課時(shí)34-第八章立體幾何初步-8.6.1直線與直線垂直-教案

高一數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第八章立體幾何初步第第頁(yè)8.6.1《直線與直線垂直》廣州市白云中學(xué)黃惠一、教材內(nèi)容地位分析：本節(jié)課選自新教材普通高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)2019版第八章8.6.1，這一節(jié)主要是關(guān)于直線位置關(guān)系中的異面直線所成角的內(nèi)容，這是繼相交直線，平行直線后學(xué)習(xí)的。在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了空間直線的三種位置關(guān)系，且在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了相交直線的相關(guān)知識(shí)，在8.5.1又系統(tǒng)學(xué)習(xí)了平行直線，本節(jié)課主要從空間異面直線所成角出發(fā)研究異面直線垂直問(wèn)題，是初中平面中直線與直線垂直的延續(xù)，又為之后直線與平面垂直，平面與平面垂直等位置關(guān)系研究做鋪墊。垂直是除平行之外最具有研究?jī)r(jià)值的位置關(guān)系，線線垂直也是垂直關(guān)系中起基礎(chǔ)作用的位置關(guān)系，但平行和垂直不是相互獨(dú)立的，當(dāng)我們刻畫(huà)異面直線所成角時(shí)需要用到垂直，通過(guò)平移把空間角轉(zhuǎn)化為平面角來(lái)度量，當(dāng)異面直線所成角為時(shí)，稱兩異面直線垂直，這里是在平行的基礎(chǔ)上，繼續(xù)體會(huì)轉(zhuǎn)化的思想，把三維問(wèn)題降到二維來(lái)研究，這種空間問(wèn)題平面化的思想是研究立體幾何的重要思想。學(xué)情分析教學(xué)有利因素：學(xué)生已經(jīng)具備了相交直線，平行直線的知識(shí)，并且掌握如下兩個(gè)結(jié)論：①平面中兩直線相交時(shí)，其中不大于的角稱為這兩條直線所成角（或夾角）；②如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。這為異面直線的位置刻畫(huà)及理解異面直線所成角的概念的合理性奠定了基礎(chǔ)。教學(xué)不利因素：學(xué)生接觸立體幾何的時(shí)間不長(zhǎng)，空間立體感沒(méi)有完全建立，在空間想象，邏輯推理證明等方面還有所欠缺，對(duì)解決空間問(wèn)題的基本方法和手段沒(méi)有完全掌握，對(duì)異面直線的空間關(guān)系掌握不到位，需要進(jìn)一步培養(yǎng)。三、教學(xué)目標(biāo)【知識(shí)與技能】1.借助正方體，通過(guò)直觀感知，類比相交直線所成角，歸納出異面直線所成角的概念，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象能力；2.利用異面直線所成角的定義，找出或作出異面直線所成角，并在三角形中求出角，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力；3.會(huì)用異面直線所成角證明異面直線垂直，培養(yǎng)邏輯推理能力；【過(guò)程與方法】通過(guò)回顧相交直線，平行直線的相關(guān)內(nèi)容，借助正方體引入異面直線所成角的概念，理解空間角化平面角的合理性，體會(huì)解決立體幾何的基本思想方法，即空間問(wèn)題平面化；【情感、態(tài)度與價(jià)值觀】通過(guò)類比相交直線，概括出刻畫(huà)異面直線的角度，提高學(xué)生分析問(wèn)題的能力，通過(guò)求異面直線所成角，培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度。※教學(xué)重點(diǎn)：理解異面直線所成角的概念及求異面直線所成角；※教學(xué)難點(diǎn)：通過(guò)平移法構(gòu)造異面直線所成角。