2.1等式與不等式的性質（第1課時）（十一大題型提分練）

2.1等式與不等式的性質（第1課時）題型1：等式的性質1．下列式子中變形錯誤的是（

）A．，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】B【分析】根據(jù)等式的性質，逐項驗證即可.【解析】對于選項，兩邊同時減，得到，故正確；對于選項，沒有說明，故不正確；對于選項，在等式兩邊同時乘以，得到，故正確；對于選項，在等式兩邊同時乘以5得到，故正確；故選：.題型2：常用恒等式2．補全下列公式．（1）（平方差公式）；（2）（完全平方公式）；（3）（立方和公式）．【答案】【分析】略【解析】略題型3：方程的解集（不含參、含參）3．方程的解集是【答案】【分析】將方程通分化簡整理后可得，即可求得方程得解集.【解析】方程可化為,去分母可得,整理可得，解得；所以該方程的解集為.故答案為：4．設，求關于的方程的解集．【答案】當時，方程的解集為空集?；當時，方程的解集為．【分析】去分母整理得,再分和兩種情況求解即可.【解析】解：去分母得，，移項并整理得，當時，方程無實數(shù)根，方程的解集為空集?；當時，，方程的解集為．5．已知y＝1是方程2－13(m－y)＝2y的解，則關于x的方程m(x－3)－2＝m(2x－5)的解集為.【答案】{0}【分析】把y＝1代入方程2－13(m－y)＝2y中可求出m的值，再將m的值代入m(x－3)－2＝m(2x－5)中可求得結果【解析】因為y＝1是方程2－13(m－y)＝2y的解，所以2－13(m－1)＝2，即m＝1.所以方程m(x－3)－2＝m(2x－5)?(x－3)－2＝2x－5，解得x＝0.所以方程的解集為{0}.故答案為：{0}【點睛】此題考查方程的解，屬于基礎題6．已知且，求關于，的方程組的解集．【答案】【分析】直接解方程組即可.【解析】由，得（），得，所以，即所以方程組的解集為題型4：根據(jù)方程的解集求參數(shù)7．若關于，的方程組與的解集相等，則.【答案】/3.5【分析】由題可知方程組，代入即求.【解析】∵方程組與的解集相同，∴方程組的解也是它們的解，由得，∴即，∴.故答案為：8．設，若關于x與y的二元一次方程組的解集為空集，則.【答案】3【分析】兩式相減，得到，進而分，兩種情況討論求解即可得答案.【解析】兩式相減，得到，當時，方程無解，從而原方程組無解，其解集為空集．當時，方程的解為，解不是空集.綜上，．故答案為：.題型5：根等式據(jù)恒成立求參數(shù)9．已知等式恒成立，其中為常數(shù)，則．【答案】【分析】首先將等式轉化，然后根據(jù)等式恒成立,即可得出結果.【解析】因為等式恒成立，所以恒成立，則,即得故故答案為：.10．已知等式對任意實數(shù)都成立，則.【答案】【分析】根據(jù)等式對任意實數(shù)都成立，得對應項系數(shù)相等，求出可得結果.【解析】因為等式對任意實數(shù)都成立，所以，所以.故答案為：.11．若恒成立，則的值．【答案】5【解析】根據(jù)等式恒成立，對應項的系數(shù)相等可求得結果.【解析】因為，即恒成立，所以，所以.故答案為：5【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)等式恒成立，對應項的系數(shù)相等求解是解題關鍵.題型6：求一元二次方程的解集12．用因式分解法求下列方程的解集：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）根據(jù)題意，將方程化為，求解，即可得出結果；（2）根據(jù)題意，將方程化為，求解，即可得出結果；（3）根據(jù)題意，將方程化為，求解，即可得出結果.【解析】（1）由得，解得或；所以該方程的解集為；（2）由得，即，解得或，所以該方程的解集為；（3）由得，所以，解得或；所以該方程的解集為.【點睛】本題主要考查求一元二次方程的解集，屬于基礎題型.題型7：韋達定理13．已知一元二次方程的兩根為，，求下列各式的值．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）（2）（3）由根與系數(shù)關系得，并用它們表示出各式求值即可.【解析】（1）由題設，則；（2）；（3）.14．若，是方程的兩個根，試求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)18(2)(3)28(4)【分析】利用根與系數(shù)關系求出，，再對各式變形，將與的值代入計算就可以得到答案.