集合與常用邏輯用語-2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（新高考卷）原卷+解析

專題01集合與常用邏輯用語-2024年高考數(shù)學(xué)真題題源解

密（新高考卷）解析版

專題01集合與常用邏輯用語

考情概覽

命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)

1.高考對(duì)集合的考查，重點(diǎn)是集合間的2022?新高考I卷，1

基本運(yùn)算，主要考查集合的交、并、補(bǔ)2023?新高考I卷,1

交集的運(yùn)算

運(yùn)算，常與一元二次不等式解法、一元2024?新高考I卷，1

一次不等式解法、分式不等式解法、指2022?新高考II卷，1

數(shù)、對(duì)數(shù)不等式解法結(jié)合.根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)2023?新高考n卷，2

2.高考對(duì)常用邏輯用語的考查重點(diǎn)關(guān)注充分必要條件的判定2023?新高考I卷,7

我口下兩點(diǎn)：

（1）集合與充分必要條件相結(jié)合問題

的解題方法；

全稱、存在量詞命題真假的判斷2024?新高考n卷，2

（2）全稱命題與存在命題的否定和以

全稱命題與存在命題為條件，求參數(shù)的

范圍問題.

2024年真題研析

命題分析

2024年高考新高考n卷未考查集合，I卷依舊考查了集合的交集運(yùn)算，常用邏輯用語在新高考n卷中考查

了全稱、存在量詞命題真假的判斷，這也說明了現(xiàn)在新高考“考無定題”，以前?？嫉默F(xiàn)在不一定考了，抓住

知識(shí)點(diǎn)和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是關(guān)鍵！集合和常用邏輯用語考查應(yīng)關(guān)注：（1）集合的基本運(yùn)算和充要條件；（2）

集合與簡單的不等式、函數(shù)的定義域、值域的聯(lián)系。預(yù)計(jì)2025年高考還是主要考查集合的基本運(yùn)算。

試題精講

I.（2024新高考I卷?：!）己知集合4=卜1-5<》3<5},8={-3,-1,0,2,3},則/口2=（）

A.{—1,0}B.{2,3}C.{-3,-1,0}D.{—1,0,2}

3

2.（2024新高考n卷，2）已知命題p：VxeR,|x+11>1；命題q：>0,x=xJ則（）

A.P和q都是真命題B.N和鄉(xiāng)都是真命題

c.2和「9都是真命題D.r7和都是真命題

近年真題精選

1.(2022新高考I卷?：!)若集合M={x[&<4},N={x|3xNl},則McN=()

A.{x|0<x<2|B.1卜工<21C.{x[3<x<161D.

2.(2023新高考I卷-I)已知集合河={-2,-1,0,1,2},7V=(x|x2-x-6>o},則McN=()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

3.(2022新高考n卷-1)已知集合/={-1,1,2,4},8=卜卜-1區(qū)1},則4n臺(tái)=()

A.{-1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}

4.(2023新高考II卷-2)設(shè)集合4={0,-。},B={l,a-2,2a-2},若A=B,貝!j。=().

A.2B.1C.1D.-1

c

5.（2023新高考I卷-7）記S,為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，設(shè)甲：｛與｝為等差數(shù)列；乙：｛'｝為等差數(shù)列，則

n

（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

必備知識(shí)速記

一、元素與集合

1、集合的含義與表示

某些指定對(duì)象的部分或全體構(gòu)成一個(gè)集合.構(gòu)成集合的元素除了常見的數(shù)、點(diǎn)等數(shù)學(xué)對(duì)象外，還可以是其

他對(duì)象.

2、集合元素的特征

（1）確定性：集合中的元素必須是確定的，任何一個(gè)對(duì)象都能明確判斷出它是否為該集合中的元素.

（2）互異性：集合中任何兩個(gè)元素都是互不相同的，即相同元素在同一個(gè)集合中不能重復(fù)出現(xiàn).

（3）無序性：集合與其組成元素的順序無關(guān).

3、元素與集合的關(guān)系

元素與集合之間的關(guān)系包括屬于（記作aeA）和不屬于（記作agA）兩種.

4、集合的常用表示法

集合的常用表示法有列舉法、描述法、圖示法（韋恩圖）.

5、常用數(shù)集的表示

數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

符號(hào)NN*或A；ZQR

二、集合間的基本關(guān)系

（1）子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合/、2,如果集合工中任意一個(gè)元素都是集合8中的元素，我們就說這

兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合/為集合2的子集，記作（或3二4）,讀作“工包含于2”（或“2包

含/”）.

