第二章 《一元二次方程》-解析版

一、一元二次方程的概念二、一元二次方程的解三、配方法四、一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系五、根與系數(shù)的關(guān)系（一）韋達定理計算（二）構(gòu)建一元二次方程六、一元二次方程的應用一、一元二次方程的概念1．（2020-2021成都實驗中學九年級（上）期中·1）（3分）下列方程一定是一元二次方程的是A． B． C． D．【考點】一元二次方程的定義【專題】一元二次方程及應用；符號意識【分析】根據(jù)一元二次方程的定義逐個判斷即可．【解答】解：．是二元二次方程，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；．是一元二次方程，故本選項符合題意；．當時，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；．，整理得：，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；故選：．【點評】本題考查了一元二次方程的定義，能熟記一元二次方程的定義是解此題的關(guān)鍵，注意：只含有一個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2次的整式方程，叫一元二次方程．2．（2021-2022成都青羊區(qū)石室聯(lián)中九年級（上）期中·4）（3分）下面關(guān)于的方程中：①為常數(shù)）；②；③．一定是一元二次方程的個數(shù)為個．A．0 B．1 C．2 D．3【考點】一元二次方程的定義【專題】符號意識；一元二次方程及應用【分析】利用一元二次方程的定義（只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程）判斷即可．【解答】解：①當時，不是一元二次方程；②是一元二次方程；③是分式方程．一定是一元二次方程的個數(shù)為1個．故選：．【點評】此題考查了一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解本題的關(guān)鍵．3．（2021-2022成都七中育才九年級（上）期中·3）（3分）將一元二次方程3x2﹣4＝5x化為一般形式后，其中二次項系數(shù)、一次項系數(shù)分別是（）A．3，5 B．3，﹣5 C．﹣4，5 D．﹣4，﹣5【分析】先把方程化為一般式為3x2﹣5x﹣4＝0，然后確定二次項系數(shù)和一次項系數(shù)．【解答】解：方程化為一般式為3x2﹣5x﹣4＝0，所以二次項系數(shù)、一次項系數(shù)分別是3，﹣5．故選：B．【點評】本題考查了一元二次方程的一般式，要確定二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項，必須先把一元二次方程化成一般形式．4．（2021-2022成都實驗外國語學校西區(qū)九年級（上）期中·1）（3分）下列方程中，關(guān)于x的一元二次方程是（）A．3x2﹣5x＝6 B． C．6x+1＝0 D．2x2+y2＝0【分析】利用一元二次方程定義進行解答即可．【解答】解：A、3x2﹣5x＝6是關(guān)于x的一元二次方程，故此選項符合題意；B、﹣2＝0是分式方程，不是一元二次方程，故此選項不符合題意；C、6x+1＝0是一元一次方程，不是一元二次方程，故此選項不符合題意；D、2x2+y2＝0是二元二次方程，不是一元二次方程，故此選項不符合題意；故選：A．【點評】此題主要考查了一元二次方程的定義，關(guān)鍵是掌握一元二次方程必須同時滿足三個條件：①整式方程，即等號兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數(shù)；②只含有一個未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2次．5．（2021-2022成都金牛區(qū)蜀西實驗中學九年級（上）期中·1）（3分）下列方程中是一元二次方程的是（）A．﹣5＝0 B．x+2y＝﹣5 C．x2＝5 D．3x2+xy＝5【分析】根據(jù)一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程求解即可．【解答】解：A．是分式方程，故本選項不合題意；B．是二元一次方程，故本選項不合題意；C．是一元二次方程，故本選項符合題意；D．是二元二次方程，故本選項不合題意；故選：C．【點評】本題利用了一元二次方程的概念．只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．6．（2021-2022成都金牛區(qū)鐵路中學九年級（上）期中·1）（3分）下列方程中是一元二次方程的是（）A．2x2+＝0 B．a(chǎn)x2+bx+c＝0 C．2x2﹣5xy﹣y2＝0 D．（x﹣3）（x+2）＝1【分析】根據(jù)一元二次方程的定義求解．【解答】解：A．是分式方程，故本選項不合題意；B．當a＝0時，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故本選項不合題意；C．是二元二次方程，故本選項不合題意；D．符合一元二次方程的定義，故本選項符合題意．故選：D．【點評】本題利用了一元二次方程的概念．只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0）．特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．7．（2021-2022成都九年級（上）期中·1）（3分）下列方程是一元二次方程的是（）A．x+2y＝1 B．x2﹣2＝0 C．x＝2x3﹣3 D．3x+＝1【分析】根據(jù)一元二次方程的概念判斷即可．【解答】解：A、x+2y＝1，含有兩個未知數(shù)，不是一元二次方程，不符合題意；B、x2﹣2＝0，是一元二次方程，符合題意；C、x＝2x3﹣3，未知數(shù)的最高次數(shù)是3，不是一元二次方程，不符合題意；D、3x+＝1，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合題意；故選：B．【點評】本題考查的是一元二次方程的概念，掌握只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程是解題的關(guān)鍵．8．（2021-2022成都七中育才九年級（上）期中·2）（3分）已知關(guān)于x的方程（m﹣2）x|m|﹣3x﹣4＝0是一元二次方程，則（）A．m≠±2 B．m＝﹣2 C．m＝2 D．m＝±2【分析】利用一元二次方程的定義（只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程）解答即可．【解答】解：∵關(guān)于x的方程（m﹣2）x|m|﹣3x﹣4＝0是一元二次方程，∴，解得m＝﹣2，故選：B．【點評】此題考查了一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解本題的關(guān)鍵．9．（2021-2022成都青羊區(qū)石室中學九年級（上）期中·3）（3分）關(guān)于的方程是一元二次方程，則A．2或 B．2 C． D．0【考點】一元二次方程的定義；絕對值【專題】運算能力；一元二次方程及應用【分析】根據(jù)一元二次方程的定義可知，最高次數(shù)為2且二次項的系數(shù)不為0，即，且，解出的值即可．【解答】解：由題意可知：，且，所以且．所以．故選：．【點評】本題考查一元二次方程的定義，要注意系數(shù)不為0，這是比較容易漏掉的條件．二、一元二次方程的解（一）選擇題1．（2020-2021成都雙流中學九年級（上）期中·3）（3分）若是方程的一個根，則的值是A．1 B．3 C． D．5【考點】一元二次方程的解【專題】推理能力；一元二次方程及應用【分析】把代入方程，即可得到一個關(guān)于的方程，求得的值．【解答】解：將代入得：，，故選：．【點評】本題主要考查了方程的解的定義，正確求解的值是解決本題的關(guān)鍵．2．（2021-2022成都實驗外國語學校西區(qū)九年級（上）期中·2）（3分）方程x（x﹣3）＝0的解是（）A．x＝2 B．x1＝0，x2＝2 C．x1＝0，x2＝3 D．x＝3【分析】由因式分解法解一元二次方程的步驟求解即可．【解答】解：∵x（x﹣3）＝0，∴x＝0或x﹣3＝0，解得x1＝0，x2＝3，故選：C．【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．3．（2021-2022成都大邑縣九年級（上）期中·4）（3分）若關(guān)于x的方程x2+3x+a＝0有一個根為﹣1，則a的值為（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣3【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，把x＝﹣1代入方程得到關(guān)于a的一次方程，然后解此一次方程即可．【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2+3x+a＝0得1﹣3+a＝0，解得a＝2．故選：B．【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．4．（2021-2022成都簡陽九年級（上）期中·4）（3分）若x＝1是方程x2﹣2mx+3＝0的解，則m的值為（）A． B．2 C． D．﹣2【分析】把x＝1代入已知方程，列出關(guān)于m的新方程，通過解該新方程來求m的值即可．【解答】解：∵x＝1是一元二次方程x2﹣2mx+3＝0的解，∴12﹣2m+3＝0，解得，m＝2．故選：B．【點評】本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．