數(shù)列大題專(zhuān)題(含解析)

PAGEPAGE1數(shù)列大題訓(xùn)練一、解答題1.設(shè)數(shù)列{????}的前??項(xiàng)和為????.已知??2=4，????+1=2????+1，??∈N?.（1）求通項(xiàng)公式????；（2）求數(shù)列{|????????2|}的前??項(xiàng)和.2.已知??,??,??,???,??

為正整數(shù)且??

>??

>??

>???>??

>1，將等式(1?1)+(1?1)+(1?1)+??01 2 ??

0 1 2 ??

??1

??2

??3?+(1?1)=2(1?1)記為(?)式.???? ??0（1）??(??)=1?1

，??∈[2,+∞)的值域；（2）試判斷當(dāng)??=1時(shí)（或2時(shí)），是否存在??0，??1（或??0，??1，??2）使(?)式成立，若存在，寫(xiě)出對(duì)應(yīng)??0，??1（或??0，??1，??2），若不存在，說(shuō)明理由；（3）求所有能使(?)式成立的????（0≤??≤??）所組成的有序?qū)崝?shù)對(duì)(??0,??1,??2,???,????).3.已知函數(shù)??(??)=log3(??+1)(??>0)的圖象上有一點(diǎn)列??(??

,??)(??∈???)，點(diǎn)??

在??軸上的射影是??+1

?? ???? ??????(????,0)，且????=3?????1+2(??≥2且??∈???)，??1=2.（1）求證：{????+1}是等比數(shù)列，并求出數(shù)列{????}的通項(xiàng)公式；2 1（2）對(duì)任意的正整數(shù)??，當(dāng)??∈[?1,1]時(shí)，不等式3???6????+>????恒成立，求實(shí)數(shù)??的取值范3圍.（3）四形?????? ??

1 1的積是?? ，證： +

+?+1

<3.??????+1??+1

??

??????4.已知n為正整數(shù)，數(shù)列{a}滿(mǎn)足a＞0，4(??+1)??

2?????

2=0，設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足??

=????2n n ??

??+1

n ??

????{??}??{??}（1）證數(shù)列 等數(shù)列；√（2）若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)t的值；1（3）數(shù){bn}是差列前n和為Sn ，任的n∈N* ，存在m∈N* ，使得8a2Sn﹣11a4n2=16bm成立，求滿(mǎn)足條件的所有整數(shù)a1的值．1?? 2 ??5.已知數(shù)列{????}和{????}滿(mǎn)足：??1=??,數(shù)，??為正整數(shù)．

??+1=3????+???4,????=(?1)

(?????3??+21)其中??為實(shí)（1）對(duì)任意實(shí)數(shù)??，證明數(shù)列{????}不是等比數(shù)列；（2）對(duì)于給定的實(shí)數(shù)??，試求數(shù)列{????}的前??項(xiàng)和????；0<??<????????<<????的6.已知數(shù)列{????

}滿(mǎn)足??1

=1，????+1

=1?14????

，其中??∈???.（1）設(shè)????

= 2

，求證：數(shù)列{????

}是等差數(shù)列，并求出[????

}的通項(xiàng)公式；設(shè)

=4??????+1

????+2

}n

<1

對(duì)于??∈???恒成立，求m的最小值.7.設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{????}中，??1+??3=10，??3+??5=40，數(shù)列{????}的前??和????=??2+7??．2（1）求數(shù)列{????}、{????}的通項(xiàng)公式；（2）

=1，????+1

=

+?????3????

，求證：????

<3．111???????11

+ 1??2???2

+??????+ 1?????????

>??

對(duì)任意正整數(shù)??均成立？若存在，求出??+8.已知數(shù)列{??}的各項(xiàng)均為非零實(shí)數(shù)，其前n項(xiàng)和為??+

，且????.??（1）若??3=3，求??3的值；

?? 1=????+2（2）若??2021=2021??1，求證：數(shù)列{????}是等差數(shù)列；（3）若??1=1，??2=2，是否存在實(shí)數(shù)??，使得|2?????2????|≤??|??2???2|對(duì)任意正整數(shù)??，??恒成立，若存在，求實(shí)數(shù)??的取值范圍，若不存在，說(shuō)明理由.??2???

?? ???? 9.知列{????}和{????},=1,??2=3,????+1=?? ???1?? ???1

,(??∈???且??≥2),????=1????2(????+1)2?5????+1(I)求??3,??4;

,(??∈???).(Ⅱ)猜想數(shù)列{????}的通項(xiàng)公式,并證明;Ⅲ( )??(??)=x+1Ⅲ??+2

,|??(????

)???|≤16

對(duì)任意??∈???恒成立,求??的取值范圍.210.已知數(shù)列{????}滿(mǎn)足：??1=?3,????+1=

?2?????3(??∈ ???）.3????+4（1）證明：數(shù)列{1}是等差數(shù)列，并求{??

}的通項(xiàng)公式；????+1 ??3?數(shù)列{????}足：=2(????+1)(??∈ ??3?

對(duì)切??∈ ???

，都有(1???1)(1???2)...(1?

)≤ ??

成立，求實(shí)數(shù)??的最小值.11.{????}pn，總有(????+1???)(???????)<0{????}為“p-”．（Ⅰ）設(shè)????=2???1，????=(?由；

1??)2)

，??∈???

，判斷{????}、{????}是否為“p-擺動(dòng)數(shù)列”，并說(shuō)明理（Ⅱ）已知“p-擺動(dòng)數(shù)列”{????

}滿(mǎn)足????+1

=1????+1

，

=1，求常數(shù)p的值；（Ⅲ）設(shè)????=(?1)???(2???1)，且數(shù)列{????}的前n項(xiàng)和為????，求證：數(shù)列{????}是“p-擺動(dòng)數(shù)列”，并求出常數(shù)p的取值范圍．12.等差數(shù)列{????}的前??項(xiàng)和為????.（1）求證：數(shù)列

????{??}

是等差數(shù)列；（2）若

=1,{√????

