第七章隨機(jī)變量及其分布（培優(yōu)課離散型隨機(jī)變量的概率分布及應(yīng)用）課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

培優(yōu)課——離散型隨機(jī)變量的概率分布及應(yīng)用第七章隨機(jī)變量及其分布人教A版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第三冊(cè)重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)目錄索引

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.加強(qiáng)對(duì)離散型隨機(jī)變量的概率分布的理解.(邏輯推理)2.進(jìn)一步熟練求離散型隨機(jī)變量的分布列、均值及方差.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)重難探究·能力素養(yǎng)速提升問(wèn)題1離散型隨機(jī)變量的概率分布有哪幾種?如何識(shí)別不同的概率分布?問(wèn)題2不同的概率分布,其數(shù)字特征如何計(jì)算?探究點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量的概率模型角度1.二項(xiàng)分布的概率模型問(wèn)題3如何識(shí)別二項(xiàng)分布的概率模型?【例1】

在某地舉辦的射擊比賽中,規(guī)定每位射手射擊10次,每次一發(fā),記分的規(guī)則為:擊中目標(biāo)一次得3分,未擊中目標(biāo)得0分,凡參賽者一律另加2分.已知射手小李擊中目標(biāo)的概率為0.9,求小李在比賽中得分的均值與方差.解

設(shè)擊中次數(shù)為X,比賽得分為Y,則Y=3X+2.由題意知X~B(10,0.9),所以E(X)=10×0.9=9,D(X)=10×0.9×(1-0.9)=0.9.E(Y)=E(3X+2)=3E(X)+2=29,D(Y)=D(3X+2)=9D(X)=8.1.所以小李在比賽中得分的均值為29,方差為8.1.規(guī)律方法

通過(guò)審題,明確判斷出隨機(jī)變量X(擊中次數(shù))服從二項(xiàng)分布是解這個(gè)題的關(guān)鍵,然后利用二項(xiàng)分布的均值和方差的計(jì)算公式即可求出E(X),D(X).角度2.超幾何分布的概率模型問(wèn)題4如何識(shí)別超幾何分布的概率模型?超幾何分布與二項(xiàng)分布如何區(qū)分?【例2】

第七次全國(guó)人口普查入戶(hù)工作于2020年10月11日至12月10日期間進(jìn)行.從11月1日開(kāi)始進(jìn)入普查的正式登記階段.普查員進(jìn)入每個(gè)住戶(hù)家中逐人逐項(xiàng)登記普查信息,這期間還將隨機(jī)抽取10%的住戶(hù)填報(bào)普查長(zhǎng)表,調(diào)查更為詳細(xì)的人口結(jié)構(gòu)信息.某社區(qū)對(duì)隨機(jī)抽取的10%的住戶(hù)填報(bào)的普查長(zhǎng)表信息情況進(jìn)行匯總,并按照住戶(hù)人均年收入情況繪制出如圖所示的頻率分布直方圖(假設(shè)該社區(qū)內(nèi)住戶(hù)人均年收入均在0到12萬(wàn)之間).(1)若在抽取的10%的住戶(hù)中,人均年收入在區(qū)間[6,8)內(nèi)的恰好有32戶(hù),則該社區(qū)共有住戶(hù)約多少戶(hù)?(2)若從抽取的10%的住戶(hù)中,人均年收入不高于8萬(wàn)元的,按照分層隨機(jī)抽樣的方法抽取10戶(hù),再?gòu)倪@10戶(hù)中隨機(jī)抽取4戶(hù)對(duì)其住房和醫(yī)療保障情況進(jìn)行調(diào)查,用X表示抽取的4戶(hù)中人均年收入不少于6萬(wàn)元的住戶(hù)數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望.解

(1)依題意,由頻率分布直方圖可知,2(a+2a+3a+4a+0.175+3a)=1,所以a=0.025.所以抽取的10%的住戶(hù)中,人均年收入在區(qū)間[6,8)內(nèi)的住戶(hù)所占的比重恰好為8a=0.2.所以10%的住戶(hù)共計(jì)約為160戶(hù),進(jìn)而可得該社區(qū)共有住戶(hù)約1

