新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8章 第09講 高考難點(diǎn)突破一 圓錐曲線的綜合問(wèn)題（定點(diǎn)問(wèn)題） 精講（教師版）

第09講高考難點(diǎn)突破一：圓錐曲線的綜合問(wèn)題（定點(diǎn)問(wèn)題）(精講）目錄第一部分：典型例題剖析題型一：橢圓中的定點(diǎn)問(wèn)題角度1：橢圓中的直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題角度2：橢圓中存在定點(diǎn)滿(mǎn)足某條件問(wèn)題題型二：雙曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題角度1：雙曲線中的直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題角度2：雙曲線存在定點(diǎn)滿(mǎn)足某條件問(wèn)題題型三：拋物線中的定點(diǎn)問(wèn)題角度1：拋物線中的直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題角度2：拋物線存在定點(diǎn)滿(mǎn)足某條件問(wèn)題第二部分：高考真題感悟第一部分：典型例題剖析第一部分：典型例題剖析題型一：橢圓中的定點(diǎn)問(wèn)題角度1：橢圓中的直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題典型例題例題1．（2022·江西上饒·高二期末（文））已知橢圓SKIPIF1<0的一個(gè)頂點(diǎn)為SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0.(1)求橢圓的方程：(2)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)且斜率為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與橢圓相交于兩點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0軸交于點(diǎn)SKIPIF1<0，線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0且垂直于SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0為原點(diǎn)），證明直線SKIPIF1<0過(guò)定點(diǎn).【答案】(1)SKIPIF1<0(2)證明見(jiàn)解析（1）依題意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0.（2）由（1）知右焦點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0直線OP的斜率SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得點(diǎn)SKIPIF1<0坐標(biāo)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0恒過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0.例題2．（2022·北京市十一學(xué)校高二期末）已知橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）右焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為橢圓的上頂點(diǎn)，SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0的周長(zhǎng)為SKIPIF1<0.SKIPIF1<0是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0上一點(diǎn)，且直線SKIPIF1<0軸.(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程：(2)記直線SKIPIF1<0與橢圓另一交點(diǎn)為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0是否過(guò)SKIPIF1<0軸上一定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)：若否，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)過(guò)定點(diǎn)NSKIPIF1<0.(1)解：因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為橢圓的上頂點(diǎn)，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以橢圓方程為SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0，易知直線PQ斜率為0時(shí)，QM為x軸，則若QM過(guò)定點(diǎn)，則定點(diǎn)位于x軸上，當(dāng)直線PQ斜率不為0時(shí)，設(shè)SKIPIF1<0，與橢圓方程聯(lián)立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以直線QM的方程為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故直線QM過(guò)定點(diǎn)NSKIPIF1<0.例題3．（2022·安徽·合肥工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高二期末）已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，一個(gè)焦點(diǎn)SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)重合．(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)若直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0軸對(duì)稱(chēng)，證明：直線SKIPIF1<0恒過(guò)一定點(diǎn)．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)詳見(jiàn)解析.(1)由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又離心率為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴橢圓C的方程為SKIPIF1<0.(2)設(shè)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0軸對(duì)稱(chēng)，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，恒過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0.同類(lèi)題型歸類(lèi)練1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）橢圓SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0相互垂直（斜率存在），SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中點(diǎn)．求證：直線SKIPIF1<0過(guò)定點(diǎn)．【答案】證明見(jiàn)解析由題意可知，設(shè)AB直線為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,則因?yàn)镾KIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，于是有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0點(diǎn)即是SKIPIF1<0點(diǎn)，此時(shí)，直線MN為SKIPIF1<0軸．（2）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，將上式SKIPIF1<0點(diǎn)坐標(biāo)中的SKIPIF1<0換成SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0．①當(dāng)直線MN不垂直于SKIPIF1<0軸時(shí)，直線MN的斜率SKIPIF1<0，其方程SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)得SKIPIF1<0，∴直線MN過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0．