強(qiáng)度計算：數(shù)值計算方法之譜方法與高精度數(shù)值積分技術(shù)

強(qiáng)度計算：數(shù)值計算方法之譜方法與高精度數(shù)值積分技術(shù)1強(qiáng)度計算.數(shù)值計算方法：譜方法：緒論1.1強(qiáng)度計算概述在工程領(lǐng)域，強(qiáng)度計算是評估結(jié)構(gòu)或材料在各種載荷作用下抵抗破壞能力的關(guān)鍵步驟。它涉及力學(xué)、材料科學(xué)和數(shù)學(xué)的綜合應(yīng)用，以確保設(shè)計的安全性和可靠性。強(qiáng)度計算不僅限于靜態(tài)載荷，還包括動態(tài)載荷、溫度變化、腐蝕等因素的影響。在實際應(yīng)用中，由于結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性和載荷的不確定性，解析解往往難以獲得，因此數(shù)值計算方法成為解決這類問題的有力工具。1.2數(shù)值計算方法的重要性數(shù)值計算方法在強(qiáng)度計算中的重要性不言而喻。它能夠處理復(fù)雜的幾何形狀、非線性材料特性以及多物理場耦合問題，提供近似但足夠精確的解決方案。這些方法包括有限元法、邊界元法、譜方法等，它們通過將連續(xù)問題離散化，轉(zhuǎn)化為一系列可計算的代數(shù)方程組，從而實現(xiàn)對工程問題的數(shù)值求解。1.2.1代碼示例：使用Python進(jìn)行簡單的數(shù)值積分?jǐn)?shù)值積分是數(shù)值計算方法中的基礎(chǔ)技術(shù)，下面是一個使用Python實現(xiàn)的簡單數(shù)值積分示例，采用梯形法則計算函數(shù)的積分。importnumpyasnp

deftrapezoidal_rule(f,a,b,n):

"""

使用梯形法則計算函數(shù)f在區(qū)間[a,b]上的積分。

參數(shù):

f:函數(shù)，被積函數(shù)。

a:float，積分區(qū)間的下限。

b:float，積分區(qū)間的上限。

n:int，將區(qū)間[a,b]等分為n個小區(qū)間。

返回:

float，積分結(jié)果。

"""

h=(b-a)/n

x=np.linspace(a,b,n+1)

y=f(x)

integral=h*(0.5*y[0]+0.5*y[-1]+np.sum(y[1:-1]))

returnintegral

#定義被積函數(shù)

deff(x):

returnx**2

#計算積分

result=trapezoidal_rule(f,0,1,100)

print("積分結(jié)果：",result)在這個例子中，我們定義了一個梯形法則的函數(shù)trapezoidal_rule，它接受被積函數(shù)f、積分區(qū)間[a,b]和分割數(shù)n作為參數(shù)。通過將區(qū)間等分為n個小區(qū)間，計算每個小區(qū)間的梯形面積，然后求和得到整個區(qū)間的積分值。這個簡單的示例展示了數(shù)值積分的基本思想和實現(xiàn)方法。1.3譜方法簡介譜方法是一種數(shù)值計算方法，它在處理偏微分方程時表現(xiàn)出色，尤其是在處理具有光滑解的問題時。譜方法的核心思想是將解表示為一組正交函數(shù)的線性組合，這些函數(shù)通常選擇為多項式或三角函數(shù)。這種方法能夠提供比傳統(tǒng)有限元法更高的精度，尤其是在處理高階導(dǎo)數(shù)和非線性問題時。1.3.1代碼示例：使用譜方法求解一維熱傳導(dǎo)方程下面是一個使用譜方法求解一維熱傳導(dǎo)方程的Python代碼示例。我們將使用傅里葉級數(shù)展開來近似解。importnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

deffourier_series(t,L,N):

"""

使用傅里葉級數(shù)近似一維熱傳導(dǎo)方程的解。

參數(shù):

t:float，時間。

L:float，空間域的長度。

N:int，傅里葉級數(shù)的項數(shù)。

返回:

numpy.array，空間域上的解。

"""

x=np.linspace(0,L,100)

u=np.zeros_like(x)

forninrange(1,N+1):

u+=(1/n)*np.sin(n*np.pi*x/L)*np.exp(-n**2*np.pi**2*t/L**2)

returnu

#參數(shù)設(shè)置

L=1.0

N=10

t=0.1

#計算解

u=fourier_series(t,L,N)

