廈門市高中畢業(yè)班第一次質(zhì)量檢查數(shù)學試題(理)含答案高中數(shù)學教學反思學案說課稿

廈門市2017屆高中畢業(yè)班第一次質(zhì)量檢查

數(shù)學（理科）試題

本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.

第I卷（選擇題共60分）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的.

1.已知集合4={./一5x-64()},8={X|T>O),則AB等于

A.[-L6JB.(1,6]C.[-1,4-00)D.[2,3]

.已知復(fù)數(shù)

2z="（其中，為虛數(shù)單位）,若Z為純虛數(shù)，則實數(shù)a等于

A.-1B.0C.1D.V2

3.AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若A=45。，a=垃,b=6則5

等于

A.30°B.60°C.30'或150。D.60?；?20。

x>1

4.若實數(shù)x,y滿足條件<x-2y+320,則z二二一的最小值為

x+1

y>x

113

A.-B.—C.-D.1

324

5.已知平面a_1_平面尸，a\。=1,直線mua,直線〃u/?,且機_L〃，有以下四個結(jié)

論：

①若〃〃/,則m_!_/?②若根J_/?,則n/H

③和〃J_a同時成立④根_1_尸和〃_La中至少有一個成立

其中正確的是

A.①③B.①④C.②③D.②④

6.已知附A45C,點。為斜邊BC的中點,|AB|=6>/3,|AC|=6,AE=^ED,則

AE?EB等于

A.-14B.-9C.9D.14

y?=4x的焦點為/，點A(3,2),P為拋物線上一點，且P不在直線版上，則A/%尸周長

的最小值為

A.4B.5C.4+2&D.5+5/5

8.某校高三年級有男生220人，學籍編號\,2,…，220；女生380人,學籍編號221,222,…，

600.為了解學生學習的心理狀態(tài)，按學籍編號采用系統(tǒng)抽樣的方法從這600名學生中抽取10

人進行問卷調(diào)查(第一組采用簡單隨機抽樣，抽到的號碼為10),然后再從這10位學生中

隨機抽取3人座談，則3人中既有男生又有女生的概率是

1374

A.-B.—C.—D.一

510105

9.二分法是求方程近似解的一種方法，其原理是“一分為二，無限逼近”.執(zhí)行如圖所示的程

序框圖，若輸入X]=Lx2=2,J=0.1,則輸出〃的值為

A.2B.3C.4D.5

10.已知定義在(0,+8)上連續(xù)可導(dǎo)的函數(shù)/(X)滿足4'(x)+/(x)=尤，且/⑴=1，則

A./(X)是增函數(shù)Bj(x)是減函數(shù)C.7(X)有最大值1D./(X)有最小值1

11.已知雙曲線4=l（a/>0）,過x軸上點P的直線/與雙曲線的右支交于M,N兩

a~b~

點（M在第一象限），直線交雙曲線左支于點。（。為坐標原點），連接QN.若

尸0=60。，ZMNQ=30。,則該雙曲線的離心率為

A.>/2B.&C.2D.4

12.已知P,。為動直線》="7（0<加<二-）與丁=0皿%和^=85%在區(qū)間［0,］］上的左，

右兩個交點，P,。在工軸上的投影分別為S,R.當矩形PQRS面積取得最大值時，點P

的橫坐標為與,則

7T71717171

A.<一B.x=一C._v廝<一D.%>—

°8n°88°6

第n卷（非選擇題共90分）

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（2x+j=）’的展開式中，五的系數(shù)為

14.化簡：—------"0=___________

cos80°sin80"

15.某三棱錐的三視圖如圖所示，則其外接球的表面積為

16.若實數(shù)a,b,c滿足（a-2b-1尸+（a-c-Inc）?=0,則b一c|

的最小值是

三'解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明'證明過程或演算步驟.

17.（本小題滿分12分）

己知數(shù)列{%},滿足q=1,an+l=〃e'*.

