2024屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：大題強(qiáng)化訓(xùn)練及變式訓(xùn)練11（新高考九省聯(lián)考題型）（解析版）

大題強(qiáng)化訓(xùn)練及變式訓(xùn)練(11)-2024屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題強(qiáng)化及變式訓(xùn)練(新高考九省聯(lián)考題型)(解析

版)

2024屆大題強(qiáng)化訓(xùn)練及變式訓(xùn)練(11)

1.如圖，四棱錐中，底面4BCD為矩形，1so，底面48。。,40=血,。。=5。=2,

點”在側(cè)棱SC上，ZABM=60°.

(1)證明：M是側(cè)棱SC的中點；

(2)求二面角S——5的正弦值.

變式：如圖，四棱錐S-42CD的底面為正方形，平面￡4。，平面4BCD,￡在勖上，且

AEVBC.

S

(1)證明：平面48C。；

(2)若￡4=48=2,戶為BC的中點，且即=J§,求平面/E/與平面S4D夾角的余弦值.

2.在梯形ABCD中，AD//BC,設(shè)NBAD=a,ZABD=p,已知

cos(tz-￡)=2sinfa+1)sin]/3+]j

⑴求NADB；

(2)若CD=2,AD=3,BC=4,求28.

變式：如圖，在中，AB=43,ZABC=A5°,ZACB=60°,點。在邊BC的延長線上.

BC

(1)求AASC的面積;

(2)若0=2夜，E為線段上靠近。的三等分點，求CE的長.

3.人的性格可以大體分為“外向型”和“內(nèi)向型”兩種，樹人中學(xué)為了了解這兩種性格特征與人的性

別是否存在關(guān)聯(lián)，采用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取90名學(xué)生，得到如下數(shù)據(jù)：

外向型內(nèi)向型

男性4515

女性2010

(1)以上述統(tǒng)計結(jié)果的頻率估計概率，從該校男生中隨機(jī)抽取2人、女生中隨機(jī)抽取1人擔(dān)任志愿

者.設(shè)這三人中性格外向型的人數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望.

(2)對表格中的數(shù)據(jù)，依據(jù)戊=0.1的獨(dú)立性檢驗，可以得出獨(dú)立性檢驗的結(jié)論是這兩種性格特征與

人的性別沒有關(guān)聯(lián).如果將表格中的所有數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為原來10倍，在相同的檢驗標(biāo)準(zhǔn)下，再用獨(dú)立性

檢驗推斷這兩種性格特征與人的性別之間的關(guān)聯(lián)性，得到的結(jié)論是否一致？請說明理由.

n(ad-be)2

附：參考公式：/=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.01

%2.7063.8416.635

變式：2023年7月28日，第三十一屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動會在成都隆重開幕.為慶祝大運(yùn)會的到來，有

A,B,C,…，J共10位跳水愛好者自發(fā)組建了跳水訓(xùn)練營，并邀請教練甲幫助訓(xùn)練.教練訓(xùn)練前

對10位跳水員測試打分，得分情況如圖中虛線所示；集訓(xùn)后再進(jìn)行測試，10位跳水員得分情況如圖中

實線所示，規(guī)定滿分為10分，記得分在8分以上的為“優(yōu)秀”.

優(yōu)秀人數(shù)非優(yōu)秀人數(shù)合計

訓(xùn)練前

訓(xùn)練后

合計

t得分

12---l--T--|---I--T--I---I--T--I---；

KABCDEFGHIJ跳家員

---訓(xùn)練前----訓(xùn)練后

(1)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并根據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗，判斷跳水員的優(yōu)秀情況與

訓(xùn)練是否有關(guān)？并說明原因；

(2)從這10人中任選3人，在這3人中恰有2人訓(xùn)練后為“優(yōu)秀”的條件下，求這3人中恰有1人是訓(xùn)練

前也為“優(yōu)秀”的概率；

(3)跳水員A將對“5米、7.5米和10米”這三種高度進(jìn)行集訓(xùn)，且在訓(xùn)練中進(jìn)行了多輪測試.規(guī)定：

在每輪測試中，都會有這3種高度，且至少有2個高度的跳水測試達(dá)到“優(yōu)秀”，則該輪測試才記為

“優(yōu)秀”.每輪測試中，跳水員A在每個高度中達(dá)到“優(yōu)秀”的概率均為5，每個高度互不影響且每

3

輪測試互不影響.如果跳水員A在集訓(xùn)測試中要想獲得“優(yōu)秀”的次數(shù)平均值達(dá)到3次，那么理論上至

少要進(jìn)行多少輪測試？

n(ad-be?

