第二講集合的表示和分類(lèi)講義高一上學(xué)期暑假高中數(shù)學(xué)預(yù)科

第二講集合的表示和分類(lèi)知識(shí)點(diǎn)梳理：1．?dāng)?shù)學(xué)中常用數(shù)集及記法（1）正整數(shù)集N*，這里“*”的含義是在自然數(shù)集N中去掉0，在一些拓展題中有時(shí)候還會(huì)遇到Z*，“Z*”表示非0整數(shù)集，即在整數(shù)集Z中去掉0．（2）以后的學(xué)習(xí)中還會(huì)遇到其他數(shù)集，如復(fù)數(shù)集C等．2．集合的表示（1）自然語(yǔ)言用自然語(yǔ)言描述，如所有等腰三角形，再如所有大于10小于100的偶數(shù)，又如函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)等．（2）列舉法把集合的所有元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào)“{}”括起來(lái)表示集合的方法叫做列舉法．例如，小于5的自然數(shù)組成的集合為用列舉法可以表示為{0，1，2，3，4}．【特別提醒】列舉法表示的集合的結(jié)構(gòu)：（3）描述法一般地，設(shè)A是一個(gè)集合，我們把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P（x）}，這種表示集合的方法稱(chēng)為描述法．有時(shí)也用冒號(hào)或分號(hào)代替豎線，寫(xiě)成{x∈A：P（x）}或{x∈A；P（x）}．例如，小于5的自然數(shù)組成的集合為用描述法可以表示為．其中為代表元素，為代表元素的共同特征．小于5的自然數(shù)組成的集合為用描述法也可以表示為．若無(wú)歧義，“∈A”可以省略不寫(xiě)，如，若通過(guò)上下文，是明確的，則可以省略“”，只寫(xiě)代表元素．如不等式的解集可以表示為．【特別提醒】描述法表示的集合的結(jié)構(gòu)：

重難點(diǎn)解析：1．?dāng)?shù)學(xué)中常用數(shù)集及記法名稱(chēng)自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集記法NN*或N＋ZQR2．集合的表示（1）列舉法（2）描述法（3）自然語(yǔ)言3．集合的分類(lèi)（1）有限集——含有有限個(gè)元素的集合（2）無(wú)限集——含有無(wú)限個(gè)元素的集合

例題講解：題型1常用數(shù)集的符號(hào)表示【例1】下列關(guān)系正確的是A． B． C． D．【例2】下列選項(xiàng)正確的是A． B． C． D．【例3】實(shí)數(shù)集可以用字母________表示．A． B． C． D．題型2列舉法【例4】集合，用列舉法表示為A．，，0，1， B．，0，1， C．， D．【例5】集合用列舉法表示為A． B．， C．，2， D．，2，4，【例6】若集合有且只有一個(gè)元素．（1）試求出實(shí)數(shù)的值；（2）用列舉法表示集合．題型3描述法【例7】集合，，，，用描述法可表示為A．， B．， C．， D．，【例8】被4除余3的所有自然數(shù)組成的集合用描述法可表示為．【例9】用描述法表示下列集合：（1）所有被3整除的整數(shù)組成的集合；（2）不等式的解集；（3）方程的所有實(shí)數(shù)解組成的集合；（4）拋物線上所有點(diǎn)組成的集合；（5）集合，3，5，7，．題型4集合的分類(lèi)【例10】判斷下列各組對(duì)象能否構(gòu)成集合．若能構(gòu)成集合，指出是有限集還是無(wú)限集；若不能構(gòu)成集合，試說(shuō)明理由．（1）北京各區(qū)的名稱(chēng)；（2）尾數(shù)是5的自然數(shù)；（3）我們班身高大于的同學(xué)．【例11】判斷下列集合是有限集還是無(wú)限集，并說(shuō)明理由：（1）6的正整數(shù)倍的全體組成的集合；（2）600的正約數(shù)的全體組成的集合；（3）2023年在上海出生的所有人組成的集合；（4）給定的一條長(zhǎng)度為1的線段上的所有點(diǎn)組成的集合．【例12】判斷下列集合是有限集還是無(wú)限集：（1），；（2），；（3），為平面上兩個(gè)不同的定點(diǎn)，為動(dòng)點(diǎn)）．解題梳理：1．列舉法（1）列舉法表示的集合的種類(lèi)①元素個(gè)數(shù)少且有限時(shí)，全部列舉：如1，2，3，4．②元素個(gè)數(shù)多且有限時(shí)，可以列舉部分，中間用省略號(hào)表示，如“從1到1000的所有自然數(shù)”可以表示為1，2，3，．．．，1000}．③元素個(gè)數(shù)無(wú)限但有規(guī)律時(shí)，如自然數(shù)集N可以表示為0，1，2，3，4…（2）使用列舉法表示集合時(shí)需注意①元素之間用“，”而不用“、"隔開(kāi)；②元素不重復(fù)，滿足元素的互異性；③元素?zé)o順序，滿足元素的無(wú)序性；④對(duì)于含較多元素的集合，如果構(gòu)成該集合的元素有明顯規(guī)律，可用列舉法．