九年級(jí)數(shù)學(xué)核心知識(shí)點(diǎn)與常見題型通關(guān)講解練（滬教版）重難點(diǎn)08解直角三角形之“疊合式”模型（解析版）

重難點(diǎn)08解直角三角形之“疊合式”模型【知識(shí)梳理】【考點(diǎn)剖析】1、如圖，一艘輪船在A處時(shí)觀測得小島C在船的北偏東60°方向，輪船以40海里/時(shí)的速度向正東方向航行1.5小時(shí)到達(dá)B處，這時(shí)小島C在船的北偏東30°方向．已知小島C周圍50海里范圍內(nèi)是暗礁區(qū)．（1）求B處到小島C的距離（2）若輪船從B處繼續(xù)向東方向航行，有無觸礁危險(xiǎn)？請(qǐng)說明理由．（參考數(shù)據(jù)：≈1.73）解：（1）由題意得∠CBD＝60°，∠CAB＝30°，∴∠ACB＝30°，∴∠CAB＝∠ACB，∴CB＝AB＝40×1.5＝60（海里），∴B處到小島C的距離為60海里；（2）過點(diǎn)C作CE⊥AD，垂足為點(diǎn)E，∵CE＝CB×sin∠CBE＝60×sin60°＝30≈51.96海里，∴CE＞50，∴輪船從B處繼續(xù)向正東方向航行，沒有觸礁危險(xiǎn)．2、金橋?qū)W?！翱萍俭w藝節(jié)”期間，八年級(jí)數(shù)學(xué)活動(dòng)小組的任務(wù)是測量學(xué)校旗桿AB的高，他們在旗桿正前方臺(tái)階上的點(diǎn)C處，測得旗桿頂端A的仰角為45°，朝著旗桿的方向走到臺(tái)階下的點(diǎn)F處，測得旗桿頂端A的仰角為60°，已知升旗臺(tái)的高度BE為1米，點(diǎn)C距地面的高度CD為3米，臺(tái)階CF的坡角為30°，且點(diǎn)E、F、D在同一條直線上，求旗桿AB的高度（計(jì)算結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）解：過點(diǎn)C作CM⊥AB于M．則四邊形MEDC是矩形，∴ME＝DC＝3．CM＝ED，在Rt△AEF中，∠AFE＝60°，設(shè)EF＝x，則AF＝2x，AE＝x，在Rt△FCD中，CD＝3，∠CFD＝30°，∴DF＝3，在Rt△AMC中，∠ACM＝45°，∴∠MAC＝∠ACM＝45°，∴MA＝MC，∵ED＝CM，∴AM＝ED，∵AM＝AE﹣ME，ED＝EF+DF，∴x﹣3＝x+3，∴x＝6+3，∴AE＝（6+3）＝6+9，∴AB＝AE﹣BE＝9+6﹣1≈18.4米．答：旗桿AB的高度約為18.4米．3.如圖，小明在熱氣球A上看到橫跨河流兩岸的大橋BC，測得B，C兩點(diǎn)的俯角分別為60°和45°，已知熱氣球離地面的高度為120m，且大橋與地面在同一水平面上，求大橋BC的長度．(結(jié)果保留整數(shù)，eq\r(3)≈1.73)解：如圖，作AD⊥CB交CB所在直線于點(diǎn)D.由題意知，∠ACD＝45°，∠ABD＝60°.在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，∴CD＝AD＝120m.在Rt△ABD中，∠ABD＝60°，∴tan60°＝eq\f(AD,BD)，∴BD＝eq\f(\r(3),3)AD＝40eq\r(3)m，∴BC＝CD－BD＝120－40eq\r(3)≈51(m)．答：大橋BC的長度約為51m.4、廣州塔又稱廣州新電視塔，昵稱小蠻腰，位于廣州市海珠區(qū)赤崗塔附近，是中國第一高塔，世界第四高塔．如圖，廣州塔BD附近有一大廈AC高150米，張強(qiáng)在樓底A處測得塔頂D的仰角為45°，上到大廈頂C處測得塔頂D的仰角為37°，求廣州塔BD的高．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）解：如圖，過點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)E，即四邊形ACEB是矩形，∴BE＝AC＝150，CE＝AB，根據(jù)題意可知：∠DAB＝45°，∴DB＝AB＝CE，∴DE＝DB﹣BE＝DB﹣150，在Rt△CDE中，∠DCE＝37°，∴DE＝CE?tan37°，即DB﹣150≈0.75DB，解得DB≈600（米）．答：廣州塔BD的高約為600米．5、如圖，小明為了測量小河對(duì)岸大樹BC的高度，他在點(diǎn)A測得大樹頂端B的仰角為45°，沿斜坡走3米到達(dá)斜坡上點(diǎn)D，在此處測得樹頂端點(diǎn)B的仰角為30°，且斜坡AF的坡比為1：2．求大樹BC的高度約為多少米？（≈1.732，結(jié)果精確到0.1）解：作DH⊥AE于點(diǎn)H，作DG⊥BC于點(diǎn)G，如圖，則四邊形DGCH為矩形，在Rt△ADH中，∵，∴AH＝2DH，∵AH2+DH2＝AD2，∴．∴DH＝CG＝3m，∴AH＝2DH＝6m，設(shè)BC＝xm，則BG＝（x﹣3）m，在Rt△BAC中，∠BAC＝45°，∴AC＝BC＝xm，∴CH＝DG＝（x+6）m，在Rt△BDG中，∠BDG＝30°，∵tan30°＝，∴，解得，x＝≈15.3．答：大樹BC的高度約為15.3米．【過關(guān)檢測】一、填空題1．（2021·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在一筆直的海岸線上有相距的兩個(gè)觀測站，站在站的正東方向上，從站測得船在北偏東的方向上，從站測得船在北偏東的方向上，則船到海岸線的距離是________．