附:，其中〃=a+b+c+d.

(6Z+b)(c+d)(a+c)(6+d)

a0.050.010.0050.001

Xa3.8416.6357.87910.828

4.已知函數(shù)/(x)=xlnx-x2-1.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

19

(2)求證：f(x)<e*H—-----1；

XX

(3)若p〉0應(yīng)〉。且pq>l,求證：/(2)+/(q)<-4.

變式：已知函數(shù)/(x)=A:Inx+一(kGR).

ex

(1)若函數(shù)V=/(x)為增函數(shù)，求左的取值范圍；

(2)已知0＜石＜%2.

eex

(i)證明：——--＞i4----9;

e2e1%

(ii)若?=孕=左，證明：|/(%)一

e1e2

5.已知雙曲線?！?搞=1(4〉0/>0)的兩條漸近線分別為/],/2，。上一點4(4,網(wǎng)到/],/2的距離之

4

積為t一.

5

(1)求雙曲線。的方程；

(2)設(shè)雙曲線C的左、右兩個頂點分別為4,4，7為直線/:x=l上的動點，且T不在％軸上，直線

以1與。的另一個交點為直線。42與。的另一個交點為N,直線與％軸的交點為尸，直線/

與的的交點為。，證明\PM扁\=\Q局M.\

變式：如圖，。為坐標(biāo)原點，尸為拋物線_/=2x的焦點，過戶的直線交拋物線于43兩點，直線

20交拋物線的準(zhǔn)線于點。，設(shè)拋物線在8點處的切線為/.

⑴若直線/與了軸的交點為￡,求證：|。同=國戶|；

(2)過點8作/的垂線與直線49交于點G,求證：|4D|2=MOHNG|.

2024屆大題強(qiáng)化訓(xùn)練及變式訓(xùn)練（11）

1.如圖，四棱錐S-N8C。中，底面4BCD為矩形，1so，底面48。。,40=血,。。=5。=2,

點M在側(cè)棱SC上，AABM=60°.

（1）證明：M是側(cè)棱SC的中點；

（2）求二面角S——8的正弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）里.

3

【分析】3作MEHCD,連接ZE,作破，48，則4FME為矩形，由此利用幾何關(guān)系求得

ME=-DC,即可證明；

2

（2）解法一：由已知推導(dǎo)出△48〃為等邊三角形，取取NM中點G,連結(jié)8G,取S4中點打，連

結(jié)GH,利用二面角定義可得/5G8為二面角S-W-8的平面角，利用余弦定理求得余弦值，再

利用同角三角函數(shù)關(guān)系求得正弦值即可；

解法二：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的垂直的條件列方程組求得二面角的兩個半平面所在平

面的法向量，然后利用向量的夾角坐標(biāo)運(yùn)算公式求得法向量的夾角余弦值，進(jìn)而利用平方關(guān)系求得正

弦值.

【解析】C）作MEIICD交SD千點、E,則班〃因為四邊形Z3CD是正方形，所以

DCLAD.

又平面48CD,DCu平面4BCD,所以SDJ_DC.

因為4D，SDu平面S4D,ADr\SD=D,所以。C,平面

又MEIICD,所以平面S/D,

連接4E,/Eu平面S4D,所以則四邊形48ME為直角梯形，

s

AFB

作48,足為F,則4FME為矩形，

設(shè)九化=x,則SE=x,AE=JED?+.=J（2—+2，

MF=AE=42-x）2+2,FB=2-x>

由"F=必?tan60°，得"Qf+2=g（2-x）,

解得x=l,即ME=1,從而ME=LDC,所以M為側(cè)棱SC的中點.

2

（2）解法一：因為四邊形48CD是正方形，所以。CL5C,又SD,平面4BCD,

8Cu平面48cD,所以SQL5C.因為。C,SDu平面SZO,DC^SD=D,

所以3c/平面SCD，又SC,平面SCD,所以BCSC,則M8=1"+眥2=2，

又NABM=6U,AB=2,A48河為等邊三角形.

