山西省2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題文含解析

PAGE16-山西省2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題文（含解析）第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合,則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由二次不等式的解法求再利用集合交集的運(yùn)算可得，得解.【詳解】解:因所以,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了二次不等式的解法及集合交集的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.2.在空間直角坐標(biāo)系中，若，，則（）A. B. C.3 D.【答案】A【解析】【分析】干脆利用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算得到答案.【詳解】，，則.故選：【點(diǎn)睛】本題考查了空間坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力.3.某中學(xué)初一、初二、初三的學(xué)生人數(shù)分別為500,600,700,現(xiàn)用分層抽樣的方法從這三個(gè)年級(jí)中選取18人參與學(xué)校的演講競(jìng)賽,則應(yīng)選取的初二年級(jí)學(xué)生人數(shù)為()A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】【分析】干脆利用分層抽樣中，每個(gè)層次被抽取的概率相等求解即可.【詳解】因?yàn)榉謱映闃又?，每個(gè)層次在總體中所占的比例與在樣本中所占的比例相等，所以，應(yīng)選取的初二年級(jí)學(xué)生人數(shù)為×18=6，故選B.【點(diǎn)睛】分層抽樣適合總體中個(gè)體差異明顯，層次清楚的抽樣，其主要性質(zhì)是，每個(gè)層次，抽取的比例相同.4.若直線與平行，則的值為（）A.2 B.1或3 C.3 D.2或3【答案】A【解析】【分析】依據(jù)直線平行得到，解除重合狀況，計(jì)算得到答案.【詳解】因?yàn)橹本€與平行所以，解得或當(dāng)時(shí)，這兩條直線重合，解除，故.故選：【點(diǎn)睛】本題考查了依據(jù)直線平行求參數(shù)，忽視掉重合的狀況是簡(jiǎn)單犯的錯(cuò)誤.5.已知是三個(gè)不同的平面，是兩條不同的直線，下列推斷正確的是（）A.若，，則B.若，，則C.若，，，則D.若，，，則【答案】B【解析】【分析】依據(jù)直線和平面的位置關(guān)系，依次推斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤得到答案.【詳解】A.若，，則或相交，錯(cuò)誤；B.若，，則，同時(shí)垂直于一個(gè)平面的兩條直線相互平行，正確；C.若，，，則或或異面，錯(cuò)誤；D.若，，，則或異面，錯(cuò)誤故選：【點(diǎn)睛】本題考查了直線和平面的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的空間想象實(shí)力.6.已知兩個(gè)單位向量的夾角為60°,向量，則=A. B. C. D.7【答案】A【解析】【分析】依據(jù)向量的模計(jì)算公式，即可求出?！驹斀狻恳?yàn)?，且，所以，故選A?！军c(diǎn)睛】本題主要考查向量的數(shù)量積的定義應(yīng)用以及向量的模的計(jì)算公式應(yīng)用。7.點(diǎn)到直線的距離的最小值為（）A.4 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式得到，依據(jù)三角函數(shù)的有界性得到答案.【詳解】點(diǎn)到直線的距離為：.故選：【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的距離公式和三角函數(shù)的有界性，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力.8.已知，，，則的邊上的高線所在的直線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先計(jì)算，得到高線的斜率，又高線過(guò)點(diǎn)，計(jì)算得到答案.【詳解】，高線過(guò)點(diǎn)∴邊上的高線所在的直線方程為，即.故選：【點(diǎn)睛】本題考查了高線的計(jì)算，利用斜率相乘為是解題的關(guān)鍵.9.光線自點(diǎn)射入，經(jīng)傾斜角為的直線反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則反射光線還經(jīng)過(guò)下列哪個(gè)點(diǎn)（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先計(jì)算，計(jì)算點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，計(jì)算得到直線方程，代入數(shù)據(jù)計(jì)算得到答案.【詳解】，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為則，解得所以反射光線所在直線方程為當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故過(guò)點(diǎn)故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了直線的對(duì)稱問(wèn)題，計(jì)算點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.10.已知分別為圓與圓上的動(dòng)點(diǎn)，為軸上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】計(jì)算圓關(guān)于軸對(duì)稱的圓為，的最小值為，計(jì)算得到答案.【詳解】圓關(guān)于軸對(duì)稱圓為圓則的最小值為.故選：【點(diǎn)睛】本題考查了距離的最值問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為圓心距的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和轉(zhuǎn)化實(shí)力.11.唐朝聞名的鳳鳥花卉紋浮雕銀杯如圖1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體（如圖2）.當(dāng)這種酒杯內(nèi)壁表面積（假設(shè)內(nèi)壁表面光滑，表面積為平方厘米，半球的半徑為厘米）固定時(shí)，若要使得酒杯的容積不大于半球體積的2倍，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)圓柱的高度與半球的半徑分別為，計(jì)算容積得到，依據(jù)高的關(guān)系得到，計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)圓柱的高度與半球的半徑分別為，則，則，所以酒杯的容積，又，所以，所以，解得.故選：【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的體積運(yùn)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和空間想象實(shí)力.12.若直線與函數(shù)的圖象恰有3個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】畫出函數(shù)圖像，直線過(guò)定點(diǎn)，依據(jù)直線與圓的上半部和下半部關(guān)系計(jì)算得到答案.【詳解】的圖象由圓的下半部分與圓的上半部分組成直線過(guò)定點(diǎn).當(dāng)直線與圓的上半部分相切時(shí)，解得或（舍去）當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，.數(shù)形結(jié)合可得：.故選：【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的交點(diǎn)問(wèn)題，畫出函數(shù)圖像依據(jù)函數(shù)圖像求解是解題的關(guān)鍵.