（2）真子集：對(duì)于兩個(gè)集合4與2，若且存在6e2，但/）￡/，則集合/是集合3的真子集，記

作/$8（或）.讀作“/真包含于3”或“臺(tái)真包含N

（3）相等：對(duì)于兩個(gè)集合/與8，如果/￡8，同時(shí)那么集合N與8相等，記作4=3.

（4）空集：把不含任何元素的集合叫做空集，記作0；0是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

三、集合的基本運(yùn)算

（1）交集：由所有屬于集合N且屬于集合8的元素組成的集合，叫做/與3的交集，記作NcB,即

/C8={x|X€/且X68}.

（2）并集：由所有屬于集合N或?qū)儆诩?的元素組成的集合，叫做/與3的并集，記作NuB,即

AoB=^x\x&/或xe8}.

（3）補(bǔ)集：對(duì)于一個(gè)集合/,由全集U中不屬于集合/的所有元素組成的集合稱為集合N相對(duì)于全集。

的補(bǔ)集，簡稱為集合力的補(bǔ)集，記作QN,即Q/={x|xeU,且xeN}.

四、集合的運(yùn)算性質(zhì)

⑴A[}A=A-AH0=0>=4cB=A，AcB=B.

（2）A\JA=A^A\J0=A^A\JB=B\JA，A^A^JB-BS.

（3）/n（"）=0，AU（QA）=U>CU{CUA）=A.

（4）NcB=/o=8o/u8o*3qQ,/o/cQ/g=0

【集合常用結(jié)論】

（1）若有限集/中有〃個(gè)元素，則N的子集有7個(gè)，真子集有2"-1個(gè)，非空子集有2"-1個(gè)，非空真子集

有2"-2個(gè)。

（2）空集是任何集合力的子集，是任何非空集合B的真子集.

（3）A7Bo4nB=4o4\jB=BoCuB=Cu4.

（4）C^UnB）=（CVA）U（CVB）,CV（A\JB）=（CVA）Cl（CVB）■

五、充分條件、必要條件、充要條件

1、定義

如果命題“若夕,則為真(記作,則。是q的充分條件；同時(shí)q是。的必要條件.

2、從邏輯推理關(guān)系上看

(1)若且4冷",則。是q的充分不必要條件；

(2)若p令夕且qnp,則。是q的必要不充分條件；

(3)若且4n0,則。是q的的充要條件(也說°和4等價(jià))；

(4)若且q分p,則p不是q的充分條件，也不是q的必要條件.

六、全稱量詞與存在量詞

(1)全稱量詞與全稱量詞命題.短語“所有的”、“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)“V”表

示.含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題.全稱量詞命題“對(duì)〃中的任意一個(gè)X,有0(X)成立"可用符號(hào)

簡記為“VxeM,p(x)”，讀作“對(duì)任意x屬于"，有"X)成立”.

(2)存在量詞與存在量詞命題.短語“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)“在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)

“土,表示.含有存在量詞的命題叫做存在量詞命題.存在量詞命題”存在M中的一個(gè)毛，使Mx。)成立”可用

符號(hào)簡記為“土尸(％)”，讀作“存在M中元素%,使p(x0)成立"(存在量詞命題也叫存在性命題).

七、含有一個(gè)量詞的命題的否定

(1)全稱量詞命題0:V尤e的否定-1。為It。e",-,/?(x0).

(2)存在量詞命題°:弱eM,p(x0)的否定-10為VxeM「p(x).

注：全稱、存在量詞命題的否定是高考常見考點(diǎn)之一.

【常用邏輯用語常用結(jié)論】

1、從集合與集合之間的關(guān)系上看

設(shè)/={x|p(x)},8={x|q(x)}.

(1)若/￡8,則°是q的充分條件(0=>q),q是p的必要條件；若/室波，則p是q的充分不必要條

件，q是°的必要不充分條件，即png且q分";

注：關(guān)于數(shù)集間的充分必要條件滿足：“小n大”.

(2)若則°是q的必要條件，q是0的充分條件；

(3)若/=8,則p與q互為充要條件.

