（全國版）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第11章112古典概型與幾何概型講義文

§11.2古典概型與幾何概型

【考試要求】1.理解古典概型及其概率計算公式.2.會計算一些隨機(jī)事件所含的基本事件的個

數(shù)及事件發(fā)生的概率.3.了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計概率.4.了解幾何概型的意

義.

■落實主干知識

【知識梳

1.古典概型

(1)古典概型的特征：

①有限性：試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有皿個；

②等可能性：每個基本事件出現(xiàn)的里能性相等.

(2)古典概型的概率計算的基本步驟：

①判斷本次試驗的結(jié)果是否是等可能的,設(shè)出所求的事件為力；

②分別計算基本事件的總數(shù)〃和所求的事件力所包含的基本事件的個數(shù)加:

③利用古典概型的概率公式以用=￡求出事件力的概率.

(3)頻率的計算公式與古典概型的概率計算公式的異同

名稱不同點相同點

頻率計算中的如〃均隨隨機(jī)試驗的變化而變

頻率計算公式化，但隨著試驗次數(shù)的增多，它們的比值逐

都計算了一

漸趨近于概率值

個比值&

古典概型的概7是一個定值，對同一個隨機(jī)事件而言，勿，〃n

率計算公式

都不會變化

2.幾何概型

(1)概念：如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例,則稱這

樣的概率模型為幾何概率模型，管稱為幾何概型.

(2)幾何概型的基本特點：

①試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無限多個；

②每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.

門―才以、構(gòu)成事件/的區(qū)域長度面積或體積

(3八1舁A式：/(用一試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度面積或體積.

3.概率的幾個基本性質(zhì)

(1)概率的取值范圍：OWPMWL

(2)必然事件的概率：P［A)=1.

(3)不可能事件的概率：P(A)=0.

(4)概率的加法公式：若事件力與事件8互斥，則尸(1U的=法力)+尸(Q.

(5)對立事件的概率：若事件力與事件8互為對立事件，則NU8為必然事件.P(AU^)=l,

P［A)=\-P⑦.

【常用結(jié)論】

若事件4,4,…，4兩兩互斥，則尸(4U4U…U4)=。(4)+尸(42)+…+P(4).

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

(1)從一3,—2,—1,0,1,2中任取一個數(shù)，取到的數(shù)小于0與不小于0的可能性相同.(J)

(2)在一個正方形區(qū)域內(nèi)任取一點的概率為0.(V)

(3)“在適宜條件下，種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”屬于古典概型，其基本事件是“發(fā)芽與

不發(fā)芽”.(義)

⑷兩個互斥事件的概率和為L(X)

【教材改編題】

1.袋中裝有大小、形狀完全相同的6個白球，4個紅球，從中任取一球，則取到白球的概率

為()

23

A-B.7

t>o

11

C-D.~

46

答案B

2.在數(shù)軸的［0,3］上任投一點，則此點坐標(biāo)小于1的概率為()

A./%上.，).1

答案B

解析坐標(biāo)小于1的區(qū)間為［0,1),長度為1,［0,3］的區(qū)間長度為3,故所求概率為:

3.拋擲一枚骰子，記力為事件”出現(xiàn)點數(shù)是奇數(shù)”，8為事件”出現(xiàn)點數(shù)是3的倍數(shù)”，則

P(AU^)=______,尸(40而=_____.

~21

口案36

解析拋擲一枚骰子，所有基本事件是1,2,3,4,5,6,

9

事件力U8包括出現(xiàn)的點數(shù)是1,3,5,6這4個基本事件，故引

事件力ns包括出現(xiàn)的點數(shù)是3這1個基本事件，故尸an⑸=!

