人教版初中八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步講義-因式分解-提公因式法（解析版）

第04講提公因式法分解因式

學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.掌握因式分解的概念，并能夠判斷運(yùn)算屬于因式分

①分解因式的概念

解。

②公因式的概念與求法

2.能求出一個(gè)式子的公因式與剩余部分。

③提公因式分解因式

3,能夠熟練的運(yùn)用提公因式的方法分解因式。

思維導(dǎo)圖

因式分解的慨念

_______________________公因式與剩余式子的喉

提公因式分解因式處因式分1旭武

知識(shí)點(diǎn)01分解因式的概念

i.分解因式的概念：

把一個(gè)多項(xiàng)式寫成幾個(gè)整式的積的形式,這樣的式子變形叫做這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解，也叫

做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。與整式的乘法互為逆運(yùn)算。

m(a+b+c)—(整式的乘法)>ma+mb+me-(因式分解)>m(a+b+c)

左邊是一個(gè)多項(xiàng)式，右邊是幾個(gè)整式的積的形式，即右邊的加減號(hào)必須在括號(hào)內(nèi)。且左右兩邊必須相

等。

題型考點(diǎn)：①判斷式子的運(yùn)算屬于因式分解。

【即學(xué)即練1】

1.下列等式從左到右的變形不是因式分解的是()

A.X2-y2=(x+y)(x-y)B.a2+4ab+4b2=(Q+26)2

C.cr-2a+1=a(a-2)+1D.ma+mb-mc—m(a+6-c)

【解答】解：A.(w)a-、)，是因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、aa2+4ab+4b2=(a+26)2,是因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、a2-2a+i=a(a-2)+1,沒(méi)把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，故此選項(xiàng)符合題意；

D、ma+mb-mc=mCa+b-c),是因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

【即學(xué)即練2】

2.下列各式從左到右，是因式分解的是()

A.(y-1)(y+1)=y2-I

B.x2y+xy2-1=xy(x+y)-1

C.(x-2)(x-3)=(3-x)(2-x)

D.x2-4x+4—(x-2)2

【解答】解：/、是多項(xiàng)式乘法，不是因式分解，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

結(jié)果不是積的形式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、不是對(duì)多項(xiàng)式變形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、運(yùn)用完全平方公式分解4尤+4=(x-2)2,正確.

故選：D.

知識(shí)點(diǎn)02公因式

1.公因式的概念：

多項(xiàng)式中各項(xiàng)都有的因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式的公因式。如多項(xiàng)式加a+加6+加c,各項(xiàng)都有一個(gè)

公因式m,則它就是這個(gè)多項(xiàng)式的公因式。

2.公因式的求法：

公因式=系數(shù)的最大公約數(shù)義相同字母(式子)的最低次幕。若多項(xiàng)式首項(xiàng)為負(fù)號(hào)，則公因

式為負(fù)。

3.多項(xiàng)式提取公因式后的另一個(gè)因式的求法：

多項(xiàng)式提取公因式后，另一個(gè)因式=多項(xiàng)式的每一項(xiàng)+公因式。

題型考點(diǎn)：①判斷多項(xiàng)式的公因式。②求多項(xiàng)式提取公因式的另一個(gè)因式。

【即學(xué)即練1】

3.多項(xiàng)式3a2廬-15a3b3-12a262c的公因式是()

A.3a2b~B.-15a%3C.3a262cD.-I2a~b~c

【解答】解：由題意可得，

多項(xiàng)式3a2廬-15.3〃-12a262c的公因式是：3a2b2,

故選：A.

【即學(xué)即練2】

4.多項(xiàng)式-8x2y3z+12xy2z3-24x3yz2的公因式是()

A.-xyzB.-4x3y3z3C.-4xyzD.-x3y3z3

【解答】解：多項(xiàng)式-8/送+12孫2z3-24x3yz2的公因式是-4xyz,

故選：C.

【即學(xué)即練3】

5.把2(%-3)+x(3-x)提取公因式(%-3)后，另一個(gè)因式是()

A.x-2B.x+2C.2-xD.-2-x

【解答】解：2(x-3)+%(3-x)=2(x-3)-x(x-3)=(x-3)(2-x),

故選：C.

【即學(xué)即練3】

6.若Cx+y)3-孫(x+y)=(x+y)?/,則4為()

A.x2-b)；2B.x2-xy+y2C.x2-3xy+y2D.x2+xy+y2

【解答】解：:(x+y)3-孫(x+y),

=Cx+y)[(x+y)2-xy],

=Cx+y)C^+xy+y2),

又「Cx+y')3~xy(x+y)=(x+y)*A,

/?A=x2+xy+y2.

故選：D.