（I）求證：數(shù)列J」-1為等差數(shù)列；

（II）設(shè)（“二一1-----―+―------—++―1---------1—，求

aa

a2a3%%%%2?-x2??2??2?+1

18.(本小題滿分12分)

為了響應(yīng)廈門市政府“低碳生活，綠色出行”的號召，思明區(qū)委文明辦率先全市發(fā)起“少開

一天車，呵護廈門藍”綠色出行活動，“從今天開始，從我做起，力爭每周至少一天不開車,

上下班或公務(wù)活動帶頭選擇步行、騎車或乘坐公交車，鼓勵拼車……”鏗鏘有力的話語，傳

遞了低碳生活、綠色出行的理念。某機構(gòu)隨機調(diào)查了本市500名成年市民某月的騎車次數(shù)，

統(tǒng)計如下：

年齡7410,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60]

18歲至30歲61420324048

31歲至44歲4620284042

45歲至59歲221833371911

60歲及以上1513101255

聯(lián)合國世界衛(wèi)生組織于2013年確定新的年齡分段：44歲及以下為青年人，45歲至59

歲為中年人，60歲及以上為老年人.記本市一個年滿18歲的青年人月騎車的平均次數(shù)為4?

以樣本估計總體.

(I)估計〃的值；

(0)在本市老年人或中年人中隨機訪問3位，其中月騎車次數(shù)超過〃的人數(shù)記為求。

的分布列與數(shù)學期望.

19.(本小題滿分12分)

在如圖所示的六面體中，面ABCD是邊長為2的正方形，面是直角梯形,

ZFAB=90,AFUBE,BE=2AF=4.

(I)求證：AC//平面。所'；

(II)若二面角E—A3—。為60，求直線CE和平面DEF所成角的正弦值.

20.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(%)=lnx-^x+l(ZreR).

(I)討論函數(shù)/(x)的零點個數(shù);

(II)當左=1時，求證：2/(x)<2-x—恒成立.

21.(本小題滿分12分)

22

已知橢圓C:?+￡=l（半<b<2）,動圓P：U-x0）+（y-y0）=^（圓心P為橢

圓C上異于左右頂點的任意一點），過原點。作兩條射線與圓P相切，分別交橢圓于M,N

兩點，且切線長的最小值為亞.

3

（I）求橢圓C的方程；

（II）求證：AMON的面積為定值.

22.（本小題滿分10分）選修44：坐標系與參數(shù)方程

X=2+V7cosa,

在直角坐標系xOy中，曲線G：\（a為參數(shù)）.以。為極點，X軸的

y-yJ7sina.

正半軸為極軸建立極坐標系，曲線G的極坐標方程為夕=8cos。，直線/的極坐標方程為

TT

『（PGR）.

（I）求曲線G的極坐標方程與直線/的直角坐標方程；

（II）若直線/與C，。2在第一象限分別交于A，8兩點，P為G上的動點，

求APAB面積的最大值.

23.（本小題滿分10分）選修45：不等式選講

已知函數(shù)/（%）=上一1|+,-時（m>1）,若/（x）>4的解集是｛x|x<0或%>4卜

（I）求”?的值；

（II）若關(guān)于x的不等式/,。）<。2+。-4有解，求實數(shù)a的取值范圍.

廈門市2017屆高中畢業(yè)班第一次質(zhì)量檢查

數(shù)學（理科）試題答案

選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的.

16BCDBBD712CDCDAA

12.解析：由題意知，P與。關(guān)于直線x=5對稱，設(shè)P(x,sinx),則『I

一x,sinx),

2[

71兀尸￡產(chǎn)

/.S(x)=(2x)sinx(0vxv—),|2!

71?Ji

S(x)=-2sinx+(---2x)cosx,S(x)=Tcosx-(----2x)sinx，

22

0<x<—,:.S(x)<Of/.S(x)在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞減，且S(0)=2>0,

442

S'(-)--V2<0,.力。)在區(qū)間(0,均存在唯一零點，即為天.