b

■探究核心題型

題型一古典概型

例1(1)(2022?昆明模擬)2021年，云南省人民政府發(fā)布《關(guān)于命名“云南省美麗縣城”“云

南省特色小鎮(zhèn)”的通知》，命名16個“云南省美麗縣城”和6個“云南省特色小鎮(zhèn)”，其中

這6個云南省特色小鎮(zhèn)分別是安寧溫泉小鎮(zhèn)、騰沖銀杏小鎮(zhèn)、祿豐黑尹古鎮(zhèn)、劍川沙溪古鎮(zhèn)、

瑞麗班町小鎮(zhèn)、德欽梅里雪山小鎮(zhèn).某人計劃在今年暑假期間從這6個云南特色小鎮(zhèn)中任意

選兩個去旅游，則其中一個是安寧溫泉小鎮(zhèn)的概率為()

A爭亭點A

答案A

解析6個云南省特色小鎮(zhèn)分別為a,b,c,d,e,f,其中a為安寧溫泉小鎮(zhèn)，則從6個云

南特色小鎮(zhèn)中任意選兩個的基本事件有(a,%),(a,c),(a,d),(a,e),(a,/),(b,c),

(b,d),(b,e)?(b,4,(c,ch,(c,e)>(c,/),(d,e)?(",fi,(e,。共15個，其

中一個是安寧溫泉小鎮(zhèn)有(a,6),(a,c),(a,d),(a,e),(a,/)共5個，所以要求的概

率為—H

(2)(2021?全國甲卷)將3個1和2個0隨機(jī)排成一行，則2個0不相鄰的概率為()

答案C

解析把3個1和2個。排成一行，共有10種排法，分別是00111,10011,11001,11100,01011,

01101,01110,10101,10110,11010,其中2個0不相鄰的排法有6種，分別是

01011,01101,01110,

6

10101,10110,11010,所以所求概率-面=0.6.

【教師備選】

1.甲、乙、丙三位客人在參加中國科技城國際科技博覽會期間，計劃到綿陽的九皇山、七曲

山大廟兩個景點去參觀考察，由于時間關(guān)系，每個人只能選擇一個景點，則甲、乙、丙三人

恰好到同一景點參觀的概率為()

答案B

理的概率為()

3^92^1

A?尹芯?/5

答案B

解析在數(shù)集⑵3,5,6,8｝中任取兩個數(shù)，其中一個作為夕，另一個作為&基本事件總數(shù)為

20,所取兩個數(shù)5,向符合費(fèi)馬小定理包含的基本事件有(2,3),(2,5),(3,2),(3,5),(3,8),

9

(5,2),(5,3),(5,6),(5,8),共9個，，所取兩個數(shù)符合費(fèi)馬小定理的概率為々右.

題型二幾何概型

例2(1)在區(qū)間上隨機(jī)取一個數(shù)k,使直線y=*(x+3)與圓￥+/=1相交的概率為

()

A.3./.平D.坐

答案c

解析因為圓心(0,0),半徑r=l,直線與圓相交，

IQi-I

所以圓心到直線的距離t/=-7==<l,

5+衣

解得一乎(心乎，

亞F

所以相交的概率片等=乎.

4A

(2)劉徽是一個偉大的數(shù)學(xué)家，他的杰作《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》是中國寶貴的文化遺

產(chǎn)，他提出的割圓術(shù)可以估算圓底率n,理論上能把n的值計算到任意的精度.割圓術(shù)的

第一步是求圓的內(nèi)接正六邊形的面積.若在圓內(nèi)隨機(jī)取一點，則此點取自該圓內(nèi)接正六邊形

的概率是()

答案B

解析如圖所示，設(shè)圓的半徑為產(chǎn)，則圓的面積為n分，圓內(nèi)接正六邊形的邊長為面積

為6xjx川Xsin?=邛《，則所求的概率片一然.

乙6Zn/rzn

【教師備選】

1.已知函數(shù)/'(x)=sinx+/cosx,當(dāng)*￡[0,時，F(xiàn)(x)21的概率為()

1111

答案D

解析由F(x)=2sin(>+/，21,￥￡[0,丸],

得0,丁，

21

???所求概率P=—=r

JI,

2.如圖，在長方體力版一中，有一動點在此長方體內(nèi)隨機(jī)運(yùn)動，則此動點在三棱錐力

—4即內(nèi)的概率為_______.

