探索能力，學習鉆研精神和科學的認知態(tài)度，通過小組合作學習培養(yǎng)學生團結協(xié)作的精神，體現(xiàn)立學課堂的教學思想.其三，情感態(tài)度與價值觀。通過家鄉(xiāng)本土的實例引入，培養(yǎng)學生熱愛家鄉(xiāng)，熱愛祖國的情懷。通過各種實例，提煉出共同特性——周期，體會事物間的內在聯(lián)系，感受類比、化歸的思想方法。在探索過程中體會失敗與成功的情感體驗。其四，核心素養(yǎng)。以函數(shù)與三角函數(shù)的基本知識和基本技能為載體，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，讓學生逐步體會到用數(shù)學的眼光去觀察世界，用數(shù)學的思維來思考世界，用數(shù)學的語言來表達世界。在探究周期性和周期函數(shù)的概念過程中培養(yǎng)學生數(shù)學抽象能力;在由周期特征的實例與已有知識儲備函數(shù)性質（例如函數(shù)奇偶性的概念）的表述中，表示出周期函數(shù)的數(shù)學語言，培養(yǎng)學生的邏輯推理能力;借助單位圓、三角函數(shù)線直觀圖，培養(yǎng)學生直觀想象能力。四、教學過程（一）教學環(huán)節(jié)1：創(chuàng)設情境，引入新課教師導入情境，如表1所示。設計意圖：不少本地學生在小學和初中時，通過在社會實踐基地的學習，對潮水漲落有一定了解，而且有不少學生還有過趕海的經歷。通過如東本土小洋口潮水時刻表的展示，讓學生有感同身受的共鳴，更容易調動學生的興趣，積極思考，參與課堂。另外，通過本土潮汐表帶領學生進一步了解家鄉(xiāng)的風土習俗，培養(yǎng)了學生熱愛家鄉(xiāng)，熱愛祖國的家國情懷。問題一：自然界和生活中有許多“過了一定的時間，某些現(xiàn)象重復出現(xiàn)”的事例，你還能舉出一些嗎？生1：每周的周一周二等、海邊風車的風葉、摩天輪上每個座位位置的轉動……生2：單擺運動，時鐘的圓周運動，四季變化.設計意圖：數(shù)學源于生活，又服務于生活。通過舉例不僅考察了學生觀察事物的能力，也培養(yǎng)了學生類比思維能力。問題二：以“鐘表上時針的轉動”為例，你能用數(shù)學化的式子描述這種現(xiàn)象嗎？生3：t+12=t。生4搶答：f（t+12）=f（t）。設計意圖：著力培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象思維、數(shù)學建模能力，由實際問題到數(shù)學表達，尋找自變量與函數(shù)值，再從中提煉出等式。在提煉等式的過程中，培養(yǎng)學生的理性思維，學生在交流的碰撞中把研究對象的特征慢慢總結出來。問題三：三角函數(shù)是刻畫圓周運動的數(shù)學函數(shù)模型，那么“周而復始”的基本特點必定存在于三角函數(shù)的性質中。那么能否用數(shù)學公式來表示三角函數(shù)的“周而復始”的規(guī)律？生5：sin（x+2π）=sinx，cos（x+2π）=cosx。師：很好，這其實就是我們前面學習的終邊相同的角函數(shù)值相等。那繼續(xù)思考正弦線變化和余弦線變化有何特征？生6：周而復始。生7補充：每轉一周，函數(shù)值會重復出現(xiàn)。當角度每加2π，函數(shù)值會相同。設計意圖：三角函數(shù)是最典型的一類周期函數(shù)。三角函數(shù)的誘導公式一，正是體現(xiàn)的三角函數(shù)的周期性。由周期函數(shù)到三角函數(shù)，由前一階段的特殊周期函數(shù)到一般的周期函數(shù)，現(xiàn)階段又由一般周期函數(shù)到特殊的三角函數(shù)，培養(yǎng)學生的邏輯推理能力，通過幾何畫板展示正弦線、余弦線變化的情況，培養(yǎng)學生的直觀想象能力。問題四：我們把正弦函數(shù)和余弦函數(shù)所具有的這種性質稱為周期性。能否用統(tǒng)一的式子表示它們？生8：f（x+2）=f（x）。師：那思考一下，等式的成立與x的取值有關嗎？生9：無關，x是任意的。教師安排學生活動，小組合作畫一些周期函數(shù)的圖像。師：你們各小組能否檢查自己畫的這些圖像是否是周期函數(shù)的圖像呢？生10：用定義檢驗。師：很好，下面就請你們試著把周期函數(shù)的定義概括出來。設計意圖：讓學生體會從特殊到一般的過程，三角函數(shù)也是一類特殊函數(shù)，體會周期函數(shù)的定義域的要求。