公為 的差數(shù)，使????+1?????+2} 1????} 1

為整數(shù)的正整數(shù)??的取值集合；（3）??=??????(??0)??1+??2+?…+????≤1+??2.?? ?? 213.已知數(shù)列{????}的前??項(xiàng)和為????，且????=2?????2．（1）求{????}的通項(xiàng)公式；（2）在????與????+1之間插入??個(gè)數(shù)，使這??+2個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為????的等差數(shù)列，在數(shù)列{????}中是否存在3項(xiàng)????，????，????（其中??，??，??成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．14.已知遞增的等比數(shù)列{????}滿(mǎn)足??2+??3+??4=28，且??3+2是??2，??4的等差中項(xiàng).（1）求{????}的通項(xiàng)公式；2（2）若????=????log1????，????=??1+??2+??3+?+????求使????+???2??+1>30成立的??的最小值.215.{????}=1??2=??????+1=??(????+????+2)??∈???{????}的前??項(xiàng)和為????．（1）若{????}是等差數(shù)列，求??的值；（2）若??=1，??=?12

，求????；（3）是否存在實(shí)數(shù)??，使數(shù)列{????}是公比不為1的等比數(shù)列，且任意相鄰三項(xiàng)????，????+1，????+2按某順序排列后成等差數(shù)列？若存在，求出所有??的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．16.n11kak（k=1，2，…，n）．（1）求數(shù)列{ak}的通項(xiàng)公式；（2）當(dāng)k為何值時(shí)，ak的值最大，求出ak的最大值．17.已知等比數(shù)列{????}的公比??>1，??2，??3是方程??2?6??+8=0的兩根．（1）求數(shù)列{????}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{2???????}的前??項(xiàng)和????．18.{????}????2=????+1?????1??(??2??1)2???2??∈????為常數(shù).（1）若{????}是等差數(shù)列，且公差??≠0，求??的值；（2）若??1=1,??2=2,??3=4，且存在??∈[3,7]，使得???????≥?????對(duì)任意的??∈???都成立，求??的最小值；（3）??≠0{????}??????+??=??????∈???均成立.{????}??.19.已知等差數(shù)列{????}滿(mǎn)足??2=5，??4+??5=??3+13.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{????}的前??項(xiàng)和為????，且??2??4=81，S3=13.（1）求數(shù)列{????}、{????}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)????=????????，數(shù)列{????}的前??項(xiàng)和為????，求????.20.公差不為零的等差數(shù)列{????}中，??1，??2，??5成等比數(shù)列，且該數(shù)列的前10項(xiàng)和為100，數(shù)列

}的前n項(xiàng)和為????

，滿(mǎn)足=?1, ??∈???．(Ⅰ)求數(shù)列{????}，{????}的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)令????

=1+????4????

，數(shù)列{????

}n

，求

的取值范圍．21.已數(shù){an}前n和為Sn ，且Sn+an=4，n∈N*．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；dn=cn+logCan（C＞0{dn}C（3）若數(shù)列，對(duì)于任意的正整數(shù)n，均有ba+ba

+ba

1+…+ba=（1

）n﹣??+2

成立，求證：數(shù)n列{bn}是等差數(shù)列．

1n 2n﹣1

3n﹣2

n1 2 222.已知數(shù)列{????

}滿(mǎn)足??1

=1,????+1

=1?14????

,其中??∈???.（1）設(shè)????

= 2

,求證:數(shù)列{????

}是等差數(shù)列,并求出{????

}的通項(xiàng)公式;（2）設(shè)????

=4??????+1

,數(shù)列{????

????+2

}的前??項(xiàng)和為????.23.已數(shù){an}前n和為Sn ，且足12Sn﹣36=3n2+8n，數(shù){log3bn}等差列且b1=3，b3=27．（Ⅰ）求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令c=（﹣1）n(???5)+?? ，求數(shù){c}前n項(xiàng)和T．n ?? 12 ?? n n24.已知q和n均為給定的大于1的自然數(shù)，設(shè)集合M＝{0，1，2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1 ，xi∈M，i＝1，2，…，n}．（1）當(dāng)q＝2，n＝3時(shí)，用列舉法表示集合A.（2）設(shè)s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1 ，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1 ，中ai ，bi∈M，i＝1，2，…，n.證：若an＜bn ，則s＜t. ?25.已知數(shù)列{????}的首項(xiàng)??1=??(??>0)，其前n項(xiàng)和為????，設(shè)????=????+????+1(??∈??).（1）若??2=??+1，??3=2??2，且數(shù)列{????}是公差為3的等差數(shù)列，求??2??；（2）設(shè)數(shù)列{????}的前??項(xiàng)和為????，滿(mǎn)足????=??2.①求數(shù)列{????}的通項(xiàng)公式；②若對(duì)???∈???，且??≥2，不等式(?????1?1)(????+1?1)≥2(1???)恒成立，求a的取值范圍.26.是否存在一個(gè)等比數(shù)列{a}同時(shí)滿(mǎn)足下列三個(gè)條件：①a+a=11且aa=

；②a

＞a（n∈N*）；n 1 6

34 9

n+1 n③至少存在一個(gè)m（m∈N*且m＞4），使得2a

，a2 ，a

+4依次構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求出通項(xiàng)公式；若不存在，說(shuō)明理由．

3 m﹣1 m

m+1 927.設(shè){????}是等差數(shù)列，??1=?8，且??2+8，??3+6，??4+4成等比數(shù)列.（1）求{????}的通項(xiàng)公式；（2）求{????}的前??項(xiàng)和????的最小值；（3）若{????}是等差數(shù)列，{????}與{????}的公差不相等，且??5=??5，問(wèn)：{????}和{????}中除第5項(xiàng)外，還有序號(hào)相同且數(shù)值相等的項(xiàng)嗎？（直接寫(xiě)出結(jié)論即可）28.已知數(shù)列{??

}滿(mǎn)足1??

≤??

≤3?? ，??∈???，??

=1.?? 3??

??+1 ?? 1（1）若??2=3，??3=??，??4=6，求??的取值范圍；（2）若{??}是公比為??的等比數(shù)列，??

=??+??

+?+??

，1??

≤??

≤3??，??∈???，求????的取值范圍；

?? 1 2

?? 3??

??+1（3）若??1,??2,?,????成等差數(shù)列，且??1+??2+?+????=2020，求正整數(shù)??的最大值.29.若數(shù)列{????}是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列{????}滿(mǎn)足b1＝1，b2＝2，且anbn＋bn＝nbn＋1.（1）求數(shù)列{????},{????}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列{????

}滿(mǎn)足????

=????+1????+1

，數(shù)列{????

}n

，若不等式(－1)????<????

+??2???1對(duì)一切n∈N*恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.30.設(shè)????是數(shù)列{????}的前??項(xiàng)之積，且滿(mǎn)足????=3?????，??∈???.（1）求證：數(shù)列

{1

12?}是等比數(shù)列，并寫(xiě)出數(shù)列{????}的通項(xiàng)公式；2（2）設(shè)?? 數(shù)列{??

}是前??項(xiàng)之和，證明：??+1?1<??

<??+2?2.?? ??

??

????31.{an}an+1+an=4n﹣3，n∈N*（1）{an}a1（2）a1=﹣3{an}nSn；（3）對(duì)意的n∈N* ，有????2+????+12????+????+1

≥5a1

的取值范圍．32.????????中，內(nèi)角??,??,??的對(duì)邊分別是??,??,??，已知??,??,??成等比數(shù)列，且

??=3．（Ⅰ）求 1tan??

+1tan??

的值；

cos 4Ⅱ（ 設(shè)?=3Ⅱ2

，求??+??的值．33.已知數(shù)列{????}的前??和為????，且滿(mǎn)足??????=?????1，其中??≠0且??≠1.（1）證明：數(shù)列{????}是等比數(shù)列；（2）當(dāng)??=12

，令????

=(??+1)????

，數(shù)列{????

}的前??項(xiàng)和為????

，若需????>2019恒成立，求正整??數(shù)??的最小值.34.已知數(shù)列{????

