2025年黑龍江省齊齊哈爾市中考數(shù)學(xué)一模試卷（附答案解析）

2025年黑龍江省齊齊哈爾市中考數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1.（3分）2025的相反數(shù)是（）

11

A.------B.一而建C.2025D.-2025

20252025

2.（3分）下列手機(jī)手勢(shì)解鎖圖案中，既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的是（）

亥

3.（3分）下列運(yùn)算正確的是（）

A.a(,+ai=a2B.2X3,3X3=6X3

C.(-x2)3=-x6D.(a+1)2=a2+l

4.（3分）如圖是由一些相同的小正方體組成的幾何體的主視圖和左視圖，這些相同的小正

A.12個(gè)B.11個(gè)C.10個(gè)D.9個(gè)

5.（3分）一組數(shù)據(jù)：2,4,4,4,6,若去掉一個(gè)數(shù)據(jù)4,則下列統(tǒng)計(jì)量中發(fā)生變化的是（）

A.眾數(shù)B.中位數(shù)C.平均數(shù)D.方差

6.（3分）一個(gè)袋子中裝有4個(gè)相同的小球，它們分別標(biāo)有號(hào)碼1,2,3,4,搖勻后隨機(jī)取

出一球，記下號(hào)碼后放回：再將小球搖勻，并從袋中隨機(jī)取出一球，則第二次取出的球

的號(hào)碼不大于第一次取出的球的號(hào)碼的概率為（）

第1頁(yè)（共32頁(yè)）

丫I4xI2

的解集是x>2,且使關(guān)于

｛x>k

y的分式方程型=-F=1有非負(fù)整數(shù)解,則符合條件的所有整數(shù)k的值之和為（）

y-1i-y

A.-4B.-2C.-1D.0

8.（3分）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形48co中，對(duì)角線/C與8。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)尸是8。

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作即〃ZC,分別交正方形的兩條邊于點(diǎn)E,F,連接。E,OF,

設(shè)8P=x,△（?跖的面積為乃則能大致反映夕與x之間的函數(shù)關(guān)系的圖象為（）

9.（3分）三月植樹(shù)節(jié)期間，某園林公司購(gòu)買了甲、乙、丙三種樹(shù)苗進(jìn)行園林綠化，恰好用

去了1500元，已知甲、乙、丙三種樹(shù)苗的價(jià)格分別為50元/棵、30元/棵、10元/棵.該

公司要求購(gòu)買的每種樹(shù)苗的數(shù)量都是10的整數(shù)倍且三種樹(shù)苗都要買，若甲種樹(shù)苗最多買

20棵，則該公司的購(gòu)買方案共有（）

A.3種B.4種C.5種D.6種

10.（3分）如圖，已知拋物線y=a/+&v+c（°W0）的對(duì)稱軸為直線x=-l.有下列結(jié)論：

①?gòu)]=4℃,②abc>0,③a>c,@4a+c>2b,⑤若"2>〃>0,則》=加-1時(shí)的函數(shù)

值小于x=〃-1時(shí)的函數(shù)值.其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）

第2頁(yè)（共32頁(yè)）

C.3個(gè)D.4個(gè)

二、填空題（每小題3分，滿分21分）

11.（3分）我國(guó)是時(shí)間上嚴(yán)重缺水的國(guó)家之一，目前我國(guó)年可利用的淡水資源總量為27500

億米3,人均占有淡水資源量居全世界第110位，因此我們要節(jié)約用水，27500億米3這

個(gè)數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為米3.

12.（3分）函數(shù)y=磊的自變量x的取值范圍是.

13.（3分）如圖，在平行四邊形48。中，E,尸兩點(diǎn)均在對(duì)角線/C上.要使四邊形BED9

為平行四邊形，在不添加輔助線的情況下，需要增加的一個(gè)條件是

（寫出一個(gè)即可）.

14.（3分）如圖，用圓心角為120°,半徑為3c加的扇形紙片卷成一個(gè)圓錐形無(wú)底紙帽,

則這個(gè)紙帽的高是<

15.（3分）如圖，矩形N3CD的邊在x軸上，點(diǎn)。在反比例函數(shù)^=?的圖象上，點(diǎn)。

在反比例函數(shù)片5的圖象上，若sin/C48=^,cos/OC3=t，則仁.

第3頁(yè)（共32頁(yè)）

16.（3分）在Rt448C中，N/=90°,有一個(gè)銳角為60°,BC=6.若點(diǎn)尸在直線NC

上（不與點(diǎn)/,C重合），且//8尸=30°,則C尸的長(zhǎng)為.