又由（1）知"為SC中點，SM=0SA=m,AM=2,

所以"2=SM2+AM2,ZSMA=90°,

取4〃中點G,連結(jié)3G,取1s4中點”，連結(jié)G8,則86,4攸,68_14攸，

由此知N5GH■為二面角S-ZM—8的平面角，由（1）知班，平面又MEIIAB,

所以A81平面/Su平面所以4BL/S,連結(jié)BH，

在NBGH中，BG=—AM=s/3,GH=-SM=—,BH=AB2+AH2=變，

2222

所以cosZBGH=BG-+GH-BH-=_逅.所以二面角S—.—8的正弦值為

2BG-GH3

解法二：以。為坐標(biāo)原點，百，皮，痂方向為x，〉，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），

Z/

易知，（也,0,0）,3（板,2,0）,S（0,0,2）,M（0,l,l）,

布=卜"1,1),方=(0,2,0),通=(-?0,2卜

AS-n=0-sp2,x+2z=0

令平面S4M的法向量為拓=（x,y,z）,貝卜—.，即《

AM-ii=0-y/2x+y+z=0

令z=l,得萬=(0,1,1).

/、m-AB=Q[26=06=0

設(shè)平面/崎法向量為成=(a,仇c),由_.得〈廠，化簡得《

m?AM=072a+b+c=0c=42a

令a=l,得應(yīng)=（1,0,、匯），令二面角S——8的大小為。,

272_V6

貝乖。=

m|-|nA/3-2-3

V3

故二面角S-AM-B的正弦值為為sin。=

3

變式：如圖，四棱錐S-/8C。的底面為正方形，平面￡4。，平面N3CD,E在SS上，且

AE^BC.

（1）證明：S4_L平面48CD；

（2）若￡4=48=2,尸為BC的中點，且即=J§,求平面/E/與平面夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析(2)一

6

【分析】（1）由已知可證3cl平面S43,得S4_L4D,由平面S4DJ_平面48CD的性質(zhì)，可證

S4J_平面ABCD:

（2）S4,/。,48兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，由已知求出￡點坐標(biāo)，向量法求兩個平面夾角的

余弦值.

【解析】（1）解法一：

因為2C_L四，BCLAE,AEcAB=A,平面”3,

所以8c人平面S1B,

又￡4u平面S4B,所以8cLs4,

又BCHAD,所以

又平面S4D_1_平面48c。，平面￡4。c平面488=40,"<=平面"。，

所以￡4,平面48CD

解法二：

因為2。_1謖，BCLAE,AEcAB=A,A8<z平面&48,

所以8c人平面S43,

又￡4u平面S4B,所以8cLs4,

因為平面ABCD工平面S4D,平面ABCDc平面SAD=AD,AB1AD,

48u平面45CD,所以481平面

又￡4u平面S4D,所以48J_S4,

又BCC4B=B,平面BC,48u平面/BCD,

所以￡4,平面48CD.

（2）解法一工

由（1）得BC上平面S4B,又S5u平面￡45,所以5CLS8,

因為BF=1,EF=退,所以BE=也，

因為S4_L平面48CD,4Bu平面48CD,所以S4L48,

又SA=AB=2,所以S3=2收，所以=

由（1）知”,40,48兩兩垂直，如圖，以點A為原點，分別以48,/。,/S所在直線為x軸，了軸，

z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則4（0,0,0）,S（0,0,2）,3（2,0,0）,E（l,0,1）,尸（21,0）.

所以通=（1,0,1）,萬=（2,1,0）,

顯然平面&4D的一個法向量或=（1,0,0），

一/.n,±AE

設(shè)平面4E戶的法向量為〃2=（'）/）,貝叫——.

%?AE=x+z=0—/、

即「一，取x=l,則〃2=。,—2,—1）,

n2?AF=2x+y=0

——%1A/6

==

所以COS〃I，〃2=1=77=1~77~T

設(shè)平面AEF與平面SAD的夾角為0,則cos。=卜os%,%卜~~，

所以平面AEF與平面SAD夾角的余弦值為

解法二:

由（1）知S4,40,48兩兩垂直，如圖，以點A為原點，分別以48,/。,4s所在直線為x軸，了軸,

z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則S（0,0,2）,3（2,0,0）,E（2,1,0）.