441

答案A

O

解析設(shè)事件〃為“動點在三棱錐A-MD內(nèi)”，則

吟棱跖,80_吟核犯一48。

P⑴

丫氏方體45CD-A與GA乙方體他co-44GA

74^1，^AABD144?形心⑦]

丫長方體ABCQ-A曷G"AA\,“形位/>6

思維升華(1)求解幾何概型概率的步驟

根據(jù)事件發(fā)生的過程確定事件中的相關(guān)，

三產(chǎn)廠1變量，確定變量的取值范圍!

國$用_［東養(yǎng)￡星何瓦淳志而:商京一區(qū)京孑-存拓二

1I^";包含的圖形和所求事件對應(yīng)的圖形：

高與標(biāo)鹵?；ㄚA底「其吾爰軍?版福冕一］

也產(chǎn)廠［國，求出相應(yīng)圖形的幾何度量

［袁謀M訪訪應(yīng)至農(nóng)又訪嬴垂花嬴;

口避""j率計算公式，即可求出概率，

⑵與體積有關(guān)的幾何概型的解題策略

對于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計算問題的總體積（總空間）以及事件的體積（事件空

間），對于某些較復(fù)雜的問題也可利用其對立事件求解.

跟蹤訓(xùn)練2（1）（2021?全國乙卷）在區(qū)間（0,1）與（1,2）中各隨機(jī)取一個數(shù)，則兩數(shù)之和大

7_

于彳的概率為（）

72392

A，9B,亦。32D-9

答案B

解析在區(qū)間（0,1）中隨機(jī)取一個數(shù)，記為*，在區(qū)間（1,2）中隨機(jī)取一個數(shù)，記為y,兩數(shù)之

0<Kl,

771<八2,

和大于『即則

在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，點5,0構(gòu)成的區(qū)域是邊長為1的正方形區(qū)域（不含邊界），

77

事件力“兩數(shù)之和大于丁’即＞+?彳中，點（%,。構(gòu)成的區(qū)域為圖中陰影部分（不含邊界），由

兒何概型計算公式得夕（4

1X132,

I

（2）陽馬是中國古代算術(shù)中的一種凡何形體，是底面為長方形，且兩個三角形側(cè)面與底面垂直

的四棱錐.在陽馬尸一力伙力中，汽'為陽馬戶一力眼中最長的棱，Ali=\.AD=2,PCP-ABCD

的外接球內(nèi)部隨機(jī)取一點，則該點位于陽馬內(nèi)的概率為（)

：R）?荷

答案c

解析根據(jù)題意，得乃LL平面肪0,尸。的長等于陽馬產(chǎn)一力朋外接球的直徑.

?：PC=7P#+A4+A),

：.PA=2.

14

**?P/*-4w?=zX1X2X2=z.

oo

「4<3Y9H

4

38

???該點位于陽馬內(nèi)的概率—臺==.

題型三概率的基本性質(zhì)

例3某醫(yī)院要派醫(yī)生下鄉(xiāng)義診，派出醫(yī)生的人數(shù)及其概率如下表所示.

人數(shù)01234大于等于5

概率

(1)求派出醫(yī)生至多2個的概率；

(2)求派出醫(yī)生至少2個的概率.

解設(shè)“不派出醫(yī)生”為事件力，”派出1名醫(yī)生”為事件8“派出2名醫(yī)生”為事件C,

“派出3名醫(yī)生”為事件〃，“派出4名醫(yī)生”為事件發(fā)“派出5名及5名以上醫(yī)生”為事

件g事件4B,C,D,E,產(chǎn)彼此互斥，且〃(4)=0.1,〃(⑤=0.16,尸(6)=0.3,尸(9=0.2,

=0.2,P⑺=004.

(1)“派出醫(yī)生至多2個”的概率為

/G4U6U0=P3+?(0+P(0=O.1+016+03=0.56.

(2)方法一“派出醫(yī)生至少2人”的概率為

P(CUDUEUQ=P9+/(功+/(0+P(Q=0.3+0.2+0.2+0.04=0.74.

方法二“派出醫(yī)生至少2個”的概率為

1-PUU/?)=1-O.1-0.16=0.74.