17.（3分）如圖，直線/1與直線/2所成的角/囪。出=30°,過(guò)點(diǎn)小作4囪，/1交直線/2

于點(diǎn)藥，0囪=2,以小囪為邊在△04囪外側(cè)作等邊三角形/歸|。，再過(guò)點(diǎn)Ci作出比

±/1,分別交直線/1和/2于4，歷兩點(diǎn)，以小歷為邊在△。山比外側(cè)作等邊三角形

A2B2C2，…按此規(guī)律進(jìn)行下去，則第2023個(gè)等邊三角形/2023^2023c2023的周長(zhǎng)

為_(kāi)___________________.

三、解答題（本題共69分）

18.（10分）（1）計(jì)算：（-1）2025.（兀_,2022）°+（-3）2+V12COS60Otan60"；

（2）因式分解：（f+y2）2-4x2y2.

19.（5分）解方程：5（x-1）2=2（x-1）.

第4頁(yè)（共32頁(yè)）

20.（8分）某地區(qū)在所有中學(xué)開(kāi)展《老師，我想對(duì)你說(shuō)》心靈信箱活動(dòng)，為師生之間的溝

通增設(shè)了一個(gè)書面交流的渠道.為了解兩年來(lái)活動(dòng)開(kāi)展的情況，某課題組從全地區(qū)隨機(jī)

抽取部分中學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查.對(duì)“兩年來(lái)，你通過(guò)心靈信箱給老師總共投遞過(guò)幾封信？”

這一調(diào)查項(xiàng)設(shè)有四個(gè)回答選項(xiàng)，選項(xiàng)/：沒(méi)有投過(guò)；選項(xiàng)8：一封；選項(xiàng)C：兩封；選項(xiàng)

D：三封及以上.根據(jù)接受問(wèn)卷調(diào)查學(xué)生的回答，統(tǒng)計(jì)出各選項(xiàng)的人數(shù)以及所占百分比，

分別繪制成如下條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖：

（2）請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)全；

（3）接受問(wèn)卷調(diào)查的學(xué)生在活動(dòng)中投出的信件總數(shù)至少有封；

（4）全地區(qū)中學(xué)生共有110000名，由此次調(diào)查估算，在此項(xiàng)活動(dòng)中，全地區(qū)給老師投

過(guò)信件的學(xué)生約有多少名？

第5頁(yè)（共32頁(yè)）

21.（10分）如圖，48是OO的直徑，。為。。上一點(diǎn)，連接ZC,作。下，/3交/C于點(diǎn)

尸，點(diǎn)￡在48的延長(zhǎng)線上，EN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且N/CE+N//。=180°.

（1）求證：是OO的切線；

（2）若NA=NE,。。的半徑為1,求陰影部分的面積.

第6頁(yè)（共32頁(yè)）

22.（10分）在一條筆直的公路上依次有/、C、B三地，甲乙兩人同時(shí)出發(fā)，甲從/地勻

速騎自行車去3地，途經(jīng)C地休息1分鐘，繼續(xù)按原速騎行至8地，甲到達(dá)8地后，立

即按原速的之倍原路返回/地，乙勻速步行從3地前往/地，甲、乙兩人距各自出發(fā)地

的路程y（單位：米）與時(shí)間x（單位：分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，請(qǐng)結(jié)合圖象解

答下列問(wèn)題：

（1）請(qǐng)寫出甲從/地到2地的速度為米/分，乙的速度為米/分;

（2）求甲返回時(shí)距N地的路程y與時(shí)間x之間的函數(shù)關(guān)系式（不需要寫出自變量x的取

值范圍）；

（3）請(qǐng)直接寫出兩人出發(fā)后，在甲返回/地之前，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間兩人距C地的路程相

第7頁(yè)（共32頁(yè)）

23.(12分)綜合與實(shí)踐：情景再現(xiàn)：我們動(dòng)手操作：把正方形N3CD沿對(duì)角線剪開(kāi)就分剪

出兩個(gè)等腰直角三角形，把其中一個(gè)等腰直角三角形與正方形重新組合在一起，

圖形變得豐富起來(lái)，當(dāng)圖形旋轉(zhuǎn)時(shí)問(wèn)題也隨旋轉(zhuǎn)應(yīng)運(yùn)而生.如圖①把正方形/BCD沿對(duì)

(1)問(wèn)題呈現(xiàn)，我們把剪下的兩個(gè)三角形一個(gè)放大另一個(gè)縮小拼成如圖②所示的圖形,

①若點(diǎn)尸是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，AB=3,PA=1,則線段尸8的取值范圍是；

②直接寫出線段AE與DB的關(guān)系是；

(2)我們把剪下的其中一個(gè)三角形放大與正方形組合如圖③④⑤所示，點(diǎn)￡在直線

3c上，交直線CO于①當(dāng)點(diǎn)E在3c上時(shí)，如圖③所示，求證：40=

MF+CE；②當(dāng)點(diǎn)￡在3C的延長(zhǎng)線時(shí)，如圖④所示，則線段/￡＞、MF、CE具有的數(shù)量

關(guān)系為:當(dāng)點(diǎn)E在C8的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖⑤所示，則線段ND、MF、

CE具有的數(shù)量關(guān)系為;

(3)在(2)的條件下，連接當(dāng)S^EMF=8,4產(chǎn)=50,其他條件不變，則線段CE

的長(zhǎng)為.