設(shè)豆=%豆（0<%<1）,則於=赤+豆=（0,0,2）+2（2,0,-2）=（22,0,2-22）,

所以麗=靜一次=（2,1,0）—（2%,0,2-24）=（2-22,1,22-2）,

_____13

由EF=0>,得J（2_24）2+I+（2：_2）2=百，解得％=5，或％=5（舍去），

所以E（l,0,l）,

所以就=（1,0,1）,萬=（2,1,0）,

顯然平面的一個法向量E=(1,0,0),

,------?----------?

n_LAE

設(shè)平面4E戶的法向量為元=(x,y,z),貝卜2

n2_LAF

.--?---?

n2-AE=x+z=0

即《，取X=1,則a=(1,-2,-1),

n2,AF=2x+y=0

%%_1_A/6

貝(JCOS〃1，〃2-

V6

設(shè)平面/￡尸與平面54。的夾角為夕，貝hose=|cos%]二6

所以平面AEF與平面SAD夾角的余弦值為逅.

6

2在梯形ABCD中，ADHBC設(shè)ABAD=aZABD=/3,已知

71

cos(a一耳)=2sin?fsmk|.

++3

(1)求NADB；

(2)若CD=2,40=3,BC=4,求

7T

【答案】(1)-⑵V3

6

【分析】(1)借助兩角和與差的正弦公式、兩角和與差的余弦公式化簡所給式子可得

tan(a+Q)=—g，結(jié)合圖形可得a+4=兀一44外,即可得

(2)借助正弦定理與余弦定理計算即可得.

【解析】(1)cos[a-]3)=cosacos/3+sinasin/3,

(1.V3

2sin|a+gsmY=2—sma+——cosa-sin^+—cos/?

(22227

=2；sinasin尸+手sinacos夕+手sin/?cosa+|cosacosp、

7

即2cosacos/7+2sinasin,=sinasin/?+Gsinacos,+6sincosa+3cosacos0,

即sinasin(3-cosacos￡=6(sinacos,+sin,cosa),

即一cos(a+/?)=抬"sin(a+/?),即tan(a+/?)=_]

—，即tanZADB=旦

又a+/?=兀_ZADB,故tan(7i-/4DB)=-

33

又2408?(0,兀)，故N/D8=巴;

6

TT

(2)由4O/A8C,故NDBC=NADB=—

6

CDBC

由正弦定理可得------

sinZDBCsinZ5DC

4xl

即./RMBC-sinZDBC.

smZBDC=------------=-=1

CD2

故/3℃=事，則BD=J"—CD?="2-2?=26，

由余弦定理可得AB~=AD-+BD2-2AD-BDcosZABD，

即次=9+12-18=3,故AB=5

B

變式：如圖，在入45c中，AB=5N4BC=45°,ZACB=60°,點。在邊3C的延長線上.

A

E

BCD

（1）求AASC的面積；

⑵若CD=2?，E為線段上靠近。的三等分點，求CE的長.

【答案】（1）（2）CE=^-

43

【解析】（1）“8C中，一絲一=/￡=31_==1已=/。=后,

sinZACBsin5sin60°sin45°

因為N48C=45°,ZACB=60°,

所以ZBAC=180°-45°-60°=75°

因為sinNH/C=sin（45°+60°）=sin45°cos600+cos45°sin60°

6\也也布+后

=-----x—H-------X-----=--------------，

22224

所以S&ABC=LAB，AC-sinNBAC=LX也乂血乂^^=?

2244

（2）方法1：因為E為線段上靠近。的三等分點，

—■2—?

所以/￡=—4D,

3

__1_________________________________________________?

所以屈=而+詬=曰+§礪=0+§（而—也）=§而+]函,

--*21/--*2---*2--------*

所以C￡=-\CA+4CQ+2C42GD

9\

￡

9

則0￡=叵.

3

方法2：在八4。。中，由余弦定理得4C>2=C42+a）2_2C4-cocos"CD

=2+8-2.萬2萬萬cosl20o=14nAe>=，

因為E為線段AD上靠近D的三等分點，

所以

3

AD

m因斗為，--4-c-V2V14

sin。sinZACDsinDsin120°

所以sin￡>=斗，

2V7

因為。為銳角，

所以cos。=71-sin2D=J1--=廣,

\28277

在ACDE中，由余弦定理得，

14i—/l-4526

222A

CE=DC+DE-2DCDCcosD=8+-——2x2"義-—x,

932779

所以0￡=也.

3

3.人的性格可以大體分為“外向型”和“內(nèi)向型”兩種，樹人中學(xué)為了了解這兩種性格特征與人的性

別是否存在關(guān)聯(lián)，采用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取90名學(xué)生，得到如下數(shù)據(jù):

外向型內(nèi)向型

男性4515

女性2010

（1）以上述統(tǒng)計結(jié)果的頻率估計概率，從該校男生中隨機(jī)抽取2人、女生中隨機(jī)抽取1人擔(dān)任志愿

者.設(shè)這三人中性格外向型的人數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望.