工教師備選，

1.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，事佇/表示“向上的點數(shù)是奇數(shù)”，事件〃表示“向上的點數(shù)

不超過3”，則尸C4U⑤等于()

12八5

A.-B.-D.1

答案B

解析方法一力包含向上點數(shù)是1,3,5的情況，8包含向上的點數(shù)是1,2,3的情況,

所以1u6包含了向上點數(shù)是1,2,3,5的情況，

42

故夕（/］而=￡=不

b3

方法二尸（4U而=P（冷+P-KA&

11212

一2丁263~3,

2.已知甲袋中有1個紅球和1個黃球，乙袋中有2個紅球和1個黃球，現(xiàn)從兩袋中各隨機(jī)選

取一個球，則取出的兩球中至少有1個紅球的概率為（）

答案D

解析從兩袋中各隨機(jī)選取一個球，基本事件總數(shù)為6,取出的兩球中至少有1個紅球的對

立事件是取出的兩球都是黃球，所以利用對立事件概率計算公式得，取出兩球中至少有1個

15

紅球的概率々1一b&=ab.

思維升華求復(fù)雜互斥事件的概率的兩種方法

（1）直接法

艱據(jù)題意將所求事件分解為一些彼此

互斥的事件的和

［第二步利用有關(guān)概率計算公式分別計算這些

彼此互斥的事件的概率

運(yùn)用互斥事件的概率加法公式計算所

求概率

（2）間接法（正難則反，特別是“至多”“至少”型題目，用間接法求解簡單）.

跟蹤訓(xùn)練3（1）設(shè)條件甲：“事件/與8是對立事件”，結(jié)論乙：“概率滿足。（4）+尸（0=1”，

則甲是乙的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

解析若事件力與事件8是對立事件，則力U8為必然事件，再由概率的加法公式得產(chǎn)（力）+

夕（0=1.投擲一枚硬幣3次，事件力：“至少出現(xiàn)一次正面”，事件8：“3次出現(xiàn)正面“，

71

則〃4）=曰（協(xié)滿足PC4）-P（③=1,但兒8不是對立事件.故甲是乙的充分不必要

OP=QO,

條件.

(2)向三個相鄰的軍火庫投一枚炸強(qiáng)，炸中第一軍火庫的概率為0.025,炸中第二、三軍火庫

的概率均為0.1,只要炸中一個，另兩個也會發(fā)生爆炸，則軍火庫爆炸的概率為.

解析設(shè)4H。分別表示炸彈炸中第一、第二、第三軍火庫這三個事件，〃表示軍火庫爆

炸，則尸(冷=0.025,P(協(xié)=0.1,尸(。=0.1,其中4B,?；コ猓适?9=尸(月U8U6)=

P(4)+P(而+P(0=O.025+0.1+0.1=0.225.

題型四概率與統(tǒng)計的綜合問題

例4飲用水水源的安全是保障飲比水安全的基礎(chǔ).同時國家提倡節(jié)約用水，全民積極維護(hù)飲

用水水源安全，保障安全飲水.2021年5月13日下午，正在河南省南陽市考察調(diào)研的習(xí)近平

總書記來到淅川縣，先后考察了陶岔渠首樞紐工程、丹江口水庫，聽取南水北調(diào)中線工程建

設(shè)管理運(yùn)行和水源地生態(tài)保護(hù)等情況介紹.為了提高節(jié)約用水意識，為此，某校開展了“節(jié)

約用水，從我做起”活動，從參賽的學(xué)生中隨機(jī)選取100人的成績作為樣本，得到如圖所示

的頻率分布直方圖.

頻率

().01()------

0.005一「

O455565758595成績/分

(1)求頻率分布直方圖中a的值，并估計該校此次參賽學(xué)生成績的平均分x(同一組數(shù)據(jù)用該

組區(qū)間的中點值代表)；

(2)在該樣本中，若采用分層抽樣方法，從成績低于65分的學(xué)生中隨機(jī)抽取6人調(diào)查他們的

答題情況，再從這6人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行深入調(diào)研，求這3人中至少有1人的成績低于55

分的概率.