即用這個數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立．5．（2021-2022成都九年級（上）期中·5）（3分）關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一個根是0，則a的值為（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．【分析】根據(jù)方程的解的定義，把x＝0代入方程，即可得到關(guān)于a的方程，再根據(jù)一元二次方程的定義即可求解．【解答】解：根據(jù)題意得：a2﹣1＝0且a﹣1≠0，解得：a＝﹣1．故選：B．【點評】本題主要考查了一元二次方程的解的定義，特別需要注意的條件是二次項系數(shù)不等于0．（二）填空題1．（2020-2021成都實驗中學九年級（上）期中·11）（4分）若是方程的根，則代數(shù)式的值為．【考點】一元二次方程的解【專題】運算能力；一元二次方程及應用【分析】根據(jù)一元二次方程根的定義得到，然后利用整體代入的方法計算的值．【解答】解：是方程的根，，，．故答案為：10．【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．2．（2021-2022成都七中育才九年級（上）期中·12）（4分）如果x＝﹣1是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一個根，那么2021﹣4a+4b＝．【分析】根據(jù)一元二次方程解的定義得到a﹣b＝﹣1，再把2021﹣4a+4b變形為2021﹣4（a﹣b），然后利用整體代入的方法計算．【解答】解：把x＝﹣1代入一元二次方程ax2+bx+1＝0得a﹣b+1＝0，所以a﹣b＝﹣1，所以2021﹣4a+4b＝2021﹣4（a﹣b）＝2021﹣4×（﹣1）＝2025．故答案為：2025．【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．3．（2021-2022成都金牛區(qū)蜀西實驗中學九年級（上）期中·12）（4分）已知x＝2是關(guān)于x一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一個根，則另一根是．【分析】設(shè)方程的另一個根為x2，根據(jù)兩根之積列出關(guān)于x2的方程，解之可得答案．【解答】解：設(shè)方程的另一個根為x2，則2x2＝﹣6，解得x2＝﹣3，故答案為：﹣3．【點評】本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握x1，x2是方程x2+px+q＝0的兩根時，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．4．（2021-2022成都金牛區(qū)鐵路中學九年級（上）期中·11）（4分）已知x＝1是一元二次方程x2+kx﹣2＝0的一根，則k的值為．【分析】把x＝1代入已知方程，列出關(guān)于k的新方程，通過解新方程來求k的值．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0有一個根是x＝1，∴1+k﹣2＝0，解得：k＝1，故答案為：1．【點評】本題考查了一元二次方程的解的定義．能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．5．（2021-2022成都錦江區(qū)嘉祥外國語學校九年級（上）期中·11）（4分）已知2是關(guān)于x的方程x2﹣2x+m＝0的一個實數(shù)根，則實數(shù)m的值是．【分析】把x＝2代入方程x2﹣2x+m＝0即可得答案．【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣2x+m＝0得22﹣2×2+m＝0，解得m＝0．故答案為：0．【點評】本題考查一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解是解題的關(guān)鍵．6．（2021-2022成都青羊區(qū)樹德中學九年級（上）期中·11）（4分）關(guān)于的一元二次方程的一個根是2，則．【考點】一元二次方程的解【專題】一元二次方程及應用；運算能力【分析】把代入方程得：，然后解關(guān)于的方程即可．【解答】解：把代入方程，得，解得．故答案為：6．【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．7．（2020-2021成都雙流中學九年級（上）期中·21）（4分）根據(jù)表格中的對應值，一元二次方程其中一個解的取值范圍是．3.13.23.33.40.291.76【考點】估算一元二次方程的近似解【專題】一元二次方程及應用；推理能力【分析】觀察表格軸的數(shù)據(jù)，得到時，函數(shù)值；當時，函數(shù)值，則當時，的函數(shù)值有機會為0，由此可判斷一元二次方程，、、為常數(shù)）一個解的范圍為．【解答】解：的解，即為當時的取值，由圖知，當，，，，在時，，故答案為：【點評】本題考查了估算一元二次方程的近似解：用列舉法估算一元二次方程的近似解，具體方法是：給出一些未知數(shù)的值，計算方程兩邊結(jié)果，當兩邊結(jié)果愈接近時，說明未知數(shù)的值愈接近方程的根．三、配方法1．（2021-2022成都七中育才九年級（上）期中·7）（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0時，配方后得的方程為（）A．（x+1）2＝0 B．（x﹣1）2＝0 C．（x+1）2＝2 D．（x﹣1）2＝2【分析】在本題中，把常數(shù)項﹣1移項后，應該在左右兩邊同時加上一次項系數(shù)﹣2的一半的平方．【解答】解：把方程x2﹣2x﹣1＝0的常數(shù)項移到等號的右邊，得到x2﹣2x＝1，方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，得到x2﹣2x+1＝1+1配方得（x﹣1）2＝2．故選：D．【點評】考查了解一元二次方程﹣配方法，配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù)．2．（2021-2022成都七中育才九年級（上）期中·5）（3分）用配方法解x2﹣8x+5＝0方程，將其化成（x+a）2＝b的形式，則變形正確的是（）A．（x+4）2＝11 B．（x﹣4）2＝21 C．（x﹣8）2＝11 D．（x﹣4）2＝11【分析】移項后兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方可得．【解答】解：∵x2﹣8x＝﹣5，∴x2﹣8x+16＝﹣5+16，即（x﹣4）2＝11，故選：D．【點評】本題主要考查配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法解方程的基本步驟是解題的關(guān)鍵．3．（2021-2022成都實驗外國語學校西區(qū)九年級（上）期中·3）（3分）一元二次方程x2+4x＝5配方后可變形為（）A．（x+2）2＝5 B．（x+2）2＝9 C．（x﹣2）2＝9 D．（x﹣2）2＝21【分析】兩邊配上一次項系數(shù)一半的平方可得．【解答】解：∵x2+4x＝5，∴x2+4x+4＝5+4，即（x+2）2＝9，故選：B．【點評】本題主要考查解一元二次方程的基本技能，熟練掌握解一元二次方程的常用方法和根據(jù)不同方程靈活選擇方法是解題的關(guān)鍵．4．（2021-2022成都簡陽九年級（上）期中·7）（3分）用配方法解方程x2﹣4x+3＝0，下列配方正確的是（）A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝1 C．（x﹣2）2＝7 D．（x﹣2）2＝4【分析】配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．【解答】解：∵x2﹣4x+3＝0，∴x2﹣4x＝﹣3，∴x2﹣4x+4＝﹣3+4，∴（x﹣2）2＝1．故選：A．【點評】此題考查了配方法解一元二次方程，解題時要注意解題步驟的準確應用．選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù)．5．（2021-2022成都金牛區(qū)鐵路中學九年級（上）期中·7）（3分）用配方法解方程x2﹣4x+3＝0，下列配方正確的是（）A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝1 C．（x﹣2）2＝7 D．（x﹣2）2＝4【分析】配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．【解答】解：∵x2﹣4x+3＝0，∴x2﹣4x＝﹣3，∴x2﹣4x+4＝﹣3+4，∴（x﹣2）2＝1．故選：A．【點評】此題考查了配方法解一元二次方程，解題時要注意解題步驟的準確應用．選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù)．6．（2021-2022成都青羊區(qū)石室中學九年級（上）期中·3）（3分）用配方法解方程時，原方程變形為A． B． C． D．【考點】解一元二次方程配方法【專題】配方法；一元二次方程及應用；運算能力【分析】把常數(shù)項4移項后，應該在左右兩邊同時加上一次項系數(shù)6的一半的平方．【解答】解：由可得：，則，即：，故選：．【點評】本題主要考查配方法解一元二次方程，配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù)．7．（2021-2022成都青羊區(qū)樹德中學九年級（上）期中·4）（3分）一元二次方程配方后可化為A． B． C． D．【考點】解一元二次方程配方法【專題】一元二次方程及應用；運算能力【分析】先把常數(shù)項移到方程右邊，再把方程兩邊加上9，然后把方程左邊寫成完全平方形式即可．