第8頁(yè)(共32頁(yè))

24.（14分）綜合與探究：如圖，拋物線y=ax2+bx+c交x軸于/,B兩點(diǎn)（點(diǎn)/在點(diǎn)8的

左側(cè)），且4,8兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是-6和2,交》軸于點(diǎn)C,且△/BC的面積為24.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1,若AD=2OD,過(guò)點(diǎn)。作DE〃/C交y軸于點(diǎn)￡,點(diǎn)尸是拋物線上/C下

方的一動(dòng)點(diǎn)，連接尸口，PE,請(qǐng)直接寫出面積的最大值以及取最大值時(shí)點(diǎn)尸的坐

標(biāo)；

（3）如圖2,將原拋物線向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新的拋物線y=mx2+6ix+ci,平

移后的拋物線與原拋物線的交點(diǎn)為足在（2）的條件下，在直線/C上是否存在一點(diǎn)

在平面直角坐標(biāo)系中是否存在一點(diǎn)N,使得以P,F,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若

存在，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

y

0

第9頁(yè)（共32頁(yè)）

2025年黑龍江省齊齊哈爾市中考數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1.（3分）2025的相反數(shù)是（）

11

A----------R_____Z—C.2025D.-2025

20252025

解：2025的相反數(shù)是-2025.

故選：D.

既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的是（）

⑸公。

解：/、該圖案是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意;

8、該圖案是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；

。、該圖案既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；

。、該圖案既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

3.（3分）下列運(yùn)算正確的是（）

A.a（,+ai=crB.2x3,3x3=6x3

C.（-x2）3=-x6D.（a+1）2=/+]

解：/、a與03不是同類項(xiàng)，不能合并，原計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意;

B、2X3-3?=6X6,原計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、（-x2）3=-X6,原計(jì)算正確，故此選項(xiàng)符合題意；

D、（a+1）2=后+2a+i,原計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意.

第10頁(yè)（共32頁(yè)）

故選：c.

4.(3分)如圖是由一些相同的小正方體組成的幾何體的主視圖和左視圖，這些相同的小正

A.12個(gè)B.11個(gè)C.10個(gè)D.9個(gè)

解：綜合主視圖和左視圖，這個(gè)幾何體的底層最多有6個(gè)，第二層最多應(yīng)該有4個(gè)，第

三層最多應(yīng)該有1個(gè),

因此組成這個(gè)幾何體最多有11個(gè)小正方體.

故選：B.

5.(3分)一組數(shù)據(jù)：2,4,4,4,6,若去掉一個(gè)數(shù)據(jù)4,則下列統(tǒng)計(jì)量中發(fā)生變化的是()

A.眾數(shù)B.中位數(shù)C.平均數(shù)D.方差

1

解：原數(shù)據(jù)2,4,4,4,6的平均數(shù)為gx(2+4+4+4+6)=4,中位數(shù)為4,眾數(shù)為4,

1

方差為]義[(2-4)2+(4-4)2X3+(6-4)2]=1.6；

1

新數(shù)據(jù)2,4,4,6的平均數(shù)為了XC2+4+6+4)=4,中位數(shù)為4,眾數(shù)為4,

4

1

方差為]X[(2-4)2+(4-4)2X2+(6-4)2]=2；

故選：D.

6.(3分)一個(gè)袋子中裝有4個(gè)相同的小球，它們分別標(biāo)有號(hào)碼1,2,3,4,搖勻后隨機(jī)取

出一球，記下號(hào)碼后放回：再將小球搖勻，并從袋中隨機(jī)取出一球，則第二次取出的球

的號(hào)碼不大于第一次取出的球的號(hào)碼的概率為()

1315

A.-B.-C.-D.一

4828

解：根據(jù)題意畫圖如下：

開(kāi)始

1234

/TV/Ax

1234123412341234

由圖可得，共有16種等情況數(shù)，其中第二次取出的球的號(hào)碼不大于第一次取出的球的號(hào)

第11頁(yè)(共32頁(yè))

碼的有10種，

所以第二次取出的球的號(hào)碼不大于第一次取出的球的號(hào)碼的概率為普=

168

故選：D.