解(1)根據(jù)頻率分布直方圖得到

(0.005+0.025X2+0.01+力X10=1,

解得a=0.035.

這組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為50X0.05+60X0.25+70X0.35+80X0.25+90X0.1=71,

所以x=71.

(2)根據(jù)頻率分布直方圖得到，成績在［45,55),［55,,0.25,所以采用分層抽樣的方法從樣本

中抽取的6人，

成績在［45,55)內(nèi)的有1人，記為X,

成績在［55,65)內(nèi)的有5人，分別記為&b,c,d,e,

從這6人中隨機(jī)抽取3人，所有可能的結(jié)果為履，，Xac.Xad,Xae,Xbc,Xbd,Xbe,Xcd,

Xce,Xde,abc,abd,abe,acd,ace,ade,bed,bee,bde,cde,共20種.

這3人中至少有1人的成績在［45,55）內(nèi)的有Mb,Xac,Xad,Xae,XbcfXbd,Xbe,Xcd,

Xce,Xde,共10種.所以這3人中至少有1人的成績低于55分的概率為祟

【教師備選】

（2019?天津）2019年，我國施行個人所得稅專項附加扣除辦法，涉及子女教育、繼續(xù)教育、

大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項專項附加扣除.某單位老、中、青

員工分別有72,108,120人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取25人調(diào)查專

項附加扣除的享受情況.

（1）應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取多少人？

（2）抽取的25人中，享受至少兩項專項附加扣除的員工有6人，分別記為4B,C,D,E,

式享受情況如下表，其中表示享受，“X”表示不享受.現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取2人

接受采訪.

項目、ABCDEF

子女教育OOXOXO

繼續(xù)教育XXOXOO

大病醫(yī)療XXXOXX

住房貸款利息OOXXOO

住房租金XXOXXX

贍養(yǎng)老人OOXXXO

①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；

②設(shè)材為事件“抽取的2人享受的專項附加扣除至少有一項相同"，求事件"發(fā)生的概率.

解（1）由已知得老、中、青員工人數(shù)之比為6：9：10,由于采用分層抽樣的方法從中抽取

25位員工，

因此應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取6人、9人、10人.

（2）①從已知的6人中隨機(jī)抽取2人的所有可能的結(jié)果為（力，助，（A,0,（4。），U,玲,

（力，Q,（8,0,（8功，（B,E）,（8,Q,（C,。），（C,a，（C,（。，⑥，（。，Q,

（E,R,共15個.

②由表格知，符合題意的有（4⑤，（/，加，（A,（4Q,（8,切，（B,初,（8,Q,

C9，（GQ,（。，R,（E,8,共11個.所以事件M發(fā)生的概率尸（粉

思維升華求解古典概型的交匯問題的步驟

(1)將題目條件中的相關(guān)知識轉(zhuǎn)化為事件；

(2)判斷事件是否為古典概型；

(3)選用合適的方法確定基本事件個數(shù)；

(4)代入古典概型的概率公式求解.

跟蹤訓(xùn)練4為了了解某種新型藥物對治療某種疾病的療效，某機(jī)構(gòu)日前聯(lián)合醫(yī)院，進(jìn)行了小

規(guī)模的調(diào)查，結(jié)果顯示，相當(dāng)多的受訪者擔(dān)心使用新藥后會有副作用.為了了解使用該種新

型藥品后是否會引起疲乏癥狀，該機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了某地患有這種疾病的275人進(jìn)行調(diào)查，得

到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表：

無疲乏癥狀有疲乏癥狀總計

未使用新藥15025t

使用新藥Xy100

總計225m275

⑴求2義2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)x,外加，￡的值，能否有95%的把握認(rèn)為有疲乏癥狀與使用該新

藥有關(guān)；

(2)從使用該新藥的100人中按是否有疲乏癥狀，采用分層抽樣的方法抽出4人，再從這4

人中隨機(jī)抽取2人做進(jìn)一步調(diào)查，求這2人中恰有1人有疲乏癥狀的概率.