名校模擬探源

一、單選題

1.(2024?河南?三模)命題“會(huì)>0,無2+工一1>0”的否定是()

A.Vx>0,x2+x-1>0B.Vx>0,x2+x-1<0

C.<0,x2+x-1>0D.<0,x2+x-1<0

2.(2024?湖南長沙?三模)已知集合屈=卜舊區(qū)2}川="〔限<1},則AfcN=()

A.[2,e)B.[-2,1]C.[0,2)D.(0,2]

3.(2024?河北衡水?三模)已知集合/={1,2,3,4,5},5=jx|-1<Ig(x-l)<,則/口8=()

A.1x|^<x<51B.{2,3,4}C.{2,3}D.1x|^<x<31

4.(2024?陜西?三模)已知集合/={討-14》42},3={乂-苫2+3工>0},則4口3=()

A.RB.(0,2]C.[-1,0)D.[-1,3)

5.(2024?安徽?三模)已知集合N=3-5WXW1},B={X\X>-2\,則圖中所示的陰影部分的集合可以表示

B.{x|-2<x<1}

D.{x卜5Vx<-2}

6.（2024?湖南長沙?三模）已知直線/:fcc-y+岳=0,圓。:/+/=1,則“后<1”是“直線/上存在點(diǎn)尸,

使點(diǎn)尸在圓。內(nèi)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.（2024?湖北荊州?三模）已知集合/={x|2x-x"0},B=^A,其中R是實(shí)數(shù)集，集合C=（-叫1],則

BcC=（）

A.（-8,0]B.（0,1]C.（-8,0）D.（0,1）

8.（2024?北京?三模）已知集合/={x|hu<l},若。任/,則。可能是（）

A.-B.1C.2D.3

e

9.（2024?河北衡水?三模）已知函數(shù)/。）=（2工+”2-，卜也不貝廣療=廣是“函數(shù)/（x）是奇函數(shù)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

件

10.（2024?內(nèi)蒙古?三模）設(shè)"是兩個(gè)不同的平面，加，/是兩條不同的直線，且=/貝「加〃/”是

“機(jī)//分且加//a”的（）

A.充分不必要條件B.充分必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

11.（2024?北京?三模）己知N={x|log2（x-l）41},5={x||x-3|>2）,則/門8=（）

A.空集B.卜,43或x>5}

C.{x|xW3或x>5且xwl}D.以上都不對(duì)

12.（2024?四川?三模）己知集合/={0,3,5},8={x|x（x-2）=0},則/口8=（）

A.0B.{0}C.{0,2,3,5}D.{0,3}

13.（2024?重慶?三模）己知集合/=①?1<卜2-》一2<0},3=}|了=2，"€/},則/口3=（）

A.（T4）B.［卜］C.g，2）

14.（2024?北京?三模）"AA8C為銳角三角形”是“sin/>cos3,sin5>cosC,sinC>cos/”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

15.（2024?上海?三模）設(shè)集合/={1,。/},集合8=xy+j,x,yJ,對(duì)于集合8有

下列兩個(gè)結(jié)論：①存在。和6,使得集合8中恰有5個(gè)元素；②存在。和b,使得集合2中恰有4個(gè)元

素.則下列判斷正確的是（）

A.①②都正確B.①②都錯(cuò)誤C.①錯(cuò)誤，②正確D.①正確，②錯(cuò)誤

二、多選題

16.（2024?江西南昌?三模）下列結(jié)論正確的是（）

A.若{x|x+3>O}c{x|x-a<O}=0,則a的取值范圍是"-3

B.若{小+3>0}c{小-a<O}=0,則0的取值范圍是aV-3

C.若{小+3>0}3巾-°<0}=11,則。的取值范圍是02-3

D.若{x|x+3>0}3x|x-a<0}=R,則。的取值范圍是"-3

17.（2024?遼寧?三模）已知max"”/，…,毛}表示再應(yīng),…,x“這〃個(gè)數(shù)中最大的數(shù).能說明命題“V”,6,c,

（ZeR,11^{凡6}+0^{<7,4211^{4也<:,1}"是假命題的對(duì)應(yīng)的一組整數(shù)0,b,c,d值的選項(xiàng)有（）

A.1,2,3,4B.-3,-1,7,5

C.8,—1,—2,—3D.5,3,0,—1

18.（2024?重慶?三模）命題“存在x>0,使得機(jī)/+2%_1〉0”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（）

A.m>-2B.m>-\C.m>0D.m>1

19.（2024?黑龍江齊齊哈爾?三模）已知。力>0,則使得“a>6”成立的一個(gè)充分條件可以是（）

A.!<、B.\a-2\>\b-2\C.a2b-ab2>a—bD.ln（a"+1）>加伍~+1）

20.（2024?安徽安慶三模）已知集合/={xeZ*-2x-8<0},集合”{司9工>3'",加eR,xeR},若4cB

有且僅有3個(gè)不同元素，則實(shí)數(shù)加的值可以為（）

A.0B.1C.2D.3

三、填空題

21.（2024?湖南長沙?三模）已知集合/={1,2,4},B={a,a2},若/口3=/,則。=.