#繪制結(jié)果

plt.plot(np.linspace(0,L,100),u)

plt.xlabel('x')

plt.ylabel('u(x)')

plt.title('一維熱傳導(dǎo)方程的譜方法解')

plt.show()在這個示例中，我們定義了一個函數(shù)fourier_series，它使用傅里葉級數(shù)來近似一維熱傳導(dǎo)方程的解。通過調(diào)整傅里葉級數(shù)的項數(shù)N，我們可以控制解的精度。這個例子展示了譜方法在求解偏微分方程時的靈活性和高效性。通過上述介紹和示例，我們不僅了解了強(qiáng)度計算的基本概念和數(shù)值計算方法的重要性，還深入探討了譜方法這一高級數(shù)值技術(shù)的原理和應(yīng)用。這些知識和技能對于解決工程中的復(fù)雜問題至關(guān)重要。2高精度數(shù)值積分技術(shù)基礎(chǔ)2.1數(shù)值積分的基本概念數(shù)值積分是數(shù)值分析中的一個重要分支，它主要研究如何通過數(shù)值方法近似計算定積分。定積分的計算在工程、物理、數(shù)學(xué)等眾多領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用，但很多時候，積分的被積函數(shù)可能非常復(fù)雜，以至于無法通過解析方法求得積分的精確值。此時，數(shù)值積分技術(shù)就顯得尤為重要，它能夠提供一種有效的方法來近似這些積分值。2.1.1定積分的定義定積分可以理解為函數(shù)在某區(qū)間上的“面積”。給定一個函數(shù)fx在區(qū)間a,b上，定積分abf2.1.2數(shù)值積分的目標(biāo)數(shù)值積分的目標(biāo)是通過有限的計算步驟，用數(shù)值方法近似計算出定積分的值。這通常涉及到將積分區(qū)間分割成若干小段，然后在每段上用某種簡單函數(shù)（如線性函數(shù)、二次函數(shù)等）來近似被積函數(shù)，最后將這些小段上的積分值相加得到整個區(qū)間的積分近似值。2.2常見的數(shù)值積分方法2.2.1辛普森法則辛普森法則是一種基于二次插值的數(shù)值積分方法。它假設(shè)在每個小段上，被積函數(shù)可以被近似為一個二次多項式。辛普森法則的公式為：a其中，h=b?an示例代碼defsimpson(f,a,b,n):

"""

使用辛普森法則計算定積分的近似值。

參數(shù):

f:被積函數(shù)

a:積分區(qū)間的左端點(diǎn)

b:積分區(qū)間的右端點(diǎn)

n:分割的段數(shù)，必須是偶數(shù)

返回:

定積分的近似值

"""

h=(b-a)/n

x=[a+i*hforiinrange(n+1)]

y=[f(xi)forxiinx]

returnh/3*(y[0]+4*sum(y[i]foriinrange(1,n,2))+2*sum(y[i]foriinrange(2,n,2))+y[n])

#被積函數(shù)

deff(x):

returnx**2

#計算定積分

result=simpson(f,0,1,100)

print("定積分的近似值為:",result)2.2.2高斯積分高斯積分是一種基于高斯點(diǎn)的數(shù)值積分方法，它通過在積分區(qū)間上選取特定的點(diǎn)（高斯點(diǎn)）和對應(yīng)的權(quán)重，來近似計算定積分。高斯積分通常比其他方法具有更高的精度，尤其是在處理光滑函數(shù)時。示例代碼importnumpyasnp

defgauss_quadrature(f,a,b,n):

"""

使用高斯積分法計算定積分的近似值。

參數(shù):

f:被積函數(shù)

a:積分區(qū)間的左端點(diǎn)

b:積分區(qū)間的右端點(diǎn)

n:高斯點(diǎn)的數(shù)量

返回:

定積分的近似值

"""

x,w=np.polynomial.legendre.leggauss(n)

x=(b-a)/2*x+(b+a)/2

w=(b-a)/2*w

returnnp.sum(w*f(x))

#被積函數(shù)

deff(x):

returnnp.exp(x)