知識(shí)點(diǎn)03提公因式分解因式

1.提公因式分解因式：

一般地，如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)都有公因式，可以把這個(gè)公因式提取出來(lái)，將多項(xiàng)式寫成公因式與

另一個(gè)因式的乘積的形式,這種分解因式的方法叫做提公因式法。

題型考點(diǎn)：①提公因式分解因式。

【即學(xué)即練1】

7.分解因式房(%-2)+b(2-x)正確的結(jié)果是()

A.(x-2)(b2+b)B.b(x-2)(6+1)

C.(x-2)(廬-b)D.b(x-2)Cb-1)

【解答】解：p(x-2)+b(2-x)

=b2(x-2)-b(x-2)

=b(x-2)(b-1).

故選：D.

【即學(xué)即練2】

8.分解因式：

(1)6m-15〃2冽+30冽2幾2

(2)x(x-y)2-y(x-y)

【解答】解：(1)6m2n-15n2m+30m2n2'=3mn(2m-5^+10m?)；

(2)x(x-y)2-y(x-y)=(x-y)(x2-xy-y).

【即學(xué)即練3】

9.因式分解：

(1)3x2-6xy+x；

(2)-4m3+16m2-28m；

(3)18(a-b)2-12Qb-a)3.

【解答】解：(1)3x2-6xy+x=x(3x-6y+l)；

(2)-4m3+16m2-28m=-4m(m2-4m+7)；

(3)18(a-b)2-12Qb-a)3=6(a-b)2(3+2。-2b).

題型精講

題型01判斷因式分解

【典例1】

下面式子從左邊到右邊的變形中是因式分解的是()

A.a(/〃+〃)=am+anB.x2-1=(x-1)2

C.-a~+3a—-a(a+3)D.x2-4—(x+2)(x-2)

【解答】解：aCm+n)=a%+即是整式乘法運(yùn)算，它不是因式分解，則/不符合題意；

%2-1=G-1)2左右兩邊不相等，它不是因式分解，則2不符合題意；

-a2+3a=-a(a+3)左右兩邊不相等，它不是因式分解，則C不符合題意；

X2-4=(X+2)(X-2)符合因式分解的定義，它是因式分解，則。符合題意；

故選：D.

【典例2】

下列各式從左到右的變形中，屬于因式分解的是()

A.(x+2)=x2+4x+1

B.3a(6+c)—3ab+3ac

C.x2-4y2=(%+2_y)(x-2y)

D.(x-1)(y-1)—xy-x-y+\

【解答】解：A.(x+2)=X2+4X+1,從左邊到右邊的變形是整式乘法計(jì)算，不屬于因式分解，故本選項(xiàng)

不符合題意；

B.3a(b+c)=3"+3ac,從左邊到右邊的變形是整式乘法計(jì)算，不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意;

C.X2-4)，2=(x+2y)(x-2y),從左邊到右邊的變形屬于因式分解，故本選項(xiàng)符合題意；

D.(x-1)(y-1)=xy-x-y+l,等式的右邊不是幾個(gè)整式的積的形式，不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不

符合題意；

故選：C.

【典例3】

下列各式中，從左到右的變形是因式分解的是()

A.X2+2X+3—(x+1)2+2B.15x2y—3x*5xy

C.2(x+y)—2x+2yD.x2-6x+9=(x-3)2

【解答】解：X2+2X+3=(X+1)2+2變形后是多項(xiàng)式與單項(xiàng)式的和的形式，

故N不符合題意；

15/了=3尸5了變形后是單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的形式，

故2不符合題意；

2(x+y)=2x+2y是單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算，

故C不符合題意；

/+6"9=(x+3)2是利用完全平方公式進(jìn)行的因式分解，

故。符合題意；

故選：D.

【典例4】

下列各式從左到右不屬于因式分解的是()

A.x2-x=x(x-1)B.X2+2X+1=X(X+2)+1

C.x2-6x+9=(x-3)2D.x2-1=(x+1)(x-1)

【解答】解：A,符合因式分解的定義，屬于因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意;

8、右邊不是整式的積的形式，不屬于因式分解，故此選項(xiàng)符合題意；

C、符合因式分解的定義，屬于因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；

。、符合因式分解的定義，屬于因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意.

故選：B.

題型02利用因式分解的概念求值

【典例1】

已知在/+mx-16=(x+a)(x+6)中，a,b為整數(shù)，能使這個(gè)因式分解過(guò)程成立的優(yōu)值的個(gè)數(shù)有()

A.4個(gè)B.5個(gè)C.8個(gè)D.10個(gè)

【解答】解：V-16=-1X16=-2X8=-4X4=4X(-4)=2X(-8)=1X(-16)=aXb,

.,.m=a+b=-1+16或-2+8或-4+4或4+(-4)或2+(-8)或1+(-16),

即加=±15或±6或0.