令5(%)=0得：2sinxo=g-2x())cosxo,即tan%-

由不等式tanx<)>/(0</得：(■—%>/，解得：x0<^->故選A.

命題意圖：考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)、零點、不等式等，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化

與化歸思想，考查邏輯推理能力.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

32Tt

13.4014.415.——16.1

3

15.解析：由三視圖可得三棱錐A-8C。的直觀圖如圖所示，取BC的中點E,連接他,

設(shè)。為A鉆。的外心，R為三棱錐的外接球的半徑，則。在線段他上,

因為。。2=。爐+。爐，即R2=(#—/?>+(及f,解得:

32萬

所以,

"V

。=2Z?+1,

16.解析：(法一)由(4一26-1)2+(。一°一11^尸=0得：

a=c+\nc.

在坐標系中考察函數(shù)/(x)=2x+l與g*)=x+lnx的圖象，

所以，k一c|的最小值等價于直線與函數(shù)/(x)=2x+l,g(x)=x+ln;r交點橫坐標之

間距離的最小值.設(shè)直線4：y=2x+m與g(x)相切于點3(天,為)，則g(%)=2,解得:

所以，A(0,l),8(l,l),故0—dmin=L

(法二)由(a-2/?-l)2+(a—c—lnc')2=0得:

=c4-Inc,

c+Inc-1\nc-c-l，令/(c)Jnc；T,則f(c)=1d—1)，

22c

當f(c)=0時，c=l；當f(c)>0時.，0<c<l；當f(c)<0時，c>l；

所以，/(c)在(0,1]單調(diào)遞增，在[l,+o。)單調(diào)遞減，故/?4川)=-1=|/(可21,

所以，ACLT/(C)L?=L

三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.本題以遞推數(shù)列為背景考查等差數(shù)列的判定以及利用基本量的求和運算，(1)重點考

查利用數(shù)列遞推形式構(gòu)造等差或等比數(shù)列以及等差數(shù)列的判定方法；(II)主要考查數(shù)列求

和應(yīng)首先探尋通項公式，通過分析通項公式的特征發(fā)現(xiàn)求和的方法.滿分12分.

112

廠.-------------——

"-43

112

，數(shù)列《一是首項為1，公差為一的等差數(shù)列..........................5分

[a?i3

3a

法二：由----W得

2%+3

112?+31

--------=~........................................................3分

%a“3a,,an

,12、12

=(—+T)---=~...................................................4分

a?3a“3

1]2

???數(shù)列一是首項為1，公差為一的等差數(shù)列..........................5分

,1111、1

(n)解：設(shè)，=-------------：—=(z-----------)——.................7分

a2n-\a2n”2〃-1。2”+1

由(I)得，數(shù)列,'為公差為2的等差數(shù)列

IAJ3

----1------1--=---4

a2n-la2n+i3

,11、141

即久=(z----------)——.........................................8分

???也｝是首項4=-當，公差為的等差數(shù)列......................io分

,20〃(〃一1),16、

=4+仇++。〃=——n+--—x(--)

4

=—(2〃9?+3n)....................................................................................................12分

9

18.本小題主要考查對頻數(shù)分布表的理解與應(yīng)用，古典概型、隨機變量的數(shù)學期望等基礎(chǔ)知

識，考查運算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力、應(yīng)用意識，考查必然與或然思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.滿

分12分.

解：（I）由已知可得下表

[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60]合計

年齡

青年人102040608090300

中年人221833371911140

老年人151310125560

本市一個青年人月騎車的平均次數(shù)：

u10?20CU40CU6080?9012000,c

〃=5x------F15x-------F25x--------F35x------1-45x-------F55x........----------=40.