}滿(mǎn)足??1

=1，????+1

=????1+??1+??2

，??∈???，記????

，

分別是數(shù)列{????

??}，{??2}的??前??項(xiàng)和，證明：當(dāng)??∈???時(shí)，（1）????+1<????；

=1??2??2

?2???1；（3）√2???1<????<√2??.35.設(shè)??為不等于1的正常數(shù)，{????}各項(xiàng)均為正，首項(xiàng)為1，且{????}前??項(xiàng)和為????，已知對(duì)任意的正整數(shù)??,??，當(dāng)時(shí)??>??，?????????=????·???????恒成立.（1）求數(shù)列{????}的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{????}是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，存在一列數(shù)??1,??2,?,????,?：恰好使得????1=??1,????2=??2,?,??????=????,?,且??1=1,??2=2，求數(shù)列{????}的通項(xiàng)公式；（3）當(dāng)??=3時(shí)，設(shè)????

=??

，問(wèn)數(shù)列{????

}中是否存在不同的三項(xiàng)恰好成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的三項(xiàng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由36.已知數(shù)列{??

}滿(mǎn)足

?? ??

?3（??≥2，且??∈???），且??

=?3

，設(shè)????+2=3log1(????+?? 4

??=

???1

1 4 41)，??∈???，數(shù)列{????}滿(mǎn)足????=(????+1)????.（1）求證：數(shù)列{????+1}是等比數(shù)列并求出數(shù)列{????}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{????}的前n項(xiàng)和????；（3）對(duì)于任意??∈???，??∈[0,1]，????

?????2????12

恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.37.已知{????}是遞增的等差數(shù)列，??2，??4是方程x2－5x＋6＝0的根.（1）求{????}的通項(xiàng)公式；??????（2）求數(shù)列{2??}的前??項(xiàng)和.38.已知數(shù)列{??

}的滿(mǎn)足??

=1，前??項(xiàng)的和為??

，且????+1?????= 2

(??∈??*).?? 1（1）求??2的值；

?? ????????+1

4?????1（2）設(shè)????

=???? ????+1?????

，證明：數(shù)列{????

}是等差數(shù)列；（3）設(shè)????=2?????????，若1≤??≤√2，求對(duì)所有的正整數(shù)??都有2??2?????+3√2<????成立的??的取值范圍.39.數(shù)列{????}??（??>0??≠1數(shù)列{????}=?????lg????．（1）求數(shù)列{????}的前??項(xiàng)和????；（2）若對(duì)一切??∈???都有????<????+1，求??的取值范圍．40.等數(shù){an}前n項(xiàng)為Sn ，且

=(????+1)22

數(shù)列{bn}中其前n和為T(mén)n ，且=)(????+12)

，（n∈N*）2（1）求an ，bn；（2）求{anbn}的前n項(xiàng)和Mn．41.??（??）=??????3（??????）??（2，1）??（5，2）????=3??（??）??∈??*．（1）求數(shù)列{????}的通項(xiàng)公式．（2）設(shè)????

=????2??

，

=

+

+?

，

<??（??∈??），求??的最小值．42.已知公比??>0的等比數(shù)列{????}的前??項(xiàng)和為????，且??1=1,??3=13，數(shù)列{????}中，??1=1,??3=3．（1）若數(shù)列{????+????}是等差數(shù)列，求????,????；（2）在（1）的條件下，求數(shù)列{????}的前??項(xiàng)和????．43.已知數(shù)列{bn}是首項(xiàng)b1=1，b4=10的等差數(shù)列，設(shè)bn+2=3log14

an（n∈n*）．（1）求證：{an}是等比數(shù)列；（2）cn=

1

，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn；記，若任正數(shù)等式的最大值．

1??+??1

1+??+??2

+…+

1??+????

??＞24恒成立，求整數(shù)m44.已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列{????}的前五項(xiàng)和??5=20，且??1,??3,??7成等比數(shù)列；（1）求數(shù)列{????}的通項(xiàng)公式；（2）若

數(shù)列{ 1????????+1

}的前??項(xiàng)和，且存在??∈???，使得????

???????

≥0成立，求實(shí)數(shù)??的取值范圍。45.已知{????}為等差數(shù)列，{????}為等比數(shù)列，??1=??1=1，??5=5(??4???3)，??5=4(??4???3).（1）求{????}和{????}的通項(xiàng)公式；??+1（2）記{????}前n和為Sn，證：????????+2<??2 (n∈N*)；n??+1(3?????2)????,??為奇數(shù)（3）n，設(shè)={

????????+2?????1，??為偶數(shù)????+1

，求數(shù)列{????

}的前2n項(xiàng)和.46.{????}{????}??∈N?|?????????|≤??，{????}{????}??(??)．（1）設(shè)無(wú)窮數(shù)列{????}和{????}均是等差數(shù)列，且????=2??，????=??+2(??∈N?)，問(wèn)：數(shù)列{????}與{????}是否具有關(guān)系??(1)？說(shuō)明理由；{????

}是首項(xiàng)為1，公比為131

=????+1

+1，??∈

N?，證明：數(shù)列{????}與{????}具有關(guān)系??(??)，并求A的最小值；（3）設(shè)無(wú)窮數(shù)列{????}是首項(xiàng)為1，公差為??(??∈R)的等差數(shù)列，無(wú)窮數(shù)列{????}是首項(xiàng)為2，公比為??(??∈N?)的等比數(shù)列，試求數(shù)列{????}與{????}具有關(guān)系??(??)的充要條件．47.若正整數(shù)數(shù)列{????}，{????}滿(mǎn)足：對(duì)任意??≥2，??∈N?，都有??1??1+??2??2+?+????????=?????1????+1+3恒成立，則稱(chēng)數(shù)列{????}，{????}為“友好數(shù)列”.（1）已知數(shù)列{????}，{????}的通項(xiàng)公式分別為????=2???1，????=2???1，求證：數(shù)列{????}，{????}為“友好數(shù)列”；（2）已知數(shù)列{????}，{????}為“友好數(shù)列”，且??1=??1=1，求證：“數(shù)列{????}是等差數(shù)列”是“數(shù)列{????}是等比數(shù)列”的充分不必要條件.48.已知以??1為首項(xiàng)的數(shù)列{????}滿(mǎn)足：|????+1|=|????+1|（??∈???）.（1）當(dāng)??1

=?13

時(shí)，且?1<????

<0，寫(xiě)出??2

、??3；（2）若數(shù)列{|????|}（1≤??≤10，??∈???）是公差為?1的等差數(shù)列，求??1的取值范圍；（3）記????為{????}的前??項(xiàng)和，當(dāng)??1=0時(shí)，給定常數(shù)??（??≥4，??∈???），求?????1的最小值.49.定義首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M－數(shù)列”.（1）已知等比數(shù)列{an}滿(mǎn)足：??2??4=??5,??3?4??2+4??1=0，求證:數(shù)列{an}為“M－數(shù)列”；1 2 2（2）知列足:??=1, = ?