22.（2024?上海?三模）已知集合/={0,1,2},S={x|?-3x<1},則

23.（2024?湖南衡陽?三模）已知集合4={。,。+1},集合3={xeN|x2-x-240},若A=B,則

Q_.

24.（2024?湖南邵陽?三模）^={xeN|log2（x-3）<2）,S=則/門8=.

25.（2024?安徽?三模）已知集合/={42,-1},8=}|了=/"€/},若的所有元素之和為12,則實(shí)

數(shù)/..

26.（2024?山東聊城?三模）已知集合/={l,5,/},3={l,3+2a},且/口3=4,則實(shí)數(shù)。的值為.

27.（2024?重慶三模）已知集合/={無k2-5x+6=0},8=卜卜1<x<5”N},則滿足/［CUB的集合

C的個(gè)數(shù)為.

28.（2024?天津?三模）己知全集。="€^］》47},集合/={1,2,3,6},集合8={尤eZ］慟<5},則

(。/川5=，A<JB=，

29.（2024?山東泰安?三模）己知集合八卜三|,°

S={x|log2x>a},若2[([/),則。的取值范圍

是.

30.（2024?寧夏銀川?三模）已知命題?：關(guān)于x的方程/-QX+4=0有實(shí)根；命題q：關(guān)于x的函數(shù)

>=logs（2/+?+3）在［3,+⑹上單調(diào)遞增，若小或q”是真命題，〉且q”是假命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

是

專題01集合與常用邏輯用語

考情概覽

命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)

1.高考對(duì)集合的考查，重點(diǎn)是集合間的2022?新高考I卷，1

基本運(yùn)算，主要考查集合的交、并、補(bǔ)2023?新高考I卷,1

交集的運(yùn)算

運(yùn)算，常與一元二次不等式解法、一元2024?新高考I卷，1

一次不等式解法、分式不等式解法、指2022?新高考II卷，1

數(shù)、對(duì)數(shù)不等式解法結(jié)合.根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)2023?新高考n卷，2

2.高考對(duì)常用邏輯用語的考查重點(diǎn)關(guān)注充分必要條件的判定2023?新高考I卷,7

我口下兩點(diǎn)：

(1)集合與充分必要條件相結(jié)合問題

的解題方法；

全稱、存在量詞命題真假的判斷2024?新高考n卷，2

(2)全稱命題與存在命題的否定和以

全稱命題與存在命題為條件，求參數(shù)的

范圍問題.

2024年真題研析

命題分析

2024年高考新高考n卷未考查集合，I卷依舊考查了集合的交集運(yùn)算，常用邏輯用語在新高考n卷中考查

了全稱、存在量詞命題真假的判斷，這也說明了現(xiàn)在新高考“考無定題”，以前?？嫉默F(xiàn)在不一定考了，抓住

知識(shí)點(diǎn)和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是關(guān)鍵！集合和常用邏輯用語考查應(yīng)關(guān)注：(1)集合的基本運(yùn)算和充要條件；(2)

集合與簡單的不等式、函數(shù)的定義域、值域的聯(lián)系。預(yù)計(jì)2025年高考還是主要考查集合的基本運(yùn)算。

試題精講

1.12024新高考I卷壽)已知集合/=何-5＜/＜5},8={-3,-1,0,2,3},則()

A.{-1,0}B.{2,3}C.{-3,-1,0}D.{—1,0,2}

【答案】A

【分析】化簡集合A,由交集的概念即可得解.

【詳解】因?yàn)槊?卜|-正＜x＜指},8={-3,-1,0,2,3},且注意到1〈痛＜2,

從而/口8={-1,。}.

故選：A.

3

2.(2024新IWJ考II卷，2)已知命題p：VxGR,|x+11>1；命題q：>0,x=xJ則()

A.2和q都是真命題B.N和q都是真命題

c.2和都是真命題D.r7和都是真命題

【答案】B

【分析】對(duì)于兩個(gè)命題而言，可分別取--1、x=l,再結(jié)合命題及其否定的真假性相反即可得解.

【詳解】對(duì)于夕而言，取x=T,則有,+[=0<1,故夕是假命題，可是真命題，

對(duì)于夕而言，取X=l,貝!I有工3=13=1=%,故q是真命題，―!夕是假命題，

綜上，?和^都是真命題.

故選:B.

近年真題精選

1.(2022新高考I卷-1)若集合M=石<4},N={x|3x21},則McN=()

A.{x|0<x<21B.<x<2|C.{x|3<x<16|D.[gwx<16,

【答案】D

【分析】求出集合”,N后可求McN.

