高中數(shù)學(xué)試題：數(shù)學(xué)歸納法1

數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)學(xué)歸納法

[1]第一數(shù)學(xué)歸納法

一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)〃有關(guān)的命題p(〃)時(shí),有如下步驟：

⑴證明當(dāng)〃取第一個(gè)值々時(shí)命題p(〃)成立；

(2)假設(shè)當(dāng)71=%(%?%)時(shí)命題P(/l)成立,并在此基礎(chǔ)上,當(dāng)71=Z+1時(shí)命題也成立.

[2]第二數(shù)學(xué)歸納法

對(duì)于某個(gè)與自然數(shù)"有關(guān)的命題P(〃),有如下步驟：

(1)驗(yàn)證〃=々時(shí)P(")成立；

(2)假設(shè)々時(shí)P(〃)成立,并在此基礎(chǔ)上,推出P(Z+1)成立.

綜合⑴(2)對(duì)一切自然數(shù)〃(〃》4),命題P(〃)都成立.

1.設(shè)數(shù)列｛”“｝滿足q=2,。用=an+—,(n=l,2,3...)

證明an>J2”+1對(duì)一切正整數(shù)n成立；

證法一：當(dāng)〃=1時(shí),%=2〉72x1+1,不等式成立.

假設(shè)〃=左時(shí),a*>J2k+1成立

當(dāng)”=左+1時(shí)，

,11

。女7+1=H——+2>2k+3H——>2(左+1)+1.

akak

n=k+1時(shí),a.>,2(左+1)+1時(shí)成立

綜上由數(shù)學(xué)歸納法可知，4>J2-+1對(duì)一切正整數(shù)成立.

22.(本小題滿分12分)

己知數(shù)歹！J{aj中國(guó)=2,a?+i—(血-1)(a0+2),n—1,2,3…。

(I)求仿“}的通項(xiàng)公式；

一3b+4

(II)若數(shù)歹！J{4}中從=2,bn+i=------，n=l,2,3,--?,證明:

2a+3

V2<bn<a4n_3,n=l,2,3…。

22.解：

(I)由題設(shè)：

%=(0—1)(%+2)

=(V2-l)(a?-V2)+(V2-l)(2+V2)

=(V2-l)(a?-V2)+V2,

%-0=(夜-1)(4-揚(yáng)。

所以，數(shù)列｛%,-后｝是首項(xiàng)為2-JI,公比為友-1的等比數(shù)列,

-72=72(72-1)\

即?！暗耐?xiàng)公式為4=應(yīng)[(后—1)"+斗n=l,2,3……。

(II)用數(shù)學(xué)歸納法證明。

(i)當(dāng)n=l時(shí)，因y[2<2,bi=ai=2,所以

\[2<bl^al,結(jié)論成立。

(ii)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),結(jié)論成立，即血<久<。4"3，

也即0<bk-41W—亞。

當(dāng)n=k+l時(shí)，

%「忘="-后

=(3-2回瓦+(4-3偽

―2b~^

(3-2后)(4-/)、八

—>U，

2%+3

又一--<——=3-272,

24+32V2+3

所以…=w

2bk+3

v(3-2夜了電-石

W(A/2—I)4(。4"3-血)

=〃4左+1-夜°

也就是說(shuō)，當(dāng)n=k+l時(shí)，結(jié)論成立。

根據(jù)(i)和(ii)知J2<bnW%—‘H=1,2,3,…。

2

22.(本題14分)已知數(shù)列{%},盤(pán)巳0,q=0,an+^+an+i-1=6in(nGN').

記：Sn=q+a?++c1n.

求證：當(dāng)〃wN*時(shí)，

(I)an<an+1；

(IDS“〉〃-2；

22.本題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系，數(shù)學(xué)歸納法、不等式證明等基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，同時(shí)

考查邏輯推理能力.滿分14分.

(I)證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明.

①當(dāng)〃=1時(shí)，因?yàn)?是方程/+工一1=。的正根，所以4<%.

②假設(shè)當(dāng)〃=左(左eN*)時(shí)，ak<ak+i,

因?yàn)?-a：=(。/+a/T)-(如+:+a*+iT)

=(W+2-4+1)(W+2+ak+i+1)，

所以久+1<以+2?

即當(dāng)〃=左+1時(shí)，an<4+i也成立.

根據(jù)①和②，可知?<%+i對(duì)任何〃wN*都成立.

(II)證明：由以+：+%+]—1=〃/,左=1,2,，八一1(〃22),

得a；+(%+/++%)—("—1)=.

因?yàn)椋?0,所以S〃=〃—1—

2

由%<an+l及an+l=1+a；-2an+1<1得<1,

所以S,,>n-2.

(jN

3W+2+52?+In)能被14整除.

(377+1)-7'-1(/7G.N)能被9整除.

—1—+.1--1---1-__1_

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一(屈1叫y+至H----\~—<2A/77

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77(77+1)iI/~~~(77+1)

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