，其中S為數(shù)列的前n項(xiàng)和．n 1

????+1 n n①求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；②設(shè)m為整，存“M－數(shù)列”{cn}，對(duì)意整數(shù)k ，當(dāng)k≤m，有??????+1成立，求m最大．50.已知數(shù)列{????}是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，若??1,??2+1,??3成等差數(shù)列.（1）求{????}的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列{????}足=log2????，求??2???2+??2???2+??2???2+???+??2???2 的值.1 2

4 5 6

99 答案解析部分一、解答題1.【答案】（1）解：由題意得{??1+??2=4??2=2??1+1

，則{??1=1??2=3??≥2????+1?????=(+1)2?????1+1)=2????，得????+1=3????.所以，數(shù)列{????}的通項(xiàng)公式為????=3???1,??∈???（2）=|3???1????2|，??∈???，2,1.??≥33???1>??+2=3???1????2,??≥3.{????}??2,=3.當(dāng)??≥3??

=3+9(1?3???2)?(??+7)(???2)=3?????2?5??+11，?? 1?3 2 22,??=1,所以，????={3?????2?5??+11,??≥2,??∈???.22.【答案】（1）解：設(shè)2≤??

<??

，??(??)=1?1

，??(??)=1?1

，??(??)???(??)=1?1=??2???1>0??1??2

1 2 2

??2

1 ??1

2 1 ??1

??21故??(??)=1?1在??∈[2,+∞)上單，??(??) =??(2)=1?1=1當(dāng)??→+∞時(shí)，??(??)=1?→1?? min 2 2 ??1，則??(??)∈[12

,1)??(??

)=1?1

1<??

<??

<??

時(shí)，(1?1)<(1?1)<??

2 1 0

??2

??1(1?1)，當(dāng)??=1時(shí)，1?1<1?1

，所以(?)式不成立；??0

??1

??0當(dāng)??=2時(shí)，(1?1)<(1?1)<(1?1)，(1?1)+(1?1)<2(1?1)，(?)式也不成立，故??2

??1

??0

??2

??1

??0當(dāng)??=1時(shí)（或2時(shí)），不存在??0，??1（或??0，??1，??2）使(?)式成立??(??

)=1?1 1

?? 1 1 1 1 1（3）：由 ??

∈[,1)得，?? 2

<(1? )+(1? )+(1? )+???+(1? )=2(1? )<2 ?? ?? ?? ?? ???? 1 2 3 ?? 02即??<4又可，??=1,??=2 (?)式成要使(?)式立只取??=3??=3時(shí)(1?1)+(1?1)+(1?1)=2(1?1)，即1+2

=1+1+1，??1

??2

??3

??0

??0

??2

??3由題??0,??1,??2,???,????為正整數(shù)且??0>??1>??2>???>????>1，1 1 1若??3=3，否則原式為右邊至多為

++<1，(?)式不成立3 4 51 1 1則??3=2，同理??2=3，否則原式右邊至多為

++<1，2 4 5因此可得1+2

1 1 1=++=

，化簡(jiǎn)得1=1

2>1，??0

??1 3 2

??1

6+??0 6所以3<??1<6，當(dāng)??1=4時(shí)??0=24；當(dāng)??1=5時(shí)，??0=60綜上所述，(??0,??1,??2,???,????)的所有可能解為：(24,4,3,2)或(60,5,3,2)先判斷??(??)=1?1??

的單調(diào)性，再根據(jù)定義域進(jìn)一步求值域；（2）由題干和（1）知，1<??

<??

<??

時(shí)，(1?1)<(1?1)<(1?1)，結(jié)合(?)式判斷可確定不存在；（3）可通2 1 0

??2

??1

??0過(guò)試值法，先確定??

=2，再通過(guò)試值法進(jìn)一步確定??

1 1=3，最鎖定 =

2>1，3 2 ??1

6+??0 6則3<??1<6，分別討論??1=4和??1=5進(jìn)一步確定??0即可3.【答案】（1）解：由????=3?????1+2(??≥2且??∈???)得????+1=3(?????1+1)(??≥2且??∈???)∵??1

+1=3，∴????

+1≠0， ????+1=3，(??≥2且??∈???)∴?????1+1∴∴{????+1}是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列.∴????+1=(??1+1)3???1=3??.∴????=3???1，??∈???（2）解：∵??

=??(??

)=log3(3???1+1)=??，?? ??

3???1+1

3??∵????+1=??+1?3??=??+1

，??∈???，又3??=??+1+2???1>??+1>1，????

3??+1??

3??∴<1{??}(??

???

<0證明數(shù)列{??}單調(diào)遞減)??

??+1 ?? ??113∴當(dāng)??=1，取最大為 .113要使對(duì)任意的正整數(shù)??，當(dāng)??∈[?1,1]時(shí)，不等式3??2

?6????+3>????恒成立，則須使3??2

?6????+13

>(??) =1??max 3??

，即??2

?2????>0，對(duì)任意??∈[?1,1]恒成立，∴??2?2??>0∴{??2+2??>0

，解得??>2或??<?2，∴實(shí)數(shù)??的取值范圍為(?∞,?2)∪(2,+∞).（3）解：|????

|=(3??+1?1)?(3???1)=2?3??，而|????

|=??，????+1

????

3??∴四邊形????????????+1????+1的面積為????=

12(|????+1????+1|+|????????|)|????????+1|1??+1=2(3??+1+

?? ??3??)?2?3

4??+1=31 3 12= =

1=12( ?

1 1)<12( ?

1 1 1)=3(? )??????

??(4??+1)

4??(4??+1)

4??

4??+1

4??

4??+4

?? ??+11+1

+?+1

1 1 1 1 1 1 1<3(1?+?+?+?+?

)=3(1?1

)<3，??1

2??2

??????

2 2 3 3 4

?? ??+1

??+1∴故1+1

+?+1<3

??????a（2）｛yn｝tm的tRtRtn4.答】（1）證：∵數(shù)列{an}滿(mǎn)足an＞0，4(??+1)???? 2???????+1 2=0，2∴2??+1

=4?

2??????

， ????+1∴∴

=2?

????，√??∴ {??∴ {??} 1列 為比列，首為a ，公為2√（2）（1）可得：√??

=a1?2n﹣1 ，an=??12???1√??，????=

????2????

=24???1??．1 ??1 11 ∵列{bn}等數(shù)，∴2b2=b1+b3 11 1 ∴2×2×4×21 ??2

2??

+2×42×3，??3解得t=4或12．1 t=4時(shí)，bn1

24???1??4??