600戶(hù).(2)依題意,在抽取的10%的住戶(hù)中,人均年收入不高于8萬(wàn)元的,按照分層隨機(jī)抽樣抽取10戶(hù),可知在這10戶(hù)中,收入在區(qū)間[0,2)內(nèi)的是1戶(hù),在區(qū)間[2,4)內(nèi)的是2戶(hù),在區(qū)間[4,6)內(nèi)的是3戶(hù),在區(qū)間[6,8)內(nèi)的是4戶(hù),再?gòu)倪@10戶(hù)中隨機(jī)抽取4戶(hù)對(duì)其住房和醫(yī)療保障情況進(jìn)行調(diào)查,所以X的可能取值為0,1,2,3,4.規(guī)律方法

通過(guò)審題,明確判斷出隨機(jī)變量X服從超幾何分布是解這個(gè)題的關(guān)鍵,然后利用均值和方差的計(jì)算公式即可求出E(X),D(X).探究點(diǎn)二均值與方差在決策中的應(yīng)用問(wèn)題5如何利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征來(lái)幫助解決實(shí)際問(wèn)題?【例3】

計(jì)劃在某水庫(kù)建一座至多安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站.過(guò)去50年的水文資料顯示,水庫(kù)年入流量X(年入流量:一年內(nèi)上游來(lái)水與庫(kù)區(qū)降水之和.單位:億立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超過(guò)120的年份有35年,超過(guò)120的年份有5年,將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率,并假設(shè)各年的入流量相互獨(dú)立.(1)求未來(lái)4年中,至多有1年的年入流量超過(guò)120的概率;(2)水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行,但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量X限制,并有如下關(guān)系:年入流量X40<X<8080≤X≤120X>120發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)123若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,則該臺(tái)發(fā)電機(jī)年利潤(rùn)為5000萬(wàn)元;若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行,則該臺(tái)發(fā)電機(jī)年虧損800萬(wàn)元.欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大,應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺(tái)?(2)記水電站年總利潤(rùn)為Y(單位:萬(wàn)元).①安裝1臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形.由于水庫(kù)年入流量總大于40,故一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為1,對(duì)應(yīng)的年利潤(rùn)Y=5

000,E(Y)=5

000×1=5

000.②安裝2臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形.依題意,當(dāng)40<X<80時(shí),一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,此時(shí)Y=5

000-800=4

200,因此P(Y=4

200)=P(40<X<80)=P1=0.2;當(dāng)X≥80時(shí),兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,此時(shí)Y=5

000×2=10

000,因此P(Y=10

000)=P(X≥80)=P2+P3=0.8.由此得Y的分布列如下.Y4

20010

000P0.20.8所以,E(Y)=4

200×0.2+10

000×0.8=8

840.③安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形.依題意,當(dāng)40<X<80時(shí),一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,此時(shí)Y=5

000-1

600=3

400,因此P(Y=3

400)=P(40<X<80)=P1=0.2;當(dāng)80≤X≤120時(shí),兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,此時(shí)Y=5

000×2-800=9

200,因此P(Y=9

200)=P(80≤X≤120)=P2=0.7;當(dāng)X>120時(shí),三臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,此時(shí)Y=5

000×3=15

000,因此P(Y=15

000)=P(X>120)=P3=0.1.由此得Y的分布列如下.Y3

4009

20015

000P0.20.70.1所以,E(Y)=3

400×0.2+9

200×0.7+15

000×0.1=8

620.綜上,欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大,應(yīng)安裝2臺(tái)發(fā)電機(jī).規(guī)律方法

隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平,方差反映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的程度,它們從整體和全局上刻畫(huà)了隨機(jī)變量,是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要理論依據(jù).一般先比較均值,若均值相同,再用方差來(lái)決定.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)二項(xiàng)分布的均值、方差;(2)超幾何分布的均值、方差.2.方法歸納:公式法.3.常見(jiàn)誤區(qū):(1)對(duì)隨機(jī)變量的分布類(lèi)型判斷出錯(cuò);(2)混淆公式.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)123456789101112A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.下列說(shuō)法正確的是(

)A.離散型隨機(jī)變量ξ的均值E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值B.離散型隨機(jī)變量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平C.離散型隨機(jī)變量ξ的均值E(ξ)反映了ξ取值的平均水平D.離散型隨機(jī)變量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值C解析