YIq,YI2

的解集是x>2,且使關(guān)于

{x>k

y的分式方程型=-F=1有非負(fù)整數(shù)解,則符合條件的所有整數(shù)k的值之和為（）

y-11-y

A.-4B.-2C.-1D.0

%+4<2x+2①

解:

x>k@

解不等式①，得x>2,

???關(guān)于x的一元一次不等式組的解集是x>2,

:?kW2,

分式方程可化為：空告+*]=1,

y-1y-1

方程兩邊都乘以y-1,

2y-k+y-4=y-1,

解得y=竽，

???關(guān)于y的分式方程有非負(fù)整數(shù)解,

3+/c3+k

>0,——H1,

22

:?k》-3且左W-1,

???一3或左忘2且心￡-1,

:后為整數(shù)，

左為-3、-2、0、1、2,

，整數(shù)人的值之和為：-3-2+0+1+2=-2,

故選：B.

8.（3分）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形N3CD中，對(duì)角線/C與3。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)P是8。

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作即〃ZC,分別交正方形的兩條邊于點(diǎn)E,F,連接。E,OF,

設(shè)AP=x,ZXOE尸的面積為y,則能大致反映夕與x之間的函數(shù)關(guān)系的圖象為（）

第12頁(yè)（共32頁(yè)）

解：當(dāng)點(diǎn)尸在上時(shí)，

???四邊形是正方形，邊長(zhǎng)為2,

：.AB=BC=2,ACLBD,NACB=NCAB=45°,

：.AC=242fBO=DO=AO=CO=V2,

?:EF"AC,

：.ZBAC=ZBEF=45°,/BFE=/BCA=45。,ZAOB=ZEPB=90°,

???ZBEF=/BFE,

：.BE=BF,

VZBPE=90°,

：.BP=EP=FP=x,

OP=V2—x,

11

2xEFX0P=2x2xX（&-x）=-x2+V2x,（OWxW迎）

當(dāng)點(diǎn)尸在。。上時(shí)，同理可得：y=-$+3岳-%（V2<c^2V2）,

故選：C.

9.（3分）三月植樹(shù)節(jié)期間，某園林公司購(gòu)買了甲、乙、丙三種樹(shù)苗進(jìn)行園林綠化，恰好用

去了1500元，已知甲、乙、丙三種樹(shù)苗的價(jià)格分別為50元/棵、30元/棵、10元/棵.該

公司要求購(gòu)買的每種樹(shù)苗的數(shù)量都是10的整數(shù)倍且三種樹(shù)苗都要買，若甲種樹(shù)苗最多買

第13頁(yè)（共32頁(yè)）

20棵，則該公司的購(gòu)買方案共有（）

A.3種B.4種C.5種D.6種

解：當(dāng)購(gòu)買10棵甲種樹(shù)苗時(shí)，設(shè)購(gòu)買x棵乙種樹(shù)苗，y棵丙種樹(shù)苗，

根據(jù)題意得：50X10+30x+10j=1500,

.,.y=100-3x,

又??"，y均為正整數(shù)，且均為10的整數(shù)倍，

.（x—10-優(yōu)=20Tpe=30

?%=70或『=40或『=10'

當(dāng)購(gòu)買10棵甲種樹(shù)苗時(shí)，共有3種購(gòu)買方案；

當(dāng)購(gòu)買20棵甲種樹(shù)苗時(shí)，設(shè)購(gòu)買他棵乙種樹(shù)苗，〃棵丙種樹(shù)苗，

根據(jù)題意得：50X20+30機(jī)+10〃=1500,

/.?=50-3m,

又??,冽，〃均為正整數(shù)，且均為10的整數(shù)倍，

.Cm=10

**tn=20'

當(dāng)購(gòu)買20棵甲種樹(shù)苗時(shí)，共有1種購(gòu)買方案.

綜上所述，該公司的購(gòu)買方案共有3+1=4（種）.

故選：B.

10.（3分）如圖，已知拋物線y=ax2+6x+c（aWO）的對(duì)稱軸為直線x=-1.有下列結(jié)論：

①序=4℃,②。6c>0,③°>c,④4a+c>26,⑤若根>力>0,則工=加-1時(shí)的函數(shù)

解：①；拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn),

A—b2-4ac>0,

:.b2>4ac

所以①錯(cuò)誤；

②：拋物線開(kāi)口向上,

第14頁(yè)（共32頁(yè)）

.'.6Z>0,

V拋物線的對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)，

「?q、b同號(hào),

：.b>Q,

拋物線與>軸交點(diǎn)在x軸上方，

/.c>0,

.??qbc>0,

所以②正確；

③,?”=-1時(shí)，產(chǎn)0,

即Q-b+cVO,

???對(duì)稱軸為直線'=-1,

?_A—1

,,2a-L

??6=2。9

??a-2。+。<0,BPa>c,

所以③正確；

④??,拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-1,

.*.x=-2和x=0時(shí)的函數(shù)值相等，即x=-2時(shí)，歹>0,

4a-2b+c>0,

4a+c>2bf

所以④正確.