=??211

，是關(guān)于n的一次函數(shù)，因此數(shù)列{bn}是等差數(shù)列．t=12時(shí)，bn=

????211

，bn+1﹣bn=

2(1?2??)4×3??+1

1 ，不是關(guān)于n1 因此數(shù)列{bn}不是等差數(shù)列．綜上可得t=4（3）（2）bn=

??2，111 1對(duì)任的n∈N* ，均在m∈N* ，得8a2Sn﹣a4n2=16bm成1 1即有8a4?1n（1+n）﹣a4n2=16?????12，1 8 1 4化簡(jiǎn)可得m=????12，41當(dāng)a=2k，k∈N* ，m=4??2??1

=nk2 ，任的n∈N* ，符題；4當(dāng)a=2k﹣1，k∈N* ，當(dāng)n=1，m=(2???1)2

=4??2?4??+1

=k2﹣k+1，14 4 4對(duì)任的n∈N* ，不合題．1 1綜上得當(dāng)a1=2k，k∈N* ，對(duì)意的n∈N* ，均在m∈N* ，使得8a2Sn﹣a4n2=16bm1 11（????+11

=2?√??

，再由等比數(shù)列的定義即可得證；（2）運(yùn)用等比數(shù)列通公和差列中的質(zhì)可得2b2=b1+b3 ，方可得t，對(duì)t的，驗(yàn)可到求????值可得b= 1

，任的n∈N* ，均在m∈N* ，得8a2S﹣a4n2=16b

成立，n 1n 1 m4即有8a4?1n（1+n）﹣a4n2=16?????12，討論a

為偶數(shù)和奇數(shù)，化簡(jiǎn)整理，即可得到所求值．1 8 1 4 15.【答案】（1）解：假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)??,使{????}是等比數(shù)列,,4?? 2 2 24由 ??+1=3????+???4,分令??=1,2有??2=3+1?4=3???3,2??3=3??2+2?4=

2(233

???3)?2=

???4.又??2=??1???3即(23

???3)2

=??(49

???4)?

4??2999

?4??+9=

4??2292

?4???9=0,矛盾,所以{????}不是等比數(shù)列.（2）解：因?yàn)??

=(?1)??+1[??

?3(??+1)+21]=(?1)??+12

+???4?3(??+1)+21]=[??(?1)??+1[??

??+1

??+12 ??

3??2(3?????2??+14)=?3(?1)(?????3??+21)=?3????,又??1=?(??+18),所以當(dāng)??=?18,????=0(??∈???),此時(shí)????=0.????+1 2 ?當(dāng)??≠?18時(shí),??1=?(??+18)≠0,

=?3(??∈??),此時(shí),數(shù)列{????

}?(??+18),23

為公比的等比數(shù)列.3∴????=?5(??+18)?[1?(?

2??])3)（3）解：要使??<????<??對(duì)任意正整數(shù)??成立，則??≠?18，∴??<?

3(??+18)?[1?(?5

2??)3)

]<??(??∈???)?? 3得 2??<?5(??+18)<

??2??.1?(?)3令??(??)=1?(?

2??)3)

1?(?)3,則當(dāng)??為正奇數(shù)時(shí),1<??(??)≤53

；當(dāng)??為正偶數(shù)時(shí),

5≤??(??)<1,9∴??(??)的最大值為??(1)=53

,??(??)的最值為??(2)= .595故9??35 5

(??+18)<

3??????<??+18<?3??,即????18<??<?3???185當(dāng)??<??≤3??時(shí),得????18≥?3???18,不存在實(shí)數(shù)滿(mǎn)足要求；當(dāng)??>3??時(shí),??,??,都有??<<??且??(????18,?3??18)【解析】【分析】(1)代入??1,??2,??3求??證明矛盾即可.(2)由????=(?1)??(?????3??+21),代入??+1可?? 2 3得 ??+1=?3再分況=0與≠0的況進(jìn)討即可.(3)第問(wèn)求的=?5(??+??2??18)?[1?(?)3

],代入??<????<??再參變分離求解即可.6.【答案】（1）解：

????+1

?

= 22????+1?1

? 22?????1

22(1?1)?1=4????=

? 2

=4????

? 2 =2，2?????1，由??1=1，得??1=2，所以數(shù)列{????}是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，所以????

=2+(???1)×2=2??

= 2

，得????

=??+12??（2）解：由（1），知??

=2，????

4 1 1= =2(? )，??

????+2

??(??+2)

?? ??+21 1 1

1 1 1 1

1 1 1所以????=2(1?3+2?4+?+???1???+1+???

)=2(1+? ???+2 2 ??+1

)<3，??+2m，使得

<1

對(duì)于??∈???恒成立，只需??+1≥3，解得??≥5，所以m的最小值為52【解析】【分析】(1)結(jié)合遞推關(guān)系可證得????+1?????=2，且b1＝2，即數(shù)列{????}是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，據(jù)此可得數(shù)列{????

}的通項(xiàng)公式為????

=??+12??

；(2)結(jié)合通項(xiàng)公式裂項(xiàng)有????

????+2

1=2(???1)，求和有??

1 1=2(1+?

?1)<3，據(jù)此結(jié)合單調(diào)性討論可得正整數(shù)m的最小值為3．??+2

?? 2

??+1

??+27.【答案】（1）解：設(shè)數(shù)列{????}的公比為??(??>0)，??1+??1??2=10由題意有{??1??2

+??1??4

，=40∴??1=??=2，∴????=2??，∴當(dāng)??≥2時(shí)??

=??

???

=??2+7???(???1)2+7(???1)=??+3．??

???1 2 2當(dāng)??=1時(shí)??1

=

=1+7=4符合上式．2∴????=??+3．（2）解：∵??1

=1<3，????+1

?

=??，2??1 2 當(dāng)??≥2時(shí)，=(??????????1)+(?????1??????2)+?+(??2???1)+=1+2+22+?2???1，∴1∴2????=

1+1+2 22

2+?23

???2+2???1

???1．2??1 1 1

???1

??+1相減整理得：????=2+2+22?+2???2?2???1=3?2???1<3．故????<3．（3）：令??(??)= 1??1???1

+ 1??2???2

+??????+ 1 ，?????????∵??(??+1)???(??)= 1∵????+1?????+1

= 1 ，2??+1????4∴當(dāng)??=1時(shí)，??(2)<??(1)；當(dāng)??≥2時(shí)，??(??+1)>??(??)，∴??(??+1)>??(??)>???>??(3)>??(2)<??(1)．∴??(??)

min

=??(2)=?3．2由不等式恒成立得：??

<?3，2∴??<?15．故存在整數(shù)??，使不等式恒成立，??的最大值為-16．【解析】【分析】（1）設(shè)數(shù)列{????}的公比為??(??>0)，利用已知條件，列出方程組求出數(shù)列的首項(xiàng)和公比，得到????=2??，當(dāng)??≥2時(shí)，????=??????????1，求出通項(xiàng)公式，驗(yàn)證首項(xiàng)即可；（2）利用累加法，結(jié)合數(shù)列求和，推出????

<3；（3）令??(??)= 1??1???1

+ 1??2???2

+??????+ 1?????????

，通過(guò)作差法，判斷??(??+1)>??(??)>???>??(3)>??(2)<??(1)，求出最小項(xiàng)，利用不等式求解??的最大值.8.（1）

????