【詳解】A/={x|0<x<16},A^={x|x>|},故McN=[xgwx<16，，

故選:D

2.(2023新高考I卷?：!)己知集合”={-2,-1,0,1,2},TV=(x|x2-x-6>0),則AfcN=()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

【答案】C

【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N,即可根據(jù)交集的運(yùn)算解出.

方法二：將集合M中的元素逐個(gè)代入不等式驗(yàn)證，即可解出.

【詳解】方法一：因?yàn)?={小27_6叫=(-8,-2]33，+8),而/={-2,-1,0,1,2},

所以McN={-2}.

故選：C.

方法二：因?yàn)镸={-2,-1,0,1,2},將-2,-1,0,1,2代入不等式/_工一620,只有-2使不等式成立，所以

McN={-2}.

故選：C.

3.(2022新高考n卷-1)已知集合4={-1,1,2,4},8=卜卜-1|41},則NC13=()

A.{-1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}

【答案】B

【分析】方法一：求出集合3后可求/c瓦

【詳解】［方法一］:直接法

因?yàn)?={尤|0VxV2},故/門8={1,2},故選：B.

［方法二］:【最優(yōu)解】代入排除法

產(chǎn)-1代入集合”{尤卜一心1},可得2W1,不滿足，排除A、D；

x=4代入集合8=同尤-1歸1},可得341,不滿足，排除C.

故選：B.

【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：直接解不等式，利用交集運(yùn)算求出，是通性通法；

方法二：根據(jù)選擇題特征，利用特殊值代入驗(yàn)證，是該題的最優(yōu)解.

4.(2023新高考II卷2)設(shè)集合4={0,-a},B={l,a-2,2a-2\,若A=B,則。=().

A.2B.1C.1D.-1

【答案】B

【分析】根據(jù)包含關(guān)系分。-2=0和2a-2=0兩種情況討論，運(yùn)算求解即可.

【詳解】因?yàn)?。8,則有：

若4-2=0,解得a=2,此時(shí)4={0,-2},8={1,0,2},不符合題意；

若2。-2=0,解得”1,此時(shí)/={0,-1},?=符合題意；

綜上所述：?=1.

故選：B.

5.(2023新高考I卷-7)記S,為數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和，設(shè)甲：{與}為等差數(shù)列；乙：{2}為等差數(shù)列，則

n

()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【答案】C

【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數(shù)列的定義，再結(jié)合數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系推理判

斷作答.，

【詳解】方法1,甲：｛%｝為等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為外,公差為小

0n(n-l)Sn-1ddS.d_

貝||S=ZZQ]H-----------d7,—n=Q]H-------d7=——〃+---,n+l邑

n2n2212n+1n

因此｛土｝為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件;

n

cSS“S”+「(〃+l)S.W.+1-S"

反之，乙：中為等差數(shù)列，即肅-L為常數(shù)，設(shè)為f,

即等*乙則如+1),有%=—?〃(〃-

a=na

兩式相減得：?n+\~(n~\)an-2tn,即a“+]-a“=2f,對(duì)"=1也成立，

因此｛%｝為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，

所以甲是乙的充要條件，C正確.

方法2,甲：｛%｝為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)4,公差為"，即邑="%+/04,

則&=%+/Dd=g〃+q-g,因此｛鳥4為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；

n222n

cccc

反之，乙：｛二4為等差數(shù)列，即―—==D,j=d+("-l)D,

n77+1""

即Sn=叭+n(n-X)D,Sn_｛=(?-1)5,+(n-V)(n-2)D,

當(dāng)“22時(shí)，上兩式相減得：S“-S,i=E+2(〃-1)。，當(dāng)”=1時(shí)，上式成立,

于是?！?a1+2(n-l)Z>,又--%=%+2")-[4+2(〃-1)0=2。為常數(shù)，

因此｛七｝為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，

所以甲是乙的充要條件.

故選：C

必備知識(shí)速記

一、元素與集合

1、集合的含義與表示

某些指定對(duì)象的部分或全體構(gòu)成一個(gè)集合.構(gòu)成集合的元素除了常見的數(shù)、點(diǎn)等數(shù)學(xué)對(duì)象外，還可以是其

他對(duì)象.

2、集合元素的特征

(1)確定性：集合中的元素必須是確定的，任何一個(gè)對(duì)象都能明確判斷出它是否為該集合中的元素.

(2)互異性：集合中任何兩個(gè)元素都是互不相同的，即相同元素在同一個(gè)集合中不能重復(fù)出現(xiàn).