但是必須把元索間的規(guī)律表述清楚后才能用省略號(hào)．2．描述法（1）描述法的一般形式描述法的一般形式是，其中“x”是集合中元素的代表形式．例如用描述法表示方程的實(shí)數(shù)根為．如果從上下文的關(guān)系來(lái)看，是明確的，那么也可省略，只寫(xiě)其元素x．例如集合也可表示為．（2）描述法表示集合的條件對(duì)于元素個(gè)數(shù)不確定且元素間無(wú)明顯規(guī)律的集合，不能將它們一一列舉出來(lái)，可以將集合中元素的共同特征描述出來(lái)，即采用描述法．（3）使用描述法時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)①寫(xiě)清楚該集合的代表元素，如數(shù)或點(diǎn)等；②說(shuō)明該集合中元素的共同屬性；③不能出現(xiàn)未被說(shuō)明的字母；④所有描述的內(nèi)容都要寫(xiě)在花括號(hào)內(nèi)，用于描述的內(nèi)容力求簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確．變式練習(xí)：1．（2023秋?海淀區(qū)期末）方程組的解集是A．， B．， C．， D．，2．（2023秋?香坊區(qū)期末）已知集合，0，1，，集合，，則集合A．， B．， C．，1， D．，0，3．（2022秋?三門(mén)峽期末）集合用列舉法表示是A．，2， B．，2，3， C．，1，2，3， D．，1，2，4．（2023秋?富陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）集合，2，3，4，也可表示成A． B． C．， D．，5．（2023秋?雞西期中）方程組的解集是A．， B．， C． D．或6．（2024?荔灣區(qū)校級(jí)模擬）若集合，1，4，，，，則中元素的最小值為A． B． C． D．327．（2023秋?海南期中）已知集合，，則A．， B．，2， C．，1，2， D．，1，8．（2023秋?黃平縣校級(jí)月考）方程的解集用列舉法表示為A． B．， C． D．9．（2023秋?東莞市校級(jí)期中）集合，A．， B．， C．，1， D．，，0，1，10．（2023?湘陰縣校級(jí)開(kāi)學(xué)）用描述法表示函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)的是A． B． C． D．11．（2024?新鄉(xiāng)三模）下列集合中有無(wú)數(shù)個(gè)元素的是A． B． C． D．12．（2023秋?寶安區(qū)校級(jí)期末）下列元素與集合的關(guān)系中，正確的是A． B． C． D．13．（2024春?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)期中）用列舉法表示集合的結(jié)果為．14．（2024?丹東模擬）若為完全平方數(shù)，則正整數(shù)的取值組成的集合為．15．（2023秋?重慶期末）已知集合，0，，，，那么用列舉法表示集合．16．（2023秋?靜安區(qū)校級(jí)月考）已知，則集合用列舉法表示為．17．（2023?望花區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）集合用列舉法表示出來(lái)．18．（2022秋?南城縣校級(jí)月考）把下列各數(shù)填入表示它所在的數(shù)集的大括號(hào)：，3，，，0.1010010001，，0，，，（1）正數(shù)集合：；（2）無(wú)理數(shù)集合：；（3）分?jǐn)?shù)集合：；（4）非正整數(shù)集合：．19．（2023?袁州區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）試選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希海?）由方程的所有實(shí)數(shù)根組成的集合；（2）由小于8的所有素?cái)?shù)組成的集合；（3）一次所數(shù)與的圖象的交點(diǎn)組成的集合；（4）不等式的解集．20．用另一種方法表示下列集合：（1），，；（2）{0，1，4，9，16，25，36，49}；（3）{平面直角坐標(biāo)系中第二象限內(nèi)的點(diǎn)}．21．用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?）方程組，的解集；（2）1000以內(nèi)被3除余2的正整數(shù)所構(gòu)成的集合；（3）直角坐標(biāo)平面上的第二象限內(nèi)的點(diǎn)所構(gòu)成的集合；（4）所有三角形構(gòu)成的集合．

