2024-2025學(xué)年度遼寧省撫順一中高二年級上學(xué)期期初檢測數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年度遼寧省撫順一中高二年級上學(xué)期期初檢測數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共11小題，每小題5分，共55分。1.復(fù)數(shù)z=(1?i1+i)3(i為虛數(shù)單位)，則其共軛復(fù)數(shù)A.?1 B.?i C.1 D.i2.兩條直線和一個平面所成的角相等是這兩條直線平行的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分又不必要條件3.已知a→,b→為單位向量，且(2aA.1 B.3 C.2 D.4.已知兩條不同的直線m,?n，兩個不同的平面α?,?β，則(

)A.若α//β?,?m?α?,?n?β?,?則m//n

B.若α⊥β?,a?α?,b?β?,a⊥b?,則a⊥β

C.若m⊥α?,?n⊥m?,?則n//α

D.若α∩β=n?,?m?α?,?m//β?,?則m//n5.若函數(shù)f(x)=2sin(x+2θ)?cosx(0<θ<π2A.點π4,0是y=f(x)一個對稱中心 B.直線x=π4是y=f(x)一個對稱軸

C.函數(shù)y=f(x)的最小正周期是2π D.6.在△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊.若b2=ac，且aA.π6 B.π3 C.2π37.如圖是戰(zhàn)國時期的一個銅鏃，其由兩部分組成，前段是高為2cm、底面邊長為1cm的正三棱錐，后段是高為0.6cm的圓柱，圓柱底面圓與正三棱錐底面的正三角形內(nèi)切，則此銅鏃的體積約為(

)

A.0.25cm3 B.0.65cm3 C.8.在?ABC中，設(shè)AC2?AB2=2AM?A.垂心 B.內(nèi)心 C.外心 D.重心9.下列說法中錯誤的是(

)A.已知a=(1,?3)，b=(2,?6)，則{a,b}可以作為平面內(nèi)所有向量的一個基底

B.已知a=(1,?3),b=(0,1)，則a在b上的投影向量的坐標(biāo)是(0,?3)

C.若兩非零向量a，b滿足|a+b|=|10.如圖甲，在?ABC中，AB=BC=2,∠ABC=120°，D為AC的中點，E為AB上一點，且滿足DE?AB=0，將?ADE沿DE翻折得到直二面角A?DE?B，連接AC,F是AC的中點，連接BF,BD,DF(如圖乙所示)，則下列結(jié)論正確的是A.AD⊥BD B.BF//平面ADE

C.AD與平面ABE所成角的正切值是33 D.三棱錐B?DFC11.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2A.PC1⊥B1C

B.二面角P?BC1?D的正切值為22

C.直線B1P與平面二、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知cosα?π4=35，則13.已知z=?3+2i是關(guān)于x的方程x2+px+q=0p,q∈R的一個根，則p+q=14.三棱錐A?BCD中，BC=CD=2，BC⊥CD，ΔABD是正三角形，AC=14，則三棱錐A?BCD的體積為

；此三棱錐外接球的表面積為

．三、解答題：本題共5小題，每小題12分，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.已知平面向量a，b，c，滿足a=(1,?3)，b(1)若a與b共線，求向量b的坐標(biāo)；(2)若2a+c⊥a?316.如圖，多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為平行四邊形，AD=2，DC=22，四邊形DCFE為梯形，DE//CF，CD⊥DE，DE=3，CF=6，∠ADE=45°，平面ADE⊥平面DCFE．

(1)求證：AE//平面BCF；

(2)求直線AC與平面CDEF所成角的正弦值；

(3)求點F到平面ABCD的距離．

17.如圖，四棱錐S?ABCD中，底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，SA=SD=AB=2，側(cè)面SAB⊥側(cè)面SBC，M為AD的中點．

(1)求證：平面SMC⊥平面SBC．(2)若AB與平面SBC成30°角時，求二面角A?SC?D的大小．18.如圖1，在ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2，D是AC中點，作DE⊥AB于E，將△ADE沿直線DE折起到△PDE所處的位置，連接PB，PC，如圖2．