300300300300300300300

5分

（II）本市老年人或中年人中月騎車時間超過40次的概率為=L.……7分

140+605

1（

g=0,1,2,3,4?6（3,一），故P（g=A）=C；---，女=0,1,2,3....................9分

5v5Jk5>

所以J的分布列如下:

0123

6448121

P

125125125V25

........................................................................................................................................II分

E@=3x[=06.......................................................................................................12分

19.本題考查立體幾何中的線面關(guān)系，空間角，空間向量在立體幾何中的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，

考查運算求解能力、空間想象能力、等價轉(zhuǎn)化能力，考查數(shù)形結(jié)合

思想、化歸與轉(zhuǎn)化、或然與必然等數(shù)學思想.滿分12分.

證明：（1）法一：連接AC,相交于點。，取的中點為G,'\\

連接做OG.必￡射，

1"f

ABCD是正方形，是BO的中點，.?.0G〃BE,0G=-5E,

2

又因為所以O(shè)G〃A尸且。G=A尸，

2

所以四邊形AOG廠是平行四邊形，...........................................3分

AC//FG，又因為FGu平面?！晡?，AC①平面DEF

：.AC/mDEF..........................................................................................................5分

法二：延長BA,印相交于點G,連接GO./A

因為”//BE,AF=^BE,

.?.A是BG的中點，所以。C〃G4且OC=G4,"'c

所以四邊形ACDG是平行四邊形，..........................................3分

:.AC//GD,又因為GOu平面OE尸，ACz平面。歷

AC〃平面OEF5分

(2)A3CD是正方形，ABER是直角梯形，ZFAB=90，

DA±AB,FA±AB

A￡)nAE=A,，AB_L平面AF。，同理可得A3_L平面

EBC.

又-ABu平面ABC。，所以平面AFDJ,平面ABC。,

又因為二面角E—AB—。為60，

所以NE4￡>=NEBC=60,8￡=2,=4,8。=2,由余弦定理得后。=26,

所以ECJ,BC,又因為ABJ_平面EBC,EC_LAB,所以EC，平面ABC。,

7分

法一：以C為坐標原點，CB為x軸、CD為V軸、CE為z軸建立空間直角坐標系.則

C(0,0,0),。(0,2,0),￡(0,0,2揚，尸(1,2,揚,8分

所以CE=(0,0,2JJ),OF=(1,0,JJ),EF=(1,2,—JJ)，設(shè)平面DEF的一個法向量為

n-DF=0x+Gz=0x=-3

〃=(%,y,z),則即＜令z=6則<

n-EF~0x+2y-\/3z=0"3

所以〃=(—3,3,下))11分

設(shè)直線CE和平面DEF所成角為氏

6=立_

則sin0=|cos<CE,n>|=12分

2exe一7

法二：取的中點為的中點為N,連接我M,MN.以M為坐標原點，為x軸、

MN為V軸、ME為z軸建立空間直角坐標系.

則C(l,2,0),￡(1,2,273),尸(0,0,6),0(1,(),())8分

以CE=((),(),26),DF=(-1,0,73),FE=().,2,石),

設(shè)平面DEF的一個法向量為n=(x,y,z),

n-DF=0-x+Gz=0x=3

則《即《令z=A貝人

n-FE-0x+2y+\^z=0)二一3

所以〃=(3,-3,6)11分

設(shè)直線CE和平面DEF所成角為。，則sin0=cos<CE,n>\=廣L=—

112國標7

.............................................................................................................................12分

20.本題考查函數(shù)單調(diào)性、極值、零點的基礎(chǔ)知識，考查學生運算求解與推理論證的能力，

運用導(dǎo)數(shù)工具解決函數(shù)與方程、不等式綜合問題的能力?？疾閿?shù)形結(jié)合，分類與整合，轉(zhuǎn)化

與化歸的數(shù)學思想。

解：(1)法1：由已知?x>0,:.k^ln'V+1..........................................................I分