則優(yōu)的可能值的個(gè)數(shù)為5,

故選：B.

【典例2】

若多項(xiàng)式。f+6x+c可以被分解為(x-3)(x-2),則多=1,6=-5,c—6

【解答】解：,多項(xiàng)式a/+6x+c可以被分解為(%-3)(%-2),

(%-3)(x-2)—X2-5x+6,

.■.a=l,b=-5,c=6,

故答案為：1，-5,6.

【典例3】

當(dāng)左=7時(shí)，二次三項(xiàng)式，-依+12分解因式的結(jié)果是(x-4)(x-3).

【解答】解：：(x-4)(x-3)=f-7x+12,

-k=-7,k=7.

故應(yīng)填7.

【典例4】

如果二次三項(xiàng)式3a2+7.-k中有一個(gè)因式是3a-2,那么k的值為6.

【解答】解：設(shè)3a2+7°-左=8(3.-2),

B=(3a^+la-左)4-(3。-2)=a+3,

(3。-2)(。+3)=3。2+7。-k,

解得k=6.

故答案為：6.

【典例5】

若多項(xiàng)式/+辦+6分解因式的結(jié)果為(x+1)(%-2),則。+6的值為-3

【解答】解：(x+1)(x-2)

—X2-2x+x-2

=x2-x-2

所以a=-\,b=-2,

貝！］a+b=-3.

故答案為：-3.

題型03確定公因式

【典例1】

多項(xiàng)式nab3c-801b各項(xiàng)的公因式是()

A.Aab2,B.4abcC.lab1D.4ab

【解答】解：,**12ab3c-8a2b=4ab93b2c-4ab92a,

12ab3c-842b各項(xiàng)的公因式是4ab,

故選：D.

【典例2】

多項(xiàng)式-4Q2廬+12。2/)2-8〃362c的公因式是()

A.-44262cB.-a2b2C.-4a2b2D.-4q%2c

【解答】解：多項(xiàng)式-4a2b2+12。2b2_84362c的公因式是-4^2

故選：c.

【典例3】

多項(xiàng)式4x(m-n)+2y(m-幾)2的公因式是2(冽--).

【解答】解：4x(m-n)+2y(幾-m)?的公因式是2(m-?).

故答案為：2(m-九).

【典例4】

多項(xiàng)式-6ab2c+18a2b2c3-124363c2的公因式是()

A.-ab1B.-6a3b2cC.-6ab1D.-6ab1c

【解答】解：-6ab2+\^a2b2-12a3b2c的公因式是-6ab2,

故選：C.

題型04提公因式法分解因式

【典例1】

把多項(xiàng)式冽(a-2)+(a-2)分解因式等于()

A.m(a-2)B.(〃-2)(冽+1)

C.m(a+2)D.(m-1)(?-2)

【解答】解：原式=(〃-2)(加+1).

故選：B.

【典例2】

因式分解：

(1)12丹3-3工2,5；

(2)(%-2)2-x+2.

【解答】解：(1)12-3_305

=3x2y3X4-3x2y3Xy2

=3x2y3X(4-y2)

=3的？(2+y)(2-y)；

(2)(x-2)2-X+2

=(x-2)2-(x-2)

=(x-2)[(x-2)-1]

=(x-2)(x-3).

【典例3】

因式分解：

(1)3x2-6x+12xy；

(2)(x-y)3+4X(x-y)2.

【解答】解：(1)3x2-6x+12xy

=3x(x-2+4y)；

(2)(x-y)3+4X(x-y)2

=(x-y)2(x-y+4x)

=(x-y)2(5x-y).

【典例4】

分解因式：(1)9x3/-21x3y2+12x2y2；

(2)y(2a-b)+x(6-2Q).

【解答】解：(1)9x3y3-21x3/+12xy=3X2J/2(3盯-7x+4)；

(2)y(2a-b)+x(b-2a)

=y(24-b)-x(2q-6)

=(2。-b)(y-x).

【典例5】

因式分解：(I)-24X3+12X2-28x

(2)6(m-n)3-12(m-n)?

【解答】解：(1)原式=-4x(6/-3X+7)；

(2)原式=6(m-n)2(m-n-2).

【典例6】

把下列各式進(jìn)行因式分解：

(1)/+孫；

(2)-4廬+2。6；

(3)3ax-12bx+3x；

(4)6ab3-2a2b2+4a3b.

【解答】解：(1)x2+xy=x(x+y)；

(2)-4b2+2ab=-2b(2b-a)；

(3)3ax-12bx+3x

=3x(a-46+1)；

(4)6ab3-2a2b2+4a3b

2ab(3屬-ab+2a2).