②當(dāng)直線MN垂直于SKIPIF1<0軸時(shí)，SKIPIF1<0，此時(shí)，SKIPIF1<0，直線MN也過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0．綜上所述，直線MN過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0．2．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)P作橢圓的割線PAB，C為B關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．求證：直線AC恒過(guò)定點(diǎn)．【答案】證明見(jiàn)解析設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)AC與x軸的交點(diǎn)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由定比分點(diǎn)公式坐標(biāo)公式得：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，SKIPIF1<0③，SKIPIF1<0④，由②④得SKIPIF1<0⑤∵點(diǎn)A、B在橢圓上，得SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0，將①②代入上式得SKIPIF1<0⑥∵點(diǎn)A、C在橢圓上，得SKIPIF1<0，將③④代入上式同理可得SKIPIF1<0⑦對(duì)比⑤⑥⑦得SKIPIF1<0，故直線AC恒過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0．3．（2022·陜西·千陽(yáng)縣中學(xué)高三階段練習(xí)（文））橢圓SKIPIF1<0SKIPIF1<0的左頂點(diǎn)為SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0.(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0斜率存在的直線SKIPIF1<0交橢圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0上一點(diǎn).若SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0的方程.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(1)解：由題意得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.所以橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.(2)解：設(shè)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.所以，直線l的方程為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.4．（2022·陜西漢中·高二期末（文））在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線AM，BM的斜率之積是SKIPIF1<0，記M的軌跡為E．(1)求E的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0且不與x軸重合的直線l與E交于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0與Q不重合），直線SKIPIF1<0與x軸交于點(diǎn)G，求點(diǎn)G的坐標(biāo)．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)設(shè)SKIPIF1<0，則直線AM的斜率為SKIPIF1<0，直線BM的斜率為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，故E的方程為SKIPIF1<0．(2)由題意知，過(guò)點(diǎn)F的直線PQ的斜率存在且不為0，可設(shè)其方程為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．則直線SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為SKIPIF1<0．角度2：橢圓中存在定點(diǎn)滿(mǎn)足某條件問(wèn)題典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓SKIPIF1<0的兩焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為SKIPIF1<0．(1)求橢圓SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；(2)橢圓SKIPIF1<0上是否存在一點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0?若存在，求SKIPIF1<0的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0;(2)不存在，理由見(jiàn)解析.（1）由焦點(diǎn)坐標(biāo)知SKIPIF1<0，由短軸端點(diǎn)SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故所求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0.（2）假設(shè)橢圓C上存在一點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，此方程無(wú)解.故橢圓上不存在點(diǎn)P，使得SKIPIF1<0.例題2．（2022·北京市十一學(xué)校高二期末）已知橢圓C：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的右頂點(diǎn)為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0為其上一點(diǎn).(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程及離心率；(2)SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0上異于左右頂點(diǎn)的一點(diǎn)，線段SKIPIF1<0的中垂線交SKIPIF1<0軸于點(diǎn)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0為等邊三角形，求SKIPIF1<0點(diǎn)橫坐標(biāo).【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)B點(diǎn)橫坐標(biāo)SKIPIF1<0.(1)由題設(shè)，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0在橢圓上，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以橢圓C的方程SKIPIF1<0，故離心率為SKIPIF1<0.(2)令SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0中點(diǎn)為SKIPIF1<0，中垂線斜率SKIPIF1<0，故線段SKIPIF1<0的中垂線為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0為等邊三角形，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍），所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，經(jīng)驗(yàn)證SKIPIF1<0為等邊三角形，滿(mǎn)足題設(shè)；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，經(jīng)驗(yàn)證SKIPIF1<0為等邊三角形，滿(mǎn)足題設(shè)；所以SKIPIF1<0橫坐標(biāo)為SKIPIF1<0.例題3．（2022·河南許昌·高二期末（文））已知雙曲線SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，右焦點(diǎn)SKIPIF1<0與點(diǎn)SKIPIF1<0的連線與其一條漸近線平行.(1)求雙曲線SKIPIF1<0的方程；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0的右支交于點(diǎn)SKIPIF1<0?SKIPIF1<0，試問(wèn)是否存在一定點(diǎn)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0恒成立，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)存在，SKIPIF1<0(1)設(shè)SKIPIF1<0，由條件知SKIPIF1<0的斜率等于SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0雙曲線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0.