四、教學(xué)策略※教學(xué)方法：講授與探究相結(jié)合※教學(xué)工具：導(dǎo)學(xué)案、課件、多媒體平臺(tái)※教學(xué)流程：復(fù)習(xí)回顧→類比研究→探究新知→概念形成→新知運(yùn)用→歸納總結(jié)→課堂小結(jié)→布置作業(yè)五、教學(xué)過(guò)程：教學(xué)環(huán)節(jié)及師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖及素養(yǎng)目標(biāo)一、【溫故知新】問(wèn)題1空間中兩直線的位置關(guān)系有哪幾種？答：有相交直線、平行直線、異面直線三種問(wèn)題2平面內(nèi)兩相交直線的相對(duì)位置是怎么刻畫(huà)的呢？aθb答：平面內(nèi)兩條直線相交形成4個(gè)角，其中不大于90°的角稱為這兩條直線所成的角（或夾角），圖中的角θ即為直線a與直線b的夾角，它刻畫(huà)了一條直線相對(duì)于另一條直線傾斜的程度．二、【探究新知】觀察：如圖，在正方體ABCD-A1B1C問(wèn)題3直線A1C1與A系相同嗎？若不同，如何來(lái)刻畫(huà)這種差異？答：不同，由圖可以看出直線A1C1線AB的傾斜程度不一樣.我們可以類比相交直線所成角引入“異面直線所成角”來(lái)刻畫(huà)這種差異.問(wèn)題4兩條異面直線沒(méi)有交點(diǎn)，它們所成角沒(méi)有辦法直接度量，你有什么方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題呢？答：由相交直線所成角得到啟發(fā)，通過(guò)在空間中任取一點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O分別作兩條異面直線的平行線.三、【概念形成】異面直線所成的角：如圖，已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O分別作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′，b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．師：PPT動(dòng)畫(huà)展示平移的過(guò)程如果兩條異面直線夾角為90°，那我們就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直．直線a與b垂直，記作a⊥b．問(wèn)題5同學(xué)們知道我們?cè)诙攘慨惷嬷本€所成角的時(shí)候蘊(yùn)含了什么樣的數(shù)學(xué)思想嗎？答：主要是通過(guò)平移把異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線，體現(xiàn)的是空間問(wèn)題平面化的思想，在平移過(guò)程中異面直線的傾斜程度沒(méi)有發(fā)生改變，所以它們所成角沒(méi)有變.問(wèn)題6異面直線a與b所成的角會(huì)隨著點(diǎn)O的位置變化而變化嗎？答：由等角定理知，不會(huì)！為簡(jiǎn)便，O點(diǎn)常取在兩異面直線中的一條上師：PPT動(dòng)畫(huà)作角，說(shuō)明角不會(huì)隨點(diǎn)O的變化而變化問(wèn)題7根據(jù)異面直線所成角形成的過(guò)程，你知道異面直線所成角θ的范圍是多少嗎？空間中兩條直線所成角α的范圍又是多少？答：由異面直線所成角的定義知角θ的范圍為：(當(dāng)兩條直線平行時(shí)，我們規(guī)定它們所成的角為0°．因此空間兩條直線所成角α的范圍為：[0四、【運(yùn)用新知】例1（課本P147）如圖，已知正方體ABCD-（1）哪些棱所在的直線與直線AA1（2）求直線BA1與C（3）求直線BA1與AC分析：（1）根據(jù)異面直線所成角，我們知道，要找出與直線AA1垂直的直線，可從兩方面考慮：一是相交垂直，二是異面垂直，與AA1根據(jù)正方體中的平行關(guān)系知，與AA1異面垂直的直線有：思考：1.兩直線垂直，它們一定相交嗎？2.垂直于同一條直線的兩條直線一定平行嗎？師：兩直線垂直有相交垂直和異面垂直兩種情況在平面中成立的結(jié)論不一定能推廣到空間中分析：（2）由圖知直線BA1與CC1為異面直線，要求異面直線所成角只需將空間角轉(zhuǎn)化為平面角，轉(zhuǎn)化的途徑通常是：選其中一條直線的某個(gè)特殊點(diǎn)，然后過(guò)這個(gè)特殊點(diǎn)找(或作)另一條直線的平行線.