2024年高考數(shù)學(xué)二模試題分類匯編（廣東專用）平面向量（三大題型原卷版）

2024年高考數(shù)學(xué)二模試題分類匯編（廣東專用）專題05平面向量（三

大題型原卷版）

專題05平面向量

3萍31

亞

B-+而

----44-

4

-石

11

瓦

4石

4-.-

2.（2024?廣東河源.模擬順測）如圖，在平行四邊形一"8中，"為5c的靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，.4C

與A/D相交于點(diǎn)尸，若4P=x43+jJD,則邛'=（）

34

C'4D'9

16

3.（2024.廣東肇慶模擬預(yù)測）已知等邊三角形.45。的邊長為2,尸為的中心，PE±AC,

垂足為E,貝”苑=（）

1—2——1—1——)UUD1UUEI

A.一一AB^-ACB.丁百萍D.-±AB^-AC

333633

4.（2024廣東梅州模擬預(yù)測）在一山C中,而+2①=6貝I（)

—2—1——1—4—

A..4D=-AB+-ACB.AD=-AB+-AC

3355

—1—2—

C..4D=-AB^-ACD.AD=AB——AC

333

題型02平面向量僦遑積運(yùn)算

1.（2024廣東佛山.二模）已知￡與否為兩個(gè)不共線的單位向量，則（)

A.a+“l(fā)aB.a±(a-b)

若（瓦

c.若,處=不則收。㈤弋D.4+4%貝U1㈤=3

2.（2024.廣東.模擬順測）已知.4Q0）,3（0-1）,P是曲線丁=小孑上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則麗.麗的最

大值是（）

A.2B.2&C.0+2D.72+1

3.（2024廣東深圳模擬預(yù)測）在“5。中，|?明=4,國|=3,陛+刀卜甌則就.前=（）

A.-16B.16C.-9D.9

4.（2024.廣東深圳二模）已知是夾角為12y的兩個(gè)單位向量，若向量￡+2%在向量々上的投影

向量為工，則2=（）

A.-2B.2C.-殛D.氈

33

5.（2024.廣東東莞模擬預(yù)測）已知非零向量瓦5滿足同=1萬若2>0,〃>0,貝卜父+422"

是“曲?固+5）=1"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.（2024?廣東東莞?二模）在-L5C中，AB=XC=2,BC=24,點(diǎn)尸在線段BC上?當(dāng)畫.麗取得

最小值時(shí)，PA=（）

A.?B.包C.1D.2

2244

7.（2024廣東清遠(yuǎn).二模）已知向量滿足|石［21=（2,0）,且|￡+否卜2,則GJ〉=（）

兀兀2兀5兀

A—R—C—D——

6336

8.（2024?廣東江門?二模）在d4BC中,乙4cB=90。，NC=a,BC="，尸是“5C內(nèi)一點(diǎn),PA=PC,

目zLPBC的面積是△R4C的面積的2倍，則可.而=（）

",

常

至-￡

-4_-4

2

B.16至

16京

AJ.42

-D.4

十-+-

164164

9.（2024?廣東珠海模擬預(yù)測）已知向量同=2同=24￡3=2,則8S<Z,H>=（）

A.—B.需C.叵D.姮

113T3311

10.（2024.廣東韶關(guān).二模）已知平面向量五￡不均為單位向量，且S+5|=1,則向量不與g的夾角

為,W+外,一口的最小值為.

11.（2024.廣東深圳.模擬預(yù)測）若西客是兩個(gè)夾角為120°的單位向量，則向量%-3?在向量3+'

方向上的投影向量為.

題型03平面向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算

1.（2024廣東珠海.二模〉已知3=（1$，*=（-2,2）,則8so-麗=<）

A.立B_C.-J-D.-1

2222

2.（2024?廣東惠州模擬預(yù)測）已知向量方與6的夾角為60。，且］=&不），慟=1，則卜-34=（）

A.小D.26

3.（2024.廣東中山.二模）已知向量lie在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小正方形的

邊長為1,則（）

4.（2024.廣東河源.模擬預(yù)測）已知菱形-458的邊長為2,N4BC=60,動(dòng)點(diǎn)尸在5c邊上（包括端

點(diǎn)），則石.刀的取值范圍是（）

A.[0,1]B.[-1,2]C.[-2,2]D.[<1]

5.（2024.廣東模擬預(yù)測）（多選）如圖所示，在邊長為3的等邊三角形X5C中，AD=jAC,且點(diǎn)

P在以AD的中點(diǎn)。為圓心，。4為半徑的半圓上，若麗=xBA+yBC,則下列說法正確的有（）

BC

一1-2—.............13

A.BD=-BA+-BCB.BDB0=—

332

C.而慶存在最大值D.x+丁的最小值為浮+1

6.(2024?廣東湛江?二模)若向量1=(-3,-1),b=(x,x-6),￡〃"則》=,.