（2）對表格中的數(shù)據(jù)，依據(jù)a=0.1的獨(dú)立性檢驗，可以得出獨(dú)立性檢驗的結(jié)論是這兩種性格特征與

人的性別沒有關(guān)聯(lián).如果將表格中的所有數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為原來10倍，在相同的檢驗標(biāo)準(zhǔn)下，再用獨(dú)立性

檢驗推斷這兩種性格特征與人的性別之間的關(guān)聯(lián)性，得到的結(jié)論是否一致？請說明理由.

n(ad-be)?

附：參考公式：力2=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.01

Xa2.7063.8416.635

【答案】（1）—（2）結(jié)論不一致，理由見解析

6

【分析】（1）法一：根據(jù)獨(dú)立事件乘法公式，結(jié)合數(shù)學(xué)期望公式進(jìn)行求解即可；法二：根據(jù)二項分布

的定義和數(shù)學(xué)期望公式進(jìn)行求解即可.

（2）根據(jù)所給的公式進(jìn)行運(yùn)算求解即可.

3

【解析】（1）由統(tǒng)計結(jié)果可知，外向型男生在所有男生中占比為一，外向型女生在所有女生中占比

為：，

故從該校男生中隨機(jī)抽取一人為外向型男生的概率是二3，從該校女生中隨機(jī)抽取一人為外向型女生的

4

2

概率是

法一：X的所有可能取值為0,1,2,3.

則尸（X=0）=LQ（X=l）="x#+5x|=1,

尸（X=2）=用x（+C；x汨xg=尸（X=3）=審xg=|，

ii21313

所以E（X）=0x—+lx—+2x—+3x—=」

4864886

法二：從該校男生中隨機(jī)抽取2人，抽到性格外向型的人數(shù)記為乂；

從該校女生中隨機(jī)抽取1人，抽到性格外向型的人數(shù)記為公，

3322

所以￡（乂）=2、4=5r（丹）=lx§=§，

3713

所以雙幻=名（匕+功=磯乂）+￡化）=+行=”.

（2）零假設(shè)為〃°：這兩種性格特征與人的性別無關(guān)聯(lián).

由所獲得的所有數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為原來10倍，可知

900x(450x100-150x200)2

z2—X6.923>2.706=

600x300x650x25013

依據(jù)a=0.1的獨(dú)立性檢驗，可以推斷這兩種性格特征與人的性別有關(guān)聯(lián)，與原來的結(jié)論不一致，

原因是每個數(shù)據(jù)擴(kuò)大為原來的10倍，相當(dāng)于樣本量變大為原來的10倍，導(dǎo)致推斷結(jié)論發(fā)生了變化.

變式：2023年7月28日，第三十一屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動會在成都隆重開幕.為慶祝大運(yùn)會的到來，有

A,B,C,…，J共10位跳水愛好者自發(fā)組建了跳水訓(xùn)練營，并邀請教練甲幫助訓(xùn)練.教練訓(xùn)練前

對10位跳水員測試打分，得分情況如圖中虛線所示；集訓(xùn)后再進(jìn)行測試，10位跳水員得分情況如圖中

實線所示，規(guī)定滿分為10分，記得分在8分以上的為“優(yōu)秀”.

優(yōu)秀人數(shù)非優(yōu)秀人數(shù)合計

訓(xùn)練前

訓(xùn)練后

合計

。得分

12------------I--T--I--------I--T--I--------：

OABCDEFGHIJ跳汞員

---訓(xùn)練前----訓(xùn)練后

(1)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并根據(jù)小概率值。=0.01的獨(dú)立性檢驗，判斷跳水員的優(yōu)秀情況與

訓(xùn)練是否有關(guān)？并說明原因；

(2)從這10人中任選3人，在這3人中恰有2人訓(xùn)練后為“優(yōu)秀”的條件下，求這3人中恰有1人是訓(xùn)練

前也為“優(yōu)秀”的概率；

(3)跳水員A將對“5米、7.5米和10米”這三種高度進(jìn)行集訓(xùn)，且在訓(xùn)練中進(jìn)行了多輪測試.規(guī)定：

在每輪測試中，都會有這3種高度，且至少有2個高度的跳水測試達(dá)到“優(yōu)秀”，則該輪測試才記為

“優(yōu)秀”.每輪測試中，跳水員A在每個高度中達(dá)到“優(yōu)秀”的概率均為,，每個高度互不影響且每

3

輪測試互不影響.如果跳水員A在集訓(xùn)測試中要想獲得“優(yōu)秀”的次數(shù)平均值達(dá)到3次，那么理論上至

少要進(jìn)行多少輪測試？

2

小2n(ad-be)廿q,

附：力=------------------------，其中〃=a+b7+c+d.