【答案】【分析】過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，然后根據(jù)等腰三角形和判定和性質(zhì)以及解直角三角形的應(yīng)用即可求出答案．【詳解】過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，

根據(jù)題意得：∠CAD=90°-60°=30°，∠CBD=90°-30°=60°，∴∠ACB=∠CBD-∠CAD=30°，∴∠CAB=∠ACB，∴BC=AB=4km，在Rt△CBD中，∴CD=BC?sin60°()∴船C到海岸線的距離是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形的應(yīng)用－方向角問題，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義．2．（2023·湖北黃石·校考一模）永定塔是北京園博園的標(biāo)志性建筑，其外觀為遼金風(fēng)格的八角九層木塔，游客可登至塔頂，俯瞰園博園全貌．如圖，在A處測得∠CAD＝30°，在B處測得∠CBD＝45°，并測得AB＝52米，那么永定塔的高CD約是_____米．（≈1.4，≈1.7，結(jié)果保留整數(shù)）【答案】74【分析】首先證明BD＝CD，設(shè)BD＝CD＝x，在Rt△ACD中，由∠A＝30°，推出AD＝CD，由此構(gòu)建方程即可解決問題．【詳解】如圖，∵CD⊥AD，∠CBD＝45°，∴∠CDB＝90°，∠CBD＝∠DCB＝45°，∴BD＝CD，設(shè)BD＝CD＝x，在Rt△ACD中，∵∠A＝30°，∴AD＝CD，∴52+x＝x，∴x＝≈74（m），故答案為74，【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．二、解答題3．（2023秋·九年級(jí)單元測試）如圖所示，在一個(gè)坡度的山坡的頂端處豎直立著一個(gè)電視發(fā)射塔．為測得電視發(fā)射塔的高度，小明站在山腳的平地處測得電視發(fā)射塔的頂端的仰角為40°，若測得斜坡長為米，點(diǎn)到點(diǎn)的水平距離米，求電視發(fā)射塔的高度．（參考數(shù)值：，，，結(jié)果保留整數(shù)）【答案】85米【分析】如圖，根據(jù)坡比設(shè)BE=x，EC=2x，在RtBEC中，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程求出BE和CE；在中，利用正切的定義求出AE問題得解．【詳解】解：如圖，作交DC的延長線于點(diǎn)，在中，∵，設(shè)，則，，根據(jù)勾股定理得，解得，∴（米），（米），∴（米），在中，∵，∴，∴（米），答：電視發(fā)射塔的高度約為85米．【點(diǎn)睛】本題考查了坡比的概念、仰角概念及銳角三角函數(shù)定義，要求學(xué)生能借助仰角、坡比構(gòu)造直角三角形并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形．4．（2022春·北京東城·八年級(jí)校考階段練習(xí)）一副直角三角板如圖放置，點(diǎn)C在FD的延長線上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，試求CD的長．【答案】15﹣5【分析】過點(diǎn)B作BM⊥FD于點(diǎn)M，解Rt△ACB求出BC，在Rt△BMC中求出CM，BM，推出BM=DM，即可求得答案．【詳解】解：過點(diǎn)B作BM⊥FD于點(diǎn)M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，∴∠ABC＝30°，BC＝AC?tan60°＝10，∵AB∥CF，∴∠BCM＝∠ABC＝30°．∴BM＝BC?sin30°＝10×＝5，CM＝BC?cos30°＝10×＝15，在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，∴∠EDF＝45°，∴MD＝BM＝5，∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)．