如本題中我們可以選直線BA1上的點(diǎn)B，由正方體的性質(zhì)知，我們可以找出BB1//CC當(dāng)然我們也可以選直線CC1上的點(diǎn)C，連接CD1,然后證明BA1//CD分析：（3）根據(jù)第二問(wèn)的思路，我們重點(diǎn)關(guān)注作出異面直線所成角的過(guò)程，在這里選取連接A1C1,易證AC//A1C1,因此∠BA1C解題過(guò)程詳見(jiàn)PPT小結(jié)：求兩條異面直線所成的角的一般步驟：1．作角：恰當(dāng)?shù)剡x擇一個(gè)點(diǎn)（經(jīng)常在其中一條線上取一點(diǎn)），作出（常用平移法)異面直線所成的角(或其補(bǔ)角)；2．證角：證明(1)中所作出的角(或其補(bǔ)角)就是所求異面直線所成的角；（注：證明線線平行）3．求角：通過(guò)解三角形或其他方法，求出(1)中所構(gòu)造的角的大??；4．結(jié)論：假如所構(gòu)造的角的大小為α，若0°<α≤90°,則α即為所求異面直線所成角的大??；若90°<α<180°,則180°－α即為所求．簡(jiǎn)單地說(shuō)，選擇“特殊點(diǎn)”作異面直線的平行線，構(gòu)作含異面直線所成(或其補(bǔ)角)的角的三角形，再求之.例2（課本P_147）如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1，O1為底面A1B1C1D1的中心．求證：AO1⊥BD．分析：由圖可知直線AO1與BD是異面直線，要證AO1⊥BD，即證兩異面直線所成角為90°,故應(yīng)先構(gòu)造直線AO1與BD所成角，過(guò)直線AO1上的特殊點(diǎn)BD的平行線B1D1，則AO1與B1D1相交于O1，這樣∠AO1B1課堂練習(xí)：1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AA1=2,AC=BC=1,則異面直線A1B與AC1所成的角的余弦值是_______分析：如圖所示,連接AB1,交A1B于點(diǎn)D,取B1C1的中點(diǎn)E,連接DE,A1E,則DE∥AC1,∴∠A1DE為異面直線A1B與AC1所成角或其補(bǔ)角.再在三角形中用余弦定理即可。2.如圖，在正三棱柱ABC-A'B'C'中，D為棱AC的中點(diǎn)，AB=BB'=2，求證BD⊥AC'.分析：因?yàn)锳BC-A'B'C'是正三棱柱，所以底面ABC是正三角形，由于BD與AC'是異面直線，應(yīng)先構(gòu)造異面直線所成角,取CC’的中點(diǎn)E，連接DE,BE,又D為棱AC的中點(diǎn)，所以DE為?ACC'的中位線,所以DE//AC',所以∠BDE是異面直線BD與AC'所成角，再在三角形中用勾股定理即可五、【課堂小結(jié)】1.異面直線所成角的概念是什么？2.如何求異面直線所成角？具體答案在PPT展示師總結(jié)：我們本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了異面直線所成角，主要包含兩方面，一是它的定義，二是它的范圍，當(dāng)異面直線直線所成角為90°時(shí)稱為異面垂直，所以垂直有異面垂直和相交垂直兩種情況，同學(xué)們要注意哦。通過(guò)復(fù)習(xí)兩直線位置關(guān)系引出本節(jié)課的研究問(wèn)題通過(guò)回顧相交直線所成角，為異面直線所成角的刻畫(huà)做鋪墊，建立知識(shí)的聯(lián)系，提高概括，類比推理能力通過(guò)問(wèn)題3體會(huì)引入“異面直線所成角”的必要性.問(wèn)題4緊接問(wèn)題3，讓學(xué)生產(chǎn)生自問(wèn)：什么是異面直線所成角？類比相交直線所成角我們得到啟發(fā)，把空間角轉(zhuǎn)化成平面角來(lái)度量，讓學(xué)生感受類比的思想，學(xué)會(huì)用已知解決未知.學(xué)習(xí)概念，用標(biāo)準(zhǔn)的語(yǔ)言來(lái)描述概念了解概念形成的合理性，深挖知識(shí)的本質(zhì)，學(xué)習(xí)概念背后的實(shí)際，體會(huì)所用到的數(shù)學(xué)手段和思想方法.培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力，說(shuō)明異面直線所成角概念的可操作性.探究空間中直線所成角的范圍，為線面角，面面角的范圍奠定基礎(chǔ).