“(a+b)(c+d\a+c)(b+d)

a0.050.010.0050.001

Xa3.8416.6357.87910.828

3

【答案】(1)列聯(lián)表見解析，有關(guān)，原因見解析(2)-(3)12輪

7

【分析】(1)根據(jù)卡方的計算即可求解，

(2)根據(jù)條件概率的計算公式即可求解，

(3)根據(jù)二項分布的期望公式，列不等式即可求解.

【解析】(1)零假設(shè)〃0：假設(shè)跳水員的優(yōu)秀情況與訓(xùn)練無關(guān)?

列聯(lián)表為：

優(yōu)秀人數(shù)非優(yōu)秀人數(shù)合計

訓(xùn)練前2810

訓(xùn)練后8210

合計101020

220x(4—64)236「

z2=-----------=——=7.2>6.635，

10x10x10x105

故根據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗，零假設(shè)不成立，即跳水員的優(yōu)秀情況與訓(xùn)練有關(guān)，此推斷犯

錯誤的概率不超過0.01.

(2)由圖可知：訓(xùn)練前后均不優(yōu)秀的有C,戶共2人，訓(xùn)練前后均優(yōu)秀的有D,G共2人，訓(xùn)練前不

優(yōu)秀而訓(xùn)練后優(yōu)秀的有6人，

設(shè)幺=”所選3人中恰有2人訓(xùn)練后為優(yōu)秀”，B="所選3人中恰有1人訓(xùn)練前為優(yōu)秀”，

則尸(40c=1-C^1-C^1,尸(4)c2=C1,，.?.，尸，、=C1C1C13

Mo5%'

(3)設(shè)跳水員A每輪測試為優(yōu)秀的概率為P,則尸=.

UJ327

設(shè)A測試次數(shù)為“，則優(yōu)秀的次數(shù)X?5(〃,p),

RQi

故E(X)="?3n心U11.6,

277

故至少需進(jìn)行12輪測試.

4.已知函數(shù)/(x)=xlnx-x2一1.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

12

(2)求證：/(x)<eH--1；

⑶若0>0應(yīng)>0且09>1,求證：〃P)+/(q)<-4.

【答案】(1)/(X)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減(2)證明見解析(3)證明見解析

【分析】⑴求/'(X),令=求才'(X),討論/(X)的大小可證得/(x)max=彳；]<0，

即r(x)<o,即可得出〃X)的單調(diào)性;

121212

(2)法一*：要證f(x)<e—-----1,即證------Fx>0,記/z(x)=e，H-----Fx,

')x2Xx2xV7X2X

討論,(x)的單調(diào)性和最值即可證明；法二：通過構(gòu)造函數(shù)結(jié)合已知條件放縮要證

f(x\<QH--------1即證-------blNO即可.

')/XX2X

(3)法一：由(1)可知/(x)為減函數(shù)，所以/(夕)</-,要證/(p)+/(q)<-4即證

\P)

f(p)+f-<-4,構(gòu)造函數(shù)證明即可；法二：先證-即

f(p)<-p-l,f(q)<-q-l,則/(夕)+/([)<—夕一q—2,再結(jié)合基本不等式即可證明.

【解析】⑴f(x)的定義域為(0,+叫，f'(x)=]nx-2x+l,

記f(x)==--2=-——)

當(dāng)時，/(x)〉0/(x)單調(diào)遞增；當(dāng)xe(；,+oo1寸，/(%)<0/(%)單調(diào)遞減,

所以/(x)max=(；)=Tn2<0,即/'(x)<0,

所以/(x)在區(qū)間(0,+“)上單調(diào)遞減.

(2)法一：先證/(%)(一工一1,記g(x)=/(x)+x+l,

貝!Jg(x)=xiwc-x2+x=x(lnx-x+l),

記加(x)=Inx-x+1,則加(%)=工一1,所以工￡(0,1)時,"(x)>0,加(x)遞增；

xG(1,+GO)時，m"(x)<0,m(x)遞減.