關(guān)鍵是能通過解直角三角形求出線段CM，MD的長．5．（2020秋·山東德州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中，某數(shù)學(xué)興趣小組想測量在樓房CD頂上廣告牌DE的高度，他們先在點(diǎn)A處測得廣告牌頂端E的仰角為60°,底端D的仰角為30°，然后沿AC方向前行20m，到達(dá)B點(diǎn)，在B處測得D的仰角為45°（C，D，E三點(diǎn)在同一直線上）.請(qǐng)你根據(jù)他們的測量數(shù)據(jù)計(jì)算這廣告牌DE的高度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)據(jù)：，）.【答案】廣告牌的高度為54.6米.【分析】由題可知：，，，先得到CD=CB，在三角形ACD中，利用正切列出關(guān)于CD的等式并解出，從而求出BC的值，加上AB的值得到AC的值，在三角形ACE中利用正切得到CE的長度，最后用CE-CD即為所求.【詳解】解：∵又，在中，即答：廣告牌的高度為54.6米.【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)仰角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)求解，注意利用兩個(gè)直角三角形的公共邊求解是解答此類題型的關(guān)鍵.6．（2022春·江蘇鹽城·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）為了測量某山（如圖所示）的高度，甲在山頂測得處的俯角為，處的俯角為，乙在山下測得，之間的距離為100米．已知，，在同一水平面的同一直線上，求山高（結(jié)果保留根號(hào)）．【答案】米【分析】設(shè)，由題意可知，，CD=100米，即可得，，在中，由可得，由此即可求得，即可得山高為米．【詳解】解：設(shè)，由題意可知：，，∴∴，在中，∴，∴解得：，∴山高為米．【點(diǎn)睛】本考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．7．（2021·貴州銅仁·統(tǒng)考三模）如圖，小明去觀賞一棵千年古銀杏樹，當(dāng)走到點(diǎn)A處時(shí)，測得銀杏樹CD的仰角為30°，當(dāng)向樹前進(jìn)40米到B處時(shí)，又測得樹頂端C的仰角為75°．請(qǐng)求出這棵千年古銀杏樹的高．（結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：tan75°＝2+，＝1.732，＝1.414）【答案】27.3米【分析】通過解直角△ACD得到：AD=CD；通過解直角△BCD得到BD=【詳解】設(shè)CD=x米．在Rt△ACD中，∵∠A=30°，∴tan30°=，∴AD=x，∴BD=AD-AB=x-40，在Rt△BCD中，tan75°=，∴2+=，解得x≈27.3，答：這棵千年古銀杏樹的高為27.3米．【點(diǎn)睛】此題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．8．（2020·天津和平·三模）學(xué)完三角函數(shù)知識(shí)后，某?！皵?shù)學(xué)社團(tuán)”的小明和小華決定用自己學(xué)到的知識(shí)測量紀(jì)念塔的高度．如圖，是高為的測角儀，在處測得塔頂端的仰角為40°，向塔方向前進(jìn)在處測得塔頂端的仰角為63.4°，求紀(jì)念塔的高度(結(jié)果取整數(shù))．參考數(shù)據(jù)：．【答案】紀(jì)念塔的高度約為．【分析】根據(jù)正切的定義分別用AG表示出EG、DG，再在中列出算式求出AG的長，計(jì)算即可．【詳解】解：根據(jù)題意，．在中，，．．在中，，．．答：紀(jì)念塔的高度約為．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．9．（2020·天津紅橋·三模）如圖，垂直于地面的燈柱被一鋼纜固定，現(xiàn)需要在點(diǎn)C的上方的E處增加一條鋼纜進(jìn)行加固．已知，，求的長（結(jié)果取整數(shù)）．參考數(shù)據(jù)：．【答案】【分析】在中，根據(jù)∠CDB的正切函數(shù)得到BC=BD，在中，根據(jù)∠EDB的正切函數(shù)和余弦函數(shù)得到，，最后根據(jù)，得到，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，．