1.3空間向量及其運算的坐標表示課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

人教A版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊第一章空間向量與立體幾何1.3空間向量及其運算的坐標表示自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)一、空間直角坐標系1.空間直角坐標系(1)定義:在空間選定一點O和一個單位正交基底{i,j,k}.以點O為原點,分別以

i,j,k

的方向為正方向、以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸:x軸、y軸、z軸,它們都叫做坐標軸.這時我們就建立了一個空間直角坐標系Oxyz

,O叫做原點,

i,j,k

都叫做坐標向量,通過每兩條坐標軸的平面叫做坐標平面,分別稱為

Oxy

平面,

Oyz

平面,

Ozx

平面,它們把空間分成八個部分.(2)畫法:畫空間直角坐標系Oxyz時,一般使∠xOy=135°(或45°),

∠yOz=90°.(3)右手直角坐標系:在空間直角坐標系中,讓右手拇指指向x軸的正方向,食指指向y軸的正方向,如果中指指向z軸的正方向,則稱這個坐標系為右手直角坐標系.(5)空間向量的坐標:在空間直角坐標系Oxyz中,給定向量a,作

=a,由空間向量基本定理,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫做a在空間直角坐標系Oxyz中的坐標,上式可簡記作a=(x,y,z).答案:(1)(1,1,0)

(1,1,1)

(2)(1,0,1)

(0,1,1)

(3)(0,0,1)

(0,1,0)2.如圖,在棱長為1的正方體中,寫出下列各點和向量的坐標:(1)B

,B'

;

二、空間向量運算的坐標表示1.設(shè)a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).

2.(1)已知向量a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),則下列結(jié)論正確的是(

)A.a+b=(10,-5,-6) B.a-b=(2,-1,-6)C.a·b=10 D.|a|=6(2)與向量a=(1,2,3),b=(3,1,2)都垂直的向量為(

)A.(1,7,5) B.(1,-7,5) C.(-1,-7,5) D.(1,-7,-5)解析:(1)易驗證A,B,C均不正確;(2)只有C選項中向量與a,b的數(shù)量積都為0.答案:(1)D

(2)C三、空間兩點間的距離公式1.設(shè)P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空間中任意兩點,則

合作探究釋疑解惑探究一空間點、向量的坐標表示【例1】

如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分別為A1B1,A1A的中點,試建立適當?shù)目臻g直角坐標系,求:(1)點B,C1,B1,M,N的坐標;所以點B的坐標是(0,1,0).同理,點C1的坐標是(0,0,2).點B1在x軸、y軸、z軸上的射影分別為C,B,C1,它們在坐標軸上的坐標分別為0,1,2,所以點B1的坐標是(0,1,2).反思感悟1.建立空間直角坐標系,必須牢牢抓住相交于同一點的兩兩垂直的三條直線,要在題目中找出或構(gòu)造出這樣的三條直線,因此要充分利用題目中所給的垂直關(guān)系,即線線垂直、線面垂直、面面垂直,要使盡可能多的點落在坐標軸上,盡可能多的線段平行于坐標軸,有直角的把直角邊放在坐標軸上.2.求空間點、向量的坐標的一般步驟(1)建系:根據(jù)圖形特征建立空間直角坐標系.(2)運算:找出點在x軸、y軸、z軸上的射影的坐標,綜合利用向量的加法、減法及數(shù)乘運算表示向量.(3)定結(jié)果:根據(jù)射影坐標寫出點的坐標,將所求向量用已知的基向量表示出來確定坐標.【變式訓(xùn)練1】

已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E,F分別為棱BB1,DC的中點,建立如圖所示的空間直角坐標系.(1)寫出各頂點的坐標;解:(1)設(shè)x軸、y軸、z軸的單位向量分別為i,j,k.因為正方體的棱長為2,因為D(0,0,0),所以A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,2).同理可得,A1(2,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2).