X

./、lnx+1，/、l-(lnx+l)-Inx八八

XXX

Xe(0,1),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增

xe(l,+8),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減

???g(x)2=g6=l..................................................................................................3分

x—>+oo,g(x)—>0

x—>0,g(x)f-oo

綜上：ZW0或左=1時，有1個零點

0〈左<1時，有2個零點

人>1時，有0個零點........................................................5分

11—kx

法2：,f'(x)=--k=^—^,..........................................................................1分

xx

女W0時，r(x)>0,/(x)單調(diào)遞增

%->0,y(x)->-oo,Xf+oo,f(x)->+oo,所以，有1個零點..............2分

1—1

人>0時，/'(X)=------=0,x=7>0,

XK

Xe(0,y),/(x)>o,/(x)單調(diào)遞增

K

xe(4+8),/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，Znax(x)=/4)=ln4)

KKK

%>1時，第x(x)=ln(,)<0,。個零點

K

左=1時，/皿^)=111(:)=0,1個零點......................................4分

0〈左<1時，7ax(x)=ln(不)>0，

mk

xf0,/(x)--8,xf+oo,f(x)--oo,所以，此時有2個零點

綜上：ZV0或女=1時，有1個零點

0<后<1時，有2個零點

%>1時，有0個零點........................................................5分

(2)證明：

法1：要證2/(x)W2-X—

即證e'T+2/(x)-2-x=21nx-x+ei<0

令g(x)=21nx-x+e'~x,

22—x—YP'~X

g'(x)=-e"x+--1=.......................................7分

XX

令〃(x)=2—X-xej,/?'(x)=—1一Jr+xe"*=-l+(x-l)el-x

xe(0,1),/?'(x)=-l+(x-l>'-A<0

xe(1,+oo),/?,(x)=-l+(x-l)e'-t=-

e

令皿x)=x-l-m,(x)=l-ev-l<09分

即〃'(x)<0,/z(x)單調(diào)遞減.................................................11分

2

h(l)=-e'-x+--1=0,xe(0,1),h(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,g(x)<g(l)=0,

x

Xe(1,+oo),〃(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,g(x)<g。)=0,

綜上：g(x)<g(l)=0.................................................12分

法2要證2/(x)K2—x—e1

即證e-+2/(x)-2—x=21nx—x+<0

2

令g(x)=21nx-x+e1,g'(x)=-e]~x+—1.............................7分

x

人7/、i21,,,、1212x2-2ex-'

令〃(x)=-e-+--1,h(x)=e'--r=-r—-7=-,t_,

xxexx'e

令m(x)=x?-2ex~',加(x)=2x-2ex~'

令t(x)=2x—2ex'',t'(x)=2-2/=2(1-萬)...............................9分

XG(0,1),t'(x)>0,加(x)單調(diào)遞增，xe(l,+00),t'(x)<0,mf(x)單調(diào)遞減

加(X)max=加⑴=om'(x)<0.,.m(x)單調(diào)遞減，m(0)=-l

m(x)<0〃'(x)<0.,.〃(x)單調(diào)遞減........................................11分

2

h(l)=-el-x+——1=0,xe(0,l)M(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，g(x)<g(l)=0,

x

Xe(1,+00),〃(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，g(x)<g(l)=0,

綜上：g(x)?g6=0.................................................12分

21.本題考查橢圓的標準方程的求法，直線與圓、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查推理

運算和方程求解能力.運用化歸轉(zhuǎn)化手段.將切線長最短問題轉(zhuǎn)化為橢圓上的動點到定點

距離最短問題；考查圓錐曲線中的有關(guān)定值問題，從變化中尋找不變量，并通過必要的推

理和運算化簡求值.考查轉(zhuǎn)化化歸思想、分類整合思想.

