第2課時　正方形的判定課件北師大版數(shù)學(xué)九年級上冊

第一章特殊平行四邊形1.3正方形的性質(zhì)與判定第2課時正方形的判定

由正方形的定義判定正方形1.學(xué)習(xí)了正方形之后，王老師提出問題：要判斷一個四邊形是正方形，

有哪些思路？甲同學(xué)說：“先判定四邊形是菱形，再確定這個菱形有一

個角是直角.”乙同學(xué)說：“先判定四邊形是矩形，再確定這個矩形有

一組鄰邊相等.”丙同學(xué)說：“判定四邊形的對角線相等，并且互相垂

直平分.”丁同學(xué)說：“先判定四邊形是平行四邊形，再確定這個平行

四邊形有一個角是直角，并且有一組鄰邊相等.”上述四名同學(xué)的說法

中，正確的是(

D

)DA.甲、乙B.甲、丙C.乙、丙、丁D.甲、乙、丙、丁123456789101112132.(2023·廊坊廣陽區(qū)二模)如圖，一個四邊形順次添加下列中的三個條件

便得到正方形：a.兩組對邊分別相等b.一組對邊平行且相等c.一組鄰邊相等d.一個角是直角順次添加的條件：①

a

→

c

→

d

；②

b

→

d

→

c

；③

a

→

b

→

c

.則正確的添加順序是(

C

)A.僅①B.僅③C.①②D.②③C12345678910111213②由一組對邊平行且相等可得該四邊形是平行四邊形，添加一個角是直

角可得該四邊形是矩形，再添加一組鄰邊相等則可得該四邊形是正方

形，故符合題意；③由a，b都只能得到該四邊形是平行四邊形，再添加一組鄰邊相等只能

得到該四邊形是菱形，故不符合題意.∴正確的添加順序是①②.【解析】①由兩組對邊分別相等可得該四邊形是平行四邊形，添加一組

鄰邊相等可得該四邊形是菱形，再添加一個角是直角則可得該四邊形是

正方形，故符合題意；12345678910111213

由正方形的邊、角、對角線判定正方形3.下列說法正確的是(

A

)A.對角線相等的菱形是正方形B.有一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形C.有一個角是直角的平行四邊形是正方形D.各邊都相等的四邊形是正方形A12345678910111213【解析】對角線相等的菱形是正方形，故A選項正確；有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，但不一定是正方形，故B選

項錯誤；有一個角是直角的平行四邊形是矩形，但不一定是正方形，故C選

項錯誤；各邊都相等的四邊形是菱形，但不一定是正方形，故D選項錯誤.123456789101112134.如圖，將一張矩形紙片對折兩次，沿著圖中的虛線剪下一個角，為了

得到一個正方形，則剪切線與折痕所夾的∠1的度數(shù)為(

B

)A.30°B.45°C.60°D.90°B123456789101112135.小明在學(xué)習(xí)了中心對稱圖形后，整理了平行四邊形和特殊平行四邊形

之間的關(guān)系圖，如圖所示，已知?

ABCD

，有下列條件：①

AB

＝

AD

；

②

AC

＝

BD

；③

AC

⊥

BD

；④

AC

平分∠

DAB

.

選擇其中一個條件填入

(

)處，補全關(guān)系圖，其中所有正確條件的序號是(

C

)A.①③B.①④C.①③④D.②③④C12345678910111213【解析】根據(jù)一組鄰邊相等的矩形是正方形，可得①符合題意；矩形的對角線本身是相等的，所以添加

AC

＝

BD

不能判定四邊形

ABCD

是正方形，故②不符合題意；根據(jù)對角線互相垂直的矩形是正方形，可得③符合題意；由

AC

平分∠

DAB

，可證明

AD

＝

DC

，根據(jù)一組鄰邊相等的矩形是正

方形，可得④符合題意.所以所有正確條件的序號是①③④.123456789101112136.(2023·邢臺期中)在平面直角坐標(biāo)系中，點

A

，

B

，

C

，

D

的坐標(biāo)分別

為(－5，－1)，(－3，1)，(－1，－1)，(－3，－3)，下列判斷正確的是

(

D

)甲：

AB

＝

BC

；乙：四邊形

ABCD

是正方形.A.甲對、乙不對B.甲不對、乙對C.甲、乙都不對D.甲、乙都對D12345678910111213【解析】根據(jù)題意畫出四邊形

ABCD

如圖所示，連接

AC

.

AC

＝－1－(－5)＝4，∴

AB

＝

BC

＝

CD

＝

AD

.

∴四邊形

ABCD

是菱形.

12345678910111213

∴∠

ABC

＝90°.∴四邊形

ABCD

是正方形.故甲、乙都對.123456789101112137.(2023·黑龍江中考)如圖，在矩形

ABCD

中，對角線

AC

，

BD

相交于

點

O

，試添加一個條件：

，使得矩形

ABCD

為正方形.AB

＝

AD

(答案不唯一)

12345678910111213

12345678910111213

(1)試判斷四邊形

BPCO

的形狀，并說明理由；12345678910111213(2)請說明當(dāng)?