【解答】解：，，，．故選：．【點評】本題考查了解一元二次方程配方法，熟練掌握用配方法解一元二次方程的步驟是解決問題的關(guān)鍵．四、一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系（一）選擇題1．（2020-2021成都雙流棠湖中學九年級（上）期中·8）（3分）若關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，則的取值范圍是A． B． C． D．【考點】一元二次方程的解【專題】一元二次方程及應用；運算能力【分析】關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，即判別式△．即可得到關(guān)于的不等式，從而求得的范圍．【解答】解：關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，△，解得：故選：．【點評】此題考查了根的判別式，用到的知識點是一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）△方程沒有實數(shù)根．2．（2020-2021成都雙流中和中學九年級（上）期中·6）（3分）如果關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，那么應滿足的條件是A． B．且 C．且 D．【考點】一元二次方程的定義；根的判別式【專題】一元二次方程及應用；運算能力【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式得出且△，求出解集即可．【解答】解：關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根且△，解得：且，故選：．【點評】本題考查了一元二次方程的定義、解一元一次不等式和根的判別式，能熟記根的判別式的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．3．（2020-2021成都雙流中學九年級（上）期中·5）（3分）關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是A． B． C． D．【考點】根的判別式【專題】一元二次方程及應用【分析】若一元二次方程有兩不等實數(shù)根，則根的判別式△，建立關(guān)于不等式，求出的取值范圍．【解答】解：，，，△，解得．故選：．【點評】考查了根的判別式．總結(jié)：一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）△方程沒有實數(shù)根．4．（2021-2022成都七中育才九年級（上）期中·9）（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是（）A．k＞﹣ B．k＜ C．k＞﹣且k≠0 D．k＜且k≠0【分析】利用一元二次方程的定義和判別式的意義得到k≠0且Δ＝（2k﹣1）2﹣4k?（k﹣2）＞0，然后求出兩個不等式的公共部分即可．【解答】解：根據(jù)題意得k≠0且Δ＝（2k﹣1）2﹣4k?（k﹣2）＞0，解得k＞﹣且k≠0．故選：C．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0時，方程無實數(shù)根．5．（2021-2022成都青羊區(qū)樹德中學九年級（上）期中·9）（3分）若關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是A． B．且 C． D．且【考點】一元二次方程的定義；根的判別式【分析】根據(jù)根的判別式及一元二次方程的定義得出關(guān)于的不等式組，求出的取值范圍即可．【解答】解：關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，，即，解得且．故選：．【點評】本題考查的是根的判別式，熟知一元二次方程的根與判別式的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．6．（2021-2022成都實驗外國語學校西區(qū)九年級（上）期中·5）（3分）關(guān)于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有實數(shù)解，那么m的取值范圍是（）A．m≠2 B．m≤3 C．m≥3 D．m≤3且m≠2【分析】由于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有實數(shù)解，則根據(jù)其判別式即可得到關(guān)于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范圍．但此題要分m＝2和m≠2兩種情況．【解答】解：（1）當m＝2時，原方程變?yōu)椹?x+1＝0，此方程一定有解；（2）當m≠2時，原方程是一元二次方程，∵有實數(shù)解，∴Δ＝4﹣4（m﹣2）≥0，∴m≤3．所以m的取值范圍是m≤3．故選：B．【點評】本題容易出現(xiàn)的問題是忽視分兩種情況進行討論，錯誤的認為原方程只是一元二次方程．7．（2021-2022成都大邑縣九年級（上）期中·5）（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣4x+2＝0有兩個實數(shù)根，則m的取值范圍是（）A．m≤2 B．m＜2且m≠0 C．m≠0 D．m≤2且m≠0【分析】根據(jù)“方程mx2﹣4x+2＝0是一元二次方程”，得到m≠0，結(jié)合“該方程有兩個實數(shù)根”，得到△≥0，得到關(guān)于m的一元一次不等式，解之即可．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣4x+2＝0有兩個實數(shù)根，∴m≠0Δ＝（﹣4）2﹣4×2m≥0且m≠0，解得：m≤2且m≠0，故選：D．【點評】本題主要考查根的判別式和一元二次方程的定義，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac的關(guān)系：①當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；②當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；③當Δ＜0時，方程無實數(shù)根；熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．8．（2021-2022成都金牛區(qū)蜀西實驗中學九年級（上）期中·5）（3分）若一元二次方程x2+2x+a＝0有實數(shù)根，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≤1 B．a(chǎn)≤4 C．a(chǎn)＜1 D．a(chǎn)≥1【分析】首先得出根的判別式Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4a≥0，進一步求得不等式的解集得出答案即可．【解答】解：∵一元二次方程x2+2x+a＝0有實數(shù)根，∴△≥0，即Δ＝4﹣4a≥0，∴a≤1．故選：A．【點評】此題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式．當Δ＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＝0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0，方程沒有實數(shù)根．（二）填空題1．（2021-2022成都實驗外國語學校西區(qū)九年級（上）期中·12）（4分）若關(guān)于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣x﹣1＝0有兩個不相等實數(shù)根，則k的取值范圍是．【分析】根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根，得到根的判別式的值大于0列出關(guān)于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范圍．【解答】解：根據(jù)題意得：Δ＝b2﹣4ac＝1+4（k﹣1）＝4k﹣3＞0，且k﹣1≠0，解得：k＞且k≠1．故答案為：k＞且k≠1．【點評】此題考查了根的判別式，以及一元二次方程的定義，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．2．（2021-2022成都青羊區(qū)石室中學九年級（上）期中·11）（4分）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是．【考點】根的判別式【專題】一元二次方程及應用；應用意識【分析】利用判別式的意義得到△，然后解不等式即可．【解答】解：根據(jù)題意得△，解得．故答案為．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與△有如下關(guān)系：當△時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△時，方程無實數(shù)根．3．（2021-2022成都七中育才九年級（上）期中·21）（4分）若一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0沒有實數(shù)根，則直線y＝（a+1）x+a﹣1一定不經(jīng)過的象限是．【分析】首先由一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0無實數(shù)根求出a的取值范圍，然后判斷一次函數(shù)y＝（a+1）x+a﹣1的圖象一定不經(jīng)過第幾象限．