2)->

(I)解：如圖1,因為今+再=1,所以第=從(1一彳)，

由名叵<6<2得：X；+=(1-5)片乂2>2=/

故點。在圓P外，

不妨設(shè)OM與圓P相切于T,則有：廣發(fā)丁

切線長|OT|=MY=Jx；+y；T......……?…千………..…"分

代入得I

圖1

[0T|=J(l-,)x；+62-gz

..........................................3分

由己知得：J/—g=J|，解得：按=2,

所以橢圓的方程為：三+二=1............................................4分

42

（II）解：1。當切線0M或ON斜率不存在即圓P與y軸相切時，易得k|=r=半，代

入橢圓方程得：|為卜半，說明圓P同時也與x軸相切（圖2）,此時M、N分別為長、

短軸一個端點，則AMON的面積為V2.5分

2°當切線OM、ON斜率都存在時，設(shè)切線方程為：y=kx9

…,日網(wǎng)一切2

由d=z"得：,■■==--,

TITPV3

整理得：(3x；—4)Y—6左/兒+—4=0(*),6分

圖2

由1°知：3芯一4H0,即聞工手，此時尻卜平，方程（*）必有兩個非零根,

記為配k式及＜k2）廁kv總分別對應(yīng)直線OMQN的斜率,

3V—43v-41

由韋達定理得：k1-k2=——-,將蒞=4-2yd代入得：-k-,=°~~f=一;7分

3x0-48-6%2

解法一：（求交點坐標）

由上知：匕＜0＜女2,

設(shè)點N位于第一、三象限，點M位于第二、四象限,

若點N位于第一象限，點M位于第二象限,

圖3

設(shè)ON：y=&x與橢圓方程X工+、V=1聯(lián)立可得：

22k,

N(，，)

7?J1+^2片^7J1=+2后....................

S/MON=S梯彩”“[MN-S'MOM、-S^MOM、

XX

=；(/-M).(”，+%)-；(-/)yM-)=：(/%-MyN)

...........................................................................10分

代入坐標有：

S_y_____k?_h________I(k?-kJ2=21k；+k；-2k2kl―

71+2^.71+2^-M(1+26)(1+24)―丫46好+26+26+1

=2J6,+￡+匚=血

丫2(6+抬+1)

同理，當點M、N位于其它象限時，結(jié)論也成立

綜上，AA/ON的面積為定值收..............................................12分

解法二：（探尋直線MN方程特征）

（接上）設(shè)N12,%）

由于點P不與點A、B重合時，直線MN的斜率存在，不妨設(shè)直線MN的方程為：y=kx+m,

2

將MN與橢圓方程聯(lián)立可得：（1+28）X+4切a+2W—4=Q,

△=16公療一(8〉-16)(2^+1)=32k2+16-8/n2,

由△>()得4A?+2>m2,

4km

內(nèi)+毛=一,

8分

2加2_4

石?冬=------圖4

121+2公

■kON=里之=一1n西元+2y%=%達+2(fcr,+機)(丘，+m)

OMMM2

22

=(1+2k)xtx2+2km(x]+x2)+2m=0

小、上八?,,2m2-48k2m'八：八

代入有：(1+2k2x)-----；--------+2nr=0

1+2/1+2/7

整理得：trr=21c+\；9分

又叱g…卜歷整產(chǎn)二百縹系2血料

而原點O到直線MN的距離為d11分

所以AA/QN的面積為定值J，.......................................................................................12分

22.本題考查學生對直角坐標方程、參數(shù)方程、極坐標方程之間的相互轉(zhuǎn)化，利用極坐標方

程求解弦長問題，三角形最值問題，通過直角坐標方程、參數(shù)方程、極坐標方程之間的互化

考查化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的思想.

解：(I)依題意得，曲線G的普通方程為。-2)2+丫2=7,

曲線G的極坐標方程為夕2—4/7cos。一3=0,..........................................................3分

直線/的直角坐標方程為y=gx.........................................................5分

(II)曲線。2的直角坐標方程為。一4)2+y2=16,由題意設(shè)A(g,q),風出彳)，

則一4/?]COs]-3=0,即0:一2°|—3=0,得2]