探究二空間向量的坐標運算(1)p+2q;(2)3p-q;(3)(p-q)·(p+q);(4)cos<p,q>.分析:先由點的坐標計算得到向量p,q的坐標,然后再進行各種運算.解:因為A(-1,2,1),B(1,3,4),C(0,-1,4),D(2,-1,-2),(1)p+2q=(2,1,3)+2(2,0,-6)=(2,1,3)+(4,0,-12)=(6,1,-9).(2)3p-q=3(2,1,3)-(2,0,-6)=(6,3,9)-(2,0,-6)=(4,3,15).(3)(p-q)·(p+q)=p2-q2=|p|2-|q|2=(22+12+32)-[22+02+(-6)2]=-26.反思感悟1.一個空間向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標.2.空間向量進行坐標運算的規(guī)律是首先進行數(shù)乘運算,再進行加法、減法運算,最后進行數(shù)量積運算,先算括號里,后算括號外.【變式訓(xùn)練2】

已知a=(2,-1,-2),b=(0,-1,4).求:(1)a+b;(2)a-b;(3)a·b;(4)2a·(-b);(5)(a+b)·(a-b).解:(1)a+b=(2,-1,-2)+(0,-1,4)=(2+0,-1-1,-2+4)=(2,-2,2).(2)a-b=(2,-1,-2)-(0,-1,4)=(2-0,-1-(-1),-2-4)=(2,0,-6).(3)a·b=(2,-1,-2)·(0,-1,4)=2×0+(-1)×(-1)+(-2)×4=-7.(4)∵2a=(4,-2,-4),∴(2a)·(-b)=(4,-2,-4)·(0,1,-4)=4×0+(-2)×1+(-4)×(-4)=14.(5)(a+b)·(a-b)=a2-b2=4+1+4-(0+1+16)=-8.探究三利用向量的坐標運算解決平行、垂直問題解:以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.設(shè)正方體的棱長為1,1.若把本例中的PQ⊥AE改為B1Q⊥EQ,其他條件不變,則結(jié)果又是什么?2.本例中若G是A1D的中點,點H在平面Dxy上,且GH∥BD1,試判斷點H的位置.反思感悟向量平行與垂直問題的兩種類型(1)平行與垂直的判斷.①應(yīng)用向量的方法判定兩直線平行,只需判斷兩直線的方向向量是否共線.②判斷兩直線是否垂直,關(guān)鍵是判斷兩直線的方向向量是否垂直,即判斷兩向量的數(shù)量積是否為0.(2)平行與垂直的應(yīng)用.①適當引入?yún)?shù)(比如向量a,b平行,可設(shè)a=λb,其中λ∈R),建立關(guān)于參數(shù)的方程.②選擇坐標表示,以達到簡化運算的目的.【變式訓(xùn)練3】

已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是BB1,DC的中點,求證:(1)AE⊥D1F;(2)AE⊥平面A1D1F.解:以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.設(shè)正方體的棱長為1,由(1)知AE⊥D1F.∵D1A1∩D1F=D1,D1A1,D1F?平面A1D1F,∴AE⊥平面A1D1F.探究四利用向量的坐標運算解決夾角、距離問題【例4】

在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是D1D,BD的中點,點G在棱CD上,且CG=

CD,H是C1G的中點.利用空間向量解決下列問題:(1)求EF與C1G所成角的余弦值;(2)求F,H兩點間的距離.分析:建系Dxyz→得各點的坐標→數(shù)量積運算→夾角、長度公式→幾何結(jié)論反思感悟運用空間向量的坐標運算解決立體幾何問題的一般步驟(1)建系:根據(jù)題目中的幾何圖形建立適當?shù)目臻g直角坐標系.(2)求坐標:①求出相關(guān)點的坐標,②寫出向量的坐標.(3)論證、計算:結(jié)合公式進行論證、計算.(4)轉(zhuǎn)化:轉(zhuǎn)化為幾