(2)存在點(diǎn)SKIPIF1<0滿(mǎn)足SKIPIF1<0恒成立，且點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上.理由如下:設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0設(shè)直線SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0,消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由韋達(dá)定理得SKIPIF1<0，①,SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，SKIPIF1<0?SKIPIF1<0的斜率之和為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以代入整理得：SKIPIF1<0，③將①②代入③可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0,④SKIPIF1<0④式對(duì)任意實(shí)數(shù)SKIPIF1<0都成立，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,即存在點(diǎn)SKIPIF1<0滿(mǎn)足SKIPIF1<0恒成立，且點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上.同類(lèi)題型歸類(lèi)練1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓C：SKIPIF1<0的左右頂點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，右焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在橢圓上.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)SKIPIF1<0為橢圓上不與SKIPIF1<0重合的任意一點(diǎn)，直線SKIPIF1<0分別與直線SKIPIF1<0相交于點(diǎn)SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)證明見(jiàn)解析（1）由題知：SKIPIF1<0，將點(diǎn)SKIPIF1<0代入方程得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0.（2）由(1)知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓SKIPIF1<0的左右頂點(diǎn)是雙曲線SKIPIF1<0的頂點(diǎn)，且橢圓SKIPIF1<0的上頂點(diǎn)到雙曲線SKIPIF1<0的漸近線距離為SKIPIF1<0．(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)點(diǎn)F為橢圓的左焦點(diǎn)，不垂直于x軸且不過(guò)F點(diǎn)的直線l與曲線SKIPIF1<0相交于A、B兩點(diǎn)，若直線FA、FB的斜率之和為0，則動(dòng)直線l是否一定經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)？若存在這樣的定點(diǎn)，則求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在這樣的定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)存在，SKIPIF1<0.(1)雙曲線SKIPIF1<0的頂點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0，漸近線方程為SKIPIF1<0，依題意，SKIPIF1<0，橢圓上頂點(diǎn)為SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以橢圓的方程為SKIPIF1<0．(2)依題意，設(shè)直線l的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0消去y并整理得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線FA、FB的斜率之和為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，否則SKIPIF1<0，直線l過(guò)F點(diǎn)，因此當(dāng)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時(shí)，直線l與橢圓SKIPIF1<0交于兩點(diǎn)，直線l：SKIPIF1<0，所以符合條件的動(dòng)直線l過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0．3．（2022·上海中學(xué)東校高二期末）已知橢圓的C的方程：SKIPIF1<0．(1)設(shè)P為橢圓C異于橢圓左右頂點(diǎn)SKIPIF1<0上任一點(diǎn)，直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，試證明SKIPIF1<0為定值．(2)求橢圓中所有斜率為1的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程．(3)設(shè)橢圓上一點(diǎn)SKIPIF1<0，且點(diǎn)M，N在C上，且SKIPIF1<0，D為垂足．證明：存在定點(diǎn)Q，使得SKIPIF1<0為定值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0為定值.(1)設(shè)SKIPIF1<0，因?yàn)镻為橢圓C上一點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0為定值SKIPIF1<0.(2)設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0，②①減②得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.由于弦中點(diǎn)軌跡在已知橢圓內(nèi)，聯(lián)立SKIPIF1<0故斜率為SKIPIF1<0的平行弦中點(diǎn)的軌跡方程：SKIPIF1<0(3)設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0，若直線SKIPIF1<0斜率存在時(shí)，設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0，代入橢圓方程消去SKIPIF1<0并整理得：SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0,代入整理可得：SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0，整理化簡(jiǎn)得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0不在直線SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以直線過(guò)定點(diǎn)直線過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0.當(dāng)直線SKIPIF1<0的斜率不存在時(shí)，可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，結(jié)合SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍）.此時(shí)直線SKIPIF1<0過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，即SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不重合，則由題設(shè)知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的斜邊，故SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合，則SKIPIF1<0，故存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0為定值.4．（2022·上?！じ裰轮袑W(xué)高二期末）已知橢圓SKIPIF1<0，過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0的直線交橢圓于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，其中SKIPIF1<0.