（3）無序性：集合與其組成元素的順序無關(guān).

3、元素與集合的關(guān)系

元素與集合之間的關(guān)系包括屬于（記作aeA）和不屬于（記作aeA）兩種.

4、集合的常用表示法

集合的常用表示法有列舉法、描述法、圖示法（韋恩圖）.

5、常用數(shù)集的表示

數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

符號(hào)NN*或N.ZQR

二、集合間的基本關(guān)系

（1）子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合4、8,如果集合N中任意一個(gè)元素都是集合8中的元素，我們就說這

兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合N為集合8的子集，記作（或32/），讀作”/包含于8”（或“8包

含N”）.

（2）真子集：對(duì)于兩個(gè)集合力與8，若N[8，且存在6e8，但6e/，則集合/是集合8的真子集，記

作（或）.讀作“工真包含于8”或“2真包含/

（3）相等：對(duì)于兩個(gè)集合/與8，如果/R8，同時(shí)那么集合4與8相等，記作N=3.

（4）空集：把不含任何元素的集合叫做空集，記作0；0是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

三、集合的基本運(yùn)算

（1）交集：由所有屬于集合/且屬于集合8的元素組成的集合，叫做/與2的交集，記作ZcB,即

/c8={x|xe/且xe3}.

（2）并集：由所有屬于集合/或?qū)儆诩?的元素組成的集合，叫做/與8的并集，記作NuB,即

/U8={xIX€/或X6.

（3）補(bǔ)集：對(duì)于一個(gè)集合/,由全集。中不屬于集合/的所有元素組成的集合稱為集合/相對(duì)于全集。

的補(bǔ)集，簡稱為集合N的補(bǔ)集，記作C。/,即Q/u&lxwU,且xe/}.

四、集合的運(yùn)算性質(zhì)

（1）AC\A=A>4n0=0，/n3=8n/，4cB=4,AcB=B.

⑵A\JA=A^/U0=/，A\JB=B\JA^，B=A5.

（3）/n（Q/）=0，/U（Q/）=。，CU（CUA）=A.

（4）Nc8=/今=8=/a8==聚/0/=0

【集合常用結(jié)論】

（1）若有限集/中有〃個(gè)元素，則/的子集有2"個(gè)，真子集有才-1個(gè)，非空子集有2"-1個(gè)，非空真子集

有2'-2個(gè)?

(2)空集是任何集合工的子集，是任何非空集合B的真子集.

(3)A^B<^A^B=AoA^B=BoCLIBcCVA.

(4)CvA5)=(CVA)U{CVB),C?U5)=(CVA)A{Cl]B).

五、充分條件、必要條件、充要條件

1、定義

如果命題“若°,則/'為真(記作pnq),則/是4的充分條件；同時(shí)g是〃的必要條件.

2、從邏輯推理關(guān)系上看

(1)若0=>q且4冷",則。是q的充分不必要條件；

(2)若0冷夕且qnp,則。是g的必要不充分條件；

(3)若png且q=>p,則。是g的的充要條件(也說0和g等價(jià))；

(4)若。#4且則。不是q的充分條件，也不是q的必要條件.

六、全稱量詞與存在量詞

(1)全稱量詞與全稱量詞命題.短語“所有的”、“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)“V”表

示.含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題.全稱量詞命題“對(duì)〃中的任意一個(gè)x,有p(x)成立"可用符號(hào)

簡記為“VxeM,p(x)”，讀作“對(duì)任意x屬于"，有">)成立”.

(2)存在量詞與存在量詞命題.短語“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)“在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)

表示.含有存在量詞的命題叫做存在量詞命題.存在量詞命題”存在M中的一個(gè)毛，使p(Xo)成立”可用

符號(hào)簡記為“土。?",尸(x。)”，讀作“存在M中元素%,使p(x0)成立"(存在量詞命題也叫存在性命題).

七、含有一個(gè)量詞的命題的否定

(1)全稱量詞命題:VxeMM(X)的否定可為±,-T/?(X0).

(2)存在量詞命題pi*。eM,p(x°)的否定為VxeM,r?(x).

注：全稱、存在量詞命題的否定是高考常見考點(diǎn)之一.

【常用邏輯用語常用結(jié)論】

1、從集合與集合之間的關(guān)系上看

設(shè)/={x|Mx)},8={x|q(x)}.

(1)若4=B,則。是q的充分條件(p=>q),q是。的必要條件；若/專極，則p是q的充分不必要條

件，q是°的必要不充分條件，即且4冷";

注：關(guān)于數(shù)集間的充分必要條件滿足：“小n大”.

