人教版初中八年級數(shù)學上冊同步講義- 等腰（邊）三角形的判定與性質（30題）（原卷版）

專題第01講等腰（邊）三角形的判定與性質

—.解答題（共30小題）

1.（2022秋?韓城市期末）如圖，已知點D,￡分別是△/3C的邊R4和3c延長線上的點，作ND/C的平

分線4F,若AF〃BC.

（1）求證：△N2C是等腰三角形;GF

（2）作//CE的平分線交/少于點G,若乙8=40°,求//GC的度數(shù).

CE

2.（2023春?修水縣期末）在△/8C中，3。和CD分別平分//2C和//C8,過點。作E尸〃BC,分別交

AB,/C于點￡,F.A.

（1）若請判斷44環(huán)是否是等腰三角形，并說明理由；A

（2）若△ZBC的周長為18,BC=6,求的周長./\

D

BC

3.（2023春?新泰市期末）如圖，在△/BC中，AB^AC,//2C的平分線BE交/C于點D,AFLAB$

BE于點F.

（1）如圖1,若/A4C=40°,求乙4尸￡的度數(shù).

（2）如圖2,BDLAC,垂足為。，BF=8,求DF

的長.

4.（2023春?淄博期末）如圖，△NBC中，AB=AC,。是上一個動點，DFLBC于點尸，交C4延長線

于點￡,

（1）試判斷/〃、/￡的大小關系，并說明理由;

（2）當點。在胡的延長線上時，其他條件不變，（1）中的結論是否還成立？請說明理由.

5.(2023春?鄲都區(qū)期末)如圖,〃9V,和/C3N的角平分線交于點交3c于點E.(解

答過程要求寫出每步推導的理由)

(1)求/3DC的度數(shù)；

(2)若4B=4C,求證：AELBC.

6.(2023春?皇姑區(qū)期末)按邏輯填寫步驟和理由，將下面的求解過程補充完整如圖，在△NBC中，ADL

BC于點D,NB=2NC,若/B=6,BD=2,求CD的長.

解：在線段CD上取一點￡,使ED=BD,連接

:ED=BD,AD±BC,

'.AB=AE().

=/AEB().

?；/B=2NC,

：.ZAEB=2ZC.

VZAEB+ZAEC^180°(),

ZEAC+ZC+ZAEC^180°(________________),

ZAEB=ZEAC+ZC.

：.=ZEAC.

：.=().

：.AB=CE().

\'AB=6fBD=2,

：.CE=6,ED=2.

：.CD=CE+ED=6+2=8.

7.（2023春?楊浦區(qū)期末）已知在△A8C中，AB=4C,點。是邊上一點，ZBCD乙4.

（1）如圖1,試說明CO=C3的理由;

（2）如圖2,過點3作8ELNC,垂足為點E,BE與CD相交于點足

①試說明/3CD=2/C3￡的理由；

②如果△8DF是等腰三角形，求//的度數(shù).

8.（2023春?高陵區(qū)期末）如圖，在△/BC中，AB=AC.過點/作2C的平行線交。的角平分線于點

D,連接CD

（1）求證：△NCD為等腰三角形.

（2）若/氏40=140。，求乙8DC的度數(shù).

9.（2023春?寶山區(qū)期末）如圖，△/BC中，AB=AC,點。在邊延長線上，點E在邊/C上，且?！?/p>

BE=AE,延長線段DE交邊于點?B

（1）說明△/￡尸是等腰三角形的理由;

（2）如果是等腰三角形，求//的度數(shù).

E

D

10.（2022秋?祁陽縣期末）（1）操作實踐：△/BC中，N/=90°,N3=22.5°,請畫出一條直線把△43C

分割成兩個等腰三角形，并標出分割成兩個等腰三角形底角的度數(shù)；（要求用兩種不同的分割方法）

（2）分類探究：△N3C中，最小內(nèi)角48=24°,若△N8C被一直線分割成兩個等腰三角形，請畫出相

應示意圖并寫出△4BC最大內(nèi)角的所有可能值；

（3）猜想發(fā)現(xiàn)：若一個三角形能被一直線分割成兩個等腰三角形，需滿足什么條件？（請你至少寫出兩

個條件，無需證明）

11.(2022秋?陽谷縣期末)如圖，已知△48C中，AB=AC,NC與48邊上的高8。、CE相交于點。.

(1)求證：△O5C是等腰三角形.

(2)判斷點O是否在/H4C的平分線上，并說明理由.

12.(2022秋?禹州市期末)如圖，在△NBC中，AB=AC,。是上的一點，過點。作3c于點E,

延長和C4,交于點足

(1)求證：△/￡＞尸是等腰三角形；

(2)若/尸=30°,BD=4,AD=2,求EC的長.

BEC

13.（2022秋?開福區(qū)校級期末）已知在△48C中，//C3的平分線CD交48于點。，DE//BC.

（1）如圖1,求證：△[￡>￡是等腰三角形;

（2）如圖2,若DE平分//DC交/C于￡,ZABC=30o,在8c邊上取點/使3尸=D尸，若8C=12,

求。尸的長.

圖2

14.（2022秋?沙依巴克區(qū)校級期末）如圖，中，AB=AD,4c平分/B4D,交AD于點E.

（1）求證：LBCD是等腰三角形；

（2）若//8。=50°,Z5CZ）=130°,求N4SC的度數(shù).

15.(2023春?東港市期末)如圖，點O是等邊△4BC內(nèi)一點，。是△/2C外的一點，ZAOB^110°,Z

BOC=a,LBOC咨LADC,ZOCD=60°,連接OD.

(1)求證：△OCD是等邊三角形；

(2)當a=150。時，試判斷的形狀，并說明理由;

(3)探究：當a為多少度時，△/OD是等腰三角形.