(1)若橢圓短軸長(zhǎng)為SKIPIF1<0且經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，求橢圓方程；(2)對(duì)（1）中的橢圓，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面積的最大值，并求此時(shí)直線SKIPIF1<0的方程；(3)若直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸不垂直，問(wèn)：在SKIPIF1<0軸上是否存在點(diǎn)SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0恒成立？如果存在，求出SKIPIF1<0的關(guān)系；如果不存在，說(shuō)明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0面積的最大值為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(3)存在，SKIPIF1<0(1)SKIPIF1<0橢圓短軸長(zhǎng)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0橢圓方程為SKIPIF1<0；SKIPIF1<0點(diǎn)SKIPIF1<0在橢圓上，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0橢圓方程為SKIPIF1<0.(2)由題意可設(shè)直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)），SKIPIF1<0面積的最大值為SKIPIF1<0，此時(shí)直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.(3)SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸不垂直，可設(shè)直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0軸上存在點(diǎn)SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0恒成立，此時(shí)SKIPIF1<0.題型二：雙曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題角度1：雙曲線中的直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題典型例題例題1．（2022·江蘇·高二期末）已知雙曲線SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，兩條準(zhǔn)線間的距離為SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)斜率為SKIPIF1<0的直線l過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，且直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的兩支分別交于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①求SKIPIF1<0的取值范圍；②若SKIPIF1<0是點(diǎn)SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，證明：直線SKIPIF1<0過(guò)定點(diǎn).【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)①SKIPIF1<0；②證明見(jiàn)解析．(1)由已知得SKIPIF1<0

可得SKIPIF1<0

，又雙曲線中SKIPIF1<0，所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：SKIPIF1<0．(2)設(shè)直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，消去y可得，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①因?yàn)橹本€與雙曲線交于兩支，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0；②設(shè)SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即直線AD過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0.例題2．（2022·安徽·高二期末）設(shè)直線SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）與雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的兩條漸近線分別交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的值；(2)與坐標(biāo)軸不垂直的直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的右焦點(diǎn)，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點(diǎn)共線，證明：直線SKIPIF1<0經(jīng)過(guò)SKIPIF1<0軸上的一個(gè)定點(diǎn).【答案】(1)m=1(2)證明見(jiàn)解析(1)雙曲線C：SKIPIF1<0（m>0）的漸近線方程為SKIPIF1<0，不妨設(shè)點(diǎn)A在x軸上方，則A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（m，SKIPIF1<0m）和（m，-SKIPIF1<0m），所以SKIPIF1<0

解得m=1.(2)由（1）知C：SKIPIF1<0，則F的坐標(biāo)為（2，0），設(shè)l與x軸交于點(diǎn)（p，0），則l的方程為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），設(shè)SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0.聯(lián)立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由題可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0，F(xiàn)，N三點(diǎn)共線，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0因?yàn)閗≠0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，

所以直線l經(jīng)過(guò)x軸上的定點(diǎn)SKIPIF1<0例題3．（2022·廣東深圳·高二期末）已知圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，圓N：SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，一動(dòng)圓與圓SKIPIF1<0內(nèi)切，與圓SKIPIF1<0外切，動(dòng)圓的圓心SKIPIF1<0的軌跡為曲線SKIPIF1<0．(1)求曲線SKIPIF1<0的方程；(2)已知點(diǎn)SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，且SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)過(guò)，SKIPIF1<0.(1)設(shè)圓E的圓心為SKIPIF1<0，半徑為r，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．由雙曲線定義可知，E的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)、實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線的右支，所以動(dòng)圓的圓心E的軌跡方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線l的方程為SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則直線l的方程為SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，與題意矛盾，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以直線l的方程為SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0．