(2)若8=/,則夕是q的必要條件，q是。的充分條件；

(3)若/=8,則。與q互為充要條件.

集合三模題

一、單選題

1.(2024?河南?三模)命題“九>032+》-1>0”的否定是()

A.Vx>0,x2+x-1>0B.Vx>0,x2+x-l<0

C.<0,x2+x-1>0D.3x<0,x2+x-1<0

【答案】B

【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定形式，即可求解.

【詳解】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，

即命題“*>0,/+1>0”的否定為“小>0戶2+140”.

故選：B.

2.(2024?湖南長沙?三模)已知集合舷={刈》區(qū)2}1="|班<1},則AfcN=()

A.[2,e)B.[-2,1]C.[0,2)D,(0,2]

【答案】D

【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式，化簡N,根據(jù)交集運(yùn)算求解即可.

【詳解】因?yàn)椤?[-2,2],N=(O,e),

所以A/nN=(O,2].

故選：D.

3.(2024?河北衡水?三模)已知集合/={1,2,3,4,5},S=jx|-1<Ig(x-l)<,則-3=

A.^<x<51B.{2,3,4}C.{2,3}D.1x|^<x<31

【答案】B

【分析】求得3=卜生》4麗+J,可求4cB.

【詳解】5=|x|-l<lg(x-l)<|j=|x|^<x<710+lj,

又4={1,2,3,4,5},故3={2,3,4},

故選：B.

4.(2024?陜西?三模)已知集合/={N-1VXV2},8={X|--+3無>o},則/口8=()

A.RB.(0,2]C.[-1,0)D.[-1,3)

【答案】D

【分析】先解一元二次不等式求出集合8,再根據(jù)集合并集定義計(jì)算即可.

【詳解】由-f+3x>0,解得o<x<3,所以集合8={x[0<x<3},

所以/u8={x|T4x<3},所以/口2=[-1,3）.

故選：D.

5.（2024?安徽三模）已知集合/={+5VxVl},B={x\x>-7],則圖中所示的陰影部分的集合可以表示

C.1x|—5<x<-2|D.|x|—5<x<—2j

【答案】C

【分析】圖中所示的陰影部分的集合為QBC/,結(jié)合集合的運(yùn)算即可得解.

【詳解】由圖可知，陰影部分表示的集合的元素為QBC/,

而/={尤卜5W1},B=1x|x>—21,則Qg={x|xV-2},

c/=|x|—5VxV-2}9

故所求集合為{H-5VxW-2}.

故選：C.

6.（2024?湖南長沙?三模）已知直線/:丘-〉+夜左=0,圓。:/+/=1,則“后<1”是“直線/上存在點(diǎn)尸,

使點(diǎn)尸在圓。內(nèi)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】由直線與圓相交可求得-1〈左<1,則通過判斷-1〈左<1與左<1的關(guān)系可得答案.

旦I,

【詳解】由直線/上存在點(diǎn)尸，使點(diǎn)尸在圓。內(nèi)，得直線/與圓O相交，即

互+i

解得-1〈人<1,即人

因?yàn)樽?lt;1不一定能得到一1<上<1,而-1<后<1可推出k<\,

所以“左<1”是“直線I上存在點(diǎn)P,使點(diǎn)尸在圓。內(nèi)”的必要不充分條件.

故選:B

7.（2024?湖北荊州?三模）已知集合/=舊Zx-Ywo},B=^A,其中R是實(shí)數(shù)集，集合。=（-雙1],則

BcC=（）

A.（7,0]B.（0,1]C.（一e,0）D.（0,1）

【答案】B

【分析】解出一元二次不等式后，結(jié)合補(bǔ)集定義與交集定義計(jì)算即可得.

【詳解】由2尤一/40可得xwo或xz2,貝（]8=4/={X[0<X<2},

又C=（-8,l],故8cC=（O,l].

故選：B.

8.（2024?北京?三模）已知集合/={x|hu<l},若。任/,則?？赡苁牵ǎ?/p>

1

A.-B.1C.2D.3

e

【答案】D

【分析】解對(duì)數(shù)不等式化簡集合A,進(jìn)而求出。的取值集合即得.

【詳解】由lnx<l,得0<x<e,則/={x|0<x<e},或/={無|》40或Ne},

由得aeQ/,顯然選項(xiàng)ABC不滿足，D滿足.

