2024-2025學(xué)年福建省龍巖市連城一中高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年福建省龍巖市連城一中高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.等差數(shù)列{an}滿足a4+a7A.1 B.2 C.3 D.42.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2=?3，a3=?2A.4 B.5 C.6 D.4或53.等比數(shù)列{an}中，若a2A.1 B.?2 C.2 D.2或?24.某中學(xué)的募捐小組暑假期間走上街頭進(jìn)行了一次募捐活動(dòng)，共收到了5000元.他們第1天只收到了20元，從第2天起，每一天收到的捐款都比前一天多15元，這次募捐活動(dòng)一共進(jìn)行了(

)A.20天 B.25天 C.30天 D.35天5.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，首項(xiàng)a1>0，公比A.數(shù)列{an}的最大項(xiàng)為a1 B.數(shù)列{an}的最小項(xiàng)為a2

C.6.已知{an}為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，a1=10，公差d=?2，則數(shù)列{|A.10 B.50 C.60 D.707.已知按規(guī)律排列的數(shù)列0，1，1，2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，…，n，則該數(shù)列的第171項(xiàng)為(

)A.17 B.18 C.19 D.208.“中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于中國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？現(xiàn)有這樣一個(gè)相關(guān)的問題：被3除余2且被5除余3的正整數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列{an}，記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為SA.203+1 B.403+1二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和SnA.a2=3 B.an=2n?1 C.{a10.點(diǎn)M(x1,y1)在函數(shù)y=exA.?1 B.?2 C.?3 D.011.九連環(huán)是我國(guó)從古至今廣為流傳的一種益智游戲，它用九個(gè)圓環(huán)相連成串，以解開為勝.《紅樓夢(mèng)》中有林黛玉巧解九連環(huán)的記載.九連環(huán)一般是用金屬絲制成圓形小環(huán)九枚，九環(huán)相連，套在條形橫板或各式框架上，并貫以環(huán)柄.玩時(shí)，按照一定的程序反復(fù)操作，可使9個(gè)環(huán)分別解開，或合二為一.假設(shè)環(huán)的數(shù)量為n(n≤9,n∈N?)，解開n連環(huán)所需總步數(shù)為Sn，解下每個(gè)環(huán)的步數(shù)為an，數(shù)列{an}滿足：S1A.a4=5 B.S4=a5

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知點(diǎn)M(2,?3)，13.若等差數(shù)列{an}中前n項(xiàng)和為100，其后的2n項(xiàng)和為500，則緊隨其后的3n14.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(Sn≠0)，Tn為數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)積，滿足S四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知點(diǎn)A(1,0)，B(0,2)，點(diǎn)P(a,b)在線段AB上．

(1)求直線AB的斜率；

(2)求ab的最大值．16.(本小題15分)

等比數(shù)列{an}的公比為2，且a2，a3+2，a4成等差數(shù)列．

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)若17.(本小題15分)

已知數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù)，且a1=1，an+1an+an+1?an=0(n∈N?).

18.(本小題17分)

已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a5?a1=S4=30．

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；

(2)若b19.(本小題17分)

設(shè)n條直線最多把平面分成an部分，其求法如下：易知一條直線最多把平面分成a1=2部分，兩條直線最多把平面分成a2=4部分，3條直線分平面，要使所得部分盡量多，則第三條直線必與前兩條直線都相交，產(chǎn)生2個(gè)交點(diǎn)，這2個(gè)交點(diǎn)都在第3條直線上，并把第三條直線分成3段，這3段的每一段都在a2部分的某部分中，它把所在部分一分為二，故增加了3部分，即a3=a2+3=7，依次類推得an=an?1+n，累加化簡(jiǎn)得an=n2+n+22.根據(jù)上面的想法，設(shè)n個(gè)平面最多把空間分成b答案解析1.B

