2024年浙江杭州高級中學(xué)九年級分班考數(shù)學(xué)試卷試題（含答案詳解）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁數(shù)學(xué)考生須知：1．本試卷分試題卷和答題卷兩部分．滿分120分，考試時間100分鐘．2．答題時，請在答題卷指定位置內(nèi)寫明姓名、試場號、座位號．3．所有答案都必須做在答題卷標(biāo)定的位置上，請務(wù)必注意試題序號和答題序號相對應(yīng)．4．考試過程中，不得使用計算器；5．考試結(jié)束后，上交試題卷、答題卷．一、選擇題（本大題共8個小題，每小題3分，共24分）1．如圖直線y＝mx與雙曲線y=交于點A、B，過A作AM⊥x軸于M點，連接BM，若S△AMB＝2，則k的值是()A．1 B．2 C．3 D．42．△ABC中，已知BD和CE分別是兩邊上的中線，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么ABC的面積等于（

）A．12 B．14 C．16 D．183．若：，，，則：代數(shù)式的值等于（）A． B． C． D．4．已知實數(shù)，且滿足，則的值為（

）A．23 B． C． D．5．如圖，的值等于（

）

A．360° B．450° C．540° D．720°6．將一枚六個面編號分別為1，2，3，4，5，6的質(zhì)地均勻的正方體骰子先后投擲兩次，記第一次擲出的點數(shù)為，第二次擲出的點數(shù)為，則使關(guān)于的方程組

只有正數(shù)解的概率為（

）．A． B． C． D．7．如圖，正方形內(nèi)接于，點在劣弧上，連接，交于點．若，則的值為（）

A． B． C． D．8．某校初三兩個畢業(yè)班的學(xué)生和教師共100人一起在臺階上拍畢業(yè)照留念，攝影師要將其排列成前多后少的梯形隊陣（排數(shù)），且要求各行的人數(shù)必須是連續(xù)的自然數(shù)，這樣才能使后一排的人均站在前一排兩人間的空當(dāng)處，那么，滿足上述要求排法的方案有（

）．A．1種 B．2種 C．4種 D．0種二、填空題（本大題有10個小題，每小題4分，共40分）9．在中，，若斜邊是直角邊的3倍，則的值是．10．如圖，在ΔABC中，，，，則.11．已知非零實數(shù)a、b滿足，則a+b等于．12．如圖，等腰為上一點，以為斜邊作等腰，連接，若，則的長為．13．時，函數(shù)的最小值為，則實數(shù)的值為．14．如圖，正方形ABCD的邊長為（2+1），點M、N分別是邊BC、AC上的動點，沿MN所在直線折疊正方形，使點C的對應(yīng)點C'始終落在邊AB上，若△NAC'為直角三角形，則CN的長為．15．已知實數(shù)、、、滿足，，則．16．實數(shù)，，滿足，，則的最大值是．17．已知對任意正整數(shù)都有，則．18．已知，，，，是滿足條件的五個不同的整數(shù)，若是關(guān)于的方程的整數(shù)根，則的值為．三、解答題：本大題有5小題，共56分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．19．如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像交于，兩點．(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；(2)過點作軸，垂足為，連接，求的面積．20．解關(guān)于的不等式．21．已知關(guān)于x的方程有實根．（1）求取值范圍；（2）若原方程的兩個實數(shù)根為，且，求的值．22．如圖，⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AC，BD是它的對角線，AC的中點I是△ABD的內(nèi)心．求證：（1）OI是△IBD的外接圓的切線；（2）AB+AD＝2BD．23．個正整數(shù)滿足如下條件：且中任意個不同的數(shù)的算術(shù)平均數(shù)都是正整數(shù)．求的最大值．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．B【分析】此題可根據(jù)反比例函數(shù)圖象的對稱性得到A、B兩點關(guān)于原點對稱，再由S△ABM=2S△AOM并結(jié)合反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得到k的值．【詳解】根據(jù)雙曲線的對稱性可得：OA=OB,則S△ABM＝2S△AOM＝2，S△AOM＝|k|＝1，則k＝±2．又由于反比例函數(shù)圖象位于一三象限，k＞0，所以k＝2．故選B．【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)y＝中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k|，是經(jīng)常考查的一個知識點．2．C【分析】連接ED，根據(jù)BD和CE分別是兩邊上的中線，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，先求出S四邊形BCDE=BD·CE=12．然后利用D，E是△ABC兩邊中點連線即可求得答案．【詳解】解：如圖，連接ED，則S四邊形BCDE=DB·EH+BD·CH=DB（EH+CH）=BD·CE=12．又∵CE是△ABC中線∴S△ACE=S△BCE，∵D為AC中點，∴S△ADE=S△EDC，∴S△ABC=S四邊形BCDE=×12=16．故選C．【點睛】此題考查學(xué)生對三角形面積的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是連接ED，求出S四邊形BCDE．3．D【分析】首先根據(jù)題意，聯(lián)立方程組，得出，用字母表示出、的值，然后把、的值代入代數(shù)式，計算即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵，，∴，由，可得：，把代入，可得：，又∵，∴．故選：D【點睛】本題考查了二元一次方程組的解法、分式的化簡求值，解本題的關(guān)鍵在根據(jù)已知二元一次方程組進行消元，將分式中的三個未知數(shù)化成只含一個未知數(shù)的式子表示．4．B【分析】由題意可得是方程即的兩個根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得，整理可得，，即得，，然后把所求的式子變形后整體代入即可求解.【詳解】解：∵，且滿足，∴是方程即的兩個根，∴，整理，得，，∴，，∴；故選：B.【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，二次根式的化簡求值，由題意得出，，是解題的關(guān)鍵．5．C【分析】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理和多邊形的內(nèi)角和定理，利用四邊形的內(nèi)角和得到，，從而有，，然后利用三角形的內(nèi)角和求的度數(shù)．【詳解】解：如圖，連接，