答案與解析【例1】下列關(guān)系正確的是A． B． C． D．【答案】【分析】利用數(shù)集的定義即可判斷出結(jié)論．【解答】解：，，，．因此只有正確．故選：．【例2】下列選項(xiàng)正確的是A． B． C． D．【分析】利用元素與集合間的關(guān)系直接求解．【解答】解：在中，，故錯(cuò)誤；在中，，故錯(cuò)誤；在中，，故錯(cuò)誤；在中，，故正確．故選：．【例3】實(shí)數(shù)集可以用字母________表示．A． B． C． D．【答案】【分析】根據(jù)集合的表示，實(shí)數(shù)集為，整數(shù)集為，自然數(shù)集為，有理數(shù)集為即可求解結(jié)論．【解答】解：根據(jù)集合的字母表示可知：實(shí)數(shù)集為，整數(shù)集為，自然數(shù)集為，有理數(shù)集為．故選：．【例4】集合，用列舉法表示為A．，，0，1， B．，0，1， C．， D．【答案】【分析】直接求出集合中的元素即可．【解答】解：，，，．故選：．【例5】集合用列舉法表示為A． B．， C．，2， D．，2，4，【答案】【分析】根據(jù)自然數(shù)集與整數(shù)集的概念分析集合中的元素即可．【解答】解：因?yàn)?，，所以?或4或8，即或4或2或，即，2，4，．故選：．【例6】若集合有且只有一個(gè)元素．（1）試求出實(shí)數(shù)的值；（2）用列舉法表示集合．【答案】（1）或，（2），，．【分析】（1）根據(jù)已知條件，分，兩種情況討論，并結(jié)合二次函數(shù)的判別式，即可求解．（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，分，兩種情況討論，即可求解．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，方程組，只有一個(gè)解，符合題意，當(dāng)時(shí)，要使集合有且只有一個(gè)元素，則方程，△，解得．（2）由（1）可得，或，當(dāng)時(shí)，原方程組轉(zhuǎn)化為，解得，即，，當(dāng)時(shí)，原方程組轉(zhuǎn)化為，解得，即，，綜上所述，的集合為，，．【例7】集合，，，，用描述法可表示為A．， B．， C．， D．，【分析】集合，，，，中的第項(xiàng)的分線為，分子為，由此能求出結(jié)果．【解答】解：集合，，，，中的第項(xiàng)的分線為，分子為，集合，，，，用描述法可表示為：，．故選：．【例8】被4除余3的所有自然數(shù)組成的集合用描述法可表示為．【答案】，．【分析】利用集合的描述法求解即可．【解答】解：被4除余3的所有自然數(shù)組成的集合用描述法可表示為，．故答案為：，．【例9】用描述法表示下列集合：（1）所有被3整除的整數(shù)組成的集合；（2）不等式的解集；（3）方程的所有實(shí)數(shù)解組成的集合；（4）拋物線上所有點(diǎn)組成的集合；（5）集合，3，5，7，．【答案】（1），；（2），；（3），；（4）；（5），且．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合集合表示法的定義，即可依次求解．【解答】解：（1）所有被3整除的整數(shù)組成的集合為，；（2）不等式的解集為，；（3）方程的所有實(shí)數(shù)解組成的集合為，；（4）拋物線上所有點(diǎn)組成的集合為；（5）集合，3，5，7，為，且．【例10】判斷下列各組對(duì)象能否構(gòu)成集合．若能構(gòu)成集合，指出是有限集還是無(wú)限集；若不能構(gòu)成集合，試說(shuō)明理由．（1）北京各區(qū)的名稱(chēng)；（2）尾數(shù)是5的自然數(shù)；（3）我們班身高大于的同學(xué)．【答案】（1）可以構(gòu)成集合，是有限集；（2）可以構(gòu)成集合，是無(wú)限集；（3）可以構(gòu)成集合，是有限集．【分析】分別根據(jù)集合的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：（1）北京各區(qū)的名稱(chēng)可以構(gòu)成集合，是有限集；（2）尾數(shù)是5的自然數(shù)可以構(gòu)成集合，是無(wú)限集；（3）我們班身高大于的同學(xué)可以構(gòu)成集合，是有限集．【例11】判斷下列集合是有限集還是無(wú)限集，并說(shuō)明理由：（1）6的正整數(shù)倍的全體組成的集合；（2）600的正約數(shù)的全體組成的集合；（3）2023年在上海出生的所有人組成的集合；（4）給定的一條長(zhǎng)度為1的線段上的所有點(diǎn)組成的集合．【答案】（1）無(wú)限集；（2）有限集；（3）有限集；（4）無(wú)限集．【分析】由已知結(jié)合集合的有限集與無(wú)限極的定義分別進(jìn)行判斷．【解答】解：（1）6的正整數(shù)倍可表示為，其中是正整數(shù)．因?yàn)檎麛?shù)有無(wú)限個(gè)，所以6的正整數(shù)倍的全體組成的集合是一個(gè)無(wú)限集．（2）600的正約數(shù)一定是小于或等于600的正整數(shù)，其個(gè)數(shù)不超過(guò)600．所以600的正約數(shù)的全體組成的集合是一個(gè)有限集．