【解析】（1）根據(jù)根與系數(shù)的關系得，，，.（2）根據(jù)根與系數(shù)的關系得，，，.（3）根據(jù)根與系數(shù)的關系得，，，.（4）根據(jù)根與系數(shù)的關系得，，，.15．設，是方程的兩個實數(shù)根，則．【答案】【分析】由根與系數(shù)關系及根的性質求目標式的值即可.【解析】由題設且，所以.故答案為：16．設是方程的兩個實數(shù)根，則【答案】【分析】根據(jù)韋達定理得到，然后代入計算即可求解.【解析】因為是方程的兩個實數(shù)根，由韋達定理得，所以，故，故答案為：.17．已知是方程的兩根，則．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系，結合一元二次方程根的判別式進行求解即可.【解析】因為一元二次方程的判別式，所以該方程有兩個不相等的實數(shù)根，則有，因此，故答案為：題型8：根據(jù)韋達定理求參數(shù)18．關于的一元二次方程的兩個實數(shù)根分別是，且，則的值是．【答案】【分析】利用韋達定理和已知等式可構造方程求得可能的取值，代回方程驗證方程是否有兩個實根即可確定結果.【解析】由題意知：，，，即，解得：或；當時，一元二次方程為，，方程有兩個不等實根，滿足題意；當時，一元二次方程為，，方程無解，不合題意；綜上所述：.故答案為：.19．已知是關于的方程的兩個實數(shù)根，若，則實數(shù)．【答案】【分析】本題考查根與系數(shù)的關系，設而不求的思想，注意檢驗實數(shù)根是否存在.【解析】有解，則有韋達定理代入得：，整理得：，解之或，經(jīng)判別式檢驗知，故答案為：20．關于的一元二次方程：有實數(shù)根，若其中一個根為，則另一個根為（

）.A． B． C． D．【答案】D【分析】利用韋達定理求出方程的另一個根，再檢驗即可.【解析】因為為關于的一元二次方程的根，顯然，且，不妨令，則，此時，方程可化為，經(jīng)檢驗符合題意，即方程另一個根為.故選：D題型9：含絕對值問題21．已知方程組的解集為，且，則（

）A．1或 B．或 C．或 D．2或【答案】B【分析】由方程組可得，應用韋達定理有，，再由列方程求參數(shù)值即可.【解析】由題設，則，且，所以，，而，即，整理得，可得.故選：B22．方程的解集是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】原方程等價于，求解即可.【解析】解：因為，解得或(舍)，由，解得或，所以原方程的解集為.故選：C.題型10：充要條件的證明23．求證：方程有兩個同號且不相等實根的充要條件是.【答案】證明見解析【分析】由，可得，且，證明充分性；令，解不等式組求出m的范圍，可證明必要性.【解析】充分性：∵，∴方程的判別式，且，∴方程有兩個同號且不相等的實根．必要性：若方程有兩個同號且不相等的實根，則有，解得.綜上，方程有兩個同號且不相等的實根的充要條件是.24．已知a，，證明：“且”是“關于x的方程有實數(shù)根，且兩根均小于2”的充分條件．【答案】證明見解析【分析】由且得到a與b的范圍，以此討論方程的根的情況，從而得到答案﹒【解析】由且，得，，則方程的判別式，所以該方程有兩根，不妨設方程兩根分別為、，因為，，所以且﹒題型11：解答綜合題25．已知，是一元二次方程的兩個實數(shù)根．(1)是否存在實數(shù)，使成立？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由；(2)若的值為整數(shù)，求整數(shù)的值．【答案】(1)不存在，理由見解析(2)或或【分析】（1）由求出的取值范圍，再列出韋達定理，由得到方程，解得即可；（2）由，代入韋達定理，得到，結合為整數(shù)，且，即可得解.【解析】（1）因為，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，所以且，解得，且，，若，則，即，解得（舍去），即不存在實數(shù)，使成立.（2）由題意，又當，即時，且，，故，由于為整數(shù)且為整數(shù)，故只能取、、，又，則或或，解得或或，故整數(shù)的值為或或.26．已知關于x的一元二次方程的兩個實根分別為．