同類(lèi)題型歸類(lèi)練1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)Р與定點(diǎn)F(2，0)的距離和它到定直線l：SKIPIF1<0的距離之比是常數(shù)SKIPIF1<0，記P的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A(SKIPIF1<0，0)兩條互相垂直的直線分別與曲線E交于點(diǎn)M，N(異于點(diǎn)A)，求證：直線MN過(guò)定點(diǎn).【答案】(1)SKIPIF1<0(2)證明見(jiàn)解析(1)解：設(shè)P(x，y)，因?yàn)镻與定點(diǎn)F(2，0)的距離和它到定直線l：SKIPIF1<0的距離之比是常數(shù)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)得SKIPIF1<0，所以曲線E的方程為SKIPIF1<0.(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，當(dāng)直線MN斜率不存在，直線AM，AN分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，分別聯(lián)立SKIPIF1<0，解得M(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)，N(SKIPIF1<0，－SKIPIF1<0)，此時(shí)直線MN的方程為SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)(SKIPIF1<0，0)；當(dāng)直線MN斜率存在時(shí)設(shè)其方程為SKIPIF1<0，(SKIPIF1<0)由SKIPIF1<0，消去y得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)锳M⊥AN，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入化簡(jiǎn)得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，直線MN方程為SKIPIF1<0(不符合題意舍去)，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，直線MN方程為SKIPIF1<0，MN恒過(guò)定點(diǎn)(SKIPIF1<0，0)，綜上所述直線MN過(guò)定點(diǎn)(SKIPIF1<0，0).2．（2022·山西·懷仁市大地學(xué)校高中部高二階段練習(xí)）已知雙曲線的離心率為SKIPIF1<0，且該雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0.(1)求雙曲線C：SKIPIF1<0方程；(2)設(shè)斜率分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的兩條直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，且直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與雙曲線C分別交于A，B兩點(diǎn)（A，B異于點(diǎn)Q），若SKIPIF1<0，試判斷直線AB是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，若存在定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)過(guò)定點(diǎn)，（0，1）(1)離心率為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即雙曲線方程為SKIPIF1<0.又點(diǎn)SKIPIF1<0在雙曲線C上，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以雙曲線C的方程為SKIPIF1<0.(2)當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)A，B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，不符合題意，所以直線AB的斜率存在.不妨設(shè)直線AB的方程為SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，直線AB的方程為SKIPIF1<0，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，直線AB的方程為SKIPIF1<0，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0，不符合題意.綜上，直線AB過(guò)定點(diǎn)（0，1）.3．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）雙曲線SKIPIF1<0經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，且虛軸的一個(gè)頂點(diǎn)到一條漸近線的距離為SKIPIF1<0.（1）求雙曲線SKIPIF1<0的方程；（2）過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0的兩條直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0分別交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)不與SKIPIF1<0點(diǎn)重合)，設(shè)直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，證明：直線SKIPIF1<0過(guò)定點(diǎn).【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）證明見(jiàn)解析.（1）由題得雙曲線SKIPIF1<0的一條漸近線方程為SKIPIF1<0，虛軸的一個(gè)頂點(diǎn)為SKIPIF1<0，依題意得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，①又點(diǎn)SKIPIF1<0在雙曲線SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，②由①②解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以雙曲線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.（2）當(dāng)直線SKIPIF1<0的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0軸對(duì)稱(chēng)，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，不符合題意，所以直線SKIPIF1<0的斜率存在.不妨設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0，不符合題意.綜上，直線SKIPIF1<0過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0.角度2：雙曲線存在定點(diǎn)滿(mǎn)足某條件問(wèn)題典型例題例題1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線SKIPIF1<0的右焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，離心率為2，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的一條漸近線交于點(diǎn)P，且SKIPIF1<0．(1)求雙曲線SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)SKIPIF1<0為雙曲線SKIPIF1<0右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在SKIPIF1<0軸上是否存在定點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0？若存在，求出點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M存在，坐標(biāo)為SKIPIF1<0(1)根據(jù)雙曲線的對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)直線SKIPIF1<0與漸近線SKIPIF1<0的交點(diǎn)為P，則聯(lián)立SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由離心率SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：SKIPIF1<0