本例是概念的基本運(yùn)用，主要是打破之前的認(rèn)知,垂直有相交垂直和異面垂直，空間中垂直同一條直線的兩直線不一定平行，感受求異面直線所成角的整個(gè)過(guò)程；空間直線的位置關(guān)系有別于平面的位置關(guān)系。（2）初步感受求異面直線所成角的基本步驟，在這過(guò)程中重點(diǎn)是用平移法構(gòu)造平面角，在概念的基礎(chǔ)上感受空間問(wèn)題平面化的思想。（3）在（2）的基礎(chǔ)上繼續(xù)感受平移法構(gòu)造平面角，在這里學(xué)生更需要思考如何根據(jù)已知條件構(gòu)造角這個(gè)問(wèn)題，同時(shí)在這里梳理出求異面直線所成角的步驟。例2是例1的延續(xù)，再次熟悉求異面直線所成角的步驟，此處讓學(xué)生意識(shí)到一個(gè)問(wèn)題：當(dāng)要證兩異面直線垂直時(shí)，就證兩異面直線所成角為90°，再一次感受空間角轉(zhuǎn)化為平面角的思想（即空間問(wèn)題平面化）鞏固本節(jié)課內(nèi)容分點(diǎn)提問(wèn)的，一來(lái)再一次明確本節(jié)課學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，二來(lái)可以起到復(fù)習(xí)本節(jié)課精華的目的8.6.1《直線與直線垂直》答疑課堂本節(jié)課的重點(diǎn)是：理解異面直線所成角的概念以及會(huì)求異面直線所成角本節(jié)課的難點(diǎn)是：運(yùn)用平移法構(gòu)造異面直線所成角重點(diǎn)講授：構(gòu)造異面直線所成角的方法先回顧概念，后剖析手段：平移法核心：空間角轉(zhuǎn)化為平面角（空間問(wèn)題平面化）方法一：抓住異面直線上的已知點(diǎn)過(guò)一條異面直線上的已知點(diǎn)，引另一條直線的平行線（或作一條直線并證明與另一條直線平行），以例1,2作為說(shuō)明例1（課本P147）如圖，已知正方體ABCD-（3）求直線BA1與說(shuō)明：抓住異面直線中的一條BA1上的特殊點(diǎn)A連接A1C1，，證明A1例2（課本P147）如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1，O1為底面A1B1C1D1的中心．求證：AO1⊥BD說(shuō)明：抓住異面直線中的一條AO1上的特殊點(diǎn)O1連接B1D1，可知B1D1過(guò)到異面直線所成角∠A方法二：抓住空間圖形的已知點(diǎn)，特別是中點(diǎn)例空間四邊形ABCD中，AD=BC=2，E,F分別是AB,CD的中點(diǎn)，EF=3，則異面直線AD與BC分析：若用方法一過(guò)兩異面直線AD,BC上的已知點(diǎn)作另一直線的平行線比較難做到，我們可以抓住題目給出的特殊點(diǎn)（中點(diǎn)E,F），我們?nèi)D的中點(diǎn)G，連接EG,FG,可以發(fā)現(xiàn)EG為?ABD的中位線，因此EG//AD，同理FG//BC.所以∠EGF為異面直線AD,BC所成角（或其補(bǔ)角）在?EFG中,EG=1,FG=1,由余弦定理得cos∠EGF=所以∠EGF=又異面直線所成角的范圍為(所以異面直線AD,BC所成角為60方法三：平移（或構(gòu)造）幾何體例如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1各棱都相等，且CC分析：設(shè)三棱柱的棱長(zhǎng)為a,補(bǔ)三棱柱ABC-A2B2C2，使三棱柱ABC-A2B2C2全等于三棱柱ABC-A1BABM=A所以A2B例如圖，PA⊥平面ABC,∠ACB=90°,PA=AC=BC=a，分析：已知條件特征：PA⊥平面ABC,∠ACB=PA=AC=BC=a可以將三棱錐放在正方體中，由正方體性質(zhì)知AC//BD,連接PD，則∠DBP為異面直線PB與易證?DBP為直角三角形，且有：故tan∠DBP=六、【習(xí)題包】1.設(shè)是直線，則()A.若，則a//cB.若，則C.若a∥b，則a與c，b與c所成的角相等D.若a與c所成的角等于c與b所成的角，則a∥b2．如果空間兩條直線互相垂直，那么它們()A．一定相交 B．是異面直線C．是共面直線 D．一定不平行3.如圖，在長(zhǎng)方體的各條棱所在直線中，（1）與直線AB垂直的直線有__________條；（2）與直線AB異面且垂直的直線有_____