附：A2=V-/V-/~T,I,-，□=a+6+c+4

a+bc+db+d

P心A>)

Ab

解(1)由數(shù)表知，*=225-150=75,y=100-75=25,勿=275-225=50,￡=150+25=175,

所以x=75,y=25,卬=50,￡=175,

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到

k275X150X25—75X25’275

長=225X50X175X100=/

^4.911>3.841,

所以有95%的把握認(rèn)為有疲乏癥狀與使用該新藥有關(guān).

41

(2)從使用新藥的100人中用分層抽樣抽取4人的抽樣比為訴=左，則抽取有疲乏癥狀的人

數(shù)為上X25=l,無疲乏癥狀的有3人，

抽取的有疲乏癥狀的1人記為1,無疲乏癥狀的3人記為a,b,c,從4人中隨機(jī)抽取2人的

所有可能結(jié)果為(1,a)，(b垃，3c),(a,8)，(a,c),(b,c),共6個，它們等可能,

記2人中恰有1人有疲乏癥狀的事件為M它所含基本事件是(1,a),(1,8)，(1,c),共3

個，

于是得產(chǎn)(粉='Q=51，

0Z

所以這2人中恰有1人有疲乏癥狀的概率是)

課時精練

E基礎(chǔ)保分練

1.(2021?全國乙卷)在區(qū)間(0,0隨機(jī)取一個數(shù)，則取到的數(shù)小于上勺概率為()

答案B

的長度為今所以在區(qū)間(o,9隨機(jī)取一個數(shù),

解析因為區(qū)間0的長度為亍區(qū)間(0

1119

則取到的數(shù)小兀的概率片y5=不

JJ/J

2.(2022?太原模擬)從1,2,3,4,5這5個數(shù)中隨機(jī)抽取2個數(shù)，分別記為m,/?,則/為整數(shù)

的概率為()

答案B

解析由題意得，從1,2,3,4,5這5個數(shù)中隨機(jī)抽取2個數(shù)，則共有

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),(2,1),(3,1),

(4,1),(5,1),(3,2),(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),(5,4),20種等可能情況，其中;為

R1

整數(shù)的有(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(4,2),5種情況，所以所求概率為總=不

3.新高考將實行3+1+2模式，即語文、數(shù)學(xué)、英語必選，物理、歷史二選一，政治、地理、

化學(xué)、生物四選二，共有12種選課模式.今年高一的小明與小芳都準(zhǔn)備選歷史，假若他們都

對后面四科沒有偏好，則他們選課相同的概率為()

1111

A，36B-/8D-6

答案D

解析由題意，從政治、地理、化學(xué)、生物中四選二，共有6種方法，所以他們選課相同的

概率為

0

4.（2022?黃山質(zhì)檢）從集合｛1,2,4｝中隨機(jī)抽取一個數(shù)多從集合⑵4,5｝中隨機(jī)抽取一個數(shù)

b,則向量k（a,6）與向量〃=（2,—1）垂直的概率為（）

答案B

解析從集合｛1,2,4）中隨機(jī)抽取一個數(shù)必從集合⑵4,5｝中隨機(jī)抽取一個數(shù)8,可以組成向

量9=（a,。）的個數(shù)是9個，其中與向量〃=（2,—1）垂直的向量是m=（1,2）和山=（2,4）,

2

共2個，故所求的概率為片&

5.（2022?莆田質(zhì)檢）甲、乙兩位同學(xué)到莆田市湄洲島當(dāng)志愿者，他們同時從“媽祖祖廟”站

上車，乘坐開往“黃金沙灘”站方向的3路公交車（線路圖如下）.甲將在“供水公司”站之

前的任意一站下車，乙將在“鵝尾神化石”站之前的任意一站下車.核設(shè)每人自“管委會”