【解析】解：由S9=9(a1+a9)2=9a5=45，得到a5=5，

又a5+a6=2.D

【解析】解：設(shè)公差為d，由a2=?3，S5=?10，

所以a1+d=?35a1+10d=?10，解得a1=?4d=1，

所以an=n?5，

令an≥0，解得n≥5，則數(shù)列{an}單調(diào)遞增，且a5=0，3.C

【解析】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，

因?yàn)閍2+a4=(a1+a3)q=2(a4.B

【解析】解：由題意可知，每一天收到的捐款成等差數(shù)列，首項(xiàng)為20，公差為15，

設(shè)這次募捐活動(dòng)一共進(jìn)行了n天，則20n+n(n?1)2×15=5000，

解得n=25(負(fù)值舍去)．

故選：B．

利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得解．

5.D

【解析】解：對(duì)于A，由題意知：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an<0<a1，

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an>0，an+2?an=an(q2?1)<0，a1最大；

綜上所述：數(shù)列{an}的最大項(xiàng)為a1，A正確；

對(duì)于B，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an<0，an+2?an=an(q2?1)>0，a2最??；

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an>0>a2；

綜上所述：數(shù)列{an}的最小項(xiàng)為a2，B正確；

對(duì)于C，∵anan+1=an2q，an+1an+2=an+12q，

∴an+1an+2?6.B

【解析】解：根據(jù)題意，等差數(shù)列{an}中，a1=10，公差d=?2，則an=12?2n，

設(shè)數(shù)列{|an|}的前10項(xiàng)和Tn，

則T7.A

【解析】解：由題知該數(shù)列第1項(xiàng)為0，第2到第3項(xiàng)為1，第4到第6項(xiàng)為2，依次類推，

∵1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17=17×(1+17)2=153，

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18=18×(1+18)2=171．

∴該數(shù)列的第171項(xiàng)為8.C

【解析】解：被3除余2且被5除余3的正整數(shù)按照從小到大的順序所構(gòu)成的數(shù)列是一個(gè)首項(xiàng)為8，公差為15的等差數(shù)列{an}，

則Sn=8n+n(n?1)2×15=152n2+12n，

∴2Sn+80n=2(152n2+12n)+80n=15n+80n+1，

由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得：函數(shù)f(x)=15x+80x+1=15(x+163x9.AC

【解析】解：根據(jù)題意，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2+3，

當(dāng)n=1時(shí)，有a1=1+3=4，

當(dāng)n≥2時(shí)，有an=Sn?Sn?1=2n?1，

而a1=4不符合an=2n?1，故an=4,n=12n?1,n≥2，B錯(cuò)誤；

當(dāng)n=2時(shí)，an=3，A正確；10.BC

【解析】解：因?yàn)镸在函數(shù)圖象上，所以y1=ex1，

所以y1+1x1?1=ex1+1x1?1，令f(x)=ex+1x?1，x∈[0,1)，

所以f′(x)=ex(x?1)?(ex+1)(x?1)2=ex(x?2)?1(x?1)2，x∈[0,1)，

令g(x)=ex(x?2)?1，x∈[0,1)，

則g′(x)=ex(x?2)+ex=ex(x?1)，x∈[0,1)，

所以g′(x)<0，可得g(x)在x∈[0,1)上單調(diào)遞減，

所以g(1)<g(x)≤g(0)，即?e?1<g(x)≤?3，

所以11.AC

【解析】解：S1=1，S2=2，an=2Sn?2+1(n≥3)，

∵a3=2S1+1=3，∴S3=5，

∵a4=2S2+1=5，∴S4=10，

∵a5=2S3+1=11，∴S5=21，

a6=2S4+1=21；S6=21+21=42；

當(dāng)n≥3，an=2Sn?2+1，即Sn?Sn?1=2Sn?2+1，∴Sn+Sn?1=2(Sn?1+Sn?212.3π4【解析】解：∵點(diǎn)M(2,?3)，N(?3,2)，則直線MN的斜率為2+13.1500