∵，，∴，即，∵，∴，故選：C．6．D【分析】列舉出所有情況，看所求的情況占總情況的多少即可．【詳解】解：當(dāng)2a-b=0時，方程組無解；當(dāng)2a-b≠0時，由a、b的實際意義為1，2，3，4，5，6易知a，b都為大于0的整數(shù)，則兩式聯(lián)合求解可得，∵使x、y都大于0則有，解得a＜1.5，b＞3或者a＞1.5，b＜3，而a，b都為1到6的整數(shù)，所以可知當(dāng)a為1時b只能是4，5，6；或者a為2，3，4，5，6時b為1或2，這兩種情況的總出現(xiàn)可能有3+10=13種；又?jǐn)S兩次骰子出現(xiàn)的基本事件共6×6=36種情況，故所求概率，故選D．【點睛】難點是：當(dāng)方程組相同未知數(shù)的系數(shù)之比相等，但與常數(shù)項之比不相等時，方程組無解，關(guān)鍵是得到使方程組為正整數(shù)的解的個數(shù)．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．7．D【分析】連接，，由得，設(shè)，根據(jù)條件求得，設(shè)，則，，即可表示出所求比值．【詳解】解：連接，．

，，設(shè)，，，．，設(shè)，則，．故選：D．【點睛】本題考查了圓周角定理及正方形性質(zhì)．熟記并靈活應(yīng)用定理是解題的關(guān)鍵．8．B【詳解】選B．理由：設(shè)最后一排有k個人，共有n排，那么從后往前各排的人數(shù)分別為，由題意可知，即．因為k，n都是正整數(shù)，且，所以，且n與的奇偶性不同．將200分解質(zhì)因數(shù)，可知或．當(dāng)時，；當(dāng)時，．因此共有兩種不同方案．9．【分析】根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)正切的概念計算即可．【詳解】解：在中，，設(shè)BC=x，則AB=3x，則故答案為：【點睛】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義以及勾股定理的應(yīng)用，在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．10．【分析】設(shè)，，則有與，聯(lián)立方程解方程組即可【詳解】依題意，設(shè)，，，①，②由得2，∴.【點睛】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)，在復(fù)雜圖形中找三角形的外角與不相鄰的兩內(nèi)角是解題關(guān)鍵11．1【分析】根據(jù)題意可得a≥3，化簡原式得，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)先求出a，b的值，從而求得a+b的值．【詳解】解∶根據(jù)題意得∶a≥3，∴，∴原等式可化為即，∴b+2=0且，∴a=3，b=﹣2，∴a+b=1．故答案為1．【點睛】本題考查了算術(shù)平方根的非負(fù)性，絕對值的非負(fù)性、偶次方都是非負(fù)數(shù)，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．12．【分析】由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠B=∠ACB=45°，BCABAC，得出AB=AC=1，由直角三角形的性質(zhì)得出ACAE=1，CE=2AE，得出AE，CE，BE=AB﹣AE=1，證出∠BCE=∠ACD，，得出△BCE∽△ACD，得出比例式，即可得出結(jié)果．【詳解】∵等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，BC，∴∠B=∠ACB=45°，BCABAC，∴AB=AC=1．∵∠ACE=30°，∴ACAE=1，CE=2AE，∴AE，CE，∴BE=AB﹣AE=1．∵△CDE是等腰直角三角形，∴∠DCE=45°，CECD，∴∠BCE=∠ACD，，∴△BCE∽△ACD，∴，∴AD．故答案為：．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)；熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，證明三角形相似是解答本題的關(guān)鍵．13．或【分析】本題考查了二次函數(shù)的最值，化頂點式，解題的關(guān)鍵是利用分類討論的思想解決問題。利用函數(shù)解析式得到對稱軸，根據(jù)題意分以下三種情況①當(dāng)時，函數(shù)在處取得最小值，②當(dāng)時，函數(shù)在處取得最小值，③當(dāng)時，函數(shù)在處取得最小值，建立等式求解，即可解題．【詳解】解：，，函數(shù)在對稱軸處取得最小值為，時，函數(shù)的最小值為，①當(dāng)時，函數(shù)在處取得最小值，有，②當(dāng)時，函數(shù)在處取得最小值，有，整理得，解得或（均不符合題意舍去），③當(dāng)時，函數(shù)在處取得最小值，有，解得．綜上所述，或．故答案為：或．14．