，令??=1，得??1

??1，+????1=????+2+

??2=??3{????}??2=??1+??2=??3，所以??3=??1+??2+??3=2??3=3，所以?? 3.3=2（2）

????得：+????1=????+2+??1

??1

，??2

??2， ??3

??3，……，?????1

?????1

，相乘得：??1

??1??2，??2=??3

??3=??4

??4=??5

????=????+1

????=????????+1因?yàn)閿?shù)列{????}的各項(xiàng)均為非零實(shí)數(shù)，所以??2????=????????+1，當(dāng)??≥2時(shí)：??2?????1=?????1??????2???????2?????1=????????+1??????1????，即??2(??????????1)=????(????+1??????1)，即??2????=????(????+1??????1)，因?yàn)????≠0，所以????+1??????1=??2，{??2???1}??2，??2021=??1+1010??2=2021??1??2=2??1，所以??2???1=??1+(???1)??2=(2???1)??1，??2??=??2+(???1)??2=2????1，所以????=????1，所以????+1?????=??1，所以數(shù)列{????}是等差數(shù)列.（3）解：當(dāng)??1=1，??2=2時(shí)，由(2)知????=??，所以|2?????2????|≤??|??2???2|，即|2???2??|≤??|??2???2|，

?? ??不妨設(shè)??>??，則2??>2??，??2>??2，所以2???2??≤????2?????2，即2???????2≤2???????2對(duì)任意正整數(shù)??，??（??>??）恒成立，則2??+1???(??+1)2≤2???????2，即2???2???????≤0對(duì)任意正整數(shù)??恒成立，設(shè)????=2?????2，??=1時(shí)，??1=2?1>0；??=2時(shí)，??2=4?4=0；??=3時(shí)，??3=8?9=?1<0；??=4時(shí)，??2=16?16=0；??=5時(shí)，??5=32?25>0；當(dāng)??≥5時(shí)，2??=??0+??1+??2+?+?????2+?????1+????=2(1+??+??(???1) 2 ，?? ??

?? ?? ??

)=??2

+??+2>0所以??≥5時(shí)，????>0,∴2??>??2.所以??≥5時(shí)，2???2???????>??2?2???????，令??2?2???????>0,∴??>??+√??2+??或??<???√??2+??（舍去）.所以當(dāng)??≥5且??>??+√??2+??時(shí)，2???2???????>0，所以不存在滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)??.【解析】【分析】（1）由題得??1

??1

，所以??

??，得??

2??

=3，即得??

的值；（2）利用累??2=??3

2=3

3= 3 3????+1??????1=??2{??2???1}，公差為??2，求出??2???1=(2???1)??1，??2??=2????1????=????1{????}（3）|2???2??|≤??|??2???2|??>??2???????2≤2???????2??，??（??>??）恒成2???2???????≤0????≥5且??≥??+√??2??時(shí)，2???2???????>0，即得解.9.【答案】解：（I）??3=7,??4=15（Ⅱ）猜想：????=2???1??2???

(??+1)2?(??

(??+1)2??+1證明由意?? =?? ???1 ??+1?????1+1

=?? ???1 ?????1+1

=?? ?1?????1+1所以??

+1=(????+1)2

，即????+1+1=????+1

對(duì)所有??≥2且??∈???都成立，??+1

?????1+1

????+1

?????1+1易知????+1≠0,所以{????+1}是以2為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列所以????+1=2??,即:????=2???1(Ⅲ)????=

2???52??由??(??)???≤16,所以 ?16≤??(??)???≤16，?? | 35 | 35 ?? 35即???16≤??(??)≤??+16

恒成立,所以???16≤??(??)

且??+16≥??(??)35 ?? 35

35 ??min

35 ??min??(??)=??+1??+2

= ??+2+1??+2

?2??(??)=??+1

在(0,1)遞減,(1,+∞)遞增,所以??(??)在(?2,?1)遞減,(?1,+∞)遞增.又因?yàn)??

=2???5,??

???

=2???3? 2???5=?2??+7

，當(dāng)??=1,2,3時(shí)??

???

>0，當(dāng)??

??+1

??

2??

2??+1

??+1 ????=4,5,6…時(shí)??

???

<0，以(??) =

{??,??} ??

=3,(??)

=??

=?3

，而當(dāng)??≥3時(shí)，????

??+1 ??=2???5>0.2??

??max

max34

4 16

??min 1 2所以??(??) =

{??(??),??(??)}=??(??) =3+16≤??+16

,所以??≥3，??max

max 1 4

4 16 35 35 16注意到??(?

3 1所當(dāng) 時(shí) ?? 而 )=??(0), ??≥3 ,??(??)≥??(??所當(dāng) 時(shí) ?? 而 2 4

，所以??(??1)>??(??2),即??(??)

=??(??) =9≥???16

，所以??≤109??min

2 28 35

140綜上??∈[3

,109]【解析】【分析】（I）根據(jù)題意，直接代入數(shù)據(jù)，即可得出答案。題所條理配并簡(jiǎn)可到個(gè)首和比是2比數(shù)，用比列項(xiàng)公式????+1=(??1+1)?????1 ，可出案。（Ⅲ）由an對(duì)bn進(jìn)行整理分析，根據(jù)題意解該不等式，對(duì)??(??)進(jìn)行函數(shù)單調(diào)性分析，分別求出??(????)的最??

+1=?2?????3+1=????+1,∴ 1

=3????+4=3+1

1，所以 ???+1

3????+4

????+1+1

????+1

????+1

????+1+11 =3{1

}是項(xiàng)為3差為 3等數(shù)，以 1

=3??,∴??

=1?1.????+1

????+1

????+1

?? 3??12 ??=

135

2???1

? ??(??+1)=（）：已知 ??

，設(shè)??(??)=√2??+1??...2?? 246

(??≥1,??∈ ??2??

），由

??(??)√4??2+8??+3<1得??≥√3

，即??的最小值為√3.4??2+8??+4 2 2由????+1

=?2?????33????+4

1化簡(jiǎn)可得????+1+1

?1????+1

=3，從而判斷等差數(shù)列與通項(xiàng)；（2）由（1）知

=1

，設(shè)??(??)=√2??+112

?3?4

5...6

2???1，由2??

??(??+1)??(??)

=√4??2+8??+34??2+8??+4

<1,得??≥√3.211.【答案】解：（Ⅰ）假設(shè)數(shù)列{????}是“p-擺動(dòng)數(shù)列”，即存在常數(shù)p，總有2???1<??<2??+1對(duì)任意??∈???成立，??=11<??<3；取??=23<??<5p{????}“p-”由????=(?

1??)2)

，于是????????+1=(?

12??+1)2)

<0對(duì)任意??∈???

成立，其中??=0．所以數(shù)列{????}是“p-擺動(dòng)數(shù)列”．（Ⅱ）由數(shù)列{????}為“p-擺動(dòng)數(shù)列”，又??1=1，所以??=1，即存在常數(shù)1<??<1，使對(duì)任意??∈???，總有(??

???)(??