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0無實數(shù)根，∴4+4a＜0，解得a＜﹣1，故a+1＜0，a﹣1＜0，故一次函數(shù)y＝（a+1）x+a﹣1的圖象一定不經(jīng)過第一象限；故答案為：第一象限．【點評】本題主要考查根的判別式Δ＝b2﹣4ac的情況，當Δ＝b2﹣4ac＜0，方程沒有實數(shù)根，知道直線的斜率k和b就能判斷直線不經(jīng)過哪些象限．4．（2021-2022成都實驗外國語學校西區(qū)九年級（上）期中·22）（4分）如果m是從1、2、3三個數(shù)中任取得一個數(shù)，n是2、3兩個數(shù)中任取得一個數(shù)，那么關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2mx+n2＝0有實數(shù)根的概率為．【分析】先列表得出所有等可能結(jié)果，再從中找到滿足Δ＝（﹣2m）2﹣4n2≥0，即m2≥n2的結(jié)果數(shù)，繼而利用概率公式求解即可．【解答】解：列表如下：231（1，2）（1，3）2（2，2）（2，3）3（3，2）（3，3）由表可知，共有6種等可能結(jié)果，其中滿足Δ＝（﹣2m）2﹣4n2≥0，即m2≥n2的有（2，2）、（3，2）、（3，3）這3種結(jié)果，∴關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2mx+n2＝0有實數(shù)根的概率為＝，故答案為：．【點評】此題考查了一元二次方程根的判別式、列表法與樹狀圖法，用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．（三）解答題1．（2021-2022成都七中育才九年級（上）期中·19）（10分）已知關(guān)于x的方程b（x2﹣1）+2ax+c（x2+1）＝0，其中a，b，c分別為△ABC三邊的長．（1）若x＝﹣1是方程的根，試判斷△ABC的形狀；（2）若△ABC是等邊三角形，試求這個方程的根；（3）若方程有兩個相等的實數(shù)根，且a＝5，b＝12，求c的值．【分析】（1）把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，整理得a＝b，從而可判斷三角形的形狀；（2）利用等邊三角形的性質(zhì)得a＝b＝c，方程化為2ax2+2ax＝0，然后利用因式分解法解方程；（3）根據(jù)判別式的意義得Δ＝4a2﹣4（b+c）（b﹣c）＝0，即a2+c2＝b2，即可求解．【解答】解：（1）∵x＝﹣1，∴﹣2a+2c＝0，∴a＝c，∴△ABC是等腰三角形；（2）∵△ABC是等邊三角形，∴a＝b＝c，∴ax2﹣a+2ax+ax2+a＝0，∴2ax2+2ax＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1．（3）∵b（x2﹣1）+2ax+c（x2+1）＝0，∴（b+c）x2+2ax+c﹣b＝0，∵方程有兩個相等的實數(shù)根，∴Δ＝4a2﹣4（b+c）（b﹣c）＝0，∴a2+c2＝b2，∵a＝5，b＝12，∴c＝．【點評】本題是三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，一元二次方程的應用等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．2．（2021-2022成都簡陽九年級（上）期中·16）（6分）若關(guān)于x的一元二次方程x2+4x+2k＝0有兩個實數(shù)根，求k的取值范圍及k的非負整數(shù)值．【分析】若一元二次方程有兩實數(shù)根，則根的判別式Δ＝b2﹣4ac≥0，建立關(guān)于k的不等式，求出k的取值范圍后，再求非負整數(shù)值．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2+4x+2k＝0有兩個實數(shù)根，∴Δ＝42﹣4×1×2k＝16﹣8k≥0，解得k≤2．∴k的非負整數(shù)值為0，1，2．【點評】本題考查了實數(shù)的運算，一元二次方程根的情況與待定系數(shù)的關(guān)系的問題．3．（2021-2022成都九年級（上）期中·16）（6分）關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+（m﹣1）＝0．（1）若原方程有兩個不相等的實數(shù)根，求m的取值范圍；（2）若原方程的一個根是1，求此時m的值．【分析】（1）利用一元二次方程根的判別式得到Δ＝22﹣4（m﹣1）＞0，解不等式即可求出m的取值范圍；（2）把x＝1代入原方程，即可求出m的值．【解答】解：（1）∵原方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴Δ＝22﹣4（m﹣1）＝8﹣4m＞0，∴m＜2；（2）把x＝1代入原方程得：1+2+m﹣1＝0∴m＝﹣2．【點評】此題主要考查了一元二次方程根的判別式及解法，解不等式，掌握一元二次方程方程有兩個不相等的實數(shù)根時一元二次方程根的判別式大于0是解本題的關(guān)鍵．4．（2021-2022成都青羊區(qū)石室聯(lián)中九年級（上）期中·18）（8分）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）若方程的一個實數(shù)根是2，求的值．【考點】一元二次方程的定義；根的判別式【專題】一元二次方程及應用；運算能力【分析】（1）由方程有兩個不相等的實數(shù)根，根據(jù)根的判別式可得到關(guān)于的不等式，可求得的取值范圍；（2）把代入方程可求得的取值，注意的范圍．【解答】解：（1）關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，△且，即，解得且，的取值范圍為且；（2）方程的一個實數(shù)根為2，，整理得解得，，且；即的值為．【點評】本題主要考查方程根的判別式及根的定義，利用根的判別式得到關(guān)于的不等式是解題的關(guān)鍵．五、根與系數(shù)的關(guān)系（一）韋達定理計算1．（2020-2021成都雙流中和中學九年級（上）期中·12）（4分）已知是關(guān)于一元二次方程的一個根，則另一根是．【考點】：一元二次方程的解；：根與系數(shù)的關(guān)系【專題】66：運算能力；523：一元二次方程及應用【分析】設(shè)方程的另一個根為，根據(jù)兩根之積列出關(guān)于的方程，解之可得答案．【解答】解：設(shè)方程的另一個根為，則，解得，故答案為：．【點評】本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握，是方程的兩根時，，．2．（2020-2021成都雙流中和中學九年級（上）期中·21）（4分）設(shè)、是方程的兩個實數(shù)根，則的值為．【考點】根與系數(shù)的關(guān)系【專題】一元二次方程及應用【分析】由于、是方程的兩個實數(shù)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可以得到，并且，然后把可以變?yōu)?，把前面的值代入即可求出結(jié)果【解答】解：、是方程的兩個實數(shù)根，，并且，，．故答案為：2019．【點評】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．3．（2021-2022成都大邑縣九年級（上）期中·21）（4分）已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的兩個實數(shù)根，則m2﹣mn+3m+n＝．【分析】根據(jù)m+n＝﹣＝﹣2，m?n＝﹣5，即可解題．【解答】解：∵m、n是方程x2+2x﹣5＝0的兩個實數(shù)根，∴mn＝﹣5，m+n＝﹣2，∵m2+2m﹣5＝0∴m2＝5﹣2mm2﹣mn+3m+n＝（5﹣2m）﹣（﹣5）+3m+n＝10+m+n＝10﹣2＝8故答案為：8．【點評】此題主要考查了一元二次方程根根的計算公式，根據(jù)題意得出m和n的值是解決問題的關(guān)鍵．4．（2021-2022成都七中育才九年級（上）期中·21）（4分）若m和n是一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的兩根，那么代數(shù)式的值為．【分析】根據(jù)韋達定理計算即可得到m+n和mn，再把變形，用m+n和mn表示，然后整體代入進行計算即可．【解答】解：∵m和n是一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的兩根，∴m+n＝4，mn＝﹣3，∴＝＝﹣．故答案為：﹣．【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程的兩根分別為x1，x2，則x1+x2＝﹣，x1?x2＝．5．（2021-2022成都實驗外國語學校西區(qū)九年級（上）期中·21）（4分）設(shè)m、n是方程x2+x﹣2022＝0的兩個實數(shù)根，則m2+2m+n的值為．【分析】由于m、n是方程x2+x﹣2022＝0的兩個實數(shù)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可以得到m+n＝﹣1，并且m2+m﹣2022＝0，然后把m2+2m+n可以變?yōu)閙2+m+m+n，把前面的值代入即可求出結(jié)果．【解答】解：∵m、n是方程x2+x﹣2022＝0的兩個實數(shù)根，∴m+n＝﹣1，m2+m﹣2022＝0，∴m2+m＝2022，∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝2022﹣1＝2021．故答案為：2021．