所以加(X)max=機(jī)。)=0，所以加(X)WO,又X>0,所以g(%)V0,故/(X)W—X-1

[21212

再證e*H—2-----1〉-%—1，即證e"H—z----1-x>0>i己/2(x)=e“H—z----Fx,

XXXXXX

則=e~x+x-l+^—-ij>e~x+x-l?

記夕(%)二尸+'-1,則P'(％)=1-尸〉0,所以P(x)在X￡(0,+8)遞增，

12

所以p(x)〉P(0)=0,所以%(x)〉0,即?一“+-y----1>-x-1,

XX

19

所以/(x)<e%H—-----1.

法二：構(gòu)造函數(shù)/z(%)=e"-％-1(%>0)”(%)=e"-1,

當(dāng)了〉0時,單調(diào)遞增,/z(x)>/z(O)=O,所以e*>1+1，

構(gòu)造函數(shù)"(x)=lnx-x+l,^(x)=—-1,

當(dāng)x￡(0,1)時，"(%)>0,9(%)單調(diào)遞增;當(dāng)％￡(L+00)時，9'(、)<0,9(%)單調(diào)遞減.

所以。(x)max=。(1)=。，即。(x)?0,即InxVx—1成立.

所以/(%)=x\wc-x2-l<x(x-l)-x2-l=-x-l,

121212

所以evH------1>—x+1-1-------]=------x,

XXXXXX

1212(\V

則只需證明-.....X>—X—1,即------F1>0,而—120顯然成立，

XXXXyx)

12

所以/(x)<e%H------1.

XX

(3)法一：由(2)知次(x)=lnx-x+l的最大值為0.

因為p>0國>0且pq>1,則夕過之中至少有一個大于1,

1…

不妨設(shè)夕〉1,則夕〉5〉0,由(1)可知/(X)為減函數(shù)，所以

所以/(〃)+/(4</(P)+/—，

\P)

(iAiif1V

因為/(77)+f~=pl叩一夕2—l+—ln———-1

\P)PP\P)

(i\(iV(or

=plip-p----4=p-----ln/7-p-\------4,

\P)\P)l〃八P)

記s(p)=l叩一P+，,則s(p)=加(〃)+工一1(L—l<0,

1<iA、

因為P〉1,所以P>G，所以/(〃)+/—<-4,所以/(p)+/g)<-4.

法二：先證/(%)?_%一］,記g(x)=/(x)+x+1,

則S(%)-%1nx-x2+x=x(lnx-x+l),

記加(x)=lax-x+1,則/(%)=工一1,所以上￡(0,1)時,加(%)遞增;

x

xe(l,+oo)時，<0?m(x)遞減.

所以加(X)max=加(1)=。，所以加(X)WO,又X〉0,所以g(%)V0,故/(%)《-工一1

所以/(2)《一夕一1，/(q)?一夕一1，

因為p〉0國〉0且pq〉1,

所以/(2)+/(9)<—2一9-2,

所以p+qN2和^〉2義\=2,所以一p—q<—2,則/(2)+/(^)<—2—2=—4.

變式：已知函數(shù)/(x)=左111%+1-(左￡R).

ex

(1)若函數(shù)V=/0)為增函數(shù)，求左的取值范圍；

(2)已知0"

(ii)若a=w=左，證明：

【答案】(1)(2)(i)證明見解析；(ii)證明見解析

xX

【分析】(1)分析可得原題意等價于左2二對Vx〉0恒成立，構(gòu)建例X)=F(X>0),利用導(dǎo)數(shù)求

e'e

最值結(jié)合恒成立問題運(yùn)算求解;

(2)⑴取后=L根據(jù)題意分析可得。一5>一山三，構(gòu)建g(x)=x—Inx—1,結(jié)合導(dǎo)數(shù)證明

QeeX]

—In—>1——即可；

再不

(ii)根據(jù)題意分析可得0<玉<1<七，=,/(%)=%詈里，構(gòu)建

Y1nY-L11

g(x)=---(x>0),結(jié)合導(dǎo)數(shù)證明0</(々)<—</(占)<1，即可得結(jié)果.

ee

i左1

【解析】(1)???/(x)=8nx+—(左wR),則/'(x)=--------(x>0),

exxex

ki

若/(%)是增函數(shù)，貝U/'(x)=------->0,

xex

X

且x>0,可得人2—，

ex

x

故原題意等價于左2下對Vx〉0恒成立，

e

丫1—丫

構(gòu)建0(x)=—(%>0),貝i」9'(x)=——(x>0),

exex

令0(x)>O,解得0<x<l；令夕'(x)<0,解得%>1；

則?(X)在(0,1)上遞增，在(1,+8)遞減，故火x)<e(l)=L,

e

???左的取值范圍為：，+")?

