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文檔簡介
圓的有關(guān)性質(zhì)31.1.1圓
31.1.2垂直于弦的直徑
31.1.3弧、弦、圓心角
31.1.4圓周角我國古代,半坡人就已經(jīng)會造圓形的房頂了.大約
在同一時代,美索不達(dá)米亞人做出了世界上第一個輪
子——圓的木輪.很早之前,人們將圓的木輪固定在木
架上,這樣就成了最初的車子.2000多年前,墨子給
出圓的定義“一中同長也”,意思是說,圓有一個圓心,
圓心到圓周的長都相等.這個定義比古希臘數(shù)學(xué)家歐幾
里得給圓下的定義要早很多年.31.1.1圓
如圖,在一個平面內(nèi),線段
OA
繞它固定的一個端點
O
旋轉(zhuǎn)一周,另一個端點
A
所形成的圖形叫做圓.·rOA
固定的端點
O
叫做圓心;
線段
OA
叫做半徑;
以點
O
為圓心的圓,記作⊙O,讀作“圓O”.
圓的概念同心圓等圓圓心相同,半徑不同確定一個圓的兩個要素:一是圓心,二是半徑.半徑相同,圓心不同O
動態(tài):在一個平面內(nèi),線段
OA
繞它固定的一個端
點
O
旋轉(zhuǎn)一周,另一個端點
A
所形成的圖形叫做圓.
靜態(tài):圓心為
O、半徑為
r
的圓可以看成是所有到
定點
O
的距離等于定長
r
的點的集合.
經(jīng)過圓心的弦叫做直徑,如圖中的
AB.
連接圓上任意兩點的線段叫做弦,如圖中的AC.與圓有關(guān)的概念
弦COAB
圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧,每一條弧都叫做半圓.COAB
弧圓上任意兩點間的部分叫做圓弧,簡稱?。訟、B為端點的弧記作,讀作“圓弧AB”或“弧AB”.AB與圓有關(guān)的概念
劣弧與優(yōu)弧小于半圓的弧(如圖中的
)叫做劣?。瓵C大于半圓的?。ㄓ萌齻€字母表示,如圖中的)叫做優(yōu)?。瓵BCCOAB與圓有關(guān)的概念在同圓或等圓中,能重合的弧叫等?。然?/p>
1.判斷下列說法的正誤:(1)弦是直徑;(2)半圓是??;(3)過圓心的線段是直徑;(5)圓心相同,半徑相等的兩個圓是同心圓;(4)半圓是最長的弧;(6)半徑相等的兩個半圓是等?。痢獭痢痢痢倘鐖D,1400多年前,我國隋代建造的趙州石拱橋
主橋拱是圓弧形,它的跨度(弧所對的弦長)是37m,
拱高(弧的中點到弦的距離)為7.23m,求趙州橋主橋
拱的半徑(精確到0.1m).31.1.2垂直于弦的直徑垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條?。瓺OCAEB知二推三下列哪些圖形可以用垂徑定理?你能說明理由嗎?DOCAEBDOCAEB圖1圖2圖3圖4OAEBDOCAEBACDBO如圖,已知在兩同心圓⊙O中,大圓弦AB交小圓
于C,D,則AC
與BD
間可能存在什么關(guān)系?DOCAB變式1
如圖,若將AB
向下平移,當(dāng)移到過圓心時,結(jié)論
AC=BD
還成立嗎?DOCAB變式2
如圖,連接OA,OB,設(shè)AO=BO,求證:AC=BD.DOCAB變式3
連接OC,OD,設(shè)OC=OD,求證:AC=BD.DOCAB內(nèi)容:
垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧.
①構(gòu)造直角三角形,垂徑定理和勾股定理有機(jī)結(jié)合是計算弦長、半徑和弦心距等問題的方法.
②技巧:重要輔助線是過圓心作弦的垂線.重要思路:(由)垂徑定理—構(gòu)造直角三角形—(結(jié)合)勾股定理—建立方程.歸納小結(jié)教學(xué)目標(biāo):
1.了解圓心角的概念;
2.掌握在同圓或等圓中,兩個圓心角、兩條弧、兩
條弦中有一組量相等,就可以推出它們所對應(yīng)的
其余各組量也相等.教學(xué)重點:
同圓或等圓中弧、弦、圓心角之間的關(guān)系.31.1.3弧、弦、圓心角思考圓是中心對稱圖形嗎?它的對稱中心在哪里?·圓是中心對稱圖形,它的對稱中心是圓心,它具有旋轉(zhuǎn)不變性.N把圓O的半徑ON繞圓心O旋轉(zhuǎn)任意一個角度.