【點評】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．6．（2021-2022成都簡陽九年級（上）期中·21）（4分）若a、b是方程x2+x﹣2021＝0的兩根，則a2+2a+b＝．【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義可以求得a2+a＝2021，利用根與系數(shù)的關(guān)系可以求得a+b＝﹣1．將其代入所求代數(shù)式，可求解．【解答】解：∵a、b是方程x2+x﹣2021＝0的兩根，∴a2+a﹣2021＝0，a+b＝﹣1，∴a2+a＝2021，∴a2+2a+b＝a2+a+a+b＝2021﹣1＝2020，故答案為：2020．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程的解，解題時，采用了“整體代入”的數(shù)學思想．7．（2021-2022成都金牛區(qū)蜀西實驗中學九年級（上）期中·21）（4分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的兩個實數(shù)根，則x1x2﹣x1﹣x2的值為．【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解．【解答】解：根據(jù)題意得x1+x2＝5，x1x2＝6，所以，x1x2﹣x1﹣x2＝x1x2﹣（x1+x2）＝6﹣5＝1，故答案為1．【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程兩個為x1，x2，則x1+x2＝﹣，x1?x2＝．8．（2021-2022成都金牛區(qū)鐵路中學九年級（上）期中·21）（4分）若a、b是方程x2+x﹣2021＝0的兩根，則a2+2a+b＝．【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義可以求得a2+a＝2021，利用根與系數(shù)的關(guān)系可以求得a+b＝﹣1．將其代入所求代數(shù)式，可求解．【解答】解：∵a、b是方程x2+x﹣2021＝0的兩根，∴a2+a﹣2021＝0，a+b＝﹣1，∴a2+a＝2021，∴a2+2a+b＝a2+a+a+b＝2021﹣1＝2020，故答案為：2020．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程的解，解題時，采用了“整體代入”的數(shù)學思想．9．（2021-2022成都錦江區(qū)嘉祥外國語學校九年級（上）期中·21）（4分）已知x2﹣（m+3）x+m2+1＝0的實數(shù)根為α、β，且α+β＝α?β，則m的值為．【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系可以得到α+β＝m+3，αβ＝m2+1，再結(jié)合前面的等式即可求解．【解答】解：∵x2﹣（m+3）x+m2+1＝0的實數(shù)根為α、β，∴α+β＝m+3，αβ＝m2+1，而α+β＝α?β，∴m+3＝m2+1，∴m2﹣m﹣2＝0，∴（m﹣2）（m+1）＝0，∴m＝2或﹣1，當m＝﹣1，方程為x2﹣2x+2＝0，此方程沒有實數(shù)根，故答案為：2．【點評】本題主要考查一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系的應用，解一元二次方程，關(guān)鍵是利用根與系數(shù)得到關(guān)于m的方程．10．（2021-2022成都九年級（上）期中·21）（4分）如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一個解是x＝1，則2021﹣a﹣b＝．【分析】利用一元二次方程解的定義得到a+b＝1，然后把2021﹣a﹣b變形為2021﹣（a+b），再利用整體代入的方法計算．【解答】解：把x＝1代入方程ax2+bx﹣1＝0得a+b﹣1＝0，所以a+b＝1，所以2021﹣a﹣b＝2021﹣（a+b）＝2021﹣1＝2020．故答案為：2020．【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．11．（2021-2022成都九年級（上）期中·22）（4分）已知m、n是一元二次方程x2+4x﹣1＝0的兩實數(shù)根，則＝．【分析】先由根與系數(shù)的關(guān)系求出m?n及m+n的值，再把化為的形式代入進行計算即可．【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2+4x﹣1＝0的兩實數(shù)根，∴m+n＝﹣4，m?n＝﹣1，∴＝＝＝4．故答案為4．【點評】本題考查的是根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系為：x1+x2＝﹣，x1?x2＝．12．（2021-2022成都青羊區(qū)石室聯(lián)中九年級（上）期中·21）（4分）已知，為一元二次方程的兩實數(shù)根，那么的值為．【考點】根與系數(shù)的關(guān)系【專題】運算能力；一元二次方程及應用【分析】先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，，然后利用整體代入的方法計算．【解答】解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，，所以．故答案為：7．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根，則，．13．（2021-2022成都青羊區(qū)石室中學九年級（上）期中·21）（4分）設(shè)，分別為一元二次方程的兩個實數(shù)根，則．【考點】根與系數(shù)的關(guān)系【專題】一元二次方程及應用；運算能力【分析】先由方程的解的概念和根與系數(shù)的關(guān)系得出，，將其代入原式計算可得．【解答】解：，分別為一元二次方程的兩個實數(shù)根，，，則原式．故答案為：2019．【點評】本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系和方程的解，解題的關(guān)鍵是掌握，是一元二次方程的兩根時，，．14．（2021-2022成都青羊區(qū)樹德中學九年級（上）期中·21）（4分）若、為方程的兩個不相等的實數(shù)根，則的值為．【考點】根與系數(shù)的關(guān)系【專題】運算能力；整體思想；一元二次方程及應用【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，；先對所求的代數(shù)式通分，然后利用整體思想計算．【解答】解：根據(jù)題意，得，．所以．故答案是：．【點評】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程的兩根為，，則，．15．（2020-2021成都實驗中學九年級（上）期中·18）（8分）已知關(guān)于的一元二次方程．（1）證明：不論為何值時，方程總有實數(shù)根．（2）若方程的兩個實數(shù)根，滿足，求的值．【考點】根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式【專題】一元二次方程及應用；運算能力【分析】（1）計算判別式的值得到△，利用非負數(shù)的意義得到△，然后根據(jù)判別式的意義得到結(jié)論；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系得到，，再把變形為，所以，然后解關(guān)于的方程即可．【解答】（1）證明：△，不論為何值時，方程總有實數(shù)根；（2）根據(jù)題意得，，，，，整理得，解得，，的值為1或．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根，則，．也考查了根的判別式．16．（2021-2022成都七中育才九年級（上）期中·27）（10分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．（1）求證：該一元二次方程總有兩個實數(shù)根；（2）若該方程有一個小于5的根，另一個根大于5，求m的取值范圍；（3）若x1，x2為方程的兩個根，且n＝x12+x22﹣8，試判斷動點P（m，n）所形成的圖象是否經(jīng)過定點（﹣3，21），并說明理由．【分析】（1）首先計算△，再根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)可判斷出Δ≥0，進而得到結(jié)論；（2）當兩根一個大于5一個小于5時，得到方程有兩個不相等的實數(shù)根其兩根與5的差的積小于零，列出不等式解之即可；（3）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)得關(guān)系，得到x1+x2和x1x2關(guān)于m的表達式，整理n＝x12+x22﹣8，得n＝（m﹣2）2﹣4，即可得到答案．【解答】（1）證明：∵Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（2m﹣4）＝（m﹣4）2≥0，∴不論m取何實數(shù)，該方程總有兩個實數(shù)根；（2）設(shè)兩個實數(shù)根為x1，x2，則x1+x2＝m，x1x2＝2m﹣4，∵方程的一個根大于5，另一個根小于5，∴（x1﹣5）（x2﹣5）＝x1x2﹣5（x1+x2）+25＜0，∴2m﹣4﹣5m+25＜0，解得：m＞7，∴方程的一個根大于5，另一個根小于5，m的取值范圍是m＞7；（3）根據(jù)題意得：x1+x2＝m，x1x2＝2m﹣4，n＝x12+x22﹣8＝（x1+x2）2﹣2x1x2﹣8＝m2﹣2（2m﹣4）﹣8＝m2﹣4m＝（m﹣2）2﹣4，即n＝（m﹣2）2﹣4，經(jīng)過（﹣3，21）．