（5）'：m>n>0,

-1>n-1>-1,

由x>-1時(shí)，y隨x的增大而增大知x=m-1時(shí)的函數(shù)值大于x=〃-1時(shí)的函數(shù)值，

所以⑤錯(cuò)誤；

故選：C.

二、填空題（每小題3分，滿分21分）

11.（3分）我國(guó)是時(shí)間上嚴(yán)重缺水的國(guó)家之一，目前我國(guó)年可利用的淡水資源總量為27500

億米3,人均占有淡水資源量居全世界第110位，因此我們要節(jié)約用水，27500億米3這

個(gè)數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為2.75X1012米3.

第15頁(yè)（共32頁(yè)）

解：27500億=2750000000000=2.75X1012,

故答案為：2.75X1012.

12.（3分）函數(shù)丫=年|的自變量x的取值范圍是且xW2.

解：根據(jù)題意得，x-1三0且忖-2=0,

解得且xW±2,

所以，且x72.

故答案為：且xW2.

13.（3分）如圖，在平行四邊形488中，E,廠兩點(diǎn)均在對(duì)角線/C上.要使四邊形2即尸

為平行四邊形，在不添加輔助線的情況下，需要增加的一個(gè)條件是AE=CF（答案不唯

一）—（寫出一個(gè)即可）.

BC

解：增加條件：AE=CF,理由如下:

如圖，連接AD交NC于點(diǎn)O,

V四邊形ABCD為平行四邊形,

：.OB=OD,OA^OC,

若AE=CF,則有-AE=CO-CF,即OE=OF,

四邊形BEDF為平行四邊形,

故答案為：AE=CF（答案不唯一）.

14.（3分）如圖，用圓心角為120°,半徑為3c〃?的扇形紙片卷成一個(gè)圓錐形無(wú)底紙帽,

則這個(gè)紙帽的高是，魚

解：設(shè)這個(gè)圓錐的底面圓的半徑為“77,

第16頁(yè)（共32頁(yè)）

根據(jù)題意得2nr="著X3

解得r=l，

即這個(gè)圓錐的底面圓的半徑為1cm,

所以這個(gè)紙帽的高為=2企（cm）.

故答案為：2夜.

15.（3分）如圖，矩形N3CD的邊在x軸上，點(diǎn)。在反比例函數(shù)^=?的圖象上，點(diǎn)。

在反比例函數(shù)尸領(lǐng)圖象上，若sin/C48=學(xué)，cosZOCB=則k=-10

解：：矩形48C。的邊在x軸上，點(diǎn)C在反比例函數(shù)片《的圖象上,

:.S叢BOC=訝X6=3,

RC4

VcosZOC5=g^=

?,?設(shè)5C=4x,OC=5x,貝i」O5=3x,

x3%x4%=3,解得x=挈，

2/

:.BC=2R02=挈

3V2廣

C(-2,2V2),

???/廠4_BC_底

?sinCAB==-g-,

,2V2V5

"AC—5，

/.^C=2V10,

,.AB—AC2—BC2=4&,

第17頁(yè)（共32頁(yè)）

.x-j_CD_萬(wàn)3魚_5魚

??OAA-AABD~OB—4AV22-=--,

:.D(~2V2)?

..?點(diǎn)。在反比例函數(shù)7=5的圖象上,

:.k=_x2>/2=-10,

16.（3分）在中，ZA=90°,有一個(gè)銳角為60°,BC=6.若點(diǎn)尸在直線NC

上（不與點(diǎn)力,。重合），且N4BP=30°,則CP的長(zhǎng)為6或28或4次.

當(dāng)/C=60°時(shí)，ZABC^30°,與/ABP=30°矛盾;

如圖2：

第18頁(yè)（共32頁(yè)）

B

pk圖2

當(dāng)NC=60°時(shí)，ZABC=30°,

VZABP=30°,

:?/CBP=60°,

**?/\PBC是等邊三角形，

：.CP=BC=6；

如圖3：

圖3

當(dāng)N45C=60°時(shí)，ZC=30°,

VZABP=30°,

ZPBC=60°-30°=30°,

:?PC=PB,

U：BC=6,

.\AB=3,

QD

???PC=PB=U—=2回

T

如圖4：

第19頁(yè)（共32頁(yè)）

c

:NABP=3Q°,

：.ZPBC^6Q°+30°=90°,

：.PC=BC^cos30°=4V3.

故答案為：6或2百或4班.