ABCD

的對角線滿足什么條件時，四邊形

BPCO

是正方形.

12345678910111213

中點四邊形9.如圖，在任意四邊形

ABCD

中，

M

，

N

，

P

，

Q

分別是

AB

，

BC

，

CD

，

DA

的中點，對于四邊形

MNPQ

的形狀，下列結(jié)論錯誤的是

(

B

)A.四邊

MNPQ

一定為平行四邊形B.當(dāng)∠

ABC

＝90°時，四邊形

MNPQ

為正方形C.當(dāng)

AC

＝

BD

時，四邊形

MNPQ

為菱形D.當(dāng)

AC

⊥

BD

時，四邊形

MNPQ

為矩形B12345678910111213【解析】連接

AC

，

BD

交于點

O

，如圖.∵

M

，

N

，

P

，

Q

分別是

AB

，

BC

，

CD

，

DA

的中點，

∴

PQ

∥

MN

，

PQ

＝

MN

.

∴四邊形

MNPQ

一定為平行四邊形，A選項說法正確，不符合題意；當(dāng)∠

ABC

＝90°時，四邊形

MNPQ

不一定為正方形，故B選項說法錯

誤，符合題意；12345678910111213當(dāng)

AC

＝

BD

時，

MN

＝

MQ

，

∴四邊形

MNPQ

為菱形，故C選項說法正確，不符合題意；當(dāng)

AC

⊥

BD

時，易得∠

MNP

＝90°，

∴四邊形

MNPQ

為矩形，故D選

項說法正確，不符合題意.12345678910111213

10.(2023·保定校級月考)如圖，在四邊形

ABCD

中，對角線

AC

⊥

BD

，

垂足為

O

，且

AC

＝

BD

＝10，

E

，

F

，

G

，

H

分別為邊

AD

，

AB

，

BC

，

CD

的中點，則四邊形

EFGH

的面積為(

B

)A.25

B.25C.50

D.50第10題圖B12345678910111213

∴

EF

⊥

FG

.

∴∠

GFE

＝90°，∴四邊形

EFGH

是正方形.∴四邊形

EFGH

的面積＝

EF

·

EH

＝5×5＝25.第10題圖1234567891011121311.如圖，菱形

ABCD

的對角線

AC

，

BD

相交于點

O

，點

E

，

F

同時

從點

O

出發(fā)在線段

AC

上以0.5cm/s的速度反向運動(點

E

，

F

分別到達

A

，

C

兩點時停止運動)，設(shè)運動時間為

t

s

.連接

DE

，

DF

，

BE

，

BF

，

已知△

ABD

是邊長為4cm的等邊三角形，當(dāng)

t

＝

s時，四邊形

DEBF

為正方形.4

第11題圖12345678910111213【解析】∵菱形

ABCD

的對角線

AC

，

BD

相交于點

O

，點

E

，

F

同時從

點

O

出發(fā)在線段

AC

上以0.5cm/s的速度反向運動，∴

OD

＝

OB

，

OE

＝

OF

＝0.5

t

，

DB

⊥

EF

.

∴

EF

＝

t

，四邊形

DEBF

是菱形.∵△

ABD

是邊長為4cm的等邊三角形，∴

BD

＝4cm.根據(jù)“對角線相等的菱形是正方形”可得當(dāng)

EF

＝

BD

＝4cm，即

t

＝4

時，四邊形

DEBF

為正方形.第11題圖12345678910111213

12.

甲、乙兩位同學(xué)采用折疊的方法，判斷兩張四邊形紙片是

否為正方形.甲：如圖1，進行兩次折疊，每次折疊后折痕兩側(cè)部分能夠完全重合，

故判斷原四邊形是正方形；乙：如圖2，進行兩次折疊，每次折疊后折痕兩

側(cè)部分能夠完全重合，故判斷原四邊形是正方形.下列判斷正確的是(

D

)DA.僅甲正確B.僅乙正確C.甲、乙均正確D.甲、乙均錯誤12345678910111213【解析】按照題圖1折疊，可得四邊形的四邊相等，則原四邊形是菱形

或正方形；按照題圖2折疊，可得四邊形的四個角相等，且都為90°，只能得到原

四邊形是矩形.1234567891011121313.

如圖，在Rt△

ABC

中，∠

ACB

＝90°，過點

C

的直線

MN

∥

AB

，

D

為

AB

邊上一點，過點

D

作

DE

⊥

BC

，交直線

MN

于點

E

，

垂足為

F

，連接

CD

，

BE

.

(1)求證：

CE

＝

AD

；證明：∵

DE

⊥

BC

，∴∠

DFB

＝90°.∵∠

ACB

＝90°，∴∠

ACB

＝∠

DFB

.

∴

AC

∥

DE

.

∵

MN

∥

AB

，即

CE

∥

AD

，∴四邊形

ADEC