7.(2024廣東.模擬順測)已知。為"5C的外接圓圓心，且割友=1,阿卜1.設(shè)實(shí)數(shù)Z〃滿足

22

AO=AAB+^AC)則丁的取值范圍為______-

Z/Z-1

8.(2024廣東深圳?模擬預(yù)測)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)4(1.2)、3(-2T),E、尸是直線丁=X+3

上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且聲外=3啦，則工作而的最小值為.

9.(2024?廣東東莞模擬預(yù)測)已知而=(久辦方=(2,-1)/=(-3,4),若

(m+n)ll(n+p),(2m-n)J.(ii-2p),則"=.

10.(2024.廣東清遠(yuǎn)模擬預(yù)測)已知向量1=b=(8S*,3),若日底,則銳角，的值

是?

11.(2024?廣東江門模擬預(yù)測)設(shè)向量￡=(1,町5=(31),且區(qū)“同何，貝%=.

專題06數(shù)列

amoi等差數(shù)例厘本量運(yùn)算

1.（2024?廣東?二模）設(shè)等差數(shù)列｛兄｝的前”項(xiàng)和為其，若q=1,邑=3S,+￡,則4=（）

A.-5B.-7C.5D.7

2.（2024.廣東偏山模擬預(yù)測〉設(shè)等差數(shù)列｛兄｝,也｝的前”項(xiàng)和分別為5.，J若對任意正整數(shù)”

4-5-2w-3,a.4

都有7rg，則初工+會=（）

351919必,日

A，7B-21C-41D-40E.均不JE

3.（2024.廣東中山.模擬預(yù)測）在等差數(shù)列｛嗎中，4+4=24必=15,則4=（）

A.4B.5C.6D.8

4.（2024.廣東清遠(yuǎn).二模）已知數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，q+&+&=9,&+q=10,則q=（）

A.5B.6C.7D.8

5.（2024?廣東肇慶?二模）記等差數(shù)歹i]｛6｝的前〃項(xiàng)和為邑,4+生=4M,=22,貝嶼「邑=（）

A.14B.72C.36D.60

6.（2024.廣東.模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛4｝滿足：q=4=40,且數(shù)列｛曰凡｝為等差數(shù)列，貝必m=（）

A.10B.40C.100D.103

7.（2024.廣東河源?模擬預(yù)測）若等差數(shù)列｛4｝的前”項(xiàng)和為S,且滿足S*>0,Sg<0,對任意

正整數(shù)〃，都有切憚上|，則洲的值為（）

A.21B.22C.23D.24

S13S

8.（2024廣東深圳.模擬順測〉設(shè)S*是等差數(shù)列｛公｝的前”項(xiàng)和，若￡=五，則京=.

9.（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測）設(shè)包｝是等比數(shù)列，目4+勾+4=1,6+4+4=2,則

&+4+a,=.

10.（2024.廣東河源模擬預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列｛?｝的前"項(xiàng)和為Sm?=-8,2g=3&+6,則

ax=?

題型02等比數(shù)多厘本量運(yùn)算

1.（2024.廣東.模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列包｝的前"項(xiàng)和為S”，旦q+4=1,&+&=4,則工=（）

A.9B.16C.21D.25

2.（2024廣東東莞.模擬預(yù)測）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛2｝的前"項(xiàng)和為工，4=1,目Y,,4,4成等

差數(shù)列，則S.與41M的關(guān)系是（）

A-$皿31B.SjO23=勿2tB4+1C.silx=^2a>4—D.?52024=^2CB4+

3.（2024.廣東梅州.二模）（多選）已知數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為4=3%"€N.，在｛4｝中依次選取

若干項(xiàng)（至少3項(xiàng)）氣,氣，氣,…，%…，使｛%,｝成為一個(gè)等比數(shù)列，則下列說法正確的

是（）

A.若取用=1,總=3,則占=9

B.滿足題意的｛匕｝也必是一個(gè)等比數(shù)列

C.在｛6｝的前100項(xiàng)中，｛%｝的可能項(xiàng)數(shù)最多是6

D.如果把｛2｝中滿足等比的項(xiàng)一直取下去，｛限｝總是無窮數(shù)列

4.（2024?廣東肇慶?二模）等差數(shù)列｛2｝中，4=1,。,=為一

⑴求｛。“｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)4=35記5.為數(shù)列也｝前〃項(xiàng)的和，若<=39,求刑.

5.（2024.廣東肇慶.二模）記等差數(shù)列｛《｝的前”項(xiàng)和為S,，｛〃｝是正項(xiàng)等比數(shù)列，目

q=〃=2,，o=1應(yīng)力=4.