17.（3分）如圖，直線/1與直線/2所成的角/囪。41=30°,過(guò)點(diǎn)4作交直線/2

于點(diǎn)81,051=2,以4囪為邊在△0/181外側(cè)作等邊三角形NLBICI,再過(guò)點(diǎn)G作加比

±/1,分別交直線/1和/2于血，歷兩點(diǎn)，以也均為邊在△。/2及外側(cè)作等邊三角形

A2B2C2,…按此規(guī)律進(jìn)行下去，則第2023個(gè)等邊三角形，2023比023c2023的周長(zhǎng)為

32023

.,.4向=1,

VA^iSiCi是等邊三角形，

：.AAiBiCi的周長(zhǎng)為3；

32

同理可得△/2比。2的周長(zhǎng)為萬(wàn),

第20頁(yè)（共32頁(yè)）

33

AA3B3C3的周長(zhǎng)為兀；

2乙

32023

22022-

32023

故答案為：22022。

三、解答題(本題共69分)

18.(10分)(1)計(jì)算：(-1)2025*(兀一，2022)。+(-3)2+V12COS60Otan60°；

(2)因式分解:(x2-^2)2-4x2y2.

解：(1)原式=-1*1+9+2舊***百

=一義+3

8

=2于

(2)原式=Cx2+y2+2xy)(x2+y2-2xy)

—(x+y)2(x-y)2.

19.(5分)解方程：5(x-1)2=2(x-1).

解：5(x-1)2-2(x-1)=0,

(x-1)[5(x-1)-2]=0,

Ax-1=0或5(x-1)-2=0,

.7

..Xl=l,X2=寧

20.(8分)某地區(qū)在所有中學(xué)開(kāi)展《老師，我想對(duì)你說(shuō)》心靈信箱活動(dòng)，為師生之間的溝

通增設(shè)了一個(gè)書面交流的渠道.為了解兩年來(lái)活動(dòng)開(kāi)展的情況，某課題組從全地區(qū)隨機(jī)

抽取部分中學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查.對(duì)“兩年來(lái),你通過(guò)心靈信箱給老師總共投遞過(guò)幾封信？”

這一調(diào)查項(xiàng)設(shè)有四個(gè)回答選項(xiàng)，選項(xiàng)/：沒(méi)有投過(guò)；選項(xiàng)3：一封；選項(xiàng)C：兩封；選項(xiàng)

D-.三封及以上.根據(jù)接受問(wèn)卷調(diào)查學(xué)生的回答，統(tǒng)計(jì)出各選項(xiàng)的人數(shù)以及所占百分比，

分別繪制成如下條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖：

第21頁(yè)(共32頁(yè))

(1)此次抽樣調(diào)查了500名學(xué)生,條形統(tǒng)計(jì)圖中僅=225，〃=25；

(2)請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)全；

(3)接受問(wèn)卷調(diào)查的學(xué)生在活動(dòng)中投出的信件總數(shù)至少有425封:

(4)全地區(qū)中學(xué)生共有110000名，由此次調(diào)查估算，在此項(xiàng)活動(dòng)中，全地區(qū)給老師投

過(guò)信件的學(xué)生約有多少名？

解：⑴此次調(diào)查的總?cè)藬?shù)為150+30%=500(人)，

則m=500X45%=225,”=500義5%=25,

故答案為：500,225,25；

(2)C選項(xiàng)人數(shù)為500X20%=100(人),

補(bǔ)全圖形如下：

(3)1X150+2X100+3X25=425,

答：接受問(wèn)卷調(diào)查的學(xué)生在活動(dòng)中投出的信件總數(shù)至少有425封,

故答案為：425；

(4)由此次調(diào)查估算，在此項(xiàng)活動(dòng)中，全地區(qū)給老師投過(guò)信件的學(xué)生約有110000X(1

-45%)=60500(名).

21.(10分)如圖，48是OO的直徑，C為OO上一點(diǎn)，連接ZC,作。尸，48交/C于點(diǎn)

尸，點(diǎn)E在48的延長(zhǎng)線上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且N/C￡+N/FO=180°.

第22頁(yè)(共32頁(yè))

（1）求證：EM是。。的切線；

（2）若NZ=NE,的半徑為1,求陰影部分的面積.

ZAOF=90°,

：.ZA+ZAFO=90°,

VZACE+ZAFO=\SO°,ZACE+ZACM=ISO°,

???NAFO=/ACM,

9：OA=OC,

：./A=/ACO,

：.ZACO+ZACM=90°,

：.ZOCM=90°,

：.OCLME,

???E"是。。的切線；

(2)VZEOC=2ZA=2ZEf

又/EOC+/E=/OCM=90°,

.?.2Z￡+Z￡=90°,

/.Z￡=30°,

ZEOC=60°,

第23頁(yè)（共32頁(yè)）

：.CE=OCtan6Q°=后

7r

二S陰影部分=S^OCE-S扇形BOC=xV3x1-=3f.