在中，，∴．在中，，，∴，．∵，∴．∴．∴．答：的長度約為．【點(diǎn)睛】此題主要考查解直角三角形，熟練掌握三角函數(shù)的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．10．（2020·河南·九年級(jí)統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）周日，媽媽帶小嵐到商場的攀巖墻處玩耍如圖，是一攀巖墻，小嵐從攀巖墻底部處向上攀爬，媽媽站在距離攀巖墻的處，當(dāng)他到達(dá)處時(shí)，媽媽看向他的仰角為，當(dāng)他到達(dá)墻頂處時(shí)，媽媽看向他的仰角為(小嵐媽媽的身高均忽略不計(jì))，此時(shí)攀巖教練開始釋放手中的繩子，使小嵐以的速度下落到處，再減速下落到地面，則他從處下落到處需要多長時(shí)間?(結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：)

【答案】小嵐從處下落到處需要【分析】在中，利用三角函數(shù)解直角三角形可得CD；在中，利用三角函數(shù)解直角三角形可得AD，進(jìn)而得到AC的長度，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意可知，在中，即∴（m）在中，即答：小嵐從處下落到處需要．【點(diǎn)睛】此題主要考查利用三角形函數(shù)解直角三角形，熟練掌握銳角的三角函數(shù)概念是解題關(guān)鍵．11．（2021秋·山東濟(jì)寧·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，某輪船在海上向正東方向航行，在點(diǎn)處測得小島在北偏東方向，之后輪船繼續(xù)向正東方向行駛到達(dá)處，這時(shí)小島在船的北偏東方向海里處．（1）求輪船從處到處的航速．（2）如果輪船按原速繼續(xù)向正東方向航行，再經(jīng)過多少時(shí)間輪船才恰好位于小島的東南方向？【答案】（1）海里/小時(shí)．（2）小時(shí)．【分析】（1）過作，利用特殊三角函數(shù)解直角三角形，分別求得OC、BC、AC的長，進(jìn)而可求得AB的長，再根據(jù)速度=路程÷時(shí)間解答即可；（2）如圖，根據(jù)題意可判斷△OCD為等腰直角三角形，則CD=OC，進(jìn)而可得BD的長，再由時(shí)間=路程除速度求解即可．【詳解】（1）過作，由題意得海里，，，（海里），（海里），（海里），（海里），速度：（海里/小時(shí)）．（2）如圖，由題意，，點(diǎn)在的東南方向，∴△OCD為等腰直角三角形，∴（海里），（海里），（小時(shí)），經(jīng)過小時(shí)后到達(dá)．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，特殊角的三角函數(shù)值，理解方位角的概念，熟練運(yùn)用三角函數(shù)解直角三角形是解答的關(guān)鍵．12．（2020·河南·模擬預(yù)測）二七紀(jì)念塔位于鄭州市二七廣場，是獨(dú)特的仿古，它是為紀(jì)念京漢鐵路工人大罷工而修建的紀(jì)念性建筑物．學(xué)完三角函數(shù)知識(shí)后，某校”數(shù)學(xué)社團(tuán)”的劉明和王華決定用自己學(xué)到的知識(shí)測量二七紀(jì)念塔的高度．如圖，CD是高為1米的測角儀，在D處測得塔頂端A的仰角為，向塔方向前進(jìn)38米在E處測得塔頂端A的仰角為，求二七紀(jì)念塔AB的高度（精確到1米，參考數(shù)據(jù)）．【答案】二七紀(jì)念塔AB的高度約為62米【分析】由題意根據(jù)正切的定義分別用AG表示出，進(jìn)而根據(jù)列出算式求出AG的長，計(jì)算即可．【詳解】解：在中，，，在中，，，，，，．答：二七紀(jì)念塔AB的高度約為62米．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，熟練掌握仰角俯角的概念以及熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．13．（2020春·內(nèi)蒙古通遼·九年級(jí)?？计谀┠橙嗽贏處測得大廈的仰角∠BAC為30°，∠ACB＝90°沿AC方向行40米至D處，測得仰角∠BDC為45°，求此大廈的高度BC．（）【答案】54米【分析】先設(shè)BC＝x米；根據(jù)題意分析圖形：本題涉及到兩個(gè)直角三角形Rt△ABC和Rt△BCD，解三角形可求得AC、CD的數(shù)值，再根據(jù)AD＝AC?CD＝40，進(jìn)而可求出答案．