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，坐標與圖形性質(zhì)，正確掌握根的判別式和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及坐標與圖形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（2020-2021成都雙流中學九年級（上）期中·16）已知，是關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）若，求實數(shù)的值．【考點】根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式【專題】判別式法；一元二次方程及應用；運算能力【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式△，即可得出關(guān)于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范圍；（2）由，是關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得出，，結(jié)合，可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可得出的值，再結(jié)合（1）的結(jié)論，即可確定．【解答】解：（1）關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，△，∴（2），是關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根，，．，，即，解得：，．又，．【點評】本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是：（1）利用△，找出關(guān)于的一元一次不等式；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合，找出關(guān)于的一元二次方程．（二）構(gòu)建一元二次方程1．（2020-2021成都雙流棠湖中學九年級（上）期中·21）（3分）（2016秋?龍泉驛區(qū)期末）若實數(shù)，滿足，，則．【考點】：根與系數(shù)的關(guān)系【專題】34：方程思想；35：轉(zhuǎn)化思想；11：計算題【分析】由于，滿足，，因此可以把、看作方程的兩個根，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系可以得到，，再把所求代數(shù)式通分即可求解．【解答】解：若，實數(shù)，滿足，，、看作方程的兩個根，，，則．若，則原式．故答案為：2或【點評】此題主要考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，首先把已知等式轉(zhuǎn)化為一元二次方程的問題，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系即可解決問題．2．（2020-2021成都實驗中學九年級（上）期中·22）（4分）已知、，且，則．【考點】根與系數(shù)的關(guān)系【專題】運算能力；一元二次方程及應用【分析】由已知等式得到、分別為方程的兩根，再利用根與系數(shù)的關(guān)系求出的值即可．【解答】解：，，且，、分別為方程的兩根，．故答案為：．【點評】此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．3．（2021-2022成都七中育才九年級（上）期中·24）（4分）若α2﹣2α+k＝0，β2﹣2β+k＝0，且α2﹣α+β＝5，α≠β，則k＝．【分析】根據(jù)已知得：α和β是方程x2﹣2x+k＝0的兩個根，由根與系數(shù)的關(guān)系得：α+β＝2，代入已知等式α2﹣α+β＝5，可得k的值．【解答】解：∵α2﹣2α+k＝0，β2﹣2β+k＝0，且α≠β，∴α和β是方程x2﹣2x+k＝0的兩個根，∴α+β＝2，∵α2﹣α+β＝5，∴α2﹣2α+α+β＝5，∴﹣k+2＝5，∴k＝﹣3．故答案為：﹣3．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系和方程的解，明確x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2＝?，x1x2＝．六、一元二次方程的應用（一）選擇題1．（2020-2021成都雙流棠湖中學九年級（上）期中·9）（3分）九江某快遞公司隨著網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展，業(yè)務增長迅速，完成快遞件數(shù)從六月份的10萬件增長到八月份的12.1萬件．假定每月增長率相同，設(shè)為．則可列方程為A． B． C． D．【考點】由實際問題抽象出一元二次方程【專題】一元二次方程及應用；方程思想【分析】設(shè)每月增長率為，根據(jù)該公司六月份及八月份完成投寄的快遞件數(shù)，即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．【解答】解：設(shè)每月增長率為，根據(jù)題意得：．故選：．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．2．（2020-2021成都雙流中和中學九年級（上）期中·9）（3分）某廠1月印科技書籍40萬冊，第一季度共印140萬冊，問2月、3月平均每月增長率是多少？設(shè)平均增長率為，則列出下列方程正確的是A． B． C． D．【考點】：由實際問題抽象出一元二次方程【專題】123：增長率問題；16：壓軸題【分析】本題為增長率問題，一般用增長后的量增長前的量增長率），如果設(shè)2，3月份平均每月的增長率是，那么可以用表示2，3月份的印刷科技書籍，然后根據(jù)題意可列出方程為．【解答】解：如果設(shè)2，3月份平均每月的增長率是，那么可以用表示2，3月份的印刷科技書籍分別是、，然后根據(jù)題意可列出方程為：．故選：．【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，根據(jù)增長率問題，一般形式為，為起始時間的有關(guān)數(shù)量，為終止時間的有關(guān)數(shù)量得出是解題關(guān)鍵．3．（2020-2021成都實驗中學九年級（上）期中·9）（3分）楊倩在東京奧運女子10米氣步槍決賽中奪得冠軍，為中國代表團攬入首枚金牌，隨后楊倩同款“小黃鴨”發(fā)卡在電商平臺上爆單，該款發(fā)卡在某電商平臺上7月24日的銷量為5000個，7月25日和7月26日的總銷量是30000個．若7月25日和26日較前一天的增長率均為．則可列方程正確的是A． B． C． D．【考點】由實際問題抽象出一元二次方程【專題】應用意識；一元二次方程及應用【分析】直接利用已知分別表示出7月25日和7月26日的銷量，進而得出等式求出答案．【解答】解：若7月25日和26日較前一天的增長率均為．則可列方程為：．故選：．【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，正確表示出銷量是解題關(guān)鍵．4．（2021-2022成都七中育才九年級（上）期中·10）（3分）參加足球聯(lián)賽的每兩隊之間都進行兩場比賽，共要比賽90場，設(shè)共有x個隊參加比賽，則下列方程符合題意的是（）A．x（x+1）＝90 B．x（x+1）＝90 C．x（x﹣1）＝90 D．x（x﹣1）＝90【分析】設(shè)有x個隊參賽，根據(jù)參加一次足球聯(lián)賽的每兩隊之間都進行兩場場比賽，共要比賽90場，可列出方程．【解答】解：設(shè)有x個隊參賽，則x（x﹣1）＝90．故選：D．【點評】本題考查由實際問題抽象出一元二次方程，關(guān)鍵是根據(jù)總比賽場數(shù)做為等量關(guān)系列方程求解．5．（2021-2022成都實驗外國語學校西區(qū)九年級（上）期中·7）（3分）為滿足人們對防疫物資的需求，某口罩加工廠增加設(shè)備，努力提高口罩生產(chǎn)量．2020年10月份該工廠的口罩產(chǎn)量為600萬個，12月份產(chǎn)量為720萬個，若口罩產(chǎn)量平均每月增長率為x，則可列方程為（）A．600（1+2x）＝720 B．720（1﹣x）2＝600 C．600（1+x2）＝720 D．600（1+x）2＝720【分析】利用12月份的產(chǎn)量＝10月份的產(chǎn)量×（1+平均每月增長率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：依題意得：600（1+x）2＝720，故選：D．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．6．（2021-2022成都金牛區(qū)蜀西實驗中學九年級（上）期中·9）（3分）揚帆中學有一塊長30m，寬20m的矩形空地，計劃在這塊空地上劃出四分之一的區(qū)域種花，小禹同學設(shè)計方案如圖所示，求花帶的寬度．設(shè)花帶的寬度為xm，則可列方程為（）A．（30﹣x）（20﹣x）＝×20×30 B．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30 C．30x+2×20x＝×20×30 D．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30【分析】根據(jù)空白區(qū)域的面積＝矩形空地的面積可得．【解答】解：設(shè)花帶的寬度為xm，則可列方程為（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30，故選：D．