強(qiáng)化訓(xùn)練

1.下列從左邊到右邊的變形，屬于因式分解的是()

A.6a2b~=3ab'2abB.(x+1)(x-1)=x2~1

C.x2-4x+4=(x-2)2D.x2-x-4=x(x-1)-2

【解答】解：46層?=3ab?2ab,等式的左邊不是一個(gè)多項(xiàng)式，不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意;

B.(x+1)(x-1)=--1,從等式的左邊到右邊的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符

合題意；

C.f-4x+4=(x-2)2,由左邊到右邊的變形屬于因式分解，故本選項(xiàng)符合題意；

D.^-x-4=x(x-1)-2,不是把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，不屬于因式分解，故本選項(xiàng)

不符合題意.

故選：C.

2.下列四個(gè)等式從左到右的變形是因式分解的是()

A.(a+3)(a-3)—a2-9B.a(a-Z>)—a2-ab

C.x2-x=x(x-1)D.x2-2x+l=x(x-2)+1

【解答】解：A.它是整式乘法運(yùn)算，不是因式分解，

則/不符合題意；

B.它是整式乘法運(yùn)算，不是因式分解，

則3不符合題意；

C.它符合因式分解的定義，

則C符合題意；

D.等號(hào)右邊不是積的形式，它不是因式分解，

則D不符合題意；

故選：C.

3.已知多項(xiàng)式2x2+6x+c分解因式為2(%-3)(x+1),則6、c的值為()

A.6=3,c=-1B.b=-6,c=2C.b=-6,c=-4D.b=-4,c=-6

【解答】解：由多項(xiàng)式2x2+6x+c分解因式為2(x-3)(x+1),得

2x2+bx+c=2(x-3)(x+1)=2x2-4x-6.

b=-4,c--6,

故選：D.

4.若多項(xiàng)式ax-1可分解為(x-2)(x+b),則a+6的值為()

A.2B.1C.-2D.-1

【解答】解：(x-2)(x+b)—x2+bx-2x-2b—x2+(b-2)x-2b—x2-ax-1,

??b-2—■一a,~2b=-1,

.*.Z?=0.5,q=1.5,

??a+b=2.

故選：A.

5.下列各組多項(xiàng)式中，沒(méi)有公因式的是（）

A.ax-"和勿-"B.3x-9xy和6y2-2y

C./一爐和D.a+b和a2-2ab+b2

【解答】解：4、by-ax=-（ax-by\故兩多項(xiàng)式的公因式為：ax-by,故此選項(xiàng)不合題意；

B、3x-9xy=3x（1-3j；）和6爐-2y=-29（1-3y）,故兩多項(xiàng)式的公因式為：1-3y,故此選項(xiàng)不合題

-?r.

息；

C、X2-y1—（x-y）（x+y）和x-y,故兩多項(xiàng)式的公因式為：x-y,故此選項(xiàng)不合題意；

D、q+b和/一2"+廬=（。-6）2,故兩多項(xiàng)式?jīng)]有公因式，故此選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

6.多項(xiàng)式-6ab2+24a2b2-12Q%2c的公因式是（）

A.-6ab1cB.-ab1C.-Gab1D.-6a3b2c

【解答】解：系數(shù)的最大公約數(shù)是-6,相同字母的最低指數(shù)次幕是仍2,

???公因式為-6ab2.

故選：C.

7.把多項(xiàng)式加之(〃-2)+m(2-Q)分解因式等于()

A.(q-2)(m2+m)B.(Q-2)(m2-m)

C.m(tz-2)(m-1)D.m(Q-2)(m+1)

【解答】解：m2(a-2)+m(2-a),

=m2(tz-2)-m(q-2),

=m(.a-2)(m-1).

故選：C.

8.已知qb=-3,q+6=2,貝!J/人+^^的值是()

A.6B.-6C.1D.-1

【解答】解：因?yàn)槿?-3,a+b=2,

所以a2b+ab2

=ab（a+力）

=-3X2

=-6,

故選：B.

9.如圖，邊長(zhǎng)分別為a,b的長(zhǎng)方形，它的周長(zhǎng)為15,面積為10,貝1342b+3加=225

【解答】解：??,長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為15,面積為10,

15

??a+b=cib=10,

9915

3ab+3ab=3ab(a+b)=3X10X-y-225-

故答案為：225.

10.若多項(xiàng)式x2+mx-12分解因式后含有因式x-2,則m的值為4.

【解答】解：???多項(xiàng)式/+加「12分解因式后含有因式「2,

.\x2+mx-12=(x-2)(x+6)=x2+4x-12,

則冽=4,

故答案為：4.

11.多項(xiàng)式-_6x4yz2的公因式是一3自立.

【解答】解：??,多項(xiàng)式-3%5為+9丹32,6的/有三項(xiàng)，

2333

-3xyzf9xyz,-6%4田中系數(shù)的公因數(shù)是-3,

字母部