【詳解】解：設(shè)BC＝x米，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∵∠BAC＝30°，∠BDC＝45°，AD＝40米∴CD＝x，AC＝＝x，∵AD＝AC?CD＝40，∴x?x＝40，∴x＝20（＋1）≈54米．答：該大廈的高度是54米．【點(diǎn)睛】本題考查俯角、仰角的定義，要求學(xué)生能借助俯角、仰角構(gòu)造直角三角形并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形．14．（2023春·重慶渝北·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，某大樓的頂部豎有一塊宣傳牌，小明在斜坡的坡腳處測得宣傳牌底部的仰角為，沿斜坡向上走到處測得宣傳牌頂部的仰角為，已知斜坡的坡度，米，米，求宣傳牌的高度．（測角器的高度忽略不計(jì)，參考數(shù)據(jù)：，，【答案】宣傳牌的高度為2米．【分析】過E分別作CD、AC的垂線，設(shè)垂足為F、C，則CF=EG，CG=EF，然后在、、中解直角三角形即可．【詳解】解：過分別作、的垂線，設(shè)垂足為、，則，，在中，斜坡的坡度，米，設(shè)米，米，，，米，米，在中，，米，（米），在中，（米），（米）．答：宣傳牌的高度為2米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角、俯角問題，正確作出輔助線、構(gòu)建直角三角形，將實(shí)際問題化歸為解直角三角形的問題是解答此類題的關(guān)鍵．15．（2023春·湖南永州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，學(xué)?？萍夹〗M計(jì)劃測量一處電信塔的高度，小明在A處用儀器測得到塔尖D的仰角∠DAC＝15°，向塔正前方水平直行260m到達(dá)點(diǎn)B，測得到塔尖的仰角∠DBC＝30°，若小明的眼睛離地面1.6m，你能計(jì)算出塔的高度DE嗎？寫出計(jì)算過程．【答案】出塔的高度DE為131.6m．過程見解析．【分析】先根據(jù)等腰三角形的判定可得，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)線段的和差即可得．【詳解】解：由題意得：，，，，，在中，，，即塔的高度DE為．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定、三角形的外角性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，線段和差等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握等腰三角形的判定是解題關(guān)鍵．16．（2022·河南周口·周口市第一初級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測）（如圖所示，城關(guān)幼兒園為加強(qiáng)安全管理，決定將園內(nèi)的滑滑板的傾斜角由45°降為30°，已知原滑滑板AB的長為4米，點(diǎn)D、B、C在同一水平地面上．（1）改善后滑滑板會(huì)加長多少米？（2）若滑滑板的正前方能有3米長的空地就能保證安全，原滑滑板的前方有6米長的空地，像這樣改造是否可行？請(qǐng)說明理由．（參考數(shù)據(jù)：，以上結(jié)果均保留到小數(shù)點(diǎn)后兩位）【答案】（1）1.66米；（2）這樣改造能行．【分析】（1）滑滑板增加的長度實(shí)際是（AD﹣AB）的長．在Rt△ABC中，通過解直角三角形求出AC的長，進(jìn)而在Rt△ACD中求出AD的長得解；（2）分別在Rt△ABC、Rt△ACD中求出BC、CD的長，即可求出BD的長，進(jìn)而可求出改造后滑滑板前方的空地長．若此距離大于等于3米則這樣改造安全，反之則不安全．【詳解】（1）在Rt△ABC中，，∴，Rt△ACD中，，，（米）答：改善后滑滑板會(huì)加長1.66米；（2）Rt△ACD中，，，∵．∴這樣改造能行．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，在直角三角形中正確利用三角函數(shù)，特別是特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．17．（2015·上?！そy(tǒng)考中考真題）（本題滿分10分，第（1）小題滿分4分，第（2）小題滿分6分）如圖，表示一段筆直的高架道路，線段表示高架道路旁的一排居民樓．已知點(diǎn)到的距離為米，的延長線與相交于點(diǎn)，且，假設(shè)汽車在高速道路上行駛時(shí)，周圍米以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響．