【點評】本題主要考查由實際問題抽象出一元二次方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形得出面積的相等關(guān)系．7．（2021-2022成都金牛區(qū)鐵路中學九年級（上）期中·6）（3分）綠苑小區(qū)在規(guī)劃設(shè)計時，準備在兩幢樓房之間，設(shè)置一塊面積為900平方米的矩形綠地，并且長比寬多10米．設(shè)綠地的寬為x米，根據(jù)題意，可列方程為（）A．x（x﹣10）＝900 B．x（x+10）＝900 C．10（x+10）＝900 D．2[x+（x+10）]＝900【分析】首先用x表示出矩形的長，然后根據(jù)矩形面積＝長×寬列出方程即可．【解答】解：設(shè)綠地的寬為x，則長為10+x；根據(jù)長方形的面積公式可得：x（x+10）＝900．故選：B．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找到關(guān)鍵描述語，記住長方形面積＝長×寬是解決本題的關(guān)鍵，此題難度不大．8．（2021-2022成都錦江區(qū)嘉祥外國語學校九年級（上）期中·6）（3分）《九章算術(shù)》中有一問題，譯文如下：現(xiàn)有一豎立著的木柱，木柱上端系有繩索，繩索從木柱上端順木柱下垂后，堆在地面的部分尚有4尺，若牽著繩索退行，在離木柱根部8尺處時繩索用盡，請問繩索有多長？若設(shè)木柱長度為x尺，根據(jù)題意，可列方程為（）A．82+x2＝（x﹣4）2 B．82+（x+4）2＝x2 C．82+（x﹣4）2＝x2 D．x2+82＝（x+4）2【分析】設(shè)木柱長為x尺，根據(jù)勾股定理列出方程解答即可．【解答】解：設(shè)木柱長為x尺，可列方程為x2+82＝（x+4）2，故選：D．【點評】本題考查了勾股定理的應用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．9．（2021-2022成都九年級（上）期中·10）（3分）某公司今年銷售一種產(chǎn)品，一月份獲得利潤10萬元，由于產(chǎn)品暢銷，利潤逐月增加，一季度共獲利36.4萬元，已知2月份和3月份利潤的月增長率相同．設(shè)2，3月份利潤的月增長率為x，那么x滿足的方程為（）A．10（1+x）2＝36.4 B．10+10（1+x）2＝36.4 C．10+10（1+x）+10（1+2x）＝36.4 D．10+10（1+x）+10（1+x）2＝36.4【分析】等量關(guān)系為：一月份利潤+一月份的利潤×（1+增長率）+一月份的利潤×（1+增長率）2＝36.4，把相關(guān)數(shù)值代入計算即可．【解答】解：設(shè)二、三月份的月增長率是x，依題意有10+10（1+x）+10（1+x）2＝36.4，故選：D．【點評】主要考查一元二次方程的應用；求平均變化率的方法為：若設(shè)變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a（1±x）2＝b．10．（2021-2022成都青羊區(qū)石室聯(lián)中九年級（上）期中·9）（3分）某經(jīng)濟開發(fā)區(qū)今年一月份工業(yè)產(chǎn)值達50億元，第一季度總產(chǎn)值為175億元，問2、3月份平均每月的增長率是多少？設(shè)平均每月的增長率為，根據(jù)題意得方程為A． B． C． D．【考點】：由實際問題抽象出一元二次方程【分析】增長率問題，一般用增長后的量增長前的量增長率），本題可先用表示出二月份的產(chǎn)值，再根據(jù)題意表示出三月份的產(chǎn)值，然后將三個月的產(chǎn)值相加，即可列出方程．【解答】解：二月份的產(chǎn)值為：，三月份的產(chǎn)值為：，故第一季度總產(chǎn)值為：．故選：．【點評】本題考查的是由實際問題抽象出一元二次方程，解此類題目時常常要按順序列出接下來幾年的產(chǎn)值，再根據(jù)題意列出方程即可．（二）解答題1．（2021-2022成都九年級（上）期中·17）（8分）從前有一天，一個醉漢拿著竹竿進屋，橫拿豎拿都進不去，橫著比門框?qū)?尺，豎著比門框高2尺，另一個醉漢教他沿著門的兩個對角斜著拿竿，這個醉漢一試，不多不少剛好進去了．你知道竹竿有多長嗎？【分析】用竹竿表示出門框的邊長，根據(jù)門框的邊長的平方和等于竹竿的長的平方列方程求得合適的解即可．【解答】解：設(shè)竹竿的長為x尺．由題意得：（x﹣4）2+（x﹣2）2＝x2．即：x2﹣12x+20＝0解得：x1＝2（不符題意，舍去），x2＝10．∴x＝10．答：竹竿的長為10尺．【點評】考查一元二次方程的應用；得到門框的邊長和竹竿長的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．2．（2021-2022成都簡陽九年級（上）期中·18）（8分）某公司今年1月份的生產(chǎn)成本是400萬元，由于改進技術(shù)，生產(chǎn)成本逐月下降，3月份的生產(chǎn)成本是361萬元．假設(shè)該公司2、3、4月每個月生產(chǎn)成本的下降率都相同．（1）求每個月生產(chǎn)成本的下降率；（2）請你預測4月份該公司的生產(chǎn)成本．【增長率問題】【分析】（1）設(shè)每個月生產(chǎn)成本的下降率為x，根據(jù)2月份、3月份的生產(chǎn)成本，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論；（2）由4月份該公司的生產(chǎn)成本＝3月份該公司的生產(chǎn)成本×（1﹣下降率），即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)每個月生產(chǎn)成本的下降率為x，根據(jù)題意得：400（1﹣x）2＝361，解得：x1＝0.05＝5%，x2＝1.95（不合題意，舍去）．答：每個月生產(chǎn)成本的下降率為5%．（2）361×（1﹣5%）＝342.95（萬元）．答：預測4月份該公司的生產(chǎn)成本為342.95萬元．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；（2）根據(jù)數(shù)量關(guān)系，列式計算．3．（2020-2021成都雙流棠湖中學九年級（上）期中·26）（8分）水果店張阿姨以每斤2元的價格購進某種水果若干斤，然后以每斤4元的價格出售，每天可售出100斤，通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種水果每斤的售價每降低0.1元，每天可多售出20斤，為保證每天至少售出260斤，張阿姨決定降價銷售．（1）若將這種水果每斤的售價降低元，則每天的銷售量是斤（用含的代數(shù)式表示）；（2）銷售這種水果要想每天盈利300元，張阿姨需將每斤的售價降低多少元？【銷售問題】【考點】一元二次方程的應用【專題】銷售問題【分析】（1）銷售量原來銷售量下降銷售量，據(jù)此列式即可；（2）根據(jù)銷售量每斤利潤總利潤列出方程求解即可．【解答】解：（1）將這種水果每斤的售價降低元，則每天的銷售量是（斤；（2）根據(jù)題意得：，解得：或，當時，銷售量是；當時，銷售量是（斤．每天至少售出260斤，．答：張阿姨需將每斤的售價降低1元．【點評】本題考查理解題意的能力，第一問關(guān)鍵求出每千克的利潤，求出總銷售量，從而利潤．第二問，根據(jù)售價和銷售量的關(guān)系，以利潤作為等量關(guān)系列方程求解．4．（2020-2021成都雙流中和中學九年級（上）期中·26）（8分）商場銷售服裝，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為擴大銷售量，減少庫存，該商場決定采取適當?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，一件衣服降價1元，每天可多售出2件．（1）設(shè)每件降價元，可以銷售出件．（用的的代數(shù)式表示）（2）若商場每天要盈利1200元，同時盡量減少庫存，每件應降價多少元？（3）每件降價多少元時，商場每天盈利達到最大？最大盈利是多少元？【銷售問題】【考點】：一元二次方程的應用；：二次函數(shù)的應用【專題】536：二次函數(shù)的應用；65：數(shù)據(jù)分析觀念【分析】（1）一件衣服每降價1元，每天可多售出2件，則設(shè)降價元時，銷售量為：；（2）由題意得：，整理得，然后利用因式分解法解即可；（3）把配成頂點式得到，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題即可得到答案．【解答】解：（1）由題意得：銷售的件數(shù)為，故答案為；（2）由題意得：，解得（舍去），，所以商場每天要盈利1200元，每件衣服降價20元；（3）由題意得：，，當時，有最大值，其最大值為1250，所以每件降價15元時，商場每天的盈利達到最大，盈利最大是1250元．【點評】本題考查了二次函數(shù)的應用：根據(jù)題意列出二次函數(shù)關(guān)系式，再配成頂點式，當，，有最大值；當，，有最小值．也考查了一元二次方程的應用．5．（2020-2021成都雙流中學九年級（上）期中·26）某學校計劃利用一片空地建一個學生自行車車棚，其中一面靠墻，這堵墻的長度為12米．計劃建造車棚的面積為80平方米，已知現(xiàn)有的木板材料可使新建板墻的總長為26米．（1）為了方便學生出行，學校決定在與墻平行的一面開一個2米寬的門，那么這個車棚的長和寬分別應為多少米？（2）如圖，為了方便學生取車，施工單位決定在車棚內(nèi)修建幾條等寬的小路，使得停放自行車的面積為54平方米，那么小路的寬度是多少米？【陷阱題】【考點】一元二次方程的應用【專題】一元二次方程及應用【分析】（1）設(shè)與墻垂直的一面為米，然后可得另兩面則為米，然后利用其面積為80列出方程求解即可；（2）設(shè)小路的寬為米，利用去掉小路的面積為54平米列出方程求解即可得到答案．