⑴求｛2｝和｛,｝的通項(xiàng)公式；

⑵證明:白|是等比數(shù)列.

題型03數(shù)例悚和

1.（2024?廣東深圳.模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S.，且5“+3〃，若首項(xiàng)為I的數(shù)列出｝

滿足工=4,則數(shù)列｛2｝的前2024項(xiàng)和為（）

1012202520232024

A，2023B.^24&2024D-2025

a,+a<2

2.（2024.廣東中山.模擬預(yù)測）等比數(shù)列｛2｝的公比為4,其通項(xiàng)為4,如果1a+a］（i+g?）=『,

則”；數(shù)列｛（T）"+1。即力的前5項(xiàng)和為.

3.（2024.廣東東莞.模擬預(yù)測》已知首項(xiàng)為1的等差數(shù)列｛6｝滿足：成等比數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛?｝的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列也｝滿足：*+4如+…+3=3"-1,求數(shù)列也通前”項(xiàng)和&

4.（2024.廣東梅州?二模）已知等差數(shù)列｛4｝的前”項(xiàng)和為'，目q=-l,S,=-16.

⑴求｛t｝的通項(xiàng)公式；

（2）記數(shù)列1」一］的前”項(xiàng)和為證明：J；.

5.（2024廣東惠州?模擬于頁測）設(shè)等比數(shù)列｛兄｝的前〃項(xiàng)和為其，已知名《勾=勾％52=6-1.

⑴求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式.

（2）求數(shù)列｛"《｝的前”項(xiàng)和衛(wèi).

6.（2024.廣東深圳.模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為工，目｛瓦+^｝也是等差數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛4｝的公差3

f4n2

（2惜4=7,求數(shù)列——的前”項(xiàng)和E.

13

7.（2024.廣東東莞模擬預(yù)測）已知工為正項(xiàng)數(shù)列｛七｝的前〃項(xiàng)和，q=3目5.+5-=]。=-].

⑴求數(shù)列｛/｝的通項(xiàng)公式；

（2濟(jì)2=（-1廠島p求出｝的前10項(xiàng)和Q

8.（2024,廣東惠州，模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛氏｝滿足q=Lq+,+為“=3"-5,”eN：

（1股0=4一”+2,證明:也｝是等比數(shù)列;

（2）求數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和

S73

9.（2024.廣東珠海.模擬預(yù)測）在①邑-31=0,（2）5,=14,③父=百■這三個(gè)條件中任選一個(gè),

補(bǔ)充在下面的問題中，并解答.

設(shè)｛6｝是遞增的等比數(shù)列，其前“項(xiàng)和為邑，且4=4,.

⑴求｛6｝的通項(xiàng)公式；

（2席數(shù)列也｝滿足2=產(chǎn)：鬻數(shù),求數(shù)列也｝的前2〃項(xiàng)和心.

（注：若選擇多個(gè)解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）

題型04數(shù)歹蹤合應(yīng)用

1.（2024.廣東佛山二模）設(shè)數(shù)列｛6｝的前"項(xiàng)之積為滿足4+27>1則生M=（）

.1011c1011八4047G4048

A----B____C____D____

,1012?1013-4049?4049

%e=2廂iteN*）,

2.（2024?廣東珠海?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛《｝滿足%,=“[則（）

—（n=2i-l,ieN"）,

A.當(dāng)q<0時(shí)，｛6｝為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)河>0,使得4VM恒成立

B.當(dāng)q>l時(shí)，｛q｝為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)M>0,使得4>“恒成立

C.當(dāng)0<q<l時(shí)，存在正整數(shù)或，當(dāng)〃>或時(shí)，卜一；|〈焉

D.當(dāng)0<q<l時(shí)，對于任意正整數(shù)乂，存在">或，使得卜-?>/

L1vvV

3.（2024?廣東.模擬預(yù)測）（多選）設(shè)有正數(shù)列｛4｝,其前劉頁和為，.則下列哪一個(gè)""）2。能使對

任意的"6川都有"2-工^^二：成立（）

s.仁S1仁4

2

A./（"）=2"B.加）=一

C./l?）=lnMD.=-

n

4.（2024.廣東廣州.模擬預(yù)測）（多選）已知各項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列｛?｝的前"項(xiàng)和為冬，目

貝|」下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)泄>川洲，"eN'l時(shí)，a*>a“B.SII+SII+2<2SII^

C.數(shù)列⑻是等差數(shù)列D.^-l>ln?

5.（2024.廣東梅州.二模）已知數(shù)列｛6｝的通項(xiàng)公式2=（一1）"二?。╪eN-）,則Rq=qq…4的

LA-i

最小值為.