16.(2023春?榆陽區(qū)期末)如圖，在RtZUBC中，ZACB^90a,N3=30°,DE是N2的垂直平分線,

交4B、BC于點D、￡連接CD、AE.求證:

(1)△4DC是等邊三角形；

(2)點E在線段CD的垂直平分線上.

17.(2023春?渠縣校級期末)如圖，在△NDB中，NADB=6Q°,DC平分/ADB,交N5于點C,且DC

±AB,過C作CE〃D/交于點E,連接ZE.

(1)求證：是等邊三角形.

(2)求證：AELDB.

DEB

18.（2022秋?青秀區(qū)校級期末）已知：如圖，△4BC、△（2￡）￡都是等邊三角形，AD、BE相交于點。，點

M、N分別是線段4D、的中點.

（1）求證：AD=BE；

（2）求NDOE的度數(shù)；

（3）求證：是等邊三角形.

19.（2022秋?離石區(qū)期末）已知，在等邊三角形48c中，點E在上，點。在C2的延長線上，且助

=EC.

（1）【特殊情況，探索結論】

如圖1,當點￡為N8的中點時，確定線段/￡與。8的大小關系，請你直接寫出結論：AEDB（填

或“=

（2）【特例啟發(fā)，解答題目】

如圖2,當點E為N5邊上任意一點時，確定線段與。3的大小關系，請你直接寫出結論，DB

（填“>”、“<”或“="）；理由如下，過點E作跖〃8C,交NC于點?（請你完成以下解答過程）.

（3）【拓展結論，設計新題】

在等邊三角形ABC中，點￡在直線AB上，點。在線段C8的延長線上，且￡D=EC,若△/BC的邊長

為1,4E=2,求CD的長（請你畫出相應圖形，并直接寫出結果）.

圖1圖2

20.（2023春?畢節(jié)市期末）已知：如圖，點C為線段上一點,

△ACM,△C8N都是等邊三角形，AN交MC于點,E,BM交CN于■點、F.

（1）求證：AN=BM；

（2）求證：△CM為等邊三角形.

21.（2022秋?南充期末）如圖，在等邊△NBC中，4c=12cm,點M以2cm/s的速度從點2出發(fā)向點/運

動（不與點/重合），點N以3ca/s的速度從點C出發(fā)向點2運動（不與點2重合），設點N同時運

動，運動時間為舊

（1）在點M,N運動過程中，經(jīng)過幾秒時△8兒加為等邊三角形?

（2）在點N運動過程中，的形狀能否為直角三角形，若能，請計算運動時間/；若不能，請

說明理由.

（備用圖）

22.（2022秋?長清區(qū)期末）如圖，已知/E_L3C,ZADB=120°,ZB=40°,ZCAE=30°.

（1）求證：△/CD為等邊三角形;

（2）求/歷1C的度數(shù).

23.（2022春?林甸縣期末）如圖△NBC為等邊三角形，直線a〃48,。為直線3C上任一動點，將一60°

角的頂點置于點。處，它的一邊始終經(jīng)過點/,另一邊與直線。交于點￡.

（1）若。恰好在8c的中點上（如圖I）求證：△/￡>￡是等邊三角形;

（2）若。為直線3c上任一點（如圖2）,其他條件不變，上述（1）的結論是否成立？若成立，請給予

證明；若不成立，請說明理由.

24.（2021秋?隨縣期末）在△/8C中，AB=AC,ZBAC=nO°,AD±BC,垂足為G,S.AD=AB.ZEDF

B

D

=60°,其兩邊分別交邊AB,/C于點￡,F.

（、1）求證：是等邊三角形；

(2)求證：BE=AF.

25.（2021秋?白水縣期末）如圖，在四邊形48CD中，AB=AD,CB=CD,N/=60°,點￡為工。上一

點，連接3。，CE交于點尸，CE//AB.

（1）判斷的形狀，并說明理由;

（2）若/。=12,CE=8,求CF的長.

26.（2021秋?閻良區(qū)期末）如圖，點PM,N分別在等邊△NBC的各邊上,

B鼠

且〃P_L4B于點P,〃N_LBC于點M,PN_L4c于點N.

（1）求證：△尸兒加是等邊三角形；

（2）若AB=12cm,求CM的長.

27.（2022春?汝州市期末）數(shù)學課上，張老師舉了下面的例題：

例1：等腰三角形/8C中，ZA=110°,求的度數(shù).（答案：35°）

例2：等腰三角形/5C中，//=40°,求的度數(shù).（答案：40°或70°或100°）

張老師啟發(fā)同學們進行變式，小敏編的題目如下：

變式題：等腰三角形4BC中，N/=80°,求N8的度數(shù).

（1）請你解答上面的變式題.

（2）請繼續(xù)探索，完成下面問題：等腰三角形/8C中，ZA=60°,則N3的度數(shù)為60。.

（3）根據(jù)以上探索，我們發(fā)現(xiàn)，//的度數(shù)不同，得到的度數(shù)的個數(shù)也可能不同.請你直接寫出當

//滿足什么條件時，能得到三個不同的度數(shù).

28.（2021秋?臨河區(qū)期末）在等邊三角形4BC中，點￡在43上，點。在C2的延長線上，且

（1）當點E為N2的中點時，如圖1,求證：EC=ED；

（2）當點E不是的中點時，如圖2,過點￡作廢'〃8C,求證是等邊三角形;

（3）在第（2）小題的條件下，EC與ED還相等嗎，請說明理由.

29.（2023春?大竹縣校級期末）（1）如圖1,已知：在△NBC中，AB=AC=]Q,BD平分/ABC,CO平分

ZACB,過點。作即〃BC,分