（3）雖然2023年出生在上海的人比較多，但總數(shù)還是有限的，所以2023年在上海出生的所有人組成的集合是一個(gè)有限集．（4）因?yàn)樵摼€段的二等分點(diǎn)、三等分點(diǎn)、四等分點(diǎn)都是該集合中的元素，所以一條給定的長(zhǎng)度為1的線段上的所有點(diǎn)組成的集合是一個(gè)無(wú)限集．【例12】判斷下列集合是有限集還是無(wú)限集：（1），；（2），；（3），為平面上兩個(gè)不同的定點(diǎn)，為動(dòng)點(diǎn)）．【答案】（1）有限集；（2）無(wú)限集；（3）無(wú)限集．【分析】由已知結(jié)合集合的有限集與無(wú)限集的定義即可判斷．【解答】解：（1），，，為有限集；（2），為無(wú)限集；（3），為平面上兩個(gè)不同的定點(diǎn)，為動(dòng)點(diǎn)），則的軌跡是一個(gè)線段，故集合為無(wú)限集．變式練習(xí)：1．【答案】【分析】解原方程組得出，的值，然后寫(xiě)出原方程組的解集即可．【解答】解：解得，或，原方程組的解集為：，．故選：．2．【答案】【分析】根據(jù)集合，，求解中的元素，可得集合．【解答】解：集合集合，0，1，，集合，，因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故集合，0，．故選：．3．【答案】【分析】化簡(jiǎn)集合，將元素一一列舉出來(lái)即可．【解答】解：集合正整數(shù)，2，．故選：．4．【答案】【分析】結(jié)合集合的表示方法即可求解．【解答】解：結(jié)合題意可知，，2，3，4，，．故選：．5．【答案】【分析】運(yùn)用加減消元法，求出方程組的解，最后運(yùn)用集合表示．【解答】解：方程組，兩式相加得，，兩式相減得，．方程組的解集為．故選：．6．【答案】【分析】由已知結(jié)合元素與集合的關(guān)系即可求解．【解答】解：由題意得，．故選：．7．【答案】【分析】根據(jù)集合的定義確定其元素．【解答】解：，，1，．故選：．8．【答案】【分析】由列舉法的表示方法寫(xiě)出解集．【解答】解：方程，解得或，解集用列舉法表示為，．故選：．9．【答案】【分析】通過(guò)解一元一次不等式，結(jié)合表示整數(shù)集合進(jìn)行求解即可．【解答】解：由，可得，又，所以集合，，1，．故選：．10．【答案】【分析】根據(jù)集合描述法定義可解決此題．【解答】解：根據(jù)集合描述法定義可得函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)的集合是，故選：．11．【答案】【分析】由已知結(jié)合集合的表示及集合的分類(lèi)檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．【解答】解：，2，，錯(cuò)誤；，2，，錯(cuò)誤；，2，，錯(cuò)誤；為無(wú)限集，正確．故選：．12．【答案】【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系依次判斷選項(xiàng)即得．【解答】解：選項(xiàng)，因不是正整數(shù)，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)，是無(wú)理數(shù)，故必是實(shí)數(shù)，故正確；選項(xiàng)，是分?jǐn)?shù)，故不是整數(shù)，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)，0是自然數(shù)，故錯(cuò)誤．故選：．13．【答案】，2，3，．【分析】由集合的元素屬于非負(fù)整數(shù)集計(jì)算即可．【解答】解：集合，因?yàn)?，分母不能?，可得的結(jié)果為3，6，7，8，所以集合為，2，3，．故答案為：，2，3，．14．【答案】，12，．【分析】根據(jù)題意，設(shè)，分析可得，結(jié)合80的因數(shù)分析可取的值，用集合表示即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，若為完全平方數(shù)，設(shè)，和都為正整數(shù)，若，則，變形可得，又由，，則和同時(shí)為偶數(shù)或奇數(shù)，則可能為情況有：或或，解可得：或12或9，則正整數(shù)的取值組成的集合為，12，．故答案為：，12，．15．【分析】根據(jù)集合，3，，，，將中元素一一代入，可得集合．【解答】解：集合，0，，，，，，故答案為：，16．【答案】，0，．【分析】由已知對(duì)，的正負(fù)進(jìn)行分類(lèi)討論求出集合中的元素，即可求解．【解答】解：因?yàn)椋?dāng)，時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．故答案為：，0，．17．【答案】，2，4，．【分析】由已知結(jié)合集合的列舉法與描述法的轉(zhuǎn)化即可求解．【解答】解：因?yàn)榧?/p>