15°O性質(zhì)把圓O的半徑ON繞圓心O旋轉(zhuǎn)任意一個角度.NO15°N′
30°性質(zhì)把圓O的半徑ON繞圓心O旋轉(zhuǎn)任意一個角度.NO30°N′
60°性質(zhì)把圓O的半徑ON繞圓心O旋轉(zhuǎn)任意一個角度.NO60°N′
n°性質(zhì)把圓O的半徑ON繞圓心O旋轉(zhuǎn)任意一個角度.NOn°N′由此可以看出,點N′仍落在圓上.性質(zhì)把圓O的半徑ON繞圓心O旋轉(zhuǎn)任意一個角度.性質(zhì)NOn°N′性質(zhì):把圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個角度后,仍與原來
的圓重合.把圓O的半徑ON繞圓心O旋轉(zhuǎn)任意一個角度.性質(zhì)NOn°N′
我們把頂點在圓心的角叫做圓心角.如∠NON′是
圓O的一個圓心角.把圓心角等分成360份,則每一份的圓心角是1°,
同時整個圓也被分成了360份.則每一份這樣的弧叫做1°的?。?°的圓心角對著1°的弧,
1°的弧對著1°的圓心角.n°的圓心角對著n°的弧,
n°的弧對著n°的圓心角.性質(zhì):
弧的度數(shù)和它所對圓
心角的度數(shù)相等.性質(zhì)這樣,1°的弧1°n°的弧n°探究如圖,將圓心角∠AOB繞圓心O旋轉(zhuǎn)到∠AOB'
的位置,你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系?為什么?'∠AOB=∠AOB''ABOB'A'AB=''A
BAB=AB''同樣,還可以得到:在同圓或等圓中,如果兩條弧相等,那么它們所對的圓心角______
,
所對的弦______;在同圓或等圓中,如果兩條弦相等,那么它們所對的圓心角______,所對的弧______.這樣,我們就得到下面的定理:
在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等,所
對的弦也相等.
相等相等相等相等定理
同圓或等圓
中,兩個圓心角、
兩條弧、兩條弦
中有一組量相等,它們所對應(yīng)的其余各組量也相等.因為AB=CD,所以∠AOB=∠COD.又因為AO=CO,BO=DO,所以△AOB
≌△COD.又因為OE
、OF是AB與CD
對應(yīng)邊上的高,所以O(shè)E=OF.鞏固∠AOB=∠CODAB=CD如圖,AB、CD是⊙O的兩條弦:(1)如果AB=CD,那么________,______________;(2)如果=
,那么________,______________;(3)如果∠AOB=∠COD,那么________,_______;(4)如果AB=CD,OE⊥AB于E,OF⊥CD于F,OE
與OF相等嗎?為什么?ABCDAB=CDAB=CD∠AOB=∠CODAB=CD相等.ABCDEFO∴AB=AC,△ABC
等腰三角形.又∠ACB=60°,∴△ABC是等邊三角形,
AB=BC=CA.∴∠AOB=∠BOC=∠AOC.例題例1如圖,在⊙O
中,=,∠ACB
=60°.求證:∠AOB=∠BOC=∠AOC.ABAC證明:ABAC∵
=ABCO例2
如圖,AB
是⊙O
的直徑,=
=,∠COD=35°,求∠AOE的度數(shù).·AOBCDE解:CDBCDE∴∠BOC=∠COD=∠DOE=35°∴∠AOE=180°-3×35°=75°CDBCDE=
=∵例題
(1)本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容?
(2)圓心角、弧、弦之間有哪些關(guān)系?課堂小結(jié)教學(xué)目標(biāo):
1.了解并證明圓周角定理及其推論;
2.經(jīng)歷探究同弧(或等?。┧鶎A周角與圓心角之
間的關(guān)系的過程,進(jìn)一步體會分類討論、轉(zhuǎn)化的
思想方法.教學(xué)重點:
圓周角定理.31.1.4圓周角
思考和練習(xí)圖中∠ACB
的頂點和邊有哪些特點?AOBC頂點在圓上,并且兩邊都和圓相交的角叫圓周角.如:∠ACB.圖中∠ACB和∠AOB有怎樣的關(guān)系?探究BCOA探究BCOABCOA(1)在圓上任取
,畫出圓心角∠BOC和圓周角∠BAC,圓心角與圓周角有幾種位置關(guān)系?BCBCOA(2)如圖,如何證明一條弧所對的圓周角等于它
所對的圓心角的一半?證明猜想BCOA∵
OA=OC,∴∠A=∠C.
又∵∠BOC=∠A+∠C,∴我們來分析上頁的前兩種情況,第三種情況請同學(xué)們完成證明.(3)如圖,如何證明一條弧所對的圓周角等于它
所對的圓心角的一半?D證明猜想BCOA證明:如圖,連接AO并延長交⊙O于點D.∵
OA=OB,∴∠BAD=∠B.
又∵∠BOD=∠BAD+∠B,∴同理,∴證明猜想圓周角定理:一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.思考:一條弧所對的圓周角之間有什么關(guān)系?同弧或等弧
所對的圓周角之間有什么關(guān)系?同弧或等弧所對的圓周角相等.探究ADBCO思考:半圓(或直徑)所對的圓周角有什么特殊性?半圓(或直徑)所對的圓周角是直角,90°的圓周角所對的弦是直徑.探究C1AOBC2C3如圖,⊙O的直徑AB為10cm,弦AC為6cm,
ACB的平分線交⊙O于點D,求BC,AD,BD的長.應(yīng)用解:連接OD,AD,BD,
ACBDO∵AB是⊙O的直徑,∴
ACB=
ADB=90°.在Rt△ABC中,BC=
=
=8(cm)
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