111

(2)(i)由(1)可知：當(dāng)左二上時，/(幻=①+—單調(diào)遞增,

eeex

*.*0</<%,則/(、2)〉/(玉)，即-In4——〉一InX]H——,

整理得-1——1->Inxl-Inx2=-In-,

e2e1演

ix—\

構(gòu)建g(x)=x_ln%_l,則g，(x)=l__=-----(x>0),

JCX

令g'(x)<0,解得0〈尤<1；令g'(x)>0,解得x〉l；

則g(x)在(0,1)上遞減，在(1,+8)遞增，

故g(x)=x—lnx-12g(l)=0，即一lnx21—x，當(dāng)且僅當(dāng)x=l時等號成立,

令x=」〉l,可得--,

可知/'(X)="-4=0有兩個不同實數(shù)根和工2，由(1)知0<再<1<%2，

xex

可得/(xj=kIn++=宏也毛+白=受：+1，

同理可得/(乙)=血里山，

e2

-z、xlnx+1八、e,/、(l-x)lnx/八、

構(gòu)建g(x)=-----一(zx>0),則g(x)=----；---(x>0),

ee

當(dāng)0cx<1時，(l-x)lnx<0；當(dāng)x〉l時，(l-x)lnx<0：當(dāng)x=l時，(l-x)lnx=0；

且e*>0，故g'(x)40對Vxe(0,+oo)恒成立，

故g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

,.10<^<1<%2,則g(》2)<g⑴<g(xj，即9@2)(一,

e

且Ini]>0,e』>0,則xJnX]+l〉0,故g?)=強(qiáng)生叱>0,

一e"2

可得0<f(x2)<--.

e

又???()<石<1,由(i)可得一In%]>1—石，即一1,

則須In須+1<%](玉一1)+1<1<eX1,

r,x.Inx,+11

且e項〉0，則」一r—<1，

eX1

可得L</(王)<1;

e

綜上所述：O</(X2)<J</(X1)<1.

e

可得--＜-/（x2）＜0,則O＜/（X1）-/（X2）＜1

e

故/（%）|=/（石）-

5.已知雙曲線。:/-，=1（。＞01＞0）的兩條漸近線分別為/1,/2，。上一點/卜，6）到4，/2的距離之

4

積為一.

5

（1）求雙曲線。的方程；

（2）設(shè)雙曲線C的左、右兩個頂點分別為4,4,7為直線/:x=l上的動點，且T不在X軸上，直線

a1與。的另一個交點為〃，直線刀心與。的另一個交點為N,直線與％軸的交點為尸，直線/

PMQM

與皿的交點為2,證明\扁\=\向.\

2

【答案】（1）上一y2=1（2）證明見詳解

4-

4Z?-V3?||14/?+V3a|4

【分析】（1）根據(jù)點到直線距離分別求出點A到小」的距離可得L1=即

J/+/J/+/5

16b2-3a2=a2b2,再結(jié)合點幺（4,6）在雙曲線上，從而可求解.

（2）分別設(shè)T（1,S）,M（XQJ,N（X2，%），求出相應(yīng)斜率后可得心&=；,再設(shè)直線

MN:x=my+t，然后與—~y2=l聯(lián)立利用韋達(dá)定理得到

4

（3（/+2）-6/+3（/-2））m2-8/+32=0,從而求得/=4,然后結(jié)合條件從而求解.

【解析】⑴因為川4,百）在［一＜=1上，則?一，=1①.

因為4,4的方程分別為-砂=O,bx+@=0.

4人-+

.②,

yja2+b2y]a2+Z?2

由①②解得Y=4,/=1,

所以雙曲線C的方程為三一/=1③.

4■

（2）因為4（一2,0）,4（2,0）,設(shè)T（l,s）,/（Xi，yJ,N（X2/2），

則kMA'=^+2==鼻，左“=e]=憶=A，

所以左隊=一3左M4]④，

2

因為白必?匕“二?'義\二J】J，

X]+2X]-2$一4

21

且〃在雙曲線上，貝1,代入上式得：kMA/kMAi=-f

3

把④代入上式得：左