6.2.1導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版選擇性

6.2.1導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性第六章人教B版

數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.理解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系.2.能利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性.3.會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.4.能根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,求參數(shù)的取值范圍.5.通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù),提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

2.

一般地,(1)如果在區(qū)間(a,b)內(nèi),f'(x)>0,則曲線y=f(x)在區(qū)間(a,b)對(duì)應(yīng)的那一段上每一點(diǎn)處切線的斜率都大于0,曲線呈上升狀態(tài),因此f(x)在(a,b)上是增函數(shù),如圖所示;(2)如果在區(qū)間(a,b)內(nèi),f'(x)<0,則曲線y=f(x)在區(qū)間(a,b)對(duì)應(yīng)的那一段上每一點(diǎn)處切線的斜率都小于0,曲線呈下降狀態(tài),因此f(x)在(a,b)上是減函數(shù),如圖所示.3.若函數(shù)y=f(x)是定義在R上的增函數(shù),則f'(x)>0是否一定成立?提示:不一定.如函數(shù)f(x)=x3在R上為增函數(shù),但當(dāng)x=0時(shí),f'(0)=0.4.設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo).(1)若f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增,則f'(x)≥0在區(qū)間(a,b)內(nèi)恒成立,且f'(x)在區(qū)間(a,b)的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0;(2)若f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減,則f'(x)≤0在區(qū)間(a,b)內(nèi)恒成立,且f'(x)在區(qū)間(a,b)的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0.5.已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,則導(dǎo)函數(shù)f'(x)的圖象可能為(

)答案:C【思考辨析】

判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在它后面的括號(hào)里畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間(x1,x2)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)比在區(qū)間(x2,x3)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)大,則函數(shù)f(x)在區(qū)間(x1,x2)內(nèi)比在區(qū)間(x2,x3)內(nèi)增長(zhǎng)得快.(×

)(2)若f(x)≥0在區(qū)間(a,b)內(nèi)恒成立,則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增.(×)合作探究釋疑解惑探究一導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系【例1】

已知函數(shù)y=f(x)在定義域

內(nèi)可導(dǎo),其圖象如圖所示.若y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)為y=f'(x),則不等式f'(x)<0的解集為

.

延伸探究1.若例1的條件不變,試求不等式f'(x)>0的解集.2.若例1的條件不變,試求不等式xf'(x)>0的解集.在研究一個(gè)函數(shù)的圖象與其導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系時(shí),要注意抓住各自的關(guān)鍵要素.對(duì)于原函數(shù),要重點(diǎn)考察其圖象在哪個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增,在哪個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減;而對(duì)于導(dǎo)函數(shù),則應(yīng)考察其函數(shù)值在哪個(gè)區(qū)間上大于零,在哪個(gè)區(qū)間上小于零,并考察這些區(qū)間與原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是否一致.反思感悟【變式訓(xùn)練1】

已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論正確的是(

)A.f(x)在區(qū)間(-3,1)內(nèi)單調(diào)遞增B.f(x)在區(qū)間(1,3)內(nèi)單調(diào)遞減C.f(x)在區(qū)間(2,4)內(nèi)單調(diào)遞減D.f(x)在區(qū)間(3,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增解析:由f(x)的單調(diào)性與f'(x)的正負(fù)之間的關(guān)系進(jìn)行判斷,當(dāng)x∈(2,4)時(shí),f'(x)<0,故f(x)在區(qū)間(2,4)內(nèi)單調(diào)遞減,其他判斷均錯(cuò).故選C.答案:C探究二求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例2】

求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(1)f(x)=x3-x;(2)f(x)=3x2-2lnx.1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的基本步驟:(1)確定函數(shù)f(x)的定義域;(2)求導(dǎo)數(shù)f'(x);(3)由f'(x)>0(或f'(x)<0),解出相應(yīng)的x的取值范圍;(4)結(jié)合定義域?qū)懗鰡握{(diào)區(qū)間.2.當(dāng)f(x)不含參數(shù)時(shí),可通過(guò)解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0)直接得到單調(diào)遞增(或遞減)區(qū)間.當(dāng)f(x)含參數(shù)時(shí),一般要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論,從而得到f(x)的單調(diào)區(qū)間.3.當(dāng)求得的單調(diào)區(qū)間不止一個(gè)時(shí),單調(diào)區(qū)間之間要用“,”隔開(kāi),或用“和”相連.反思感悟解:f'(x)=-ax2+2x.①當(dāng)a=0時(shí),f(x)=x2+1,其單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,0),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞).②當(dāng)a<0時(shí),令f'(x)>0,得(-ax+2)x>0,探究三已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍(1)若函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,求a的取值范圍;(2)若函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)在區(qū)間[1,4]上單調(diào)遞減,求a的取值范圍.因?yàn)閔(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間,所以當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),先由函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減)推出f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在區(qū)間(a,b)內(nèi)恒成立,且在區(qū)間(a,b)任何子區(qū)間不恒為零,再利用分離參數(shù)或函數(shù)性質(zhì)求解恒成立問(wèn)題,對(duì)等號(hào)的取舍可單獨(dú)驗(yàn)證說(shuō)明.反思感悟【變式訓(xùn)練3】

若函數(shù)f(x)=ax3-x2+x-5(a∈R)在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,求a的取值范圍.解:f'(x)=3ax2-2x+1.∵f(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增,∴f'(x)≥0在R內(nèi)恒成立,即3ax2-2x+1≥0在R內(nèi)恒成立.【易錯(cuò)辨析】

求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)忽略定義域而致誤

令f'(x)>0,得x>e;令f'(x)<0,得x<e.故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(e,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,e).以上解答過(guò)程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:以上錯(cuò)解中忽略了函數(shù)的定義域,事實(shí)上函數(shù)的定義域?yàn)?0,1)∪(1,+∞).正解:由已知得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,1)∪(1,+∞),f'(x)=.令f'(x)>0,得x>e;令f'(x)<0,得0<x<1或1<x<e.故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(e,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),(1,e).在解決函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題時(shí)應(yīng)優(yōu)先考慮定義域,不考慮定義域討論單調(diào)性是沒(méi)有意義的.防范措施由f'(x)>0,得x>0;由f'(x)<0,得-1<x<0.故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,0).隨堂練習(xí)1.已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象如圖所示,則下列關(guān)于函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性的說(shuō)法中,正確的是(

)A.在區(qū)間(x0,x1)內(nèi)f(x)是常數(shù)函數(shù)B.在區(qū)間(-∞,x2)內(nèi)f(x)不是單調(diào)函數(shù)C.在區(qū)間(x2,x3)內(nèi)f(x)是常數(shù)函數(shù)D.在區(qū)間(x2,+∞)內(nèi)f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)答案:C2.函數(shù)y=x3+x的單調(diào)遞增區(qū)間為(

)A.(0,+∞) B.(-∞,1)C.(1,+∞) D.(-∞,+∞)解析:因?yàn)閥'=3x2+1>0恒成立,所以函數(shù)y=x3+x在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.故選D.答案:D3.若函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx+d的單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,3),則b+c=

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解析:f'(x)=3x2+2bx+c,由題意知,-1,3是f'(x)=0的兩個(gè)根,∴b=-3,c=-9,∴b+c=-12.答案:-124.已知函數(shù)f(x)=x3-ax2-3