???)<0成立，及2 2 2

??+1 ??(????+2???)(????+1???)<0，所以(????+2???)(???????)>0．因?yàn)??1>??，所以??3>??,?,??2??+1>??．同理因?yàn)??2

<??，所以??4

<??,?,

<??．所以??2??

<??<??2???1

1，即??2???1+1

<??<??2???1，解得??2???1

>√5?12

，即??≤√5?1．21同理??2??+1

>

<√5?12

，即??≥√5?1．2綜上??=√5?1．2（Ⅲ）證明：由????=(?1)???(2???1)，????=(?1)+3+(?5)+?+(?1)???(2???1)．??當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，????=2×2=??；n

=2×???1+(?1)???(2???1)=???．2所以，????=(?1)?????．??=0n????????+1=(?1)2??+1???(??+1)<0{????}是“p-”．當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，因?yàn)????=???，{????}單調(diào)遞減，所以????≤??1=?1，只要??>?1即可．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，{????}單調(diào)遞增，????≥??2，只要??<2即可．綜上，?1<??<2，所以p的取值范圍是(?1,2)．【解析】【分析】（Ⅰ）假設(shè)數(shù)列{????}是“p-擺動(dòng)數(shù)列”，通過(guò)對(duì)??取特殊值，可以證明出數(shù)列{????}不是“p-擺動(dòng)數(shù)列”；通過(guò)數(shù)列{????}的通項(xiàng)公式和指數(shù)運(yùn)算的法則，結(jié)合

“p-擺動(dòng)數(shù)列”的定義，可以證明出數(shù)列{????

}是“p-擺動(dòng)數(shù)列”；（Ⅱ）的值，由{????}是“p-”p的取{????}是“p-”ppnn“p-”{????}是“p-擺動(dòng)數(shù)列，分別當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)、當(dāng)n為??12.【答案】（1）解：設(shè)等差數(shù)列{??}的公差為??，偶數(shù)時(shí)，利用????的單調(diào)性，求出常數(shù)p的取值范圍即可．??則??

=????

+??(???1)??，從而????=??

+???1??，?? 1 2

?? 1 2所以當(dāng)???2時(shí)，??????????1=(??+???1??)?(??????2??)=??，?? ???1 1 2 1 2 2所以數(shù)列

????{??}

是等差數(shù)列；（2）解：因?yàn)??1=1,{√????}是公差為1的等差數(shù)列，所以√??1=1，所以=+(???1)=??=??2，所以??+1????+2=[(??+1)(??+2)]2=(1+3??+2)2，??????2 2 2????????顯然??=1,2滿(mǎn)足條件，??=3不滿(mǎn)足條件，當(dāng)???4時(shí)，因?yàn)??2?3???2=??(???3)?2?4(4?3)?2=2>0，0<3??+2<11<13??+2<2????+1?????+2

不是整數(shù)，??2

??2

????2綜上所述，正整數(shù)??的取值集合是{1,2}；（3）解：設(shè)等差數(shù)列{????}的公差為??，則????=??1+(???1)??,????=??????，所以????=????????????1=????(???2)，?????1所以數(shù)列{????}是首項(xiàng)和公比均大于0的等比數(shù)列，設(shè)公比??=????，下面證明：??1+?????????+????，其中??,??為正整數(shù)，且??+??=1+??，因?yàn)????????)=??1?????1???1?????1???1?????1=??1(?????1?1)(?????1?1)，??>1??=???????1?0,???1?0，所以?????1?1?0,?????1?1?0，所以??1+?????????+????，當(dāng)??=1時(shí)，??1+????=????+????，當(dāng)0<??<1是，??=????為減函數(shù)，因?yàn)???1?0,???1?0，所以?????1?1?0,?????1?1?0，所以??1+?????????+????，+?+??????+??=1??，????????????????)?(??1+????)+(??2+?????1)+(??3+?????2)+?+(????+??1)=(??1+??2+?+????)+(????+?????1+?+??1)，所以??1+??2+?+???????1+????.?? 2由??

=????

+??(???1)??，則????=??

+???1??，根據(jù)等差數(shù)列的定義可證.（2）由?? 1 2

?? 1 2?? 3??+2??條件得??=??2，則??+1??+2=(1+ )2，驗(yàn)證??=1,2，3的況當(dāng)???4時(shí)，0<3??+2<???? 2

??2

??21，可得

????+1????+2??2 .（3）{????}0????再證明??1+?????????+????，其中??,??為正整數(shù)，且??+??=1+??，則由??(??1+????)=(??1+????)+(??1+????)+?+(??1+????)?(??1+????)+(??2+?????1)+(??3+?????2)+?+(????+??1)，可證明結(jié)論.13.【答案】（1）解：由????=2?????2可得????+1=2????+1?2，兩式相減可得????+1=2????，故數(shù)列{????}是以2為公比的等比數(shù)列．又??1=2??1?2，得??1=2，∴????=??1?????1=2×2???1=2??．（2）解：由（1）知????=2??，????+1=2??+1，由題意????+1

=????

+(??+2?1)????

，即2??+1=2??+(??+1)????

，∴????

=2??．??+1假設(shè)在數(shù)列{????}中存在三項(xiàng)????，????，????（其中??，??，??成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，則(????)2=?????????，即(2??)2=2??

?2??

．化得 4??

= 2??+?? ．??+1

??+1

??+1

(??+1)(??+1)又因?yàn)??，??，??成等差數(shù)列，∴??+??=2??，∴4??∴(??+1)2

= 22??????+??+??+1

= 4??????+2??+1

，得(??+1)2=????+??+??+1，∴??2=????，2又∵??+??=2??，∴(??+??)2=????，2即(?????)2=0，∴??=??，即??=??=??，這與題設(shè)矛盾．所以在{????}中不存在三項(xiàng)????，????，????（其中??，??，??成等差數(shù)列）成等比數(shù)列．【解析】【分析】（1）利用????與????的關(guān)系式結(jié)合分類(lèi)討論的方法，從而求出數(shù)列{????}的通項(xiàng)公式。（2）由（1）知????=2??，????+1=2??+1，再利用在????與????+1之間插入??個(gè)數(shù)，使這??+2個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為????的等差數(shù)列，得出????+1=????+(??+2?1)????，即2??+1=2??+(??+1)????，∴????

=2????+1

，再利用等比中項(xiàng)公式和等差中項(xiàng)公式得出??=??=??，再結(jié)合反證法得出與題設(shè)矛盾，所以在{????}中不存在三項(xiàng)????，????，????（其中??，??，??成等差數(shù)列）成等比數(shù)列。14.【答案】（1）解：由已知??2+??3+??4=28且??3+2是??2,??4的等差中項(xiàng)得{??2+??3+??4=282(??3+2)=??2+??4

，解得??3

=8，8 1代入2(??+2)=??+?? ，得 +8??=20，得??=2或??= ，3 2 4 ?? 2因?yàn)閧????}遞增等比數(shù)列，所以??=2，因?yàn)??3=8，所以??1??2=8，所以??1=2，所以????=2·2???1=2??．（2）解：由????=????log1????，所以????=2??·log12??=???·2??，2 2????=??1+??2+??3+?=?1(1×2+2×22+3×23+?+??·2??)，2????=?(1×22+2×23+3×24+?+??·2??+1)，兩式相減得：?????