【解答】解：（1）設(shè)與墻垂直的一面為米，另一面則為米根據(jù)題意得：整理得：解得或，當時，（舍去）當時，長為10米，寬為8米．（2）設(shè)寬為米，根據(jù)題意得：，，解得：（舍去），，答：小路的寬為1米．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，要結(jié)合圖形求解．找到關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系準確地列出方程是解決問題的關(guān)鍵．6．（2020-2021成都實驗中學九年級（上）期中·26）（8分）節(jié)能減排是國家“十四五”規(guī)劃中的一個重要目標，規(guī)劃提出要在2030年前實現(xiàn)“碳達峰”，到2060年實現(xiàn)“碳中和”發(fā)展．為響應國家號召，某省政府計劃對一批工業(yè)園區(qū)的碳排放工廠進行改建和重建，該計劃擬定2021年，工廠改建和重建數(shù)量共100座，且改建座數(shù)不低于重建座數(shù)的4倍．（1）按擬定計劃，2021年至少要改建多少座工廠？（2）經(jīng)財政實際預算，2021年改建與重建工廠的平均費用之比為，且改建工廠按照擬定計劃中最少的數(shù)量計算，將花費資金156億元．為加快實現(xiàn)“碳達峰的目標，該省政府計劃加大投入，計劃指出2022年用于工廠改建和重建的費用將在2021年實際預算的基礎(chǔ)上增加，另外2022年改建與重建工廠的平均費用將比2021年分別增加和，改建與重建工廠的座數(shù)將比2021年分別增加和，求的值．【增長率問題】【考點】一元二次方程的應用；一元一次不等式的應用【專題】一次方程（組及應用；應用意識【分析】（1）設(shè)改建座工廠，則重建工廠為座，根據(jù)改建座數(shù)不低于重建座數(shù)的4倍列出不等式求解即可；（2）設(shè)改建一座工廠花費億元，重建一座為億元，根據(jù)將花費資金156億元列出方程求出；再根據(jù)2022年改建和重建的費用和等于2021年實際預算的基礎(chǔ)上增加，列出方程求出．【解答】解：（1）設(shè)改建座工廠，則重建工廠為座，根據(jù)題意得：，解得：，至少改建80座工廠；（2）由（1）得：改建工廠80座，則此時重建工廠20座，設(shè)改建一座工廠花費億元，重建一座為億元，根據(jù)題意得：，解得，，由題意得：，解得：．【點評】本題考查了一元一次不等式的應用，一元二次方程的應用，解題的關(guān)鍵是理解題意，根據(jù)題中的等量關(guān)系列出方程．7．（2021-2022成都七中育才九年級（上）期中·26）（8分）成都市將在2022年舉辦第31屆世界大學生夏季運動會，成都大運會吉祥物是一只名叫“蓉寶”的大熊貓．（1）據(jù)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，某工廠今年四月份共生產(chǎn)200個“蓉寶”，該工廠為增大生產(chǎn)量，平均每月生產(chǎn)量增加20%，則該工廠在今年第二季度（4、5、6月）共生產(chǎn)個“蓉寶”；（2）已知某商店以30元的單價購入一批吉祥物“蓉寶”準備進行銷售，據(jù)市場分析，若每個“蓉寶”售價為60元，則每天可售出40個．商店經(jīng)過調(diào)研發(fā)現(xiàn)，如果每個“蓉寶”降價1元，那么平均每天可多售出8個，若商店想平均每天盈利2000元，銷售單價應定為多少元？【銷售問題】【分析】（1）利用該工廠在今年第二季度的產(chǎn)量＝4月份的產(chǎn)量+4月份的產(chǎn)量×（1+20%）+4月份的產(chǎn)量×（1+20%）2，即可求出該工廠在今年第二季度（4、5、6月）共生產(chǎn)728個“蓉寶”；（2）設(shè)每個“蓉寶”降價x元，則每個的銷售利潤為（30﹣x）元，每天可售出（40+8x）個，利用總利潤＝每個的銷售利潤×銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再將其代入（60﹣x）中即可求出銷售單價應定為40元或55元．【解答】解：（1）200+200×（1+20%）+200×（1+20%）2，＝200+200×1.2+200×1.44＝200+240+288＝728（個）．故答案為：728．（2）設(shè)每個“蓉寶”降價x元，則每個的銷售利潤為（60﹣x﹣30）＝（30﹣x）元，每天可售出（40+8x）個，依題意得：（30﹣x）（40+8x）＝2000，整理得：x2﹣25x+100＝0，解得：x1＝5，x2＝20，當x＝5時，60﹣x＝60﹣5＝55；當x＝20時，60﹣x＝60﹣20＝40．答：銷售單價應定為40元或55元．【點評】本題考查了一元二次方程的應用以及有理數(shù)的混合運算，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，列式計算；（2）找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．8．（2021-2022成都七中育才九年級（上）期中·26）（8分）某藥店新進一批桶裝消毒液，每桶進價35元，原計劃以每桶55元的價格銷售，為更好地助力疫情防控，現(xiàn)決定降價銷售．已知這種消毒液銷售量y（桶）與每桶降價x（元）（0＜x＜20）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示：（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）在這次助力疫情防控活動中，該藥店僅獲利1760元．這種消毒液每桶實際售價多少元？【銷售+函數(shù)】【分析】（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)表達式為y＝kx+b，將點（1，110）、（3，130）代入一次函數(shù)表達式，即可求解；（2）根據(jù)利潤等于每桶的利潤乘以銷售量得關(guān)于x的一元二次方程，通過解方程即可求解．【解答】解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y＝kx+b，將點（1，110）、（3，130）代入一次函數(shù)表達式得：，解得：，故函數(shù)的表達式為：y＝10x+100；（2）由題意得：（10x+100）×（55﹣x﹣35）＝1760，整理，得x2﹣10x﹣24＝0．解得x1＝12，x2＝﹣2（舍去）．所以55﹣x＝43．答：這種消毒液每桶實際售價43元．【點評】本題主要考查了一元二次方程的應用以及用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識，正確利用銷量×每件的利潤＝總利潤得出一元二次方程是解題關(guān)鍵．9．（2021-2022成都實驗外國語學校西區(qū)九年級（上）期中·26）（8分）某商店將進貨價為8元/件的商品按10元/件售出，每天可售200件，通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品若每件漲1元，其銷量就減少20件．（1）試求漲價為多少元時，使每天的利潤為700元．（2）將售價定為多少元時，能使這天利潤最大？最大利潤是多少元？【銷售問題】【分析】（1）設(shè)售價為x元，總利潤為W元，則銷售量為[200﹣20（x﹣10）]件，根據(jù)利潤＝數(shù)量×每件的利潤，求出W與x之間的函數(shù)關(guān)系式，再將W＝700代入解析式就可以求出售價；（2）將函數(shù)關(guān)系式化為頂點式就可以求出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)售價為x元，總利潤為W元，則銷售量為[200﹣20（x﹣10）]件，由題意，得W＝（x﹣8）[200﹣20（x﹣10）]，W＝﹣20x2+560x﹣3200，當W＝700時，700＝﹣20x2+560x﹣3200，解得：x1＝13，x2＝15．∴13﹣10＝3，15﹣10＝5，∴要使每天獲得的利潤為700元，則漲價為3元或5元；（2）∵W＝﹣20x2+560x﹣3200，∴W＝﹣20（x﹣14）2+720．∴a＝﹣20＜0，∴W有最大值，∴x＝14時，W最大＝720．∴當售價定為14元時，才能使所賺利潤最大，最大利潤為720元．【點評】本題考查了銷售問題的數(shù)量關(guān)系的運用，二次函數(shù)的性質(zhì)的運用，拋物線的頂點式的運用，解答時根據(jù)利潤＝數(shù)量×每件的利潤，求出W與x之間的函數(shù)關(guān)系式是關(guān)鍵．10．（2021-2022成都大邑縣九年級（上）期中·26）（8分）如圖①，用籬笆靠墻圍成矩形花圃ABCD，墻可利用的最大長度為15米，一面利用舊墻，其余三面用籬笆圍成，籬笆總長為24米．（1）若圍成的花圃面積為40平方米時，求BC的長；（2）如圖②，若計劃在花圃中間用一道籬笆隔成兩個小矩形，且圍成的花圃面積為50平方米，請你判斷能否成功圍成花圃？如果能，求BC的長；如果不能，請說明理由．【面積問題】【分析】（1）設(shè)BC的長度為x米，則AB的長度為米，根據(jù)矩形的面積公式結(jié)合花圃面積為40米2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論；（2）設(shè)BC的長為y米，則AB的長為米，根據(jù)矩形的面積公式結(jié)合花圃面積為50米2，即可得出關(guān)于y的一元二次方程，由該方程的根的判別式Δ＝﹣24＜0，即可得出方程無解，即不能圍成面積為50米2的花圃．【解答】解：（1）設(shè)BC的長為x米，則AB的長為米．根據(jù)題意，得整理，得x2﹣24x+80＝0．解得x1＝4，x2＝20．∵20＞15，∴x2＝20舍去．∴BC的長為4米；（2）不能圍成．理由如下：設(shè)BC的長為y米，則AB的長為米．根據(jù)題意，得整理，得y2﹣24y+150＝0．∵Δ＝（﹣24）2﹣4×1×150＝﹣24＜0，∴該方程無