(1)均為正根，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若滿足：，求實數(shù)m的值．【答案】(1)(2)【分析】結合韋達定理列出式子，即可求；【解析】（1）由均為正根，得，解得，即；（2）由（1）得，解得（舍去）或，則27．關于的一元二次方程．(1)如果方程有實數(shù)根，求的取值范圍；(2)如果是這個方程的兩個根，且，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用判別式大于等于零求解即可；（2）由根與系數(shù)的關系可求解.【解析】（1）∵，∴，解得，；（2）由題意知，，，∵，∴，∴，解得，，∴的值為．一、填空題1．已知實數(shù)m、n滿足m＋n＝4，，則以m、n為兩根的一個一元二次方程可以是.【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)立方和公式，結合配方法，利用韋達定理，可得答案.【解析】由，則，由，則，利用配方法，可得，由，解得，故答案為：（答案不唯一）.2．若，且，，則的值為．【答案】1【分析】由題意是方程的兩個解，然后由根與系數(shù)的關系求解計算．【解析】由題意是方程的兩個解，所以，，則，，故答案為：1．二、解答題3．若是方程，的兩個根．(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)用表示．【答案】(1)或(2)【分析】（1）由判別式即可求解；（2）由韋達定理即可求解.【解析】（1）因為方程有兩個根，所以，且有，即，解得：.綜上：或.（2）由韋達定理得：，，所以.4．已知實常數(shù)a、b，滿足，(1)證明：關于的方程有兩個不同的實數(shù)解.(2)若關于的方程有兩個不同的實數(shù)解，，求的值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意可將原方程等價為，易知恒成立，經(jīng)檢驗可知該方程有兩個不同的實數(shù)解；（2）結合（1）中的結論以及二次函數(shù)圖像性質可知，即可得.【解析】（1）原方程可化為即方程因為所以有兩個不同的實數(shù)解經(jīng)檢驗所以，，，所以關于的方程有兩個不同的實數(shù)解.（2）令，而二次函數(shù)圖象開口向上，故，所以.5．設是不小于的實數(shù)，使得關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根.(1)若，求的值；(2)求的最大值.【答案】(1)(2)10【分析】（1）由方程有兩個不相等的實數(shù)根，利用韋達定理和已知條件求的值；（2）利用韋達定理化簡算式，配方法求最大值.【解析】（1）方程有兩個不相等的實數(shù)根，則有，解得，結合題意知：，，或，又，所以.（2），由，所以當時，取最大值為10.6．設函數(shù)，若，(1)求證：方程有實根.(2)若，、為方程的兩實數(shù)根，求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）推導出，再利用判別式法可判斷出方程有實根；（2）利用韋達定理結合二次函數(shù)的基本性質可求得的取值范圍.【解析】（1）證明：若，由可得，所以，，與已知條件矛盾，所以，，對于方程，，所以，方程必有實根.（2）解：由韋達定理可得，，因為，則，所以，，因此，.7．已知一元二次方程．(1)寫出“方程有一個正根和一個負根”的充要條件；(2)寫出“方程有一個正根和一個負根”的一個必要而不充分條件，并給予證明．【答案】(1)(2)方程有一個正根和一個負根的一個必要而不充分條件可以是，證明見解析【分析】（1）利用判別式及韋達定理即可得到不等式組，解出即可；（2）首先由（1）知其充要條件為，故可以選取作為其必要不充分條件，再證明即可.【解析】（1）若方程有一個正根和一個負根，則，即，．方程有一個正根和一個負根的充要條件是．（2）方程有一個正根和一個負根的一個必要而不充分條件是，證明：若方程有一個正根和一個負根，則由（1）知其充要條件為，從而，故必要性成立．若，則方程中，，，方程有兩個同號根，充分性不成立，故是方程有一個正根和一個負根的一個必要而不充分條件．8．已知、是關于的一元二次方程的兩個實根.(1)若，求實數(shù)的值；(2)是否存在實數(shù)，使成立？若存在，求出的值，若不存在，說明理