#計算定積分

result=gauss_quadrature(f,0,1,10)

print("定積分的近似值為:",result)2.3誤差分析與控制在數(shù)值積分中，誤差主要來源于兩個方面：一是積分區(qū)間的分割，二是被積函數(shù)的近似。為了控制誤差，通常需要選擇合適的積分方法和分割策略。2.3.1誤差估計對于辛普森法則，其誤差可以由下面的公式估計：E其中，M4是被積函數(shù)fx在區(qū)間2.3.2誤差控制為了控制誤差，可以采用自適應(yīng)積分策略，即根據(jù)積分區(qū)間的函數(shù)變化情況動態(tài)調(diào)整分割的步長。例如，如果在某一小段上函數(shù)變化劇烈，可以將該段進(jìn)一步細(xì)分，以提高積分精度。示例代碼defadaptive_simpson(f,a,b,tol=1e-6):

"""

使用自適應(yīng)辛普森法則計算定積分的近似值。

參數(shù):

f:被積函數(shù)

a:積分區(qū)間的左端點(diǎn)

b:積分區(qū)間的右端點(diǎn)

tol:誤差容限

返回:

定積分的近似值

"""

h=(b-a)/2

x=[a,a+h,b]

y=[f(xi)forxiinx]

s=h/6*(y[0]+4*y[1]+y[2])

s_left=h/6*(y[0]+4*f(a+h/2)+y[1])

s_right=h/6*(y[1]+4*f(b-h/2)+y[2])

ifabs(s-s_left-s_right)<tol:

returns

else:

returnadaptive_simpson(f,a,a+h,tol/2)+adaptive_simpson(f,a+h,b,tol/2)

#被積函數(shù)

deff(x):

returnnp.sin(x)

#計算定積分

result=adaptive_simpson(f,0,np.pi)

print("定積分的近似值為:",result)通過上述方法，我們可以有效地進(jìn)行高精度的數(shù)值積分計算，這對于解決實際問題中的積分問題具有重要意義。3譜方法原理與應(yīng)用3.1譜方法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)譜方法是一種數(shù)值計算技術(shù)，它利用函數(shù)的全局表示，通常通過傅立葉級數(shù)或多項式展開，來求解偏微分方程。這種方法在處理光滑解時特別有效，因為它能夠提供比有限差分或有限元方法更高的精度。譜方法的核心在于將問題的解表示為一組正交基函數(shù)的線性組合，這些基函數(shù)可以是三角函數(shù)、多項式或其他函數(shù)，具體取決于問題的邊界條件和幾何形狀。3.1.1傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)是譜方法中常用的一種表示形式，它將周期函數(shù)表示為正弦和余弦函數(shù)的無窮級數(shù)。對于周期為2π的函數(shù)ff其中，系數(shù)an和bab3.1.2多項式展開在非周期問題中，多項式展開是更常見的選擇。Chebyshev多項式和Legendre多項式是兩種常用的基函數(shù)。這些多項式在[-1,1]區(qū)間內(nèi)正交，可以用來近似任何在該區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。例如，Chebyshev多項式的定義為：T對于一個函數(shù)fxf其中，系數(shù)cnc3.2譜方法在強(qiáng)度計算中的應(yīng)用在強(qiáng)度計算中，譜方法可以用來求解結(jié)構(gòu)力學(xué)中的偏微分方程，如彈性力學(xué)中的波動方程或熱傳導(dǎo)方程。通過將結(jié)構(gòu)的位移或溫度表示為一組正交基函數(shù)的線性組合，譜方法能夠精確地捕捉到解的細(xì)節(jié)，尤其是在高頻率或高階模態(tài)的情況下。3.2.1彈性波動方程考慮一個一維彈性桿的波動方程：ρ其中，ρ是材料的密度，E是彈性模量，ux,tu然后，通過求解cnt的時域方程，我們可以得到位移3.2.2熱傳導(dǎo)方程對于熱傳導(dǎo)方程：ρ其中，ρ是材料的密度，cp是比熱容，k是熱導(dǎo)率，Tx,3.3譜方法的優(yōu)勢與局限性3.3.1優(yōu)勢高精度：譜方法能夠提供比其他數(shù)值方法更高的精度，尤其是在解光滑時。快速收斂：對于光滑解，譜方法的收斂速度非常快，通常只需要少數(shù)幾項就能達(dá)到很高的精度。易于處理邊界條件：通過選擇適當(dāng)?shù)幕瘮?shù)，譜方法可以自然地處理各種邊界條件。3.3.2局限性對非光滑解的處理：當(dāng)解包含間斷點(diǎn)或尖銳的拐點(diǎn)時，譜方法的收斂速度會顯著降低，甚至可能出現(xiàn)吉布斯現(xiàn)象。計算成本：雖然譜方法在光滑解上收斂快，但其計算成本通常高于有限差分或有限元方法，尤其是在高維問題中。非線性問題的復(fù)雜性：對于非線性問題，譜方法的系數(shù)方程可能變得非常復(fù)雜，難以求解。3.3.3示例：使用Python求解一維熱傳導(dǎo)方程下面是一個使用Python和Chebyshev多項式求解一維熱傳導(dǎo)方程的簡單示例。我們將使用numpy和scipy庫來實現(xiàn)。importnumpyasnp