(1)若PB=342，求證：PE⊥BC；

(2)若二面角P?DE?A為銳角，且二面角P?BC?E的正切值為269，求19.在△ABC中，a，b，c，分別是角A，B，C的對邊，請在①sinA?sinCsinB=b?ca+c；②c·sinB+C2=asinC兩個條件中任選一個，解決以下問題：

(1)求角A的大小；

(2)如圖，若△ABC為銳角三角形，且其面積為32，且AM=12AC，AN=2答案解析1.A

【解析】解：復(fù)數(shù)z=(∴z=?i，虛部是故選A．2.B

【解析】解：由題意，當(dāng)直線與平面所成的角相等時，兩條直線可能平行、相交或異面，

則充分性不成立，

當(dāng)兩條直線平行時，此時與平面所成的角相等的，必要性成立，

所以兩條直線和一個平面所成的角相等是這兩條直線平行的必要不充分條件．

故選：B．

根據(jù)直線所處不同位置可以分析充分性，再根據(jù)兩直線平行，可判斷與面所成角相等即可判斷必要性．

本題主要考查條件關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．3.B

【解析】解：a，b為單位向量，且(2a?b)⊥b，

可得(2a?b)?b=2a4.D

【解析】解：選項A中，m，n可能平行，可能垂直也可能異面，故A不正確;

選項B中，a與β還可能平行或相交，故B不正確;

選項C中，n可能在α內(nèi)，故C不正確

選項D中，即滿足線面平行的性質(zhì)，故D正確

故選D5.ABC

【解析】解：由函數(shù)f(x)=2sin(x+2θ)·cosx(0<θ<π2可得2sin2θ=2，即sin2θ=1，

又0<θ<π2，

∴0<2θ<π，故f(x)=2sin(x+2θ)?當(dāng)x=π4時，f(x)=1，故Af(x)的最小正周期為2π2=π顯然，f(x)=cos2x+1∈[0,2]，故D正確，故選：ABC．6.A

【解析】解：由已知得b2=ac，

因此a2+3bc=c2+ac，

可化為b2+c2?a27.D

【解析】解：∵銅鏃由兩部分組成，前段是高為2cm、底面邊長為1cm的正三棱錐，

∴正三棱錐的底面正三角形邊長為1，設(shè)正三角形內(nèi)切圓半徑為r，

由等體積法得：12×1×1×sin60°=12×(1+1+1)r，

解得r=36，∴其內(nèi)切圓半徑為38.C

【解析】解：如圖所示：

設(shè)線段BC的中點為D，則AB+AC=2AD，

∵AC2?AB2=2AM?BC，

∴(AC+AB)?(AC?AB)=2AM?BC，9.AD

【解析】解：對于A，∵a=(1,?3)，b=(2,?6)，∴1×(?6)?(?3)×2=0，∴a/?/b，

∴{a,b}不可以作為平面內(nèi)所有向量的一個基底，故A錯誤；

對于B，∵a=(1,?3),b=(0,1)，

∴a在b上的投影向量的坐標(biāo)為a?b|b|·b|b|=?31·b1

=?3(0,1)=(0,?3)，故B正確；

對于C，由|a+b|=|a?b|兩邊同時平方得：a?b=0，

∵a10.CD

【解析】解：如圖甲，∵AB=BC=2,??∠ABC=120°，

在折疊前的

?ABC中，取DC的中點G，連接BD,??BG，

由余弦定理可得AC=23，∠DAE=30°．

∵D為AC的中點，

∴

AD=DC=3,BD⊥AC,BD=1,

∵

DE→?AB→=0?DE⊥AB，

在

Rt△ADE中，DE=32,AE=32，故EB=12.