2或【分析】由正方形的性質(zhì)可得AC=，∠CAB=45°，∠NC'A=90°和∠C'NA=90°兩種情況討論，由折疊的性質(zhì)，可求CN的長．【詳解】解：∵正方形ABCD的邊長為（+1），∴AC=×（+1）=2+，AB=+1，∠CAB=45°若∠C'NA=90°，∴∠AC'N=∠CAB=45°∴AN=NC'，∵折疊∴CN=C'N∴CN=AN=若∠NC'A=90°∴∠ANC'=∠CAB=45°∴NC'=AC'∴AN=AC'=C'N∵折疊∴CN=C'N∵AC=CN+AN=CN+CN=2+∴CN=故答案為或【點睛】本題考查了翻折變換，正方形的性質(zhì)，勾股定理，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵．15．【分析】本題考查了整式的混合運算，以及代數(shù)式求值，根據(jù)題意得到，再將變形為，將，代入上式4求解，即可解題．【詳解】解：實數(shù)、、、滿足，，，，．故答案為：．16．【分析】把x，y看成是一元二次方程的兩個實數(shù)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系列出一元二次方程，然后由判別式得到z的取值范圍，求出z的最大值．【詳解】解：∵x＋y＝5?z，xy＝3?z(x＋y)＝3?z(5?z)＝z2?5z＋3，∴x、y是關(guān)于t的一元二次方程t2?(5?z)t＋z2?5z＋3＝0的兩實根．∵△＝(5?z)2?4(z2?5z＋3)≥0，即3z2?10z?13≤0，(3z?13)(z＋1)≤0．∴?1≤z≤，當(dāng)x＝y(tǒng)＝時，z＝．故z的最大值為．故答案為：．【點睛】本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系列出一元二次方程，然后由判別式求出z的取值范圍，確定z的最大值．17．【詳解】，則，所以原式．故答案為：．18．【分析】本題考查的是方程的整數(shù)根問題，根據(jù)已知條件可知，，，，是五個不同的整數(shù)，再把分解成五個整數(shù)積的形式，再把，，，，五個整數(shù)相加可得它們的和，最后把代入計算即可求解，根據(jù)題意把分解成幾個整數(shù)積的形式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵是關(guān)于的方程的整數(shù)根，∴，∵，且，，，，是五個不同的整數(shù)，∴，，，，也是五個不同的整數(shù)，∵，∴，即，∵，∴，∴，故答案為：10．19．(1)；(2)5【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式，三角形的面積的應(yīng)用；（1）把的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式，求出其解析式，把的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式，求出的坐標(biāo)，把、的坐標(biāo)代入一次函數(shù)的解析式，得出方程組，求出方程組的解即可；（2）求出，邊上的高是，代入三角形的面積公式即可．【詳解】（1）解：∵點）在的圖像上，∴，∴反比例函數(shù)的解析式為：，∴∴∵點，在的圖像上，∴，∴，∴一次函數(shù)的解析式為：；（2）以為底，則邊上的高為，∴，20．當(dāng)時，或，當(dāng)時，．【分析】本題考查了一元一次不等式的運用，解一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵在于利用分類討論的思想解決問題．根據(jù)不等式得到，利用同號為正推出或，再根據(jù)當(dāng)時，以及當(dāng)時，求解不等式組，即可解題．【詳解】解：或，當(dāng)時，解得，或解得；當(dāng)時，無解，或解得；綜上所述，當(dāng)時，或，當(dāng)時，．21．（1）；（2）．【分析】(1)設(shè)，分兩種情況討論,①方程為一元一次方程,②方程為二元一次方程,那么有,根據(jù)△≥0即可求解;(2)設(shè)，，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求解.【詳解】設(shè)，則原方程化為：當(dāng)方程（2）為一次方程時，即a

2-1=0，a=±1．若a=1，方程（2）的解為，原方程的解為滿足條件；若a=－1，方程（2）的解為，原方程的解為滿足條件；∴a=±1．當(dāng)方程為二次方程時，a

2-1≠0，則a≠±1，要使方程有解，則，解得：，此時原方程沒有增根，∴取值范圍是．（2）設(shè)，，則則是方程（a

2-1）y

2-（2a+7）y+1=0的兩個實數(shù)根，由韋達(dá)定理得：∵，∴，解得：∴．【點睛】題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式及分類討論的數(shù)學(xué)思想，關(guān)鍵是掌握根與系數(shù)之間的關(guān)系進行解題.22．(1)證明見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)和同弧上圓周角的性質(zhì)