fromscipy.specialimporteval_chebyt

fromegrateimportsolve_ivp

#定義熱傳導(dǎo)方程的右端項

defheat_equation(t,c,rho,cp,k,N):

dc_dt=np.zeros(N+1)

forninrange(1,N+1):

#計算c_n(t)的導(dǎo)數(shù)

integral=lambdax:eval_chebyt(n,x)*(k*eval_chebyt(n,x))/(rho*cp)

dc_dt[n]=2/np.pi*np.trapz(integral(np.linspace(-1,1,1000)),dx=2/1000)

returndc_dt

#定義初始條件

N=10#使用前10個Chebyshev多項式

c0=np.zeros(N+1)

c0[0]=1#初始溫度為常數(shù)

#定義參數(shù)

rho=1#密度

cp=1#比熱容

k=1#熱導(dǎo)率

#求解時域方程

sol=solve_ivp(heat_equation,[0,1],c0,args=(rho,cp,k,N),t_eval=np.linspace(0,1,100))

#計算溫度分布

x=np.linspace(-1,1,1000)

T=np.sum([sol.y[n,-1]*eval_chebyt(n,x)forninrange(N+1)],axis=0)

#繪制結(jié)果

importmatplotlib.pyplotasplt

plt.plot(x,T)

plt.xlabel('x')

plt.ylabel('T(x)')

plt.title('一維熱傳導(dǎo)方程的解')

plt.show()在這個示例中，我們首先定義了熱傳導(dǎo)方程的右端項，然后使用egrate.solve_ivp函數(shù)求解了時域方程。最后，我們計算了在t=1時刻的溫度分布，并使用3.4結(jié)論譜方法是一種強(qiáng)大的數(shù)值計算技術(shù)，它在強(qiáng)度計算中有著廣泛的應(yīng)用。通過利用函數(shù)的全局表示，譜方法能夠提供高精度的解，尤其是在處理光滑解時。然而，它也存在一些局限性，如對非光滑解的處理和計算成本問題。通過選擇適當(dāng)?shù)幕瘮?shù)和優(yōu)化算法，可以克服這些局限性，使譜方法成為解決復(fù)雜強(qiáng)度計算問題的有效工具。4高精度數(shù)值積分技術(shù)在譜方法中的實現(xiàn)4.1高精度積分規(guī)則的選擇在譜方法中，高精度數(shù)值積分技術(shù)是關(guān)鍵步驟之一，用于準(zhǔn)確計算離散化后的積分表達(dá)式。選擇合適的積分規(guī)則對于提高計算精度至關(guān)重要。常見的高精度積分規(guī)則包括高斯積分、牛頓-柯特斯公式等，其中高斯積分因其高精度和穩(wěn)定性而被廣泛使用。4.1.1高斯積分高斯積分是一種基于多項式插值的數(shù)值積分方法，它通過在積分區(qū)間內(nèi)選取特定的積分點(diǎn)和對應(yīng)的權(quán)重，來近似計算積分。高斯積分的精度取決于積分點(diǎn)的數(shù)量，理論上，對于給定的多項式階數(shù)，高斯積分可以達(dá)到積分誤差為零的理想狀態(tài)。代碼示例假設(shè)我們需要在區(qū)間[-1,1]上計算函數(shù)f(x)=x^3的積分，使用高斯積分方法：importnumpyasnp

fromscipy.special.orthogonalimportp_roots

#定義被積函數(shù)

deff(x):

returnx**3

#獲取高斯積分點(diǎn)和權(quán)重

n=4#積分點(diǎn)數(shù)量

x,w=p_roots(n)