【解析】解：等差數(shù)列的每n項(xiàng)組合，組成一個(gè)新的數(shù)列，

同樣也是等差數(shù)列，只是新數(shù)列的增量是原數(shù)列增量的n倍，

設(shè)新數(shù)列的增量為x，則200+3x=500，

解得x=100，

則后面3n項(xiàng)的和為300+(3+4+5)x=1500．

故答案為：1500．

等差數(shù)列的每n項(xiàng)組合，組成一個(gè)新的數(shù)列，同樣也是等差數(shù)列，只是新數(shù)列的增量是原數(shù)列增量的n倍，由此利用已知條件能求出結(jié)果．

本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．14.①③④

【解析】解：∵Sn+Tn=Sn?Tn(n∈N?)，

∴當(dāng)n=1時(shí)，2a1=a12，解得a1=2或a1=0，

∵Sn≠0，∴a1=2，故①正確；

∵Sn+Tn=Sn?Tn(n∈N?)，

∴Sn≠1，則Tn=SnSn?1，

∴當(dāng)n≥2時(shí)，Tn?1=Sn?1Sn?1?1，

∴TnTn?1=SnSn?1?Sn?1?1Sn?1，

∴Sn=SnSn?1?Sn?115.解：(1)由題意知，直線AB的斜率kAB=2?00?1=?2．

(2)當(dāng)點(diǎn)P(a,b)在A，B兩點(diǎn)之間時(shí)，

由點(diǎn)P(a,b)在線段AB上，

易知kAP=kAB，即b?0a?1=?2，

即b=?2a+2(0<a<1)，

當(dāng)P與A，B重合時(shí)也滿足b=?2a+2，

因此b=?2a+2(0≤a≤1)，

亦即2a+b=2，且0≤a≤1，0≤b≤2，

所以2=2a+b≥22ab，

∴ab≤1【解析】(1)利用兩點(diǎn)斜率公式可直接解答；

(2)先確定a，b滿足的關(guān)系式，然后利用基本不等式可直接解答．

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：兩點(diǎn)間的斜率，基本不等式，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．16.解：(1)∵等比數(shù)列{an}的公比q=2，且a2，a3+2，a4成等差數(shù)列，

∴2(a3+2)=a2+a4，

∴2(4a1+2)=2a1+8a【解析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，方程思想，即可求解；

(2)根據(jù)分組求和法，等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式，即可求解．

本題考查差數(shù)列的性質(zhì)，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，方程思想，分組求和法，等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式，屬中檔題．17.(1)證明：因?yàn)閍n+1an+an+1?an=0(n∈N?)，

所以an+1=anan+1．

因?yàn)閎n=1an，

所以bn+1?bn=anan+1?1a【解析】(1)直接利用遞推關(guān)系式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．

(2)首先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的和．

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用，裂項(xiàng)相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用．18.解：(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠0)，因?yàn)閍5≠a1，所以q≠1，

則a5?a1=a1q4?a1=30S4=a1(1?q4)1?q=30，解得a1=2q=2，

所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=a1qn?1【解析】(1)根據(jù)條件，建立方程組a1q4?a1=30a1(1?q4)1?q=30，即可求解；

19.解：(1)設(shè)n個(gè)平面最多把空間分成bn部分，易知一個(gè)平面最多把空間分成b1=2部分，兩個(gè)平面最多把空間分成b2=4部分，

3個(gè)平面分空間，要使所得部分盡量多，則第三個(gè)平面必與前兩個(gè)平面都相交，產(chǎn)生2條交線，這2條交線都在第3個(gè)平面上，

并把第三個(gè)平面分成4部分平面區(qū)域，這4部分平面區(qū)域的每一部分區(qū)域都在b2部分空間的某部分空間中，

它把它所在部分空間一分為二，故增加了4部分空間，即b3=b2+4=8，

4個(gè)平面分空間，要使所得部分盡量多，則第4個(gè)平面必與前3個(gè)平面都相交，產(chǎn)生3條交線，這