22.（10分）在一條筆直的公路上依次有/、C、8三地，甲乙兩人同時(shí)出發(fā)，甲從/地勻

速騎自行車去2地，途經(jīng)。地休息1分鐘，繼續(xù)按原速騎行至2地，甲到達(dá)2地后，立

即按原速的。倍原路返回/地，乙勻速步行從3地前往/地，甲、乙兩人距各自出發(fā)地

的路程y（單位：米）與時(shí)間x（單位：分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，請(qǐng)結(jié)合圖象解

答下列問(wèn)題：

（1）請(qǐng)寫出甲從/地到8地的速度為240米/分,乙的速度為60米/分:

（2）求甲返回時(shí)距/地的路程V與時(shí)間x之間的函數(shù)關(guān)系式（不需要寫出自變量x的取

值范圍）；

（3）請(qǐng)直接寫出兩人出發(fā)后，在甲返回/地之前，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間兩人距C地的路程相

21

丁-1）=24。（米/分）;

?.?甲從/地到2地，再?gòu)?地返回/地，中間休息1分鐘，共用時(shí)間10-1=9（分鐘）,

設(shè)N5兩地之間距離為〃2米,

,mm,

由題思得：——+----^=9，解得加=1200,

240240x4

4

C.AB兩地之間距離為1200米，

乙的速度為：12004-20=60（米/分）.

故答案為：240,60；

（2）:甲返回工地時(shí)的速度為240x^=300（米/分），

:.甲返回時(shí)距N地的路程y與時(shí)間x之間的函數(shù)關(guān)系式：^=1200-300（x-^-1）

第24頁(yè)（共32頁(yè)）

-300x+3000；

(3)設(shè)甲返回/地之前，經(jīng)過(guò)x分兩人距C地的路程相等,

如圖1所示：：AB=1200,AC=1020,

，2C=1200-1020=180,

分5種情況：

①當(dāng)0cxW3時(shí)，1020-240x=180-60x,

x=^>3,此種情況不符合題意；

②當(dāng)3<xV4—l時(shí)，即3<X<￥，甲、乙都在/、C之間，

/.1020-240x=60x-180,

解得：x=4,

此種情況符合題意；

21

③當(dāng)丁<r<6時(shí)，甲在3、C之間，乙在4C之間，

A240(x-1)-1020=60x-180,

解得：x=6,

此種情況不符合題意；

④當(dāng)x=6時(shí)，甲到8地，距離C地180米，

乙距。地的距離：6X60-180=180(米)，

即x=6時(shí)兩人距。地的路程相等，

⑤當(dāng)x>6時(shí)，甲在返回途中，

當(dāng)甲在8、C之間時(shí)，180-300(x-6)=60x780,

解得：x=6,

此種情況不符合題意，

當(dāng)甲在/、C之間時(shí)，300(%-6)-180=60x-180,

解得：x=孚

15

綜上所述，在甲返回/地之前，經(jīng)過(guò)4分鐘或6分鐘或萬(wàn)分鐘時(shí)兩人距。地的路程相等.

23.(12分)綜合與實(shí)踐：情景再現(xiàn)：我們動(dòng)手操作：把正方形N5CD沿對(duì)角線剪開(kāi)就分剪

第25頁(yè)(共32頁(yè))

出兩個(gè)等腰直角三角形，把其中一個(gè)等腰直角三角形與正方形/BCD重新組合在一起，

圖形變得豐富起來(lái)，當(dāng)圖形旋轉(zhuǎn)時(shí)問(wèn)題也隨旋轉(zhuǎn)應(yīng)運(yùn)而生.如圖①把正方形沿對(duì)

（1）問(wèn)題呈現(xiàn)，我們把剪下的兩個(gè)三角形一個(gè)放大另一個(gè)縮小拼成如圖②所示的圖形，

①若點(diǎn)P是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，48=3,刃=1,則線段尸5的取值范圍是2WPBW4；

②直接寫出線段AE與DB的關(guān)系是AE=DB,AELDB；

（2）我們把剪下的其中一個(gè)三角形放大與正方形組合如圖③④⑤所示，點(diǎn)E在直線

8c上，F(xiàn)N_LCZ）交直線CO于①當(dāng)點(diǎn)￡在3C上時(shí)，如圖③所示，求證：AD=

MF+CE-,②當(dāng)點(diǎn)￡在3c的延長(zhǎng)線時(shí)，如圖④所示，則線段40、MF、CE具有的數(shù)量

關(guān)系為FM=AD+CE；當(dāng)點(diǎn)￡在C3的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖⑤所示，則線段/￡＞、MF、

CE具有的數(shù)量關(guān)系為EC=AD+FM；

（3）在（2）的條件下，連接當(dāng)S^EMF=8,AF2=50,其他條件不變，則線段CE

的長(zhǎng)為1或7.