#計算積分

integral=np.sum(w*f(x))

print("高斯積分結(jié)果:",integral)4.1.2牛頓-柯特斯公式牛頓-柯特斯公式是另一種數(shù)值積分方法，它基于等間距節(jié)點(diǎn)上的插值多項式。盡管牛頓-柯特斯公式在某些情況下可能不如高斯積分穩(wěn)定，但在特定條件下，它也能提供較高的積分精度。4.2積分點(diǎn)與權(quán)重的計算在高精度數(shù)值積分中，積分點(diǎn)和權(quán)重的計算是核心部分。對于高斯積分，積分點(diǎn)和權(quán)重是通過求解正交多項式的根和對應(yīng)的積分權(quán)重來確定的。4.2.1高斯積分點(diǎn)與權(quán)重的計算代碼示例使用scipy庫中的p_roots函數(shù)來計算高斯積分點(diǎn)和權(quán)重：fromscipy.special.orthogonalimportp_roots

n=4#積分點(diǎn)數(shù)量

x,w=p_roots(n)

print("積分點(diǎn):",x)

print("權(quán)重:",w)4.3高精度數(shù)值積分在譜方法中的應(yīng)用案例在譜方法中，高精度數(shù)值積分技術(shù)被用于求解偏微分方程的離散化形式。通過在特定的積分點(diǎn)上計算函數(shù)值，并使用對應(yīng)的權(quán)重進(jìn)行加權(quán)求和，可以得到積分的近似值，從而提高譜方法的計算精度。4.3.1應(yīng)用案例：求解一維波動方程假設(shè)我們有一維波動方程：?其中c是波速。使用譜方法求解此方程時，需要在空間和時間上進(jìn)行離散化，并使用高精度數(shù)值積分技術(shù)來計算空間導(dǎo)數(shù)。代碼示例使用高斯積分來計算一維波動方程的空間導(dǎo)數(shù)：importnumpyasnp

fromscipy.special.orthogonalimportp_roots

#定義波速

c=1

#定義空間區(qū)間和積分點(diǎn)數(shù)量

x_min,x_max=-1,1

n=10

#計算高斯積分點(diǎn)和權(quán)重

x,w=p_roots(n)

#定義離散化后的空間導(dǎo)數(shù)矩陣

D=np.zeros((n,n))

foriinrange(n):

forjinrange(n):

ifi!=j:

D[i,j]=(w[i]*(x[i]-x[j]))/(x[i]**2-x[j]**2)

#定義初始條件和邊界條件

u0=np.sin(np.pi*x)

u=u0.copy()

#時間步長

dt=0.01

#時間迭代

fortinnp.arange(0,1,dt):

u_new=u+dt**2*c**2*np.dot(D,np.dot(D,u))

u=u_new.copy()

#輸出最終解

print("最終解:",u)4.3.2解釋在上述代碼中，我們首先定義了波速c，以及空間區(qū)間[-1,1]和積分點(diǎn)數(shù)量n。通過p_roots函數(shù)計算了高斯積分點(diǎn)和權(quán)重。接著，我們構(gòu)建了離散化后的空間導(dǎo)數(shù)矩陣D，該矩陣用于計算空間二階導(dǎo)數(shù)。我們定義了初始條件和邊界條件，并通過時間迭代，使用高精度數(shù)值積分技術(shù)計算了波動方程的解。通過以上案例，我們可以看到高精度數(shù)值積分技術(shù)在譜方法中的應(yīng)用，以及如何通過代碼實現(xiàn)這一技術(shù)，從而提高數(shù)值計算的精度和效率。5譜方法與高精度數(shù)值積分的結(jié)合5.1結(jié)合策略與技巧5.1.1理論基礎(chǔ)譜方法是一種基于函數(shù)的全局表示的數(shù)值計算技術(shù)，它利用正交多項式或三角函數(shù)作為基函數(shù)來逼近問題的解。高精度數(shù)值積分技術(shù)則是指在數(shù)值積分中采用更精細(xì)的步長或更復(fù)雜的積分公式，以提高積分結(jié)果的精度。將兩者結(jié)合，可以顯著提升強(qiáng)度計算中對復(fù)雜函數(shù)積分的準(zhǔn)確性和效率。5.1.2技巧詳解選擇合適的基函數(shù)：在譜方法中，基函數(shù)的選擇至關(guān)重要。對于周期性問題，使用傅里葉級數(shù)；對于非周期性問題，可以考慮使用Chebyshev多項式或Legendre多項式。利用高階積分公式：如Gauss-Legendre或Gauss-Chebyshev積分公式，這些公式在特定的基函數(shù)下可以達(dá)到高精度。自適應(yīng)積分步長：根據(jù)函數(shù)的局部變化率調(diào)整積分步長，以在保證精度的同時減少計算量。5.1.3示例代碼假設(shè)我們需要計算函數(shù)fx=eimportnumpyasnp