=?(2+22+23+?+2??)+??·2??+1=?2(1?2??)+??·2??+1，1?2所以????=(1???)2??+1?2，??·2??+1>302??+1>32,??+1>5,??>4，??·2??+1>30??5．【解析】【分析】（1）由已知??2+??3+??4=28且??3+2是??2,??4的等差中項(xiàng)，聯(lián)立方程組，求得2??3=8，代入求得??=2，即可求解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由????=????log1????，求得????=???·2??，利用乘公比錯(cuò)位相減法，求得????=(1???)2??+1?2，列出不等式，即可求解．215.【答案】（1）解：由題意，數(shù)列{????}是等差數(shù)列，則對(duì)任意??∈???，?? 1 1可得????+1?????=????+2?????+1，即2????+1=????+????+2，即

??+1=2(????+????+2)，故??=2．（2）解：由??=?1時(shí)，??

1=?(??

+?? )，2

2 ??

??+2即2????+1=??????????+2，????+2+????+1=?(????+1+????)，故????+3+????+2=?(????+2+????+1)=????+1+????．當(dāng)??是偶數(shù)時(shí)，??

=??

+??

+??

+??

+?+??

+??

??=(??

+??)=??；?? 1

2 3 4

???1

?? 2 1 2當(dāng)??是奇數(shù)時(shí)，??2+??3=?(??1+??2)=?2，=+??2+??3+??4+?+?????1+???? =+(??2+??3)+(??4+??5)+?+(?????1+????)，=1+???1×(?2)=2???22???,??=2???1 ?綜上可得，????={

??,??=2?? (??∈??)．（3）解：若{????

是等比數(shù)列，則公比??=??2=??，}??1}由題意??≠1，故????=?????1，????+1=????，????+2=????+1．①若????+1為等差中項(xiàng)，則2????+1=????+????+2，即2????=?????1+????+1，2??=1+??2，解得??=1（舍去）；②????2????=????+1+????+2，即2?????1=????+????+1，2=??+??2，因?yàn)??≠1，得??=?2，??=????+1= ????

=??

=?2．????+????+2

?????1+????+1

1+??2 5③若????+2為等差中項(xiàng)，則2????+2=????+????+1，即2????+1=????+?????1，2??2=??+1，因?yàn)??≠1，解得??=?12

，??=??1+??2

=?2，5綜上，存在實(shí)數(shù)??滿(mǎn)足題意，??=?2．5【解析】【分析】（1）由等差數(shù)列等差中項(xiàng)的性質(zhì)即可求得??的值；?? 1（2）由

??+1=?2(????+????+2)，????+2+????+1=?(????+1+????)，????+3+????+2=?(????+2+????+1)=????+1+??????????；（3）????16.【案】（1）解：a1=n﹣1，察鄰站ak ，ak﹣1之的系，由題知 k= k﹣1﹣（k﹣1）+（n﹣k），∴ k﹣ 依讓k取2，3，4，…，k得k﹣1個(gè)式這k﹣1個(gè)式加得k=nk﹣k2（n，k∈N+ ，1≤k≤n）．（2）： ，當(dāng)n偶時(shí)取k= ，ak取得大值 ；當(dāng)n奇時(shí)取k=或，ak得大值．17.（1）??2?6??+8=02，4??2=2??3=4．??=2{????}????=2???1（2）解：由（1）知2???????=???2??，所以????=1×2+2×22+???+??×2??，①2?=1×22+2×23+???+(???1)?2??+??×2??+1，②由①－②得?????=2+22+23+???+2?????×2??+1，??即???=2?2?2???×2??+1=2??+1?2???×2??+1=(1???)2??+1?2，所以??

=2+(???1)?2??+1?? 1?2 ??【解析】【分析】(1)求出方程兩根,得到公比,求出通項(xiàng)公式;(2)用錯(cuò)位相減法求和.18.【案】（1）解題意可得???? 2=(????+??)(???????)+????2，化簡(jiǎn)得(???1)??2=0，又??≠0，以??=1（2）解：將??1=1,??2=2,??3=4代入條件，可得4=1×4+??，解得??=0，所以???? 2=????+1?????1，以列{????}是項(xiàng)為1，公比??=2等列，以????=2???1.欲存在??∈[3,7]，使得???2???1??????，即?????????2???1對(duì)任意??∈???都成立，則7???????2???1，所以??????2

對(duì)任意??∈???都成立.令??

=???7

，則??

???

=???6????7=8???，?? 2???1

??+1

??

2???1

2??所以當(dāng)??>8時(shí)，????+1<????；當(dāng)??=8時(shí)，??9=??8；當(dāng)??<8時(shí)，????+1>????．所以????

=??8

=1

，所以??的最小值為11281（3）解：因?yàn)閿?shù)列{????}不是常數(shù)列，所以???2．①若??=2，則????+2=????恒成立，從而??3=??1，??4=??2，所以1??2 2=2+??(??2???1)21{??1

2=??2

2+??(??2

???)2，所以??(??2???1)2=0??≠0??2=，可得{????}??=2.1,??=3???2②若??=3，取????={2,??=3???1(??∈???)（*），滿(mǎn)足????+3=????恒成立．?3,??=3??由??2 2=??1??3+??(??2???1)2，得??=7．則條式為???? 2=????+1?????1+7．由22=1×(?3)+7，知??3???12=??3???2??3??+??(??2???1)2；由(?3)2=2×1+7，知??3??2=??3???1??3??+1+??(??2???1)2；由12=(?3)×2+7，知??3??+12=??3????3??+2+??(??2???1)2．（*）所以??的最小值為3【解】分】（1）數(shù)列等數(shù)時(shí)用an和差d示出an-1,an+1,入到推中求 λ；（2）3λ=0（3）對(duì)T=2,3分別討論排除T=2時(shí)，當(dāng)T=3時(shí)能滿(mǎn)足題意，得到T的最濁值。19.（1）????2=5??4+??5=??3+13，5+2d+5+3d=5+d+13??=2.又因?yàn)??2=5，所以????=??2+(???2)???=2??+1.3因?yàn)??2??4=81，所以??2=81，b=9，即??1??2=9，①33又??=13，所以??1(1???)=13，即??(1+??+??2)=13，②3 1??? 1由除②，得 ??1??2 =9，??1(1+??+??2) 13化簡(jiǎn)得4??2?9???9=0，因?yàn)??>0，所以??=3，所以????=??3?????3=9×3???3=3???1.（2）解：因?yàn)????=????????=(2??+1)?3???1，所以????=3×30+5×31+7×32+?+(2??+1)?3???1，③3????=3×31+5×32+7×33+?+(2??+1)?3??，④由③減④，得?2????=3+2(31+32+?+3???1)?(2??+1)?3??，所以

=3+2×3(3???1?1)?(2??+1)?3??=?2???3??.3?1所以????=???3??.??4+??5