在

Rt△BDG中，

tan∠BGD=BDDG=132=233，

tan∠ADE=tan60°=3，

∴∠BGD≠∠ADE?BG與DE不平行．

∵DE⊥AB，將△ADE沿DE翻折，得到直二面角A?DE?B，如圖乙，

∴AE⊥DE,EB⊥DE，

AE∩EB=E，AE，EB?平面AEB，

∴DE⊥平面AEB，∠AEB=90°．

對于A選項，AB2=AE2+EB2=104，AD=3,BD=1，

∴BD2+AD2≠AB2，故AD與BD不垂直，故A選項錯誤；

對于B選項，∵G為DC的中點，F(xiàn)為AC的中點，

∴FG//AD，∵FG?平面ADE，AD?平面ADE，

故FG//平面ADE，

假設(shè)BF//平面ADE，

∵BF∩FG=F，BF，F(xiàn)G?平面BGF，

可得平面BGF//平面ADE，

∵平面BGF∩平面DEBC=BG，平面ADE∩平面DEBC=DE，

進(jìn)而可得BG//DE，11.ABD

【解析】

圖1

對于A，如圖1，連接A1D，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，由A1B1//AB//DC，A1B1=AB=DC，則A1D//B1C.

因D1C1⊥平面ADD1A1，A1D?平面ADD1A1則D1C1⊥A1D，

又A1D⊥AD1且AD1∩D1C1=D1，AD1，D1C1?平面AC1D1，故A1D⊥平面AC1D1，

因PC1?平面AC1D1則得A1D⊥PC1，又A1D//B1C，故得B1C⊥PC1，即A正確;

圖2

對于B，如圖2，設(shè)B1C∩BC1=M，A1D∩AD1=N，連接DC1，BD，MN，因DC1=BD，BM=MC1，則DM⊥BC1，

因C1D1⊥平面BCC1B1，BC1?平面BCC1B1，則C1D1⊥BC1，因C1D1//MN，故MN⊥BC1，

又因點P在線段AD1上，即在平面ABC1D1內(nèi)，故12.?7【解析】解：∵cos(α?π4)=35，13.19

【解析】解：∵?3+2i是關(guān)于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一個根，

∴?3?2i也是關(guān)于x的方程x2+px+q=0(其中p，q∈R)的一個根．

則?3?2i+(?3+2i)=??p，(?3?2i)(?3+2i)=?q，

解得p=6，q=13，

∴p+q=19．14.6【解析】解：如圖，取BD中點E，取正三角形ABD的中心F，

根據(jù)題意可知BD⊥AE，BD⊥CE，從而可得BD⊥平面AEC，

易知BD=22，AE=6，CE=12BD=2，∴EF=13AE=63，又AC=14，

∴cos∠AEC=6+2?142×6×2=?32，∴∠AEC=150°，∴sin∠AEC=12，

∴三棱錐A?BCD的體積為13×15.解：(1)設(shè)b=(x,y)，則x2+y2=23x+y=0，

解得x=1y=?3或x=?1y=3，

所以b=(1,?3)或(?1,3).

(2)因為(2a【解析】本題主要考查了向量平行關(guān)系的坐標(biāo)表示，向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示與向量的垂直關(guān)系，利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算求向量的夾角的應(yīng)用，

(1)根據(jù)已知及向量平行關(guān)系的坐標(biāo)表示的計算，得x2+y2=23x+y=0，求出向量16.解：(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴BC//AD，又BC?平面BCF，AD?平面BCF，