fromscipy.specialimportlegendre,eval_legendre

#定義函數(shù)

deff(x):

returnnp.exp(-x**2)

#Gauss-Legendre積分點(diǎn)和權(quán)重

defgauss_legendre(n):

x,w=np.polynomial.legendre.leggauss(n)

returnx,w

#高精度數(shù)值積分

defhigh_precision_integral(n):

x,w=gauss_legendre(n)

integral=np.sum(w*f(x))

returnintegral

#計算積分

n=10#使用10階Gauss-Legendre公式

integral=high_precision_integral(n)

print("積分結(jié)果:",integral)5.2提高計算效率與精度的方法5.2.1方法概述提高計算效率與精度主要通過優(yōu)化基函數(shù)的選取、改進(jìn)積分公式以及采用并行計算技術(shù)來實現(xiàn)。5.2.2優(yōu)化基函數(shù)Chebyshev多項式：Chebyshev多項式在區(qū)間?15.2.3改進(jìn)積分公式復(fù)合積分公式：將區(qū)間分割成多個子區(qū)間，分別應(yīng)用高精度積分公式，再將結(jié)果相加，可以提高整體精度。5.2.4并行計算多核并行：利用現(xiàn)代計算機(jī)的多核處理器，將積分任務(wù)分解到不同的核心上并行計算，顯著提升計算速度。5.2.5示例代碼使用復(fù)合Gauss-Legendre積分公式計算上述函數(shù)在區(qū)間?1#復(fù)合Gauss-Legendre積分

defcomposite_high_precision_integral(n,segments):

segment_width=2/segments

total_integral=0

foriinrange(segments):

a=-1+i*segment_width

b=a+segment_width

x,w=gauss_legendre(n)

x=(b-a)/2*x+(b+a)/2

w=(b-a)/2*w

total_integral+=np.sum(w*f(x))

returntotal_integral

#計算積分

segments=5#將區(qū)間分為5段

integral=composite_high_precision_integral(n,segments)

print("復(fù)合積分結(jié)果:",integral)5.3實際工程中的應(yīng)用與案例分析5.3.1應(yīng)用場景在結(jié)構(gòu)工程、流體力學(xué)、電磁學(xué)等領(lǐng)域，譜方法與高精度數(shù)值積分技術(shù)的結(jié)合被廣泛應(yīng)用于求解偏微分方程的強(qiáng)度計算問題，特別是在處理具有復(fù)雜邊界條件或非線性問題時。5.3.2案例分析考慮一個結(jié)構(gòu)工程中的問題，需要計算一個復(fù)雜形狀結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分布。該結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分布可以通過求解彈性力學(xué)的偏微分方程得到，而方程中的某些項可能涉及對復(fù)雜函數(shù)的積分。5.3.3示例代碼假設(shè)我們需要計算一個結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分布，其中應(yīng)力分布函數(shù)gx,y#定義二維函數(shù)

defg(x,y):

returnnp.sin(x)*np.cos(y)

#二維Gauss-Legendre積分

defhigh_precision_integral_2d(n):

x,w_x=gauss_legendre(n)

y,w_y=gauss_legendre(n)

X,Y=np.meshgrid(x,y)

integral=np.sum(w_x[:,None]*w_y*g(X,Y))

returnintegral

#計算積分

n=8#使用8階Gauss-Legendre公式

integral=high_precision_integral_2d(n)

print("二維積分結(jié)果:",integral)通過上述方法，我們可以有效地結(jié)