由離散型隨機(jī)變量的均值與方差的定義可知,C正確.1234567891011122.(多選題)已知隨機(jī)變量X的分布列如下.X-101Pabc其中a,b,c成等差數(shù)列.若E(X)=,則D(X)的值是(

)AB123456789101112B1234567891011124.小芳用肢體語(yǔ)言把成語(yǔ)的意思傳遞給本組其他同學(xué).若小組內(nèi)同學(xué)甲猜對(duì)成語(yǔ)的概率是0.4,同學(xué)乙猜對(duì)成語(yǔ)的概率是0.5,且規(guī)定猜對(duì)得1分,猜不對(duì)得0分,則這兩個(gè)同學(xué)各猜1次,得分之和X(單位:分)的均值為(

)A.0.9 B.0.8C.1.2 D.1.1A解析

由題意得X=0,1,2,則P(X=0)=0.6×0.5=0.3,P(X=1)=0.4×0.5+0.6×0.5=0.5,P(X=2)=0.4×0.5=0.2,故E(X)=1×0.5+2×0.2=0.9.1234567891011125.已知隨機(jī)變量ξi滿(mǎn)足P(ξi=1)=pi,P(ξi=0)=1-pi,i=1,2.若0<p1<p2<,則(

)A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2) B.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2) D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)A1234567891011126.同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子,至少有一個(gè)3點(diǎn)或6點(diǎn)出現(xiàn)時(shí),就說(shuō)這次試驗(yàn)成功,則在9次試驗(yàn)中,成功次數(shù)X的均值是

.

51234567891011127.隨機(jī)變量ξ的取值為0,1,2.若P(ξ=0)=,E(ξ)=1,則D(ξ)=

.

1234567891011128.某陶瓷廠準(zhǔn)備燒制甲、乙、丙三件不同的工藝品,制作過(guò)程必須先后經(jīng)過(guò)兩次燒制,當(dāng)?shù)谝淮螣坪细窈蠓娇蛇M(jìn)入第二次燒制,兩次燒制過(guò)程相互獨(dú)立.根據(jù)該廠現(xiàn)有的技術(shù)水平,經(jīng)過(guò)第一次燒制后,甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為0.5,0.6,0.4.經(jīng)過(guò)第二次燒制后,甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為0.6,0.5,0.75.(1)求第一次燒制后恰有一件產(chǎn)品合格的概率;(2)經(jīng)過(guò)前后兩次燒制后,合格工藝品的個(gè)數(shù)為ξ,求隨機(jī)變量ξ的均值與方差.123456789101112解

分別記甲、乙、丙經(jīng)第一次燒制后合格為事件A1,A2,A3.(1)設(shè)E表示第一次燒制后恰好有一件合格,則=0.5×0.4×0.6+0.5×0.6×0.6+0.5×0.4×0.4=0.38.(2)因?yàn)槊考に嚻方?jīng)過(guò)兩次燒制后合格的概率均為p=0.3,所以ξ~B(3,0.3).所以E(ξ)=3×0.3=0.9,D(ξ)=3×0.3×0.7=0.63.123456789101112B級(jí)關(guān)鍵能力提升練9.已知在10件產(chǎn)品中可能存在次品,從中抽取2件檢查,其次品數(shù)為ξ,已知P(ξ=1)=且該產(chǎn)品的次品率不超過(guò)40%,則這10件產(chǎn)品的次品率為(

)A.10% B.20% C.30% D.40%B12345678910111210.若隨機(jī)事件A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p(0<p<1),用隨機(jī)變量X表示A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù),則方差D(X)的最大值為

.

12345678910111211.本著健康低碳的生活理念,租自行車(chē)騎游的人越來(lái)越多.某自行車(chē)租車(chē)點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車(chē)每次租車(chē)時(shí)間不超過(guò)兩小時(shí)免費(fèi),超過(guò)兩小時(shí)的部分,每小時(shí)收費(fèi)2元(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算).有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來(lái)該租車(chē)點(diǎn)租車(chē)騎游(各租一車(chē)一次).設(shè)甲、乙不超過(guò)兩小時(shí)還車(chē)的概率分別為;兩小時(shí)以上且不超過(guò)三小時(shí)還車(chē)的概率分別為;兩人租車(chē)時(shí)間都不會(huì)超過(guò)四小時(shí).(1)求甲、乙兩人所付的租車(chē)費(fèi)用