站開始在每一站點下車是等可能的，則甲比乙后下車的概率為（）

123456789101112131415161718192021222324

輪媽管地興閩蓮金蓮北供白下前港媽東鵝海福下寶后黃

渡祖丟稅淮臺池沙池塊水石白范樓祖至尾景佑山瀾卷金

碼祖會分呼風(fēng)小灘沙^公玉石水廟神關(guān)街街沙

頭痛局情學(xué)灘東司女一庫平化灑灘

街環(huán)閣東安石店

一：里

答案C

解析甲從“管委會”站到“北域”站的每一站下車都可以，有8種情況,

乙從“管委會”站到“東至”站的每一站下車都可以，有15種情況，

若乙在“管委會”站下車，則甲有7種情況，

若乙在“地稅分局”站下車，則用有6種情況，

若乙在“興海路”站下車，則甲有5種情況，

若乙在“閩臺風(fēng)情街”站下車，則甲有4種情況，

若乙在“蓮池小學(xué)”站下車，則用有3種情況，

若乙在“金沙灘”站下車，則甲有2種情況，

若乙在“蓮池沙灘”站下車，則用有1種情況，

因此，甲比乙后下車的概率為

1+2+3+4+5+6+7=3=工

8X158X1530,

6.《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有勾八步，股一十五步，問勾中容圓，徑幾何？”其大

意：已知直角三角形的兩直角邊長分別為8步和15步，問其內(nèi)切圓的直徑為多少步.現(xiàn)若向

此三角形內(nèi)隨機(jī)投一粒豆子，則豆子落在其內(nèi)切圓外的概率是()

3n3n

A-----R-----

1020

答案D

解析直角三角形的斜邊長為仲亨=17,

設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r,則8—r+15—r=17,解得？=3.

:.內(nèi)切圓的面積為nr=9五，

???豆子落在內(nèi)切圓外的概率A1—丁*—=1一票.

.8X15

7.某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級，其中乙、丙兩級均屬次品，在正常生產(chǎn)情況下，出現(xiàn)乙級品和

丙級品的概率分別是0.05和0.03,則抽檢一件是甲級品的概率為.

解析記抽撿的產(chǎn)品是甲級品為事件4是乙級品為事件8是丙級品為事件。，這三個事件

彼此互斥，且事件A和事件BUC是對立事件，因而所求概率為PC4)=1一0(而-P9=0.92.

8.已知aW{—2,0,1,2,3}"￡{3,5},則函數(shù)F(x)=(，-2)e'+8為減函數(shù)的概率是.

公小2

答案i

解析若函數(shù)￡5)=(3-2)/+6為減函數(shù)，

則a2—2<0,又{—2,0,1,2,3),

2

故只有a=O,a=1滿足題意，所以函數(shù)八/)=(/一2)/十。為減函數(shù)的概率是不

9.某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品即可抽獎.抽獎方法是：從裝有2

個紅球4,4和1個白球8的甲箱與裝有2個紅球功，Q和2個白球打，灰的乙箱中，各隨

機(jī)摸出1個球.若摸出的2個球都是紅球則中獎，否則不中獎.

⑴用球的標(biāo)號列出所有可能的摸出結(jié)果；

(2)有人認(rèn)為：兩個箱子中的紅球比白球多，所以中獎的概率大于不中獎的概率.你認(rèn)為正確

嗎？請說明理由.

解(1)所有可能的摸出結(jié)果是(4,a),(4,殳)，(4,從),(4,bi)?(4,a),(4,殳)，

(4,b\),(42,bz),(B,何)，(B,32),(B,bi),(B,bi).

(2)不正確.理由如下：

由(1)知，所有可能的摸出結(jié)果共12種，其中摸出的2個球都是紅球的結(jié)果為(4,a),(4,

41191

加，（兆，劭），（4,32）,共4種.所以中獎的概率為石=三，不中獎的概率為1—可=可＞?

oJJJ

故這種說法不正確.

10.2021年是中國共產(chǎn)黨建黨100周年，為了使全體黨員進(jìn)一步堅定理想信念，傳承紅色基

因，市教育局以“學(xué)黨史、悟思想、辦實事、開新局”為主題進(jìn)行“黨史”教育，并舉辦由

全體黨員參加的“學(xué)黨史”知識競賽.競賽共設(shè)100個小題，每個小題1分，共100分.現(xiàn)

隨機(jī)抽取1000名黨員的成績進(jìn)行統(tǒng)計，并將成績分成以下七組：[72,76）,[76,80）,[80,84）,

[84,88）,[88,92）,[92,96）,[96,100],并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.