（1）過點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)．如果汽車沿著從到的方向在上行駛，當(dāng)汽車到達(dá)點(diǎn)處時(shí)，噪音開始影響這一排的居民樓，那么此時(shí)汽車與點(diǎn)的距離為多少米？（2）降低噪音的一種方法是在高架道路旁安裝隔音板．當(dāng)汽車行駛到點(diǎn)時(shí)，它與這一排居民樓的距離為米，那么對(duì)于這一排居民樓，高架道路旁安裝的隔音板至少需要多少米長？（精確到米）（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）米；（2）米【分析】（1）聯(lián)結(jié)，直接在中利用勾股定理解出即可；（2）從題中可得到的信息是，因此需要安裝的隔音板至少要包含這一段．第（1）小題中已解得，故需要求出，在和中用兩次的三角函數(shù)，即可解得和，代入計(jì)算即可．【詳解】解：（1）連結(jié)，由題意得，，在中，；（2）由題意知，隔音板至少要從點(diǎn)裝到點(diǎn)．在中，，∴，在中，，∴．∴．答：（1）此時(shí)汽車與點(diǎn)的距離為米；（2）高架道路旁安裝的隔音板至少需要米．18．（2021·福建廈門·廈門一中?？家荒＃┤鐖D，某貨船以24海里/時(shí)的速度將一批貨物從處運(yùn)往正東方向的處，在點(diǎn)處測得某島在北偏東60°的方向上.該貨船航行30分鐘后到達(dá)處，此時(shí)再測得該島在北偏東30°的方向上，（1）求的度數(shù)；（2）已知在島周圍9海里的區(qū)域內(nèi)有暗礁.若繼續(xù)向正東方向航行，該貨船有無觸礁危險(xiǎn)？試說明理由.（參考：、）【答案】（1）30°；（2）貨船繼續(xù)向正東方向行駛無觸礁危險(xiǎn).【分析】（1）在△ABP中，求出∠CAB、∠CBA的度數(shù)即可解決問題；（2）作CD⊥AB于D．求出CD的值即可判定.【詳解】（1）∵，，∴.（2）過點(diǎn)作于，由題意，，，∴，∴,∴（海里）,在中，,∴,∵.所以貨船繼續(xù)向正東方向行駛無觸礁危險(xiǎn).【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，正確根據(jù)題意畫出圖形、準(zhǔn)確標(biāo)注方向角、熟練掌握銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．19．（2023春·江蘇南京·九年級(jí)南京市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖1是某商場從一樓到二樓的自動(dòng)扶梯，圖2是側(cè)面示意圖，MN是二樓樓頂，MN∥PQ，點(diǎn)C在MN上，且位于自動(dòng)扶梯頂端B點(diǎn)的正上方，BC⊥MN．測得AB＝10米，在自動(dòng)扶梯底端A處測得點(diǎn)C的仰角為50°，點(diǎn)B的仰角為30°，求二樓的層高BC（結(jié)果保留根號(hào)）（參考數(shù)據(jù)：sin50°＝0.77，cos50°＝0.64，tan50°＝1.20）【答案】米【分析】延長CB交PQ于點(diǎn)D，在Rt△ADB中，求出BD，AD的長，然后在直角△CDA中利用三角函數(shù)即可求得CD的長，則BC即可得到．【詳解】解：延長CB交PQ于點(diǎn)D．∵M(jìn)N∥PQ，BC⊥MN，∴BC⊥PQ．在Rt△ABD中，∵AB＝10米，∠BAD＝30°，∴（米），（米），在Rt△CDA中，∠CDA＝90°，∠CAD＝50°，∴（米），∴（米）．【點(diǎn)睛】本題考查仰角和坡度的定義，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．20．（2023·廣東·模擬預(yù)測）某校初三課外活動(dòng)小組，在測量樹高的一次活動(dòng)中，如圖所示，測得樹底部中心到斜坡底的水平距離為.在陽光下某一時(shí)刻測得米的標(biāo)桿影長為，樹影落在斜坡上的部分.已知斜坡的坡比i=1：，求樹高.(結(jié)果精確到米，參考數(shù)據(jù)：，，，≈1.73)【答案】AB≈16.1（m）.【分析】延長與的延長線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于，根據(jù)坡比的定義得到，tan∠DCH=，則∠DCH=30°，由可得，DH=1.6m，CH=DH=1.6m，再根據(jù)三角形相似的性質(zhì)得到，，最后計(jì)算AB的長度即可解答.【詳解】解：如圖所示，延長與