第81講、圓錐曲線拓展題型一 (學(xué)生版)

第81講圓錐曲線拓展題型一必考題型全歸納題型一：定比點(diǎn)差法例1．已知橢圓（）的離心率為，過(guò)右焦點(diǎn)且斜率為（）的直線與相交于，兩點(diǎn)，若，求例2．已知，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于，（可以重合），求取值范圍．例3．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，，，是橢圓上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，若，求的值．變式1．設(shè)，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)，在橢圓上，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)變式2．已知橢圓，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，，點(diǎn)是線段上的點(diǎn)，且，求點(diǎn)的軌跡方程．題型二：齊次化例4．已知拋物線，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．證明：．例5．如圖，橢圓，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)P，Q（均異于點(diǎn)，證明：直線AP與AQ的斜率之和為2．例6．已知橢圓，設(shè)直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與相交于A，B兩點(diǎn)．若直線與直線的斜率的和為，證明：直線過(guò)定點(diǎn)．變式3．已知橢圓，，，為上的兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，，求證：直線過(guò)定點(diǎn)．題型三：極點(diǎn)極線問(wèn)題例7．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）橢圓方程，平面上有一點(diǎn)．定義直線方程是橢圓在點(diǎn)處的極線．已知橢圓方程．(1)若在橢圓上，求橢圓在點(diǎn)處的極線方程；(2)若在橢圓上，證明：橢圓在點(diǎn)處的極線就是過(guò)點(diǎn)的切線；(3)若過(guò)點(diǎn)分別作橢圓的兩條切線和一條割線，切點(diǎn)為，，割線交橢圓于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，分別作橢圓的兩條切線，且相交于點(diǎn)．證明：，，三點(diǎn)共線．例8．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）閱讀材料：（一）極點(diǎn)與極線的代數(shù)定義；已知圓錐曲線G：，則稱點(diǎn)P(，)和直線l：是圓錐曲線G的一對(duì)極點(diǎn)和極線.事實(shí)上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換x(另一變量y也是如此)，即可得到點(diǎn)P(，)對(duì)應(yīng)的極線方程.特別地，對(duì)于橢圓，與點(diǎn)P(，)對(duì)應(yīng)的極線方程為；對(duì)于雙曲線，與點(diǎn)P(，)對(duì)應(yīng)的極線方程為；對(duì)于拋物線，與點(diǎn)P(，)對(duì)應(yīng)的極線方程為.即對(duì)于確定的圓錐曲線，每一對(duì)極點(diǎn)與極線是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.（二）極點(diǎn)與極線的基本性質(zhì)?定理①當(dāng)P在圓錐曲線G上時(shí)，其極線l是曲線G在點(diǎn)P處的切線；②當(dāng)P在G外時(shí)，其極線l是曲線G從點(diǎn)P所引兩條切線的切點(diǎn)所確定的直線（即切點(diǎn)弦所在直線）；③當(dāng)P在G內(nèi)時(shí)，其極線l是曲線G過(guò)點(diǎn)P的割線兩端點(diǎn)處的切線交點(diǎn)的軌跡.結(jié)合閱讀材料回答下面的問(wèn)題：(1)已知橢圓C：經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4，0)，離心率是，求橢圓C的方程并寫出與點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線方程；(2)已知Q是直線l：上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q向（1）中橢圓C引兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，是否存在定點(diǎn)T恒在直線MN上，若存在，當(dāng)時(shí)，求直線MN的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.例9．（2024秋·北京·高三中關(guān)村中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知橢圓M：（a＞b＞0）過(guò)A（－2，0），B（0，1）兩點(diǎn)．（1）求橢圓M的離心率；（2）設(shè)橢圓M的右頂點(diǎn)為C，點(diǎn)P在橢圓M上（P不與橢圓M的頂點(diǎn)重合），直線AB與直線CP交于點(diǎn)Q，直線BP交x軸于點(diǎn)S，求證：直線SQ過(guò)定點(diǎn)．變式4．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若雙曲線與橢圓共頂點(diǎn)，且它們的離心率之積為．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為，，直線l與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，設(shè)直線與的斜率分別為，，且．試問(wèn)，直線l是否過(guò)定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．變式5．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)，A，B分別為橢圓E的左，右頂點(diǎn)，P為直線上的動(dòng)點(diǎn)（不在x軸上），與橢圓E的另一交點(diǎn)為C，與橢圓E的另一交點(diǎn)為D，記直線與的斜率分別為，．（Ⅰ）求橢圓E的方程；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）證明：直線過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)．題型四：蝴蝶問(wèn)題例10．（2003·全國(guó)·高考真題）如圖，橢圓的長(zhǎng)軸與x軸平行，短軸在y軸上，中心為．(1)寫出橢圓的方程，求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率；(2)直線交橢圓于兩點(diǎn)；直線交橢圓于兩點(diǎn)，．求證：；(3)對(duì)于（2）中的中的在，，，，設(shè)交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，求證：（證明過(guò)程不考慮或垂直于軸的情形）例11．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓（），四點(diǎn)，，，，中恰有三點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）蝴蝶定理：如圖1，為圓的一條弦，是的中點(diǎn)，過(guò)作圓的兩條弦，.若，分別與直線交于點(diǎn)，，則.該結(jié)論可推廣到橢圓.如圖2所示，假定在橢圓中，弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，且兩條弦，所在直線斜率存在，證明：.例12．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（蝴蝶定理）過(guò)圓弦的中點(diǎn)M，任意作兩弦和，與交弦于P、Q，求證：.變式6．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）蝴蝶定理因其美妙的構(gòu)圖，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代數(shù)學(xué)名家蜂擁而證，正所謂花若芬芳蜂蝶自來(lái).如圖，已知圓的方程為，直線與圓交于，，直線與圓交于，.原點(diǎn)在圓內(nèi).（1）求證：.（2）設(shè)交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn).求證：.變式7．（2024·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為點(diǎn)，，且，橢圓離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，且斜率不為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線，的交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在直線上.變式8．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，離心率為，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)C(0，1)且斜率大于1的直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，記直線AM的斜率為k1，直線BN的斜率為k2，若k1＝2k2，求直線l斜率的值．變式9．（2021秋·廣東深圳·高二?？计谥校┮阎獧E圓的右焦點(diǎn)是，過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為．(1)求橢圓C的方程；(2)已知是橢圓C的下頂點(diǎn)，如果直線y=kx+1（k≠0）交橢圓C于不同的兩點(diǎn)M，N，且M，N都在以P為圓心的圓上，求k的值；(3)過(guò)點(diǎn)作一條非水平直線交橢圓C于R、S兩點(diǎn)，若A，B為橢圓的左右頂點(diǎn)，記直線AR、BS的斜率分別為k1、k2，則是否為定值，若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．變式10．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知橢圓的離心率為，，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，右焦點(diǎn)，，過(guò)且斜率為的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，在軸上方．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)記，的面積分別為，，若，求的值；(3)設(shè)線段的中點(diǎn)為，直線與直線相交于點(diǎn)，記直線，，的斜率分別為，，，求的值．變式11．（2024秋·福建莆田·高二莆田華僑中學(xué)校考期末）已知點(diǎn)在橢圓：上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線：的斜率與直線的斜率乘積為（1）求橢圓的方程；（2）不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線：（且）與橢圓交于，兩點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為（與點(diǎn)不重合），直線，與軸分別交于兩點(diǎn)，，求證：.變式12．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）極線是高等幾何中的重要概念，它是圓錐曲線的一種基本特征.對(duì)于圓，與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線方程為，我