⑴根據(jù)頻率分布直方圖，求這10D0名黨員成績的眾數(shù)、中位數(shù)；

（2）用分層抽樣的方法從低于80分的黨員中抽取5人,若在這5人中任選2人進(jìn)行問卷調(diào)查,

求這2人中至少有1人成績低于76分的概率.

04-LOO

解（1）由頻率分布直方圖可得，1000名黨員成績的眾數(shù)為2尹=86（分）,

成績在[72,84）的頻率為

（0.024-0.034-0.0375）X4=0.35,

成績在[72,88）的頻率為

（0.02+0.03+0.0375+0.075）X4=0.65,

故中位數(shù)位于L84,88）之間，

中位數(shù)是84+4X,0.65-0.35）=86（分）.

（2）V[72,76）與[76,80）的黨員人數(shù)的比值為2：3,

采用分層抽樣方法抽取5人，則在[72,76）中抽取2人，[76,80）中抽3人，

設(shè)[72,76）抽取人的編號為4,4,[76,80）抽取人的編號為5,8,國

則從5人中任選2人進(jìn)行問卷調(diào)查對應(yīng)的基本事件為（4,㈤，（4,盼,（4,笈），（4,區(qū)）,

（4,反），（4,加，（4,4）,（團(tuán)員），（呂，㈤，（氏，氏），共10種，

這2人中至少有1人成績低于76分的有（4,㈤，（4,㈤，（4,氏），（4,加，（4,民），

7

（4,B）,（4,4D,共7種等可能情況，故這2人中至少有1人成績低于76分的概率P=~.

E技能提升練

11.著名的“3N+1猜想”是指對于每一個正整數(shù)〃，若〃是偶數(shù)，則讓它變成多若〃是奇

數(shù),則讓它變成3/7+1.如此循環(huán),最終都會變成1.若數(shù)字5,6,7,8,9按照以上猜想進(jìn)行變換,

則變換次數(shù)為奇數(shù)的概率為（）

1234

A?尹1cHl15

答案C

解析依題意知，5-16-8-4—2-1,共進(jìn)行5次變換；6-3-10-5-…，共進(jìn)行8次變

換；7f22-11-34fl7-52f26-13f40f20-10-5f…，共進(jìn)行16次變換；由以上可知，

3

8變換共需要3次：9f28fl4f7-…，共進(jìn)行19次變換.故變換次數(shù)為奇數(shù)的概率為：

D

12.七巧板是我們祖先的一項創(chuàng)造，被譽(yù)為“東方魔板”，它是由五塊等腰直角三角形（兩塊

全等的小三角形、一塊中三角形和兩塊全等的大三角形）、一塊正方形和一塊平行四邊形組成

的.如圖是一個用七巧板拼成的正方形，現(xiàn)從該正方形中任取一點，則此點取自陰影部分的

概率是（）

c

A?制1?為3

答案A

解析設(shè)RQ2,則BC=CD=DE=EF=1,

.「1亞蛆1

&EFa產(chǎn)2SXBC/=2X-=",

_M

P=2X2=~A^

13.將一個骰子投擲兩次，第一次出現(xiàn)的點數(shù)記為a,第二次出現(xiàn)的點數(shù)記為從設(shè)任意投擲

兩次使兩條不重合直線仆ax+b尸2,hxx+2y=2平行的概率為凡相交的概率為月,

1O'7

若點（凡⑶在圓—+六高的內(nèi)部,則實數(shù)勿的取值范圍是（）

/5

I-

C^

/7

AC.(-

C^

答

案D

解析對于a與右各有6種情形，故總數(shù)為36種.

兩條直線4：ax+by=2,72：x+2y=2平行的情形有a=2,6=4或a=3,6=6,

91

所以P\=77=TZ:

oOlo

兩條直線人ax+by=2,h：x+2尸2相交的情形除平行與重合Q