所以AD//平面BCF，

∵DE//CF，CF?平面BCF，DE?平面BCF，

所以DE//平面BCF，

又AD∩DE=D，AD，DE?平面ADE，

∴平面BCF//平面ADE，

又AE?平面ADE，

∴AE//平面BCF；

(2)∵平面ADE⊥平面DCFE，平面ADE∩平面DCFE=DE，CD⊥DE，CD?平面DCFE，

∴CD⊥平面ADE，

∵AD?平面ADE，

∴CD⊥AD，

∴AC=AD2+CD2=22+(22)2=23，

作AO⊥DE于O，分別連接AC，AO，CO，

因為平面ADE⊥平面DCFE，平面ADE∩平面DCFE=DE，AO?平面ADE，

所以AO⊥平面CDEF，

所以直線AC與平面CDEF所成角為∠ACO，

∵∠ADE=45°，∴AO=AD2=2，

所以sin∠ACO=AOAC=223=66，

即直線AC與平面CDEF所成角的正弦值為66；

(3)連接DF，設(shè)點F到平面ABCD【解析】本題考查線面平行的判定，線面角的求法，點到平面的距離等知識，屬中檔題．

(1)由線面平行的判定定理可得AD//平面BCF，DE//平面BCF，再由面面平行的判定定理和性質(zhì)定理可得答案；

(2)作AO⊥DE于O，由面面垂直的性質(zhì)定理可得CD⊥平面ADE，AO⊥平面CDEF，連結(jié)CO，直線AC與平面CDEF所成角為∠ACO，求出正弦值即可；

(3)由(2)得AO⊥平面CDEF，又VF?ACD17.(1)證明：因為SD=SA，又M為AD的中點，所以SM⊥AD，

又BC//AD，所以SM⊥BC，

又M為AD的中點，底面ABCD為菱形，∠ABC=60?°，

所以CM⊥AD,AD//BC，所以CM⊥BC，

因為CM⊥BC，又SM⊥BC，SM∩CM=M，SM?平面SCM，CM?平面SCM，

所以BC⊥平面SCM，因為BC?平面SBC，

所以平面SBC⊥平面SCM；

(2)解：取BS的中點N，連接AN，又SA=AB，所以AN⊥BS，

又平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC=SB，AN?平面SAB，

所以AN⊥平面SBC，

又AB與平面SBC所成的角為30?°，所以∠ABN=30°，

又AB=2,AN⊥BN，所以AN=1,BN=3,BS=23，

由(1)知BC⊥平面SCM，又SC?平面SBC，

所以BC⊥SC，

又BS=23,BC=2，所以CS=BS2?BC2=22，

取CS的中點E，連接AE,DE，因為SA=AC=CD=SD，所以AE⊥CS,DE⊥CS，

所以∠AED是二面角A?SC?D的平面角，

又AC=CD=2,CE=【解析】本題考查面面垂直的判定以及二面角的計算，屬于較難題．

(1)推導(dǎo)出BC⊥平面SCM，由此可證明平面SMC⊥平面SBC；

(2)由線面角的定義得到邊長之間的關(guān)系，利用二面角的定義找出二面角的平面角，求解即可．18.解：(1)在圖1中，∠C=90°，AB=4，BC=2，D是AC中點，

所以A=30°，AC=23，

則AD=3，AE=32AD=32，BE=52，

則PE=AE=32，

又PB=342，

所以PE2+BE2=PB2，BE⊥PE，

因為DE⊥AB，

則PE⊥DE，

又DE∩BE=E，DE，BE?平面BCDE，

所以PE⊥平面BCDE，

因為BC?平面BCDE，

所以PE⊥BC．

(2)由題意知DE⊥BE，DE⊥PE，PE∩EB=E，PE?平面PEB，EB?平面PEB，

所以ED⊥平面PEB，

則∠PEA為二面角P?DE?A的平面角(或補角)，即∠PEA為銳角，

又ED?平面BCDE，

所以平面PBE⊥平面BCDE，

作PH⊥BE所在直線，交于點H，如圖，

又平面PBE∩平面BCDE=BE，PH?平面PBE，

所以PH⊥平面BCDE，

又BC?平面BCDE，

所以PH⊥BC，

作HG⊥BC于點G，連接PG，

又PH∩HG=H，PH，HG?面PHG，

故BC⊥面PHG，

因為PG?面PHG，則BC⊥PG，

所以∠PGH為二面角P?BC?E的平面角(或補角)，

設(shè)∠PGH=θ，則tanθ=269，

在△ABC中，A=30°，

設(shè)CG=x(0<x<34)，則AH=2x，HE=32?2x，HB=4?2x，

所以PH=94?(【解析】本題考查空間中垂直