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北師大版必修第二冊(cè)第四章《三角恒等變換》4.1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(教學(xué)設(shè)計(jì))【教學(xué)目標(biāo)】1.能根據(jù)三角函數(shù)的定義,利用單位圓,推導(dǎo)出三角函數(shù)的基本關(guān)系式;(邏輯推理)2.能正確利用基本關(guān)系式進(jìn)行三角函數(shù)式的求值運(yùn)算,并且確定符號(hào);(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3.通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí),能把方程的思想、代數(shù)變換、分類討論的邏輯方法融入到解題中.(邏輯推理)【教學(xué)重點(diǎn)】1.同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的推導(dǎo)及應(yīng)用;2.已知一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)值,利用基本關(guān)系式求其它的三角函數(shù)值.【教學(xué)難點(diǎn)】已知一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)值,求這個(gè)角的其它三角函數(shù)時(shí)符號(hào)的確定.【教學(xué)過(guò)程】一、實(shí)例分析,提出問(wèn)題請(qǐng)同學(xué)們復(fù)習(xí)回歸我們是如何在單位圓中定義三角函數(shù)的呢?如圖,角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(u,v),則cosα=u,sinα=υ,tanα=υ問(wèn)題1:若已知sinα=45問(wèn)題2:請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值,能否得出同角的三角函數(shù)之間存在數(shù)量關(guān)系?在小組內(nèi)討論并且發(fā)表自己的看法.α0ππ3π-sin0112-cos130-1tan03不存在-1-第一列:02+12=1;第二列:122+322=1第四列:222+-同學(xué)們能否根據(jù)以上特殊的結(jié)論,得到一般性的結(jié)論,并用數(shù)學(xué)表達(dá)式把這個(gè)關(guān)系寫出來(lái)?sin2α+cos2α=1問(wèn)題3:如何在直角三角形中證明sin2α+cos如圖可得sinα=a根據(jù)勾股定理:a2+問(wèn)題4:類比上述方法,同學(xué)們?cè)趩挝粓A中證明sin2證明:如圖,過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線,交于點(diǎn)M,在Rt?PMO中Msin因此我們得到了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式平方關(guān)系:sin2α+cos2α=1.問(wèn)題5:由cosα=u,sinα=υ,tanα=υu(píng),同學(xué)們能夠推出tanα與商數(shù)關(guān)系:tanα=eq\f(sinα,cosα)(α≠kπ+eq\f(π,2),k∈Z).問(wèn)題6:同角基本關(guān)系有什么特征?(1)要在同角的條件下使用,同角可以指終邊相同的角;(2)sin2(3)tanα=eq\f(sinα,cosα)要注意分母不為0問(wèn)題7:同角基本關(guān)系有哪些變形二、抽象概括,得出概念1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系:sin2α+cos2α=1.(2)商數(shù)關(guān)系:tanα=eq\f(sinα,cosα)(α≠kπ+eq\f(π,2),k∈Z).2.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的變形(1)sin2α+cos2α=1的變形公式:sin2α=1-cos2α;cos2α=1-sin2α.(2)tanα=eq\f(sinα,cosα)的變形公式:sinα=cosαtanα;cosα=eq\f(sinα,tanα),cos2α=1tan2【概念辨析】加深對(duì)“同角”的理解1.判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在它后面的括號(hào)里畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.三、典例剖析,理解概念課本P146例1例1.已知sinα=45,且角的終邊在第二象限,求cosα和tanα解:cos角α的終邊在第二象限∴cosα<0∴
tan已知正弦值,求余弦值和正切值:(1)先根據(jù)平方關(guān)系,求出cos2α=1-sin2α的值;(2)再根據(jù)角所在的象限,定cosα的符號(hào),定不了號(hào),就分類討論.(3)最后根據(jù)商數(shù)關(guān)系求出tanα的值.例2.已知cosα=-1213,求sinα和解:sin2α=1-cos2α=1--當(dāng)α在第二象限時(shí),sin?α
>0,所以sintan當(dāng)α在第三象限時(shí),sin?α
<0,sintan例3已知tanα=m(m≠0),求sinα和cosα.解:根據(jù)題意可得方程組sin解得:cos因?yàn)椋簍anα≠0,故α的終邊不在坐標(biāo)軸上所以cossinα=【方法點(diǎn)撥】同角三角函數(shù)的關(guān)系揭示了同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系,作用是“知一求二”,即tanα,cosα,sinα三個(gè)值之間,知道其中一個(gè)可以求其余兩個(gè).解題時(shí)要注意確定角α所在的象限,從而判斷三角函數(shù)值的正負(fù).利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求值時(shí),若沒(méi)有給出角【當(dāng)堂訓(xùn)練】課本P148:練習(xí)第1題(1)已知sinα=32,且α為第一象限角,求cos?α和tan?α(2)已知cosα=-45,且α為第三象限角,求sin?α和tan?α(3)已知tanα=-512,且α為第二象限角,求cos?α和sin?α(學(xué)生演練)四、遷移應(yīng)用,掌握概念1.若α是銳角,且2tanα+3sinβ=7,tanα-6sinβ=1,則sinα=________.2.函數(shù)y=eq\f(\r(1-sin2x),cosx)+eq\f(\r(1-cos2x),sinx)的值域是()A.{-2,0,2}B.{-2,0}C.{0,2} D.{-2,2}【參考答案】1.由2tanα+3sinβ=7,得4tanα+6sinβ=14.①又tanα-6sinβ=1,②①+②,得5tanα=15.∴tanα=3.∴eq\f(sinα,cosα)=3,即cosα=eq\f(1,3)sinα.聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cosα=eq\f(1,3)sinα,,sin2α+cos2α=1,))解得sin2α=eq\f(9,10).∵0<α<eq\f(π,2),∴sinα=eq\f(3\r(10),10).]2.解:由已知,得y=eq\f(|cosx|,cosx)+eq\f(|sinx|,sinx),又cosx≠0,且sinx≠0,∴x為象限角.當(dāng)x為第一象限角時(shí),y=2;當(dāng)x為第三象限角時(shí),y=-2;當(dāng)x為第二、四象限角時(shí),y=0.選A3.已知sinα+cosα=eq\f(7,13),α∈(0,π),則tanα=________.解∵sinα+cosα=eq\f(7,13),①∴(sinα+cosα)2=eq\f(49,169).∴2sinαcosα=-eq\f(120,169)<0.又α∈(0,π),∴sinα>0,cosα<0.∴α∈(eq\f(π,2),π),∴sinα-cosα>0.故sinα-cosα=eq\r((sinα+cosα)2-4sinαcosα)=eq\f(17,13).②由①②可得sinα=eq\f(12,13),cosα=-eq\f(5,13),∴tanα=-eq\f(12,5).【方法點(diǎn)撥】(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化,找到解決問(wèn)題的突破口五、當(dāng)堂檢測(cè),鞏固達(dá)標(biāo)1.已知α是第二象限角,且sinα=33,則tanA.-2 B.-22 C.-2.“α+β=π2”是“sin2α+A.充要條件 B.既不充分也不必要條件C.充分不必要條件 D.必要不充分條件3.已知a=2,1,b=cosα,sinαA.2 B.12 C.-2 D.(多選題)4.已知α∈0,π,且sinα+A.π2<α<πC.cosα-sinα=【參考答案】1.B解:因α是第二象限角,且sinα=33則tanα=sinα2.C解:若α+β=π2,則故“α+β=π2”是“sin若sin2α+sin有sin2故“α+β=π2”不是“sin故“α+β=π
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