第Ⅱ卷二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.設(shè)函數(shù)，則________.【答案】16【解析】【分析】干脆代入數(shù)據(jù)得到答案.【詳解】故答案為16【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)求值，考查運(yùn)算求解實(shí)力14.如圖，某幾何體由兩個(gè)同底面的圓錐組合而成，若底面積為，小圓錐與大圓錐的高分別為4和6，則該幾何體的表面積為__________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)底面積計(jì)算底面半徑，再利用表面積公式得到答案.【詳解】底面積為幾何體的表面積為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了表面積計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力.15.若圓與圓內(nèi)切，則__________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)圓內(nèi)切得到等式，計(jì)算得到答案.【詳解】?jī)蓤A內(nèi)切，故圓心距等于半徑之差的肯定值即，解得.又，則.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了圓和圓的位置關(guān)系，依據(jù)位置關(guān)系得到圓心距和半徑之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.16.如圖，在四棱錐中，平面，，，，，為的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為__________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系得到，，將翻折至與平面共面，如圖所示，得到當(dāng)為與的交點(diǎn)時(shí)，取得最小值，利用余弦定理計(jì)算得到答案.【詳解】平面，，平面易知：，，在中，.利用余弦定理得到：，所以.將翻折至與平面共面，如圖所示：則圖中，當(dāng)為與的交點(diǎn)時(shí)，取得最小值.此時(shí)，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何中的最值問(wèn)題，將立體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的空間想象實(shí)力和計(jì)算實(shí)力.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.17.已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）若與直線平行，求的方程（結(jié)果用一般式表示）；（2）若在軸上的截距與在軸上的截距相等，求的方程（結(jié)果用一般式表示）.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）依據(jù)平行得到的斜率為2，得到點(diǎn)斜式為，化簡(jiǎn)得到答案.（2）依據(jù)直線是否過(guò)原點(diǎn)兩種狀況分別計(jì)算得到答案.【詳解】（1）因?yàn)榕c直線平行，所以的斜率為2，由點(diǎn)斜式可得，的方程為，即.（2）當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，的斜率為，所以的方程為.當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入，得，所以的方程為.綜上所述：的方程為或.【點(diǎn)睛】本題考查了直線方程，探討直線是否過(guò)原點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力.18.已知四棱錐的直觀圖如圖所示，其中，，兩兩垂直，，且底面為平行四邊形.（1）證明：.（2）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是該四棱錐的正視圖與俯視圖，請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格紙上用粗線畫出該四棱錐的側(cè)視圖，并求四棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）作圖見解析，【解析】【分析】（1）依據(jù)，得到平面，得到證明.（2）干脆畫出側(cè)視圖，利用體積公式干脆計(jì)算得到答案.【詳解】（1）因?yàn)閮蓛纱怪?，所以?因?yàn)椋云矫?因?yàn)槠矫?，所?（2）該四棱錐的側(cè)視圖如圖所示：依題意可得四邊形為正方形，四棱錐的體積為.【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖的應(yīng)用，體積的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和空間想象實(shí)力.19.分別為內(nèi)角的對(duì)邊.已知.(1)若的面積為,求;(2)若,求的周長(zhǎng).【答案】(1).(2)【解析】【分析】(1)由已知，結(jié)合正弦定理可得，再結(jié)合三角形的面積公式，將已知條件代入運(yùn)算即可；(2)由，結(jié)合余弦定理得,得解.【詳解】解:(1)由,得.因?yàn)榈拿娣e為,所以.(2)因?yàn)?可得由余弦定理得,所以，故的周長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理、余弦定理及三角形面積公式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.20.如圖，在直四棱柱中，底面為正方形，為的中點(diǎn)，且.（1）證明：平面.（2）若異面直線與所成角的正弦值為，求三棱柱的體積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，連接交于，連接，證明四邊形為平行四邊形，得到證明.（2）線與所成角即直線與所成角，,證明，再計(jì)算得到，利用體積公式計(jì)算得到答案.詳解】（1）連接，連接交于，連接.易證，且，所以四邊形為平行四邊形，所以.因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?（2）由（1）知，，所以異面直線與所成角即直線與所成角，所以.因?yàn)榈酌鏋檎叫?，所以，又?cè)棱垂直底面，所以.因?yàn)?，所以平面，所?因?yàn)椋?，所以，所?故三棱柱的體積.【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行，體積的計(jì)算，計(jì)算出的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和空間想象實(shí)力.21.在數(shù)列，中，，，.等差數(shù)列的前兩項(xiàng)依次為，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)遞推公式計(jì)算，，利用等差數(shù)列公式計(jì)算得到答案.（2）將題目中兩式相加得到，故是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，計(jì)算得到通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減法計(jì)算得到答案.【詳解】（1）∵，∴，，則的公差為故的通項(xiàng)公式為.（2），①，②①②得.又，從而是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故.，，，即，即.【點(diǎn)睛】本題考查了通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減法，變換得到是解題的關(guān)鍵.22.已知直線與圓交于兩點(diǎn).（1）求的斜率的取值范圍；（2）若為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與的斜率分別為，，試問(wèn)是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）是定值，詳見解析【解析】【分