故選：D

9.（2024?河北衡水?三模）已知函數(shù)/■（x）=（2'+”2-4sinx,貝『方=1”是“函數(shù)/⑴是奇函數(shù)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

件

【答案】B

【分析】由函數(shù)/（幻是奇函數(shù)，可求得加=1,可得結(jié)論.

【詳解】若函數(shù)/（x）是奇函數(shù)，

則/（x）+/（-x）=（2*+m-2T卜inx-（2一,+》?2）sinx=（1-m）（2r-2r卜inx=0恒成立，即％=1,

而加2=1,得加=±1.

故"％2=1”是“函數(shù)/⑴是奇函數(shù)”的必要不充分條件.

故選：B.

10.（2024?內(nèi)蒙古?三模）設(shè)a,/是兩個(gè)不同的平面，加，/是兩條不同的直線，且夕=/則“加///”是

“加〃分且機(jī)〃a”的（）

A.充分不必要條件B.充分必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，利用線面平行的判定定理與性質(zhì)定理，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求

解.

【詳解】當(dāng)加///時(shí)，加可能在a內(nèi)或者「內(nèi)，故不能推出加〃尸且加//a,所以充分性不成立；

當(dāng)加//尸且7〃//a時(shí)，設(shè)存在直線〃ua,且〃//加，

因?yàn)榧?/6，所以〃〃￡,根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)定理，可知〃〃/,

所以機(jī)///,即必要性成立，故“加///”是“加/R且機(jī)//a”的必要不充分條件.

故選：C.

11.(2024?北京?三模)已知/={Mlog2(xT)Vl},S=|x||x-3|>2},則/()

A.空集B.卜歸43或x>5}

C.{x|xV3或x>5且xRl}D.以上都不對(duì)

【答案】A

【分析】先求出集合43,再由交集的定義求解即可.

【詳解】A={x|log2(x-1)<log22}={x|0<x-1<2}={x|l<x<3},

8={X卜-3>2或％-3<-2}={%,<1或x>5},

所以/cB=0.

故選：A

12.(2024?四川?三模)己知集合/={0,3,5},8={x|x(x-2)=0},則[-8=()

A.0B.{0}C.{0,2,3,5}D.{0,3}

【答案】B

【分析】將集合8化簡，然后結(jié)合交集的運(yùn)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】由題意8={小@-2)=0}={0,2},所以/口8={0,3,5}20,2}={0}.

故選：B.

13.(2024?重慶?三模)已知集合4=}€11k2-》-2<0},8={4>=2"廣€/},則()

A.(T,4)B.C.D.

【答案】D

【分析】解一元二次不等式求解集合A,根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解值域得集合B,然后利用交集運(yùn)算求解

即可.

【詳解】/=卜￡R/一、一2<o}={xeR](X-2)(X+1)<0}={xeR[-l<x<2}=1,2),

則8={肘=2*,xe(-1,2)}=卜g<""=4),

所以/口3=e,2].

故選:D

14.（2024?北京?三模）"OBC為銳角三角形”是“sin/>cos8,sin5>cosC,sinC>cos/”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式及正弦函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得解.

【詳解】充分性：

因?yàn)椤癇C為銳角三角形，

所以/+即

所以sin/>sin^-5^=cos5,

同理可得sinB>cosC,sinC>cosA,

故充分性得證；

必要性：

因?yàn)閟in/〉cosB,所以sinZ

因?yàn)?<8<兀,所以一]<、一3<5，

若/>T]T,則TT

若則/>]一8,所以N+3>],

綜上，A+B>,

TTJT

同理3+C>—,/+C>—,

22

所以。8C為銳角三角形，

必要性得證，

綜上所述，為充分必要條件.

故選：C.

15.（2024?上海三模）設(shè)<6,集合/={1,。/},集合8=xy+j,x,y,對(duì)于集合8有

下列兩個(gè)結(jié)論：①存在。和6,使得集合8中恰有5個(gè)元素；②存在。和b,使得集合2中恰有4個(gè)元

素.則下列判斷正確的是（）

A.①②都正確B.①②都錯(cuò)誤C.①錯(cuò)誤，②正確D.①正確，②錯(cuò)誤

【答案】A

【分析】由題意可知2“<2b,aH—<b+—<ab+—<ab-\—,對(duì)于叵）舉例分析判斷即可，對(duì)于②，若

abba

:71

2。=b~\—

b,貝1|6+：=26，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合零點(diǎn)存性定理可確定出6,從而可進(jìn)行判斷.

2b=ab+qb

[b

【詳解】當(dāng)x=l/=。時(shí)，t—xy+——tz+tz—2Q,

x

當(dāng)x=l,y=b時(shí)，t=xy