通過小組合作，讓學生用數(shù)形結合更形象地去概括理解周期函數(shù)的概念。問題五：將上述函數(shù)抽象成一般的函數(shù)，你能得到什么等式？師：f（x+C）=f（x），現(xiàn)在請哪位同學試著給出周期函數(shù)的定義。生11：函數(shù)f（x），對于任意的x，如果有f（x+C）=f（x），那么函數(shù)就叫作周期函數(shù)。師：C是什么？生11：常數(shù)，非零常數(shù)。師：很好，請組織好語言，更好地定義一下周期函數(shù)的概念。生11：一般的，對于函數(shù)f（x），如果存在一個非零常數(shù)C，使任意的x，都滿足f（x+C）=f（x），那么函數(shù)就叫作周期函數(shù)。師：任意的x是整個實數(shù)集上嗎？生12：應該是定義域內。老師，那周期函數(shù)的定義域是不是一定是整個實數(shù)集呢？生13：可以不是整個實數(shù)集，比如可以只是整數(shù)集，f（x+1）=f（x），也可以是周期函數(shù)。師：很好，那你再完善一下周期函數(shù)的定義。生13：對于函數(shù)y=f（x），如果存在一個不為零的常數(shù)T，使當x取定義域內的每一個值時，f（x+C）=f（x）都成立，那么就把函數(shù)y=f（x）叫作周期函數(shù)。設計意圖：總結出周期函數(shù)的定義，實現(xiàn)了從特殊到一般的建構。高度概括、表達準確且結論具備一般性。問題7：若函數(shù)f（x）是一個周期函數(shù)，C為該函數(shù)的一個周期，該函數(shù)還有其他周期嗎？生10：2π、-2π、4π、6π等等。師：很好，你注意到負數(shù)也可以，而你這個總結的是三角函數(shù)的，一般函數(shù)呢？生11：C、-C、2C、3C、kC等都是。師：不錯，那也就說明周期函數(shù)的周期有無數(shù)多個，我們最好引入一個最具有代表性的周期，以更方便地描述周期函數(shù)的周期。生12：C。師：如何命名呢？學生小聲討論：最小周期？不對，最小還可以是負的，正的最小周期？師：很好，最小正周期。下面定義一下最小正周期。如果在所有正周期中有一個最小的，則稱它是函數(shù)f（x）的最小正周期。大家發(fā)現(xiàn)如果一個周期函數(shù)y=f（x）的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫作f（x）的最小正周期。設計意圖：完善周期函數(shù)的定義，體會最小正周期引入的必要性，總結出最小正周期的定義。（二）教學環(huán)節(jié)2：例題分析例題：已知函數(shù)f（x）是一個周期函數(shù)，周期為2，并且f（x）=x2（x∈[0，2）），那么你能否畫出整個定義域上的圖像？師：對于這個問題，你想從什么角度切入？生13：我們只要畫出f（x）=x2（x∈[0，2））的圖像，那么其余地方的圖像都是和這個圖像一樣的。生14：更準確地說應該先畫出f（x）=x2（x∈[0，2））的圖像，其余地方的圖像都是由這個圖像平移得到的，應該是左右平移得到的。師：很好，那為什么是左右平移得到的呢？生14：因為函數(shù)f（x）是一個周期函數(shù)，周期為2，也就是f（x+2）=f（x）。師：不錯，我們發(fā)現(xiàn)對于周期函數(shù)，如果能畫出一個周期的圖像，那么通過周期函數(shù)的定義，就可以畫出整個函數(shù)的圖像。同理，如果知道一個周期的解析式，就可以根據(jù)定義寫出整個定義域的解析式。教學反思：數(shù)學學科核心素養(yǎng)的落實，應該重點關注教學內容與教學結構的環(huán)節(jié)設計，由外到內逐步深入，合情合理地提出教學問題，以符合學生思維形成過程。對于“三角函數(shù)的周期性”的相關學習內容，會涉及以下問題：三角函數(shù)為什么會有周期性？三角函數(shù)的周期是多少？如何描述一般函數(shù)的周期性？教師通過上述三個問題逐步開展教學，可以促進學生形成學習數(shù)學的思想和方法，從“科學探究與創(chuàng)新意識”到“科學態(tài)度與社會責任”進一步揭示數(shù)學學習更高層次的價值追求。數(shù)學概念的教學是培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的重要組成部分，合理設計