（1）①解：點(diǎn)尸是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，PA=\,

二點(diǎn)尸在以/點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓上，

當(dāng)點(diǎn)尸在線段N5上時(shí)，尸3有最小值，此時(shí)=3-1=2,

當(dāng)點(diǎn)尸在線段A4的延長(zhǎng)線上，尸2有最大值，此時(shí)P3=48+AP=3+1=4,

....2WP8W4；

②解：如圖②，設(shè)AD與CE的交點(diǎn)為K,

第26頁(yè)（共32頁(yè)）

E

\

AB

圖②

^ACD和叢BCE是等腰直角三角形，

：?AC=CD,CE=CB,ZACD=ZECB=90°,

工ZACD+ZDCE=NECB+NDCE,

：./ACE=/DCB,

：.AACE^ADCB("S),

：.AE=DB,/AEC=/DBC,

VZBKC+ZDBC=90°,/BKC=/EKD,

：.ZAEC+ZEKD=90°,

：.AELBD,

故答案為：2WP5W4；AE=DB,AELBD；

(2)①證明：如圖③，過(guò)點(diǎn)方作尸G_L5C,交5C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接CF,

圖③

U：FGLBC,

：.ZG=90°=/B,

???△4跖是等腰直角三角形,

：.AE=EF,ZAEF=90°,

AZAEB+ZFEG=90°,

VZBAE+ZAEB=90°,

???ZBAE=/FEG,

第27頁(yè)（共32頁(yè)）

???△ABEmAEGF(AAS),

:?AB=EG,BE=FG,

???四邊形45CQ是正方形，

：.AB=AD=EG,

又,：/G=/MCG=/FMC=90°,

???四邊形MCG方是矩形，

:?MC=FG=BE,

■:BE+EC=BC,EC+CG=AB=BC,

:?BE=CG,

又,：BE=FG,

：.CG=FG

???四邊形MCGF是正方形，

：.MF=CG,

：.EG=EC+CG=EC+MF,

：.AD=EC+MF；

②解：如圖④，過(guò)點(diǎn)/作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,

圖④

■:FN工BC,

:?/N=90°=/B,

???AAEF是等腰直角三角形,

：.AE=EF,ZAEF=90°,

ZAEB+ZFEN=90°,

又/BAE+/AEBS,

???ZBAE=/FEN,

:AABE經(jīng)XENF(AAS),

第28頁(yè)（共32頁(yè)）

；?AB=EN,

同理①可得四邊形MCNF是正方形，

：.MF=CN,

：.MF=CE+AD；

③解：如圖⑤，過(guò)點(diǎn)尸作5c于點(diǎn)

圖⑤

■:FH2BC,

；?/FHB=90°=AABE,

???△4跖是等腰直角三角形，

：.AE=EF,ZAEF=90°,

：.ZAEB+ZFEH=90°,ZFEH+ZEFH=90°,

：.NAEB=/EFH,

：.AABE^AEHF(AAS)f

：.EB=FH,

:.EC=EB+BC=FH+BC,

同②可得四邊形HFMC是正方形，

:?FM=FH,

：.EC=AD+FM；

(3)解：如圖③，:四邊形MCG廠是正方形，

:?MF=FG=CG,

?S/\EMF=8,

1

xWFG=8,

2

:?MF=FG=4=CG,

,?27=50,△4FE是等腰直角三角形，

:?EF=5,

第29頁(yè)（共32頁(yè)）

：.EG=、EF2_FG2=V25-16=3,

：.EC=EG-CG=-1（不合題意舍去），

如圖④，同理可求FN=4=CN,EF=5,

：.EN=7EF2_FN2=3,

:.CE=CN-EN=L

如圖⑤，同理可求：FH=CH=4,EF=5,

:.EH=7EF2_EH2=3,

，￡C=4+3=7,

綜上所述：EC的長(zhǎng)為1或7,

故答案為：1或7.

24.（14分）綜合與探究：如圖，拋物線＞="2+云+。交x軸于4,8兩點(diǎn)（點(diǎn)/在點(diǎn)8的

左側(cè)），且4,3兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是-6和2,交y軸于點(diǎn)C,且△/BC的面積為24.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1,若AD=2OD,過(guò)點(diǎn)。作。E〃/。交y軸于點(diǎn)￡,點(diǎn)尸是拋物線上/C下

方的一動(dòng)點(diǎn)，連接尸。，PE,請(qǐng)直接寫出面積的最大值以及取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐

標(biāo)；

（3）如圖2,將原拋物線向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新的拋物線y=mx2+bix+ci,平

移后的拋物線與原拋物線的交點(diǎn)為足在（2）的條件下，在直線/C上是否存在一點(diǎn)

在平面直角坐標(biāo)系中是否存在一點(diǎn)N,使得以P,F,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若

解：(1)\'A,3兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是-6和2,

：.A(-6,0),B(2,0),AB=S,

1

「△/BC的面積為24,.\-x8XOC=24,；.OC=6,：.C(0,-6),

把N(-6,0),B(2,0),C(0,-6)代入y=ax2+bx+c得：