6.（2024.廣東深圳.模擬預(yù)測）已知函數(shù)/U）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1,0）中心對稱，也關(guān)于點(diǎn)中心對

稱，則刀1）,/（2）,/（3）,…,力20241的中位數(shù)為.

7.（2024?廣東佛山?二模）已知數(shù)列｛嗎滿足4=1,%=需g，目

⑴證明｛〃｝為等比數(shù)列，并求數(shù)列｛〃｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)■套言，且數(shù)列￡｝的前”項(xiàng)和為小證明：當(dāng)*2時(shí)，1^-3；<37；-”<ln總-1.

8.（2024.廣東模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛兄｝與｛,｝為等差數(shù)列，4=4，a、=2b、,｛4｝前"項(xiàng)和為

19〃+〃2

-2--

⑴求出｛《｝與也｝的通項(xiàng)公式；

（2）是否存在每一項(xiàng)都是整數(shù)的等差數(shù)列在“｝,使得對于任意"6N.,9都能滿足

—若存在,求出所有上述的入；若不存在，請說明理由.

題型05數(shù)歹情景題和創(chuàng)新題

1.（2024.廣東肇慶.二模）中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題："三百七十八里關(guān)，

初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還"其大意為：

"有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6

天后到達(dá)目的地."則該人第三天走的路程為（）

A.12里B.24里C.48里D.96里

2.（2024.廣東東莞模擬預(yù)測）某生物興趣小組在顯微鏡下拍攝到一種黏菌的繁殖軌跡，如圖1.通

過觀察發(fā)現(xiàn)，該黏菌繁殖符合如下規(guī)律：⑨占菌沿直線繁殖一段距離后，就會以該直線為對稱軸分

叉（分叉的角度約為60。），再沿直線繁殖，…；②每次分叉后沿直線繁殖的距離約為前一段沿直線

繁殖的距離的一半.于是，該組同學(xué)將整個(gè)繁殖過程抽象為如圖2所示的一個(gè)數(shù)學(xué)模型：黏菌從圓形

培養(yǎng)皿的中心。開始，沿直線繁殖到4…然后分叉向與&方向繼續(xù)繁殖，其中乙%=60。,

且44與4W關(guān)于。4所在直線對稱，44=4W.…若O4=4cm,為保證黏菌在繁

cm）至少為（）

D.9

3.（2024.廣東.模擬預(yù)測）分形幾何學(xué)是美籍法國數(shù)學(xué)家伯努瓦-曼德爾布羅特在20世紀(jì)70年代創(chuàng)

立的一門新學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域的眾多難題提供了全新的思路.下圖展示了如何按

照圖①的分形規(guī)律生長成一個(gè)圖②的樹形圖，則在圖②中第2023行的黑心圈的個(gè)數(shù)是（）

4.（2024.廣東廣州.模擬預(yù)測》第24屆北京冬奧會開稟式由一朵朵六角雪花貫穿全場，為不少人留

下深刻印象,六角雪花曲線是由正三角形的三邊生成的三條1級Koch曲線組成，再將六角雪花曲線

每一邊生成一條1級Koch曲線得到2級十八角雪花曲線（如圖3）..…?依次得到”級角雪

花曲線.若正三角形邊長為1,我們稱△為一個(gè)開三角（夾角為60。），則”級匕角雪花曲線的開三

角個(gè)數(shù)為,”級￡角雪花曲線的內(nèi)角和為

〃=0級

/\〃=1級

圖1圖2圖3

5.(2024.廣東梅州?二模)已知｛2｝是由正整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前〃項(xiàng)的最大值記為

即M'=max｛q，4,…M｝；前”項(xiàng)的最小值記為此，即也=而成4必,…令

5=123,…)，并將數(shù)列｛2｝稱為m｝的性成數(shù)列”.

(1話％=3",求其生成數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和；

(2)設(shè)數(shù)列｛以｝的性成數(shù)列”為應(yīng)｝,求證：p“=g"；

(3席｛2｝是等差數(shù)列，證明：存在正整數(shù)%,當(dāng)"N幾時(shí)，"a一,限,…是等差數(shù)列.

6.(2024?廣東?二模)已知正項(xiàng)數(shù)列｛4｝@“｝,滿足%=與上,鼠,=g(其中c>0).

(1話q地，且4+4#%,證明:數(shù)列M7｝和4+〃--｝均為等比數(shù)列;

(2話q>4，q+2=2c,以見也,c為三角形三邊長構(gòu)造序列(其中

4紇=%紇6=4,4c=4)，記A4紇